理想氣體壓強(qiáng)公式推倒

本科畢業(yè)論文題目:理想氣體壓強(qiáng)公式的幾種推導(dǎo)方法學(xué)院：物理與電子信息學(xué)院專(zhuān)業(yè)：應(yīng)用物理學(xué)年級(jí)：2008級(jí)姓名：任廣華指導(dǎo)教師：馮立芹完成日期：2012年5月25日目錄中文摘要與關(guān)鍵詞……………………1TOC\o"1-5"\h\zAbstractandKeyWords 2引言…………………1理想氣體模型與統(tǒng)計(jì)假設(shè) 11.1理想氣體分子模型 12理想氣體分子統(tǒng)計(jì)假設(shè) 1不同容器中理想氣體壓強(qiáng)的初等推導(dǎo)到方法 1球形容器……………………2立方體容器…………………53任意形狀容器 63.用速度分布函數(shù)推導(dǎo)理想氣體的壓強(qiáng)公式 8速度分布函數(shù)………………8用速度分布函數(shù)推導(dǎo)理想氣體壓強(qiáng)公式…………………8用統(tǒng)計(jì)物理方法推導(dǎo)理想氣體的壓強(qiáng)公式 9玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)法……… 9正則系綜理論法………………10結(jié)束語(yǔ) 12參考文獻(xiàn)………… 13致謝…………………14簡(jiǎn)歷…………………15摘要理想氣體是熱學(xué)中一個(gè)非常重要的理想模型，而壓強(qiáng)是熱學(xué)中描述氣體性質(zhì)的一個(gè)基本物理量。通過(guò)理想氣體壓強(qiáng)公式的推導(dǎo)，可以加強(qiáng)統(tǒng)計(jì)概念、統(tǒng)計(jì)規(guī)律的學(xué)習(xí)。本文根據(jù)分子運(yùn)動(dòng)論，按照統(tǒng)計(jì)規(guī)律分別采用不同的推導(dǎo)方法，都得2-到理想氣體的壓強(qiáng)公式為p=3n關(guān)鍵詞:理想氣體；統(tǒng)計(jì)假設(shè)；速度分布函數(shù)；波爾茲曼統(tǒng)計(jì)；正則系綜理論AbstractTheideagasisaveryimportantideamodelinheat.Thepressureisdescribedasabasicphysicalquantityinthegaspressurethermalproperties.Throughtheideagaspressureformula,itcanstrengthenthestatisticalconceptsandstatisticallearning.Accordingtothetheoryofmolecularmotion,accordingtothestatisticalregularities,weusedifferentderivationmethodcangetthepressureformulaoftheidealgasf 2 -forp=n.3KeyWords:Idealgas;Statisticalhypothesis;Velocitydistributionfunction;Boltzmannstatistics;Canonicalensembletheory.引言壓強(qiáng)是描述氣體狀態(tài)的力學(xué)量，是宏觀(guān)量，其本質(zhì)意義是系統(tǒng)在平衡態(tài)下大量氣體分子相互碰撞的統(tǒng)計(jì)平均效應(yīng)。理想氣體壓強(qiáng)公式是氣體分子運(yùn)動(dòng)論的一個(gè)基本方程。通過(guò)壓強(qiáng)公式的推導(dǎo)，可以加強(qiáng)統(tǒng)計(jì)概念，統(tǒng)計(jì)規(guī)律的學(xué)習(xí)，可以深入認(rèn)識(shí)壓強(qiáng)的實(shí)質(zhì)。因此，對(duì)理想氣體壓強(qiáng)公式有詳入探討的必要。本文要從壓強(qiáng)的實(shí)質(zhì)出發(fā)，給予不同的推導(dǎo)方法和過(guò)程。