《2二次函數(shù)的應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題》教學(xué)

21.4.3二次函數(shù)解決實(shí)際問題義務(wù)教育教科書（滬科）九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)習(xí)導(dǎo)入中國(guó)女排歷經(jīng)12年重獲奧運(yùn)冠軍，作為每一個(gè)中國(guó)人值得為此驕傲！排球運(yùn)動(dòng)中存在著許多與數(shù)學(xué)知識(shí)有關(guān)的實(shí)際問題.那么何時(shí)扣球，才能讓對(duì)方措手不及呢？新知探究利用二次函數(shù)解決運(yùn)動(dòng)中拋物線型問題一新知探究

例1在籃球賽中，姚小鳴跳起投籃，已知球出手時(shí)離地面高米，與籃圈中心的水平距離為8米，當(dāng)球出手后水平距離為4米時(shí)到達(dá)最大高度4米，設(shè)籃球運(yùn)行的軌跡為拋物線，籃圈中心距離地面3米，他能把球投中嗎？3米4米4米xyO新知探究3米4米4米xyABC解：如圖建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，），B點(diǎn)坐標(biāo)是（4，4），C點(diǎn)坐標(biāo)是（8，3）.因此可設(shè)拋物線的表達(dá)式是y=a(x-4)2+4①.把點(diǎn)A(0,)代入①，得解得所以拋物線的表達(dá)式是.當(dāng)x=8時(shí)，則所以此球不能投中.判斷此球能否準(zhǔn)確投中的問題就是判斷代表籃圈的點(diǎn)是否在拋物線上；O新知探究若假設(shè)出手的角度和力度都不變,則如何才能使此球命中?（1）跳得高一點(diǎn)兒；（2）向前平移一點(diǎn)兒.3米8米4米4米xyO新知探究yx（8，3）（4，4）O12345678910642（1）跳得高一點(diǎn)兒；新知探究y（8，3）（4，4）O12345678910642（７，３）

●（2）向前平移一點(diǎn)兒.x新知探究

例2上拋物體在不計(jì)空氣阻力的情況下，有如下表達(dá)式：其中h是物體上升的高度，v0是物體被上拋時(shí)豎直向上的初始速度，g是重力加速度(取g=10m/s2)，

t是物體拋出后經(jīng)過的時(shí)間.

在一次排球比賽中，排球從靠近地面處被墊起時(shí)豎直向上的初始速度為10m/s.(1)問排球上升的最大高度是多少？解：根據(jù)題意，得因?yàn)閽佄锞€開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，5）.即排球上升的最大高度為5m.新知探究(2)已知某運(yùn)動(dòng)員在2.5m高度時(shí)扣球效果最佳，如果她要打快攻，問該運(yùn)動(dòng)員在排球被墊起后多長(zhǎng)時(shí)間扣球最佳？解得排球在上升和下落中，各有一次經(jīng)過2.5m高度，但第一次經(jīng)過時(shí)離排球被墊起僅有0.3s，要打快攻，選擇此時(shí)扣球，可令對(duì)方措手不及，易獲成功.解：當(dāng)h=2.5m時(shí)，得如果來(lái)不及在0.3s扣球，她還可在何時(shí)扣球？1.7s新知探究

例3跳繩時(shí)，繩甩到最高處時(shí)的形狀是拋物線．已知正在甩繩的甲、乙兩名同學(xué)拿繩的手間距AB為6米，手到地面的距離AO和BD均為0.9米，身高為1.4米的小麗站在距點(diǎn)O水平距離為1米的點(diǎn)F處，繩子甩到最高處時(shí)剛好通過她的頭頂點(diǎn)E.以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax2＋bx＋0.9.(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)如果小剛站在OD之間，且離點(diǎn)O的距離為3米，當(dāng)繩子甩到最高處時(shí)恰好通過他的頭頂，請(qǐng)你計(jì)算出小剛的身高；(3)如果身高為1.4米的小麗站在OD之間，且離點(diǎn)O的距離為t米，繩子甩到最高處時(shí)超過她的頭頂，請(qǐng)寫出t的取值范圍．新知探究解析：對(duì)于第(1)問，由題意可知E點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，1.4)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(6，0.9)，將這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y＝ax2＋bx＋0.9，可以求出拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；對(duì)于第(2)問，實(shí)質(zhì)是求當(dāng)x＝3時(shí)的函數(shù)值；對(duì)于第(3)問，結(jié)合圖象并根據(jù)軸對(duì)稱性求t的取值范圍．新知探究解得∴所求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是y＝－0.1x2＋0.6x＋0.9.解：(1)由題意得點(diǎn)E(1，1.4)，B(6，0.9)在拋物線上，將它們代入y＝ax2＋bx＋0.9，得(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；新知探究解：當(dāng)x＝3時(shí)，y＝－0.1×32＋0.6×3＋0.9＝1.8，

∴小剛的身高是1.8米.(2)如果小剛站在OD之間，且離點(diǎn)O的距離為3米，當(dāng)繩子甩到最高處時(shí)恰好通過他的頭頂，請(qǐng)你計(jì)算出小剛的身高；新知探究解：由拋物線的軸對(duì)稱性可知1<t<5.(3)如果身高為1.4米的小麗站在OD之間，且離點(diǎn)O的距離為t米，繩子甩到最高處時(shí)超過他的頭頂，請(qǐng)寫出t的取值范圍．新知探究2.根據(jù)建立好的坐標(biāo)系求出該函數(shù)的表達(dá)式；3.在實(shí)際問題中要注意自變量的取值范圍內(nèi).1.首先要建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；求解運(yùn)動(dòng)中的拋物線問題一般步驟新知探究

例4行駛中的汽車，在制動(dòng)后由于慣性，還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止，這段距離稱為“制動(dòng)距離”.為了了解某型號(hào)汽車的制動(dòng)性能，對(duì)其進(jìn)行了測(cè)試，測(cè)得數(shù)據(jù)如下表：建立二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題二制動(dòng)時(shí)車速/km?h-101020304050制動(dòng)距離/m00.31.02.13.65.5

有一輛該型號(hào)汽車在公路上發(fā)生了交通事