九章算術介紹

閱讀材料一1、《幾何原本》的基本內容、特點和意義?《原本》產生的背景在早期的數學中，我們可以看到兩種不同的也是基本的數學思想的體現：演繹的公理化體系和構造的算法體系?！稁缀卧尽泛汀毒耪滤阈g》就是這兩種思想的代表。?演繹的公理化體系演繹的公理化體系是從有限的不加證明公理和定義出發(fā)，通過嚴格的邏輯推理推演出所有其他命題的一個有序的理論整體?！稁缀卧尽肥菤v史上最早建立的演繹的公理化的體系。約公元前300年，古希臘數學家歐幾里得(Eucild)將希臘當時最為發(fā)達的數學---幾何用公理化的思想和嚴格的演繹推理的邏輯方法整理在一個體系之中。《幾何原本》的原名為《原本》(“Elements”)，17世紀初，翻譯成中文時冠以《幾何原本》沿用至今。《幾何原本》中的素材并非是歐幾里得所獨創(chuàng)，它是對歐幾里得之前希臘數學的一個總結。歐幾里得《幾何原本》的出現，是數學史上一個偉大的里程碑，它不僅是幾何學建立的標志，同時也是公理體系在里程碑，它不僅是幾何學建立的標志，同時也是公理體系在具體學科中應用成功的標志。?基本內容歐幾里得的《幾何原本》是一本極具生命力的經典著作。全書共十三卷，總共有475個命題(包括5個公設(Postulate)和5個公理(Axiom)。除幾何外，還包括初等數論，比例理論等內容。第一篇有5個公設、5個公理和48個命題，討論全等形，平行線，畢達哥拉斯(Pythagoras)定理(即勾股定理)，初等作圖法，等價形(有等面積的圖形)和平行四邊形。所有圖形都是由直線段組成的。歐幾里得在這篇中給出了23個定義，提出了點、線、面、圓和平行線等概念。接著是五個公設：從任意一點到任意一點可作直線。有限直線可以繼續(xù)延長。(HI)以任意一點為中心及任意的距離(為半徑)可以畫圓。所有直角都相等。同一平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩個內角的和小于兩直角，則這兩直線經無限延長后在這一側相交。其中第五個公設稱為歐幾里得平行公設，簡稱第五公設。公設之后是五個公理：(I)和同一量相等的諸量彼此相等。等量加等量，總量仍相等。等量減等量，余量仍相等?？梢灾睾系牧?，彼此相等。整體大于部分。現代數學把“公設”和“公理”看作同義詞，使用時不加區(qū)別。但是歐幾里得采納了古希臘哲學家兼邏輯學家亞里士多德(Aristotle)的觀點，即公理是適用于一切研究領域的原始假設，而公設則僅僅是適用于正在考慮的這一特定學科的原始假設。例如，我們熟悉的畢達哥拉斯定理(即勾股定理)就是本篇的命題47和命題48。第二篇有14個命題，利用線段代替數來研究數運算的幾何代數法。比如，兩數的乘積變成兩邊長等于兩數的矩形的面積。第三篇有37個命題，討論圓以及與之有關的線和角等。第四篇有16個命題，討論圓的內接和外切多邊形。第五篇有25個命題，討論量和量之比的比例理論。第六篇有33個命題，利用比例理論討論相似形。第七、八、九篇共有102個命題，講述數論，即講述關于整數和整數之比的性質。本篇把數看成線段，但論證并不依賴于幾何。第十篇有115個命題，對于給定量不可公度的量進行分類。第十一篇有39個命題，討論空間直線與平面的各種位置關系。第十二篇有18個命題，討論面積和體積。第十三篇有18個命題，主要討論五種正多面體。歐幾里得從5個公設、5個公理出發(fā)，共推出了465個命題。?特點（1）封閉的演繹體系《幾何原本》是數學中最早形成的演繹體系。在形式上，它是以少數原始概念（不定義概念），如點、線、面（雖然《幾何原本》中“定義”了這三個概念，但后來的推演中卻沒有利用這些定義，而且這些定義只是幾何形象的直觀描述，嚴格他說并不能算作定義。因此一般仍將這三個概念看作《幾何原本》中的不定義概念）等等，和不證明的公設和公理為基礎，運用亞里士多德所創(chuàng)立的邏輯學，把當時所知的幾何學中的主要命題（定理）全部推演出來，從而形成一個井然有序的整體。在這個整體中，除了推導時所需要的邏輯規(guī)則外，每個定理的證明所采用的論據均是公設、公理或前面已經證明過的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合邏輯上對概念下定義的要求，原則上不再依賴其它東西。