理想氣體模型與統(tǒng)計(jì)假設(shè)理想氣體分子模型從氣動(dòng)理論來(lái)看，理想氣體的分子結(jié)構(gòu)必定與微觀(guān)模型相對(duì)應(yīng)。由氣體分子熱運(yùn)動(dòng)的基本特征出發(fā)，所以提出以下三點(diǎn)假設(shè)氣體分子的大小與分子間的距離比較，可以忽略不計(jì)。這個(gè)假設(shè)體現(xiàn)了氣體狀態(tài)的特征，即氣態(tài)。氣體分子的運(yùn)動(dòng)服從經(jīng)典力學(xué)的規(guī)律。在碰撞過(guò)程中，每一個(gè)分子都可看做是完全彈性的小球。此假設(shè)的實(shí)質(zhì)是，在一般的條件下，對(duì)所有分子氣體來(lái)說(shuō)，經(jīng)典描述近似有效，不必要用量子論。由于氣體分子間的距離足夠大,除了碰撞，分子間的作用力可忽略不計(jì).因分子的動(dòng)能平均來(lái)說(shuō)要比它在重力場(chǎng)中的勢(shì)能大，除了在研究氣體分子在重力場(chǎng)中的分布情況,，因此分子重力也可忽略不計(jì)的?？傊?，氣體被看做是自由地、無(wú)規(guī)則地運(yùn)動(dòng)著的彈性球分子的集合。這種模型就是理想那個(gè)氣體的微觀(guān)模型。即理想氣體的分子模型。理想氣體分子統(tǒng)計(jì)假設(shè)在推導(dǎo)理想氣體壓強(qiáng)公式時(shí)，對(duì)處于平衡狀態(tài)下的理想氣體作了兩條統(tǒng)計(jì)假設(shè)(1)氣體分子在空間均勻分布。(2)氣體的性質(zhì)與運(yùn)動(dòng)方向無(wú)關(guān)，分子向各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的幾率相等。不同容器中理想氣體壓強(qiáng)公式的推導(dǎo)方法球形容器如圖1，推導(dǎo)氣體對(duì)球形面積的壓強(qiáng)，假設(shè)碰撞是光滑表面彈性碰撞推導(dǎo)步驟:1F , ,⑴速度為v的一個(gè)分子一次碰撞施于器壁的沖量為2mvcosa。iii■⑵速度為v的一個(gè)分子連續(xù)兩次碰撞器壁所需的時(shí)間為i2Rcosat= = ivvii圖1.圖1.球型容器推導(dǎo)壓強(qiáng)公式ofpressureformulainsphericalvessel單位時(shí)間內(nèi)分子碰撞器壁的次數(shù)為vU= i-2Rcosaidt時(shí)間內(nèi)分子碰撞器壁的次數(shù)為Q3udt=iQ32Rcosadt時(shí)間內(nèi)一個(gè)分子碰撞器壁施于器壁的沖量為Q5Q5Q6TOC\o"1-5"\h\zv mv2dk二2mvcosa i dt二i-dtii2Rcosa Ri⑶各種速度的分子在dt時(shí)間內(nèi)對(duì)球面的沖量為Nmv2 mNk= i-dt= v2dtR Rii=1 i=1⑷由統(tǒng)計(jì)平均值導(dǎo)出方程設(shè)球的半徑為R，單位體積內(nèi)分子數(shù)為n,總分子數(shù)N，所以有4N=兀R3?n3m—m4 —k=一Nv2dt=兀R3?n?v2dtR R3由于計(jì)算的是球面上的壓強(qiáng)，所以壓強(qiáng)式中的S=4“R2，所以壓強(qiáng)為41 2-nmv2=n￡3 3Q1 2-nmv2=n￡3 3Q8Q9Q10p=-—4“R2dt.p=nkT立方體容器如圖2，推到立方體一個(gè)面的壓強(qiáng)。假設(shè)碰撞是光滑平面彈性碰撞。l圖2.l圖2.立方體容器推導(dǎo)壓強(qiáng)公式PressureformulaisdeducedinCubecontainer推導(dǎo)步驟:⑴速度為v的一個(gè)分子與器壁A(yíng)面一次碰撞施于器壁的沖量為2mv。ii⑵速度為v的一個(gè)分子在dt時(shí)間內(nèi)施于器壁一個(gè)面的沖量。