電磁場(chǎng)和電磁波第講

電磁場(chǎng)和電磁波第講第1頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2、矢量場(chǎng)的通量

問題：如何定量描述矢量場(chǎng)的大??？引入通量的概念。

通量的概念：其中：——面積元矢量；——面積元的法向單位矢量；——穿過面積元的通量；

如果曲面S是閉合的，則規(guī)定曲面法矢由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場(chǎng)對(duì)閉合曲面的通量是：面積元矢量第2頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月通過閉合曲面有凈的矢量線穿出有凈的矢量線進(jìn)入進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等矢量場(chǎng)通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果

閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場(chǎng)通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源的關(guān)系。通量的物理意義第3頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3、矢量場(chǎng)的散度為了定量研究場(chǎng)與源之間的關(guān)系，需建立場(chǎng)空間任意點(diǎn)（小體積元）的通量源與矢量場(chǎng)（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：稱為矢量場(chǎng)的散度。

散度是矢量通過包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。第4頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系散度的表達(dá)式：散度的有關(guān)公式：第5頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo)

由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為oxy在直角坐標(biāo)系中計(jì)算?·FzzDxDyDP

不失一般性，令包圍P點(diǎn)的微體積

V為一直平行六面體，如圖所示。則第6頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度表達(dá)式為

同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點(diǎn)P穿出該六面體的凈通量為第7頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4、散度定理體積的剖分VS1S2en2en1S從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場(chǎng)的散度的體積分，即散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。第8頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1.6己知矢量場(chǎng)中，有一個(gè)邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度的正六面體，它位于第一象限內(nèi)，其中一個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)。試求從該正六面體穿出的凈通量，并驗(yàn)證散度定理。例1.6己知矢量場(chǎng)中，有一個(gè)邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度的正六面體，它位于第一象限內(nèi)，其中一個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)。試求從該正六面體穿出的凈通量，并驗(yàn)證散度定理。第9頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：先計(jì)算六面體的凈通量，前表面：左側(cè)面：解：先計(jì)算六面體的凈通量，前表面：后表面：第10頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月右側(cè)面：頂面：底面：閉合面總通量：右側(cè)面：頂面：底面：閉合面總通量：第11頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月面積分和體積分結(jié)果相同，從而驗(yàn)證了散度定理。驗(yàn)證通量定理，由于面積分和體積分結(jié)果相同，從而驗(yàn)證了散度定理。第12頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.5矢量場(chǎng)的環(huán)流和旋度

矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋渦源

例如：流速場(chǎng)不是所有的矢量場(chǎng)都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場(chǎng)的力線是閉合的，它對(duì)于任何閉合曲面的通量為零。但在場(chǎng)所定義的空間中沿閉合路徑的積分不為零。第13頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

如磁場(chǎng)沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即：上式建立了磁場(chǎng)的環(huán)流與電流的關(guān)系。

第14頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場(chǎng)為無旋場(chǎng)，又稱為保守場(chǎng)。如果矢量場(chǎng)對(duì)于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場(chǎng)為有旋矢量場(chǎng)，能夠激發(fā)有旋矢量場(chǎng)的源稱為旋渦源。電流是磁場(chǎng)的旋渦源。環(huán)流的概念矢量場(chǎng)對(duì)于閉合曲線C的環(huán)流定義為該矢量對(duì)閉合曲線C的線積分，即第15頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月過點(diǎn)M作一微小曲面

S，它的邊界曲線記為C，曲面的法線方向n與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)

S

0時(shí)，極限稱為矢量場(chǎng)在點(diǎn)M處沿方向n的環(huán)流面密度。

矢量場(chǎng)的環(huán)流給出了矢量場(chǎng)與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源的宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場(chǎng)與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場(chǎng)的旋度。

特點(diǎn)：其值與點(diǎn)M處的方向n有關(guān)。2、矢量場(chǎng)的旋度（）

（1）環(huán)流面密度第16頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月概念：矢量場(chǎng)在M點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點(diǎn)的環(huán)流面密度最大值，其方向?yàn)槿〉铆h(huán)量密度最大值時(shí)面積元的法線方向，即物理意義：旋渦源密度矢量。性質(zhì)：（2）矢量場(chǎng)的旋度第17頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月oyDz

DyCMzx1234計(jì)算的示意圖

直角坐標(biāo)系中旋度的表達(dá)式如圖，作一包圍點(diǎn)的邊長(zhǎng)為和且平行于yz平面的矩形回路。由定義取環(huán)流在x方向的分量旋度一般應(yīng)為空間矢量，為討論簡(jiǎn)單，我們先計(jì)算其沿x方向的分量。第18頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月式中代入第19頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月得到第20頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月同理可得故得于是有第21頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月旋度的計(jì)算公式:直角坐標(biāo)系圓柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系第22頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月旋度的有關(guān)公式：矢量場(chǎng)的旋度的散度恒為零標(biāo)量場(chǎng)的梯度的旋度恒為零第23頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3、Stokes定理Stokes定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系式，在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。曲面的剖分方向相反大小相等結(jié)果抵消

從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場(chǎng)的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即第24頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4、散度和旋度的區(qū)別

第25頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

旋度有一個(gè)重要性質(zhì)：旋度的散度恒為0。即

這在直角坐標(biāo)下很容易證明第26頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1.9在矢量場(chǎng)中，有一個(gè)三角形圍線C位于xy平面上，試計(jì)算環(huán)流，并驗(yàn)證斯托克斯定理。解：先計(jì)算閉合曲線上的積分在上，第27頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第28頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月而結(jié)果與前面相同，從而驗(yàn)證了斯托克斯公式。第29頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1.4.2若某矢量場(chǎng)場(chǎng)中有一半球面S，通過計(jì)算驗(yàn)證斯托克斯公式。解：在球坐標(biāo)內(nèi)，面元矢量為

在直角坐標(biāo)下的旋度為第30頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因此有第31頁(yè)，課件共34頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

另外，在xy平面內(nèi)，閉合路徑為，，因此有環(huán)流第32