因此，《幾何原本》是一個封閉的體系。當然，《幾何原本》在證明某些命題時確實運用了除公設、公理和邏輯之外的“直觀”。但是那只是個別現象，并不影響整個體系。另外，從《幾何原本》與當時的社會生產、生活的關系看，它的理論體系回避任何與社會生產現實生活有關的應用問題，因此對于社會生活的各個領域來說，它也是封閉的。所以，《幾何原本》是一個比較完整的、相對封閉的演繹體系。（2）抽象化的內容希臘人在研究幾何方面的功績之一是把數學變成抽象化的科學。他們竭力主張尋找事物的普遍性，想從自然界和人的思想的千變萬化的過程中，分離抽象出某些共同點，這對數學方法和科學方法是非常重要的。他們追求理性、講究邏輯的哲學思想對使數學形成一門科學有著巨大的影響。從而使幾何不再停留在經驗的數量變化上，而逐步提高到理性階段，使對數學的認識從感性階段提高到理性階段。因此，《幾何原本》中研究的都是一般的、抽象的概念和命題，它所探討的是這些概念和命題之間的邏輯關系，從一些給定的概念和命題出發(fā)演繹出另一些概念和命題。它不討論這些概念和命題與社會生活之間的關系，也不考察這些數學模型所由之產生的現實原型。在《幾何原本》中研究了所有的矩形（即抽象的矩形概念）的性質，但是從未討論一個具體的矩形實物的大小。《幾何原本》探討了數（自然數）的若干性質，卻不涉及具體的數的計算及其應用。它排斥各種理論的實際應用，對抽象的尺規(guī)（無刻度的直尺和圓規(guī)）作圖卻推崇備至。重視抽象理論、而不注重數學理論的現實原型及其具體應用，乃是該著作的顯著特點。（3）公理化的方法古希臘時期的數學主要是研究幾何。他們不僅把幾何形成了系統(tǒng)的理論，而且創(chuàng)造了研究數學的方法。作為現代數學的一種基本表述方法和發(fā)展方式的公理化方法，在數學上就是以歐幾里得《幾何原本》為開端的。根據亞里士多德的想法，一個完整的理論體系應該是一種演繹體系的結構，知識都是從初始原理中演繹出的結論。歐幾里得《幾何原本》恰恰體現了這一想法，歐幾里得用盡可能少的原始概念和一組不證自明的命題（公設和公理），利用邏輯推理法則，對當時的幾何知識重新組織，建成一個演繹系統(tǒng)。具體地看，在第一篇中開頭的5個公設和5個公理，是全書其它命題證明的基本前提，接著給出23個定義，然后再逐步引入和證明定理。定理的引入是有序的，在一個定理的證明中，允許采用的論據只有公設和公理與前面已經證明過的定理。以后各篇除了不再給出公設和公理外也都照此辦理。這種處理知識體系與表述方法就是公理化方法。

?意義1）《幾何原本》的內容幾乎概括了古希臘當時所有的理論---數論及幾何學，成為近代西方數學的主要源泉。2）《幾何原本》的數學觀念是對數學認識的一個飛躍。根據幾何材料的內在聯(lián)系，用概念作為判斷和推理的基礎逐步形成了數學證明的觀念，這是對數學認識的一個質的飛躍。（3）《幾何原本》是古希臘數學思想的集中表現，它把古希臘數學的特點、數學思想方法的特點發(fā)揚光大了，可以說是古希臘數學的最高成就。《幾何原本》的思想方法使得數學理論成為一個嚴謹的系統(tǒng)性理論。它使得人們能夠在一定程度上超越當時的實踐，充分發(fā)揮自己的主觀能動性，得到意義深遠的理論結果，再利用這些成果指導人們的實踐，提高人們認識世界、改造世界的能力?！稁缀卧尽返某晒κ窍ＥD數學的成功，是公理演繹體系的成功。它被奉為數學教育的依據，人們正是從這本書里認識到數學是什么，證明是什么。有志于數學的人更把它作為必修經典，從中吸收豐富的營養(yǎng)得到莫大的效益和鼓舞?！稁缀卧尽纷猿蓵螅跀祵W界產生巨大而深遠的影響。正如斯威克（J.Swick）所說：“《幾何原本》對于職業(yè)數學家，這書常常有著種不可逃避的迷惑力，而它的邏業(yè)數學家，這書常常有著種不可逃避的迷惑力，而它的邏輯結構大概比世界上任何其他著作更大地影響了科學思想?！彼浗y(tǒng)治幾何學的學習，在世界各地以各種不同的文字，共出了千余版，僅次于《圣經》，大約成為西方世界歷史中翻版和研究最廣的書，稱得上是世界上最杰出的課本。我國在明清兩代也有過譯本。