dt時(shí)間內(nèi)分子i碰撞器壁A(yíng)面的次數(shù)為分dt，dt時(shí)間內(nèi)分子碰撞器壁，施于器壁A(yíng)面的沖量為T(mén)OC\o"1-5"\h\zdk二迓mvxdt二m迓v2dt Ql lixi=1 i=1⑶各種速度的分子在dt時(shí)間內(nèi)對(duì)器壁一個(gè)面的沖量為k=》mtdt=m迓v2dt Ql lixi=1 i=1⑷由統(tǒng)計(jì)平均值導(dǎo)出方程1314乙v1314 ixv2=-4=1 xN,m「—,mN—,k=Nv2dt= v2dtlxl3x因?yàn)橛?jì)算的是一個(gè)面上的壓強(qiáng)所以S=/2，故壓強(qiáng)為mN—,vmN—,v2dtl312dt1N 1 2-mv2=nmv2=n313 3 315任意形狀的容器如圖3,推導(dǎo)氣體對(duì)任意形狀容器器壁上的任一面積元dS的壓強(qiáng)。假設(shè)碰撞為光滑平面彈性碰撞，根據(jù)速度大小將分子分成很多組，每個(gè)組內(nèi)的部分速度的大小和方向都一樣。

推導(dǎo)步驟:⑴速度為v的一個(gè)分子一次碰撞施于器壁的沖量為2mv。iix⑵速度為v的分子在dt時(shí)間內(nèi)施于dS面的沖量。dt時(shí)間內(nèi)與dS面相碰的分i子處圖3的斜柱體內(nèi)，分子數(shù)為nvdtdS。iix速度為v的分子在dt時(shí)間內(nèi)施于dS面的沖量為idk=2mvnvdtdS=2mnv2dSdtixiixiix⑶各種速度的分子在dt時(shí)間內(nèi)施于dS面的沖量為m工nv2dSdtiixk二2mm工nv2dSdtiixiixii（v0）式中求和的限制是表示只沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)(v>0)的分子才能碰撞到dS面ix上，由于氣體整體無(wú)運(yùn)動(dòng)，根據(jù)等幾率性知各方向的幾率相等，所以v>0與ixv<0的分子數(shù)各占沿x軸運(yùn)動(dòng)的分子數(shù)的一半。所以取消求和限制后，數(shù)值增ix大一倍，所以等式要除2才能成立。⑷由統(tǒng)計(jì)平均值導(dǎo)出方程又由幾率性知所以壓強(qiáng)為工nv2iix又由幾率性知所以壓強(qiáng)為工nv2iixv2二 xnv2=v2=v2=v2xyz31k=mnv2dSdt=nmv2dSdtx3dkdSdt1 2-=—nmv2=ns3 3Q18Q19Q20Q21用速度分布函數(shù)推導(dǎo)理想氣體的壓強(qiáng)公式速率度分布函數(shù)

假設(shè)有一定量的氣體它的體積為總V，分子數(shù)為N,所以得出分子數(shù)密度為Q22—? ?—fr1設(shè)dN為速度在某一間隔v~v+dv內(nèi)的分子數(shù)，它的大小與間隔的大小dv成正比，所以dN；;N表示分布在這一間隔內(nèi)內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率。則dNN與dv成正比。在不同的速度v附近取相等的間隔時(shí)，可以看出百分率dNN的數(shù)值一般不相等。dN'N還與v有關(guān)。所以有dN~N~dN~N~式中的f()-dN，表示速度分布在v附近單位速度間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分Ndv子數(shù)的百分比，稱(chēng)為速度分布函數(shù)。顯然，1-f子數(shù)的百分比，稱(chēng)為速度分布函數(shù)。顯然，1-fV—g面就用速度分布函數(shù)來(lái)導(dǎo)出理想氣體的壓強(qiáng)公式。用速度分布函數(shù)推導(dǎo)理想氣體壓強(qiáng)公式—OL —* —*由速度分布函數(shù)可得，體積V內(nèi)，速度分布在v?v+dv范圍內(nèi)的，單位時(shí)間內(nèi)與器壁面積發(fā)生碰撞的分子數(shù)為Nufvdv=nufvdvVxx單位面積所受的力為dp=n?2mu2fvdv所以壓強(qiáng)為x所以壓強(qiáng)為fQ-f() -p=JnfvQmu2dv=Jnfvmu2dvx—g<U^<+g=?Jnfvmu2dvf?2-fv￡dv=ns3上式就是由速度分布函數(shù)得出的理想氣體的壓強(qiáng)公式。用統(tǒng)計(jì)物理方法推導(dǎo)理想氣體的壓強(qiáng)公式玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)法

