培優(yōu)專題5因式分解小結(jié)

7、因式分解小結(jié)【知識精讀】因式分解是把一個多項式分解成幾個整式乘積的形式,它和整式乘法互為逆運算,在初中代數(shù)中據(jù)有重要的地位和作用,在其余學(xué)科中也有寬泛應(yīng)用,學(xué)習(xí)本章知識時,應(yīng)注意以下幾點。因式分解的對象是多項式;因式分解的結(jié)果必定是整式乘積的形式;分解因式,一定進行到每一個因式都不可以再分解為止;公式中的字母能夠表示單項式,也能夠表示多項式;結(jié)果若有同樣因式,應(yīng)寫成冪的形式;題目中沒有指定數(shù)的范圍,一般指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解;因式分解的一般步驟是:(1往常采納一“提”、二“公”、三“分”、四“變”的步驟。即第一看有無公因式可提,其次看可否直接利用乘法公式;如前兩個步驟都不可以實行,可用分組分解法,分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利用公式法持續(xù)分解;(2若上述方法都行不通,能夠試試用配方法、換元法、待定系數(shù)法、試除法、拆項(添項等方法;下邊我們一同往返首本章所學(xué)的內(nèi)容?！痉诸惙治觥拷?jīng)過基本思路達到分解多項式的目的例1.分解因式xxxxx54321-+-+-剖析:這是一個六項式,很明顯要先進行分組,本題可把xxxxx54321-+-+-和分別當(dāng)作一組,此時六項式變?yōu)槎検?提取公因式后,再進一步分解;也可把xx54-,xx32-,x-1分別當(dāng)作一組,此時的六項式變?yōu)槿検?提取公因式后再進行分解。解:原式=-+--+((xxxxx54321=-+--+=--+=--+++xxxxxxxxxxxxx32232221111111(((((((解二:原式=(((xxxxx54321-+-+-=-+-+-=-++=-++-=--+++2xxxxxxxxxxxxxxxxx424422((([(](((經(jīng)過變形達到分解的目的例1.分解因式xx3234+-解一:將32x拆成222xx+,則有原式=++-=+++-=++-=-+xxxxxxxxxxxx322222242222212((((((((解二:將常數(shù)-4拆成--13,則有原式=-+-=-+++-+=-++=-+xxxxxxxxxxxx32222((((((((在證明題中的應(yīng)用例:求證:多項式((xxx2241021100--++的值必定是非負數(shù)剖析:現(xiàn)階段我們學(xué)習(xí)了兩個非負數(shù),它們是完整平方數(shù)、絕對值。本題要證明這個多項式是非負數(shù),需要變形成完整平方數(shù)。證明:((xxx2241021100--++=+---+=+---+=---++((((((((((xxxxxxxxxxxx223710022設(shè)yxx=-25,則原式不論取何值都有的值必定是非負數(shù)=-++=-+=--≥∴因式分解中的轉(zhuǎn)變思想例:分解因式:(((abcabbc++-+-+2333剖析:本題若直接用公式法分解,過程很復(fù)雜,察看a+b,b+c與a+2b+c的關(guān)系,努力找尋一種代換的方法。解:設(shè)a+b=A,b+c=B,a+2b+c=A+B∴=+--=+++--=+=+=++++原式(((((ABABAABABBABABABABABabbcabc333322333223333332說明:在分解因式時,靈巧運用公式,對原式進行“代換”是很重要的。中考點撥:例1.在?ABC中,三邊a,b,c知足abcabbc222166100--++=求證:acb+=2證明:abcabbc222166100--++=∴++-+-=+--=+--+=+>∴+>+->-+=+=aabbcbcbabcbabcabcabcabcabcabcacb880202即,即于是有即((((說明:本題是代數(shù)、幾何的綜合題,難度不大,學(xué)生應(yīng)掌握這種題不可以丟分。例2.已知:xxxx+=+=12133,則__________解:xxxxxx3321111+=+-+((=++--=?=([(]xxxx11212122說明:利用xxxx222112+=+-(等式化繁為易。題型展現(xiàn):若x為隨意整數(shù),求證:(((7342---xxx的值不大于100。解:1004(3(7(2----xxx=--+---=----+-=----+=---≤∴---≤(((((([((]2222222說明:代數(shù)證明問題在初二是較為困難的問題。一個多項式的值不大于100,即要求它們的差小于零,把它們的差用因式分解等方法恒等變形成完整平方是一種常用的方法。2.將aaaa222222216742++++++((分解因式,并用分解結(jié)果計算。解:aaaa22221++++((=+++++=++++=++aaaaaaaaaaa22222222221211((((∴(說明:利用因式分解簡化有理數(shù)的計算。【實戰(zhàn)模擬】1.分解因式:((131083108233315543222xxxxxaaaa---+++-++-((((323352476223xxyyxyxx--+-+-+2.已知:xyxyxy+==-+6133,,求:的值。矩形的周長是28cm,兩邊x,y使xxyxyy32230+--=,求矩形的面積。求證:nn35+是6的倍數(shù)。(此中n為整數(shù)已知:a、b、c是非零實數(shù),且abcabcbcacab22211111113++=+++++=-,(((,求a+b+c的值。已知:a、b、c為三角形的三邊,比較abcab222224+-和的大小?！驹囶}答案】1.（1）解：原式x3(3x210x8(3x210x832(x13(x10x82(x1(xx1(x43(x2式22[(a33a][(a3a]1（52）解：原(a23a22(a23a8(a23a4(a23a2(a4(a1(a1(a（23）解：原式3(xy3x31(xy-3y2x+y1233式7x6x7x6（4）解：原7x37x67x(x216(x317x(x11(x2x1(x1(x277x6x26x6(x1(x2x6(x222解22：.xy(xy2xy362xy(xy(xxyy6(3812343223xxy03解.：-6-y3y即0(xy2(xy0xy又0xy14xy7面積為49cm24.證明：n35nn3n6nn(n1(n16n當(dāng)n為整數(shù)時，n(n1(n16是的倍數(shù)。3n5n是6的倍數(shù)abc0，5.解：用abc乘以第二個條件等式的兩邊，得：a2ca2bab2b2cbc2ac23abc即ab(abccabcabcabc0(abbcac則a0bc0或abbcac0若abbcac0則(abc2b2c2bcac0a2b2c21(abc21abc說明：1因式分解與配方法是代數(shù)式化簡與求值中常用的方法和手段，應(yīng)該嫻熟掌握。6.剖析：比較兩式大小最基本的方法是作