多少年來，千千萬萬人通過歐幾里得幾何的學習得到了邏輯的訓練，從而步入科學的殿堂?！稁缀卧尽匪_創(chuàng)的公理化方法不僅成為一種數學陳述模式而且還被移植到其它學科，并且促進它們的發(fā)展。物理學家兼數學家牛頓(I.NeWon)在其名著《自然哲學之數學原理》的序中寫道：“從那么少的幾條外來的原理就能夠取得那么多的成果，這是幾何學的光榮”。斯賓諾莎(B?Spinoza)的《倫理學》也采用《幾何原本》的體例。2．《九章算術》的基本內容、特點和意義?《九章算術》產生的背景秦始皇建立統(tǒng)一的封建帝國之后，統(tǒng)一了文字和度量衡制度；到了西漢，社會經濟和文化得到迅速發(fā)展，因此有必要，也有可能對先秦時期已經積累起來的、豐富的數學知識進行較為系統(tǒng)的整理，形成專門的數學理論。據史書記載，秦時掌管過國家圖書的張倉，西漢時的大司農耿壽昌以及許商、杜忠等人都編寫過，或校訂過算書，《杜忠算術》和《許商算術》都已經失傳。他們大多是執(zhí)管天文歷法、農業(yè)、水利等方面的官員，所編的算書也大多為了培養(yǎng)行政官吏，或

教習官家子弟。因此，這些算書都是采取問題集的形式，對提出的問題，給出一種具體算法和答案。雖然秦和西漢時算書大多失傳，但從《算數書》中仍可以看到一個大概情形?！端銛禃肥?983年在湖北江陵張家山出土的西漢早年（約前180）的竹簡算書，無具名。它已初具問題集形式，im并按算法將問題分類。分類的小標題為“分乘”、“增減分”等im60多個，其中大部分算法術語，都出現在以后的《九章算術》之中，它很可能是《九章算術》的取材來源之一。九章算術》就是在這些算書的基礎上，系統(tǒng)總結了先im秦和東漢初年我國數學成就，經歷代名家補充、修改、增訂而逐步形成的。至遲在1世紀時，已有了現傳本的內容?，F傳世的《九章算術》是三國時魏晉數學家劉徽于263年注釋的版本。im?基本內容九章算術》是中國古代的一本著名數學著作。“九章算術》是中國古代的一本著名數學著作?！八恪敝杆慊I，簡稱“籌”，“術”指解題的方法，因而“算術”是指用籌演算的原理和方法，包括現在所說的算術、代數和幾何的各種算法。又因其分九章，故由此得名?！毒耪滤阈g》每一章都包括若干道問題，數目不等，大致從簡到繁排列，全書共有246道題，每道問題后給出答案一些問題后還給出“術”。現將各章內容簡介如下：第一章“方田”，列題38個，立術21條。著重介紹各種形狀地畝面積的計算與分數的運算。“方”有單位面積的意思，“方田”則是計算一塊田含多少個單位面積的方法。分數的運算包括分數的四則運算、約分、大小比較和求幾個分數的算術平均數等。第二章“粟米”，列題46個，立術33條，討論各種糧食之間互相兌換的問題?！八凇笔枪阮?。這類問題都通過比例來解決。第三章“衰分”，列題20個，立術22條，涉及的內容比較雜，其算法大體上多屬于比例配分問題?！八ィㄒ舸辌ui）”是按比例，“分”是分配。第四章“少廣”，列題24個，立術16條，專講開平方、開立方問題。“少”是多少，“廣”寬廣?！吧購V”是由已知面（體）積，求其一邊的寬廣是多少的問題。本章給出了“開方術”、“開圓術”、“開立方術”和“開立圓術”這四種重要算法。第五章“商功”，列題28個，立術24條，專講各種土木工程中所提出的各類幾何體體積的求解?！吧獭笔巧塘炕蚨攘?，“功”是工程。第六章“均輸”，列題28個，立術28條，主要講處理行程和合理解決征稅的問題。第七章“盈不足”，列題20個，立術17條，主要講運用“盈不足術”解應用問題，涉及的內容多與商業(yè)有關。第八章“方程”，列題18個，立術19條，專講線性方程組的解法。“方”就是把一個算題用算籌列成方陣的形式，“程”是度量總名，程式之意。另外本章還提出了正負數的不同表示法和加減運算法則。第九章“勾股”，列題24個，立術19條，主要研究勾股定理及其應用。本章繼承和發(fā)展了商高提出的勾股定理，并且開創(chuàng)了直角三角形相似法和出入相補原理。?特點（1）開放的歸納體系從《九章算術》的內容可以看出，它是以應用問題解法集成的體例編纂而成的書，因此它是一個與社會實踐緊密聯(lián)系的開放體系。