一般氣體滿(mǎn)足經(jīng)典極限條件，應(yīng)遵從玻爾茲曼分布。為了方便起見(jiàn)，我們考慮單原子分子理想氣體，分子間的作用力可忽略不計(jì)。在沒(méi)有其他外場(chǎng)的作用時(shí)，可把單原子分子理想氣體中分子的運(yùn)動(dòng)看作是粒子在容器中的自由運(yùn)動(dòng)。根據(jù)三維自由例子的能量可能值12mC2+p2+p2xyz其中p,p,p是可能值。不過(guò)在宏觀(guān)大小的容器內(nèi)，動(dòng)量值和能量值都是12mC2+p2+p2xyz其中p,p,p是可能值。不過(guò)在宏觀(guān)大小的容器內(nèi)，動(dòng)量值和能量值都是xyz準(zhǔn)連續(xù)的。又根據(jù)自由粒子的量子態(tài)數(shù)為dndndnxyzdpdpdp=dpdpdpxy zh3 xyz在dxdydzdpdpdp的范圍內(nèi)，配分函數(shù)為xyzdxdydzdpdpdpxyz將上式積分可求得(2兀m丫2Z=VIh2卩丿Q30氣體的體積V=ffldxdydz。根據(jù)廣義力的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式得出p二——InZPdV由⑤式可求得理想氣體的壓強(qiáng)公式為NNkTp= InZ=—pav v30￡=kT22-:.p=n￡3Q31Q32Q33Q34正則系綜理論法具有確定的N、V、T值的系統(tǒng)用正則系綜討論，相當(dāng)于與大熱源接觸而達(dá)到平衡的系統(tǒng)。由于系統(tǒng)與熱源之間的能量交換，所以系統(tǒng)的微觀(guān)狀態(tài)具有不同的能量值。在給定的N、T、V下，系統(tǒng)的能量是一切可能的微觀(guān)狀態(tài)下的平均值。單原子分子氣體只需考慮分子的平動(dòng)，平動(dòng)動(dòng)能是準(zhǔn)連續(xù)的，可以應(yīng)用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論處理。由N個(gè)單原子分子組成的理想氣體，其能量的經(jīng)典表達(dá)式為E仝佯2mi=11 邛藝乎1 邛藝乎Je：j23mdqAdqdpAdpi 1 3N1 3NZ=N！h3N冬HJe-瓷dpN!h3n ii=13NVn2兀mNTl麗丿氣體的壓強(qiáng)為p=1±inZ=咯乞inV=NT

卩QV 卩QV V

0s=kT2參考文獻(xiàn)程守珠等.普通物理學(xué)[M].人民教育出版社.1978.順建中.熱學(xué)教程[M].高等教育出版社.1981.李椿等?熱學(xué)[M].人民教育出版社.1978.王竹溪.熱力學(xué)[M].高等教育出版社.汪志誠(chéng).熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理[M].高等教育出版社（第四版）.趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程熱學(xué)[M].高等教育出版社.1998.致謝本研究及學(xué)位論文是在我的導(dǎo)師馮立芹老師的親切關(guān)懷和悉心指導(dǎo)下完成的。她嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致、一絲不茍的作風(fēng)一直是我工作和學(xué)習(xí)中的榜樣；她循循善誘的教導(dǎo)和不拘一格的思路給予我無(wú)盡的啟迪。從課題的選擇到論文的最終完成，馮老師始終給予我細(xì)心的指導(dǎo)和不懈的支持。四年多來(lái)，馮老師不僅在學(xué)業(yè)上給我以精心指導(dǎo)，同時(shí)在思想上還給予我無(wú)微不至的關(guān)懷，在此謹(jǐn)向馮老師致以誠(chéng)摯的謝意和敬意。在論文即將完成之際，我的心情無(wú)法平