北師大版七年級數(shù)學下冊數(shù)學各章節(jié)知識點總結(jié)

PAGEPAGE5北七下知識要點分章梳理第一章：整式的運算 單項式 整式整式的運算 多項式整式的運算 同底數(shù)冪的乘法 冪的乘方 積的乘方 冪運算 同底數(shù)冪的除法 零指數(shù)冪 負指數(shù)冪 整式的加減 單項式與單項式相乘 單項式與多項式相乘 整式的乘法 多項式與多項式相乘 整式運算 平方差公式 完全平方公式 單項式除以單項式 整式的除法 多項式除以單項式一、單項式1、都是數(shù)字與字母的乘積的代數(shù)式叫做單項式。2、單項式的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)。3、單項式中所有字母的指數(shù)和叫做單項式的次數(shù)。4、單獨一個數(shù)或一個字母也是單項式。5、只含有字母因式的單項式的系數(shù)是1或―1。6、單獨的一個數(shù)字是單項式，它的系數(shù)是它本身。7、單獨的一個非零常數(shù)的次數(shù)是0。8、單項式中只能含有乘法或乘方運算，而不能含有加、減等其他運算。9、單項式的系數(shù)包括它前面的符號。10、單項式的系數(shù)是帶分數(shù)時，應化成假分數(shù)。11、單項式的系數(shù)是1或―1時，通常省略數(shù)字“1”。12、單項式的次數(shù)僅與字母有關(guān)，與單項式的系數(shù)無關(guān)。二、多項式1、幾個單項式的和叫做多項式。2、多項式中的每一個單項式叫做多項式的項。3、多項式中不含字母的項叫做常數(shù)項。4、一個多項式有幾項，就叫做幾項式。5、多項式的每一項都包括項前面的符號。6、多項式?jīng)]有系數(shù)的概念，但有次數(shù)的概念。7、多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)。三、整式1、單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。2、單項式或多項式都是整式。3、整式不一定是單項式。4、整式不一定是多項式。5、分母中含有字母的代數(shù)式不是整式；而是今后將要學習的分式。四、整式的加減1、整式加減的理論根據(jù)是：去括號法則，合并同類項法則，以及乘法分配律。2、幾個整式相加減，關(guān)鍵是正確地運用去括號法則，然后準確合并同類項。3、幾個整式相加減的一般步驟： （1）列出代數(shù)式：用括號把每個整式括起來，再用加減號連接。 （2）按去括號法則去括號。 （3）合并同類項。4、代數(shù)式求值的一般步驟： （1）代數(shù)式化簡。 （2）代入計算 （3）對于某些特殊的代數(shù)式，可采用“整體代入”進行計算。五、同底數(shù)冪的乘法1、n個相同因式（或因數(shù)）a相乘，記作an，讀作a的n次方（冪），其中a為底數(shù)，n為指數(shù)，an的結(jié)果叫做冪。2、底數(shù)相同的冪叫做同底數(shù)冪。3、同底數(shù)冪乘法的運算法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。即：am﹒an=am+n。4、此法則也可以逆用，即：am+n=am﹒an。5、開始底數(shù)不相同的冪的乘法，如果可以化成底數(shù)相同的冪的乘法，先化成同底數(shù)冪再運用法則。六、冪的乘方1、冪的乘方是指幾個相同的冪相乘。（am）n表示n個am相乘。2、冪的乘方運算法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。（am）n=amn。3、此法則也可以逆用，即：amn=（am）n=（an）m。七、積的乘方1、積的乘方是指底數(shù)是乘積形式的乘方。2、積的乘方運算法則：積的乘方，等于把積中的每個因式分別乘方，然后把所得的冪相乘。即（ab）n=anbn。3、此法則也可以逆用，即：anbn=（ab）n。八、三種“冪的運算法則”異同點1、共同點：（1）法則中的底數(shù)不變，只對指數(shù)做運算。（2）法則中的底數(shù)（不為零）和指數(shù)具有普遍性，即可以是數(shù)，也可以是式（單項式或多項式）。