從篇章的名稱來看，方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸各章都屬當時社會生產和生活方面需要解決的數學問題。書中所涉及的具體問題，如，田畝測量、工程建設、交通運輸、稅收商業(yè)等，幾乎包括了當時社會生產和生活的各個領域。通過這些篇章中給出的算法，解決了當時社會生產和生活所提出的各種計算問題。還有盈不足、方程、勾股三章，則分別研究了三種常用的數學模型及其用法，是為在以上各個領域中的應用服務的。因此，《九章算術》的全部理論是以尋求各種應用問題的普遍解法為中心的，是一個具有濃厚的“應用數學”色彩的開放性理論體系，這與《幾何原本》追求邏輯的完美形成了鮮明的對照。另外，《九章算術》的表述體系是按照由個別到一般的推導方式建立起來的。書中通常是先舉出某一社會生活領域中的一個或幾個個別問題，從中歸納出某一類問題的一般解法，即算法（術）；再把各類算法綜合起來，得到解決該領域中各種問題的方法，從而構成一章；最后，把解決社會生產生活各領域中問題的數學方法全部綜合起來，就得到整個《九章算術》。該書的歸納特點還有另一層含意，即按照解決問題的不同數學方法進行歸納。許多不同領域的實際問題可能需用相同的計算方法，從這些方法中提煉出數學模型，最后再以數學模型立章寫入《九章算術》。盈不足、方程、勾股三章就是如此。因此，綜觀全書，《九章算術》是一個開放的歸納體系。（2）算法化的內容《九章算術》在每一章內先列舉若干個實際問題，并對每個問題都給出答案，然后再給出“術”，作為一類問題的共同解法。以后遇到其它同類問題，只要按“術”，給出的程序去做就一定能求出問題的答案。歷代數學家受到追求實用、講究算法的傳統(tǒng)思想的影響，使他們對《九章算術》的注、校，主要集中在對“術”進行研究，即不斷改進算法。因此我們說，內容的算法化是《九章算術》思想方法上的特點之一。以下列舉《九章算術》中約分術加以說明。約分術（第一章中的一個算法）是在假設讀者已具備正整數四則運算方法的基礎上展開的，其術文是：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也，以等數約之?！边@也就是說：分母、分子若都是偶數，先同被2除；若不都是偶數，則用“更相減損”術求其“等數”，即最大公約數，再用最大公約數去同除分母、分子。所謂“更相減損”就是輾轉相減，與輾轉相除原理相同。如《九章算術》第一章中第6題,有九十一分之四十九，問約之得幾何?此問題關鍵是求91與49的最大公約數（等數），其方法如下：于是莎萬一乜《九章算術》中的多數“術”都與“約分術”相似，它們是這部著作的主要內容，問題是為了引出術或作為術的應用而給出的。由于《九章算術》的主要內容為算法，因而促進了

對各種算法的研究，取得了諸如方程術、正負術、開方術、割圓術等著名算法和一大批與之有關的數學成果。（3）模型化的方法從數學方法論的角度看，《九章算術》普遍使用了數學模型方法。各章都是先從相應的社會實踐中選擇具有典型意義的現實原型，并把它們表述成問題，然后通過“術”使其轉化成數學模型。當然有的章采取的是由數學模型到原型的過程，即先給出數學模型，然后再舉出可以應用的原型，例如，“勾股”、“方程”等章，其標題就是數學模型的名稱。?意義（1）《九章算術》的成書標志著中國傳統(tǒng)數學體系的形成。其問題及思想方法對后世的影響巨大而深遠。《九章算術》從問世起，人們便由它來學習數學。到隋唐時期開始建立國立學校，其中有算學科，該書被列為重要的教科書。在民間此書也廣泛流傳，所以，古代研究數學的人大都是從《九章算術》開始，有些人正是通過對它的研究取得重要成就，成為歷史上杰出的數學家，其中最著名的有劉徽、祖沖之父子、賈憲等。也就是說，九章算術》不但劉徽、祖沖之父子、賈憲等。也就是說，九章算術》不但在普及數學知識方面起過巨大作用，而且還在培養(yǎng)和造就數學家方面起到了促進作用?！毒耪滤阈g》在我國的影響還表現在著作體例方面?！毒耪滤阈g》以后的許多數學著作都按其格式編寫，注重實用，不注意邏輯結構，采用“問題一答案一算法”的體例。甚至一些著作的書名都沿用“九章”兩字如《數書九章》、《詳解九章算法》等。（2）《九章算術》中的數學成就是多方面的。它是世界上最早