電磁場和電磁波第講

電磁場和電磁波第講第1頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月2、矢量場的通量

問題：如何定量描述矢量場的大小？引入通量的概念。

通量的概念：其中：——面積元矢量；——面積元的法向單位矢量；——穿過面積元的通量；

如果曲面S是閉合的，則規(guī)定曲面法矢由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是：面積元矢量第2頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月通過閉合曲面有凈的矢量線穿出有凈的矢量線進入進入與穿出閉合曲面的矢量線相等矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結果

閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關系。通量的物理意義第3頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月3、矢量場的散度為了定量研究場與源之間的關系，需建立場空間任意點（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關系。利用極限方法得到這一關系：稱為矢量場的散度。

散度是矢量通過包含該點的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。第4頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月柱面坐標系球面坐標系直角坐標系散度的表達式：散度的有關公式：第5頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月直角坐標系下散度表達式的推導

由此可知，穿出前、后兩側面的凈通量值為oxy在直角坐標系中計算?·FzzDxDyDP

不失一般性，令包圍P點的微體積

V為一直平行六面體，如圖所示。則第6頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)定義，則得到直角坐標系中的散度表達式為

同理，分析穿出另兩組側面的凈通量，并合成之，即得由點P穿出該六面體的凈通量為第7頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月4、散度定理體積的剖分VS1S2en2en1S從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換關系，在電磁理論中有著廣泛的應用。第8頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.6己知矢量場中，有一個邊長為單位長度的正六面體，它位于第一象限內(nèi)，其中一個頂點在坐標原點。試求從該正六面體穿出的凈通量，并驗證散度定理。例1.6己知矢量場中，有一個邊長為單位長度的正六面體，它位于第一象限內(nèi)，其中一個頂點在坐標原點。試求從該正六面體穿出的凈通量，并驗證散度定理。第9頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月解：先計算六面體的凈通量，前表面：左側面：解：先計算六面體的凈通量，前表面：后表面：第10頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月右側面：頂面：底面：閉合面總通量：右側面：頂面：底面：閉合面總通量：第11頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月面積分和體積分結果相同，從而驗證了散度定理。驗證通量定理，由于面積分和體積分結果相同，從而驗證了散度定理。第12頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月1.5矢量場的環(huán)流和旋度

矢量場的環(huán)流與旋渦源

例如：流速場不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中沿閉合路徑的積分不為零。第13頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月

如磁場沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即：上式建立了磁場的環(huán)流與電流的關系。

第14頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為無旋場，又稱為保守場。如果矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為有旋矢量場，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為旋渦源。電流是磁場的旋渦源。環(huán)流的概念矢量場對于閉合曲線C的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線C的線積分，即第15頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月過點M作一微小曲面

S，它的邊界曲線記為C，曲面的法線方向n與曲線的繞向成右手螺旋法則。當

S

0時，極限稱為矢量場在點M處沿方向n的環(huán)流面密度。

矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源的宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點矢量場與旋渦源的關系，引入矢量場的旋度。

特點：其值與點M處的方向n有關。2、矢量場的旋度（）

（1）環(huán)流面密度第16頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月概念：矢量場在M點處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點的環(huán)流面密度最大值，其方向為取得環(huán)量密度最大值時面積元的法線方向，即物理意義：旋渦源密度矢量。性質(zhì)：（2）矢量場的旋度第17頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月oyDz

DyCMzx1234計算的示意圖

直角坐標系中旋度的表達式如圖，作一包圍點的邊長為和且平行于yz平面的矩形回路。由定義取環(huán)流在x方向的分量旋度一般應為空間矢量，為討論簡單，我們先計算其沿x方向的分量。第18頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月式中代入第19頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月得到第20頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月同理可得故得于是有第21頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月旋度的計算公式:直角坐標系圓柱面坐標系球面坐標系第22頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月旋度的有關公式：矢量場的旋度的散度恒為零標量場的梯度的旋度恒為零第23頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月3、Stokes定理Stokes定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個變換關系式，在電磁理論中有廣泛的應用。曲面的剖分方向相反大小相等結果抵消

從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即第24頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月4、散度和旋度的區(qū)別

第25頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月

旋度有一個重要性質(zhì)：旋度的散度恒為0。即

這在直角坐標下很容易證明第26頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.9在矢量場中，有一個三角形圍線C位于xy平面上，試計算環(huán)流，并驗證斯托克斯定理。解：先計算閉合曲線上的積分在上，第27頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月第28頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月而結果與前面相同，從而驗證了斯托克斯公式。第29頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.4.2若某矢量場場中有一半球面S，通過計算驗證斯托克斯公式。解：在球坐標內(nèi)，面元矢量為

在直角坐標下的旋度為第30頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月因此有第31頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月

另外，在xy平面內(nèi)，閉合路徑為，，因此有環(huán)流第32