（3）對于含有3個或3個以上的運算，法則仍然成立。2、不同點：（1）同底數(shù)冪相乘是指數(shù)相加。（2）冪的乘方是指數(shù)相乘。（3）積的乘方是每個因式分別乘方，再將結(jié)果相乘。九、同底數(shù)冪的除法1、同底數(shù)冪的除法法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即：am÷an=am-n（a≠0）。2、此法則也可以逆用，即：am-n=am÷an（a≠0）。十、零指數(shù)冪1、零指數(shù)冪的意義：任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1，即：a0=1（a≠0）。十一、負指數(shù)冪1、任何不等于零的數(shù)的―p次冪，等于這個數(shù)的p次冪的倒數(shù)，即：注：在同底數(shù)冪的除法、零指數(shù)冪、負指數(shù)冪中底數(shù)不為0。十二、整式的乘法（一）單項式與單項式相乘1、單項式乘法法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式。2、系數(shù)相乘時，注意符號。3、相同字母的冪相乘時，底數(shù)不變，指數(shù)相加。4、對于只在一個單項式中含有的字母，連同它的指數(shù)一起寫在積里，作為積的因式。5、單項式乘以單項式的結(jié)果仍是單項式。6、單項式的乘法法則對于三個或三個以上的單項式相乘同樣適用。（二）單項式與多項式相乘1、單項式與多項式乘法法則：單項式與多項式相乘，就是根據(jù)分配率用單項式去乘多項式中的每一項，再把所得的積相加。即：m(a+b+c)=ma+mb+mc。2、運算時注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號。3、積是一個多項式，其項數(shù)與多項式的項數(shù)相同。4、混合運算中，注意運算順序，結(jié)果有同類項時要合并同類項，從而得到最簡結(jié)果。（三）多項式與多項式相乘1、多項式與多項式乘法法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。2、多項式與多項式相乘，必須做到不重不漏。相乘時，要按一定的順序進行，即一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項。在未合并同類項之前，積的項數(shù)等于兩個多項式項數(shù)的積。3、多項式的每一項都包含它前面的符號，確定積中每一項的符號時應用“同號得正，異號得負”。4、運算結(jié)果中有同類項的要合并同類項。5、對于含有同一個字母的一次項系數(shù)是1的兩個一次二項式相乘時，可以運用下面的公式簡化運算：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab。十三、平方差公式1、（a+b）(a-b)=a2-b2，即：兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方之差。2、平方差公式中的a、b可以是單項式，也可以是多項式。3、平方差公式可以逆用，即：a2-b2=（a+b）(a-b)。4、平方差公式還能簡化兩數(shù)之積的運算，解這類題，首先看兩個數(shù)能否轉(zhuǎn)化成（a+b）?(a-b)的形式，然后看a2與b2是否容易計算。十四、完全平方公式1、即：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍。2、公式中的a，b可以是單項式，也可以是多項式。3、掌握理解完全平方公式的變形公式：（1）（2）（3）4、完全平方式：我們把形如:的二次三項式稱作完全平方式。5、當計算較大數(shù)的平方時，利用完全平方公式可以簡化數(shù)的運算。6、完全平方公式可以逆用，即：十五、整式的除法（一）單項式除以單項式的法則1、單項式除以單項式的法則：一般地，單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式。2、根據(jù)法則可知，單項式相除與單項式相乘計算方法類似，也是分成系數(shù)、相同字母與不相同字母三部分分別進行考慮。（二）多項式除以單項式的法則1、多項式除以單項式的法則：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加。用字母表示為：2、多項式除以單項式，注意多項式各項都包括前面的符號。第六章變量之間的關(guān)系 自變量 變量的概念 因變量 變量之間的關(guān)系 表格法 關(guān)系式法 變量的表達方法 速度時間圖象 圖象法 路程時間圖象一、變量、自變量、因變量1、在某一變化過程中，不斷變化的量叫做變量。2、如果一個變量y隨另一個變量x的變化而變化，則把x叫做自變量，y叫做因變量。3、自變量與因變量的確定：（1）自變量是先發(fā)生變化的量；因變量是后發(fā)生變化的量。（2）自變量是主動發(fā)生變化的量，因變量是隨著自變量的變化而發(fā)生變化的量。（3）利用具體情境來體會兩者的依存關(guān)系。二、表格1、表格是表達、反映數(shù)據(jù)的一種重要形式，從中獲取信息、研究不同量之間的關(guān)系。（1）首先要明確表格中所列的是哪兩個量；（2）分清哪一個量為自變量，哪一個量為因變量；（3）結(jié)合實際情境理解它們之間的關(guān)系。2、繪制表格表示兩個變量之間關(guān)系（1）列表時首先要確定各行、各列的欄目；（2）一般有兩行，第一行表示自變量，第二行表示因變量；（3）寫出欄目名稱，有時還根據(jù)問題內(nèi)容寫上單位；（4）在第一行列出自變量的各個變化取值；第二行對應列出因變量的各個變化取值。（5）一般情況下，自變量的取值從左到右應按由小到大的順序排列，這樣便于反映因變量與自變量之間的關(guān)系。三、關(guān)系式1、用關(guān)系式表示因變量與自變量之間的關(guān)系時，通常是用含有自變量（用字母表示）的代數(shù)式表示因變量（也用字母表示），這樣的數(shù)學式子（等式）叫做關(guān)系式。2、關(guān)系式的寫法不同于方程，必須將因變量單獨寫在等號的左邊。3、求兩個變量之間關(guān)系式的途徑：（1）將自變量和因變量看作兩個未知數(shù)，根據(jù)題意列出關(guān)于未知數(shù)的方程，并最終寫成關(guān)系式的形式。（2）根據(jù)表格中所列的數(shù)據(jù)寫出變量之間的關(guān)系式；（3）根據(jù)實際問題中的基本數(shù)量關(guān)系寫出變量之間的關(guān)系式；（4）根據(jù)圖象寫出與之對應的變量之間的關(guān)系式。4、關(guān)系式的應用：（1）利用關(guān)系式能根據(jù)任何一個自變量的值求出相應的因變量的值；（2）同樣也可以根據(jù)任何一個因變量的值求出相應的自變量的值；（3）根據(jù)關(guān)系式求值的實質(zhì)就是解一元一次方程（求自變量的值）或求代數(shù)式的值（求因變量的值）。四、圖象1、圖象是刻畫變量之間關(guān)系的又一重要方法，其特點是非常直觀、形象。2、圖象能清楚地反映出因變量隨自變量變化而變化的情況。3、用圖象表示變量之間的關(guān)系時，通常用水平方向的數(shù)軸（又稱橫軸）上的點表示自變量，用豎直方向的數(shù)軸（又稱縱軸）上的點表示因變量。4、圖象上的點：（1）對于某個具體圖象上的點，過該點作橫軸的垂線，垂足的數(shù)據(jù)即為該點自變量的取值；（2）過該點作縱軸的垂線，垂足的數(shù)據(jù)即為該點相應因變量的值。（3）由自變量的值求對應的因變量的值時，可在橫軸上找到表示自變量的值的點，過這個點作橫軸的垂線與圖象交于某點，再過交點作縱軸的垂線，縱軸上垂足所表示的數(shù)據(jù)即為因變量的相應值。（4）把以上作垂線的過程過來可由因變量的值求得相應的自變量的值。5、圖象理解（1）理解圖象上某一個點的意義，一要看橫軸、縱軸分別表示哪個變量；（2）看該點所對應的橫軸、縱軸的位置（數(shù)據(jù)）；（3）從圖象上還可以得到隨著自變量的變化，因變量的變化趨勢。五、速度圖象1、弄清哪一條軸（通常是縱軸）表示速度，哪一條軸（通常是橫軸）表示時間；2、準確讀懂不同走向的線所表示的意義：（1）上升的線：從左向右呈上升狀的線，其代表速度增加；（2）水平的線：與水平軸（橫軸）平行的線，其代表勻速行駛或靜止；（3）下降的線：從左向右呈下降狀的線，其代表速度減小。六、路程圖象1、弄清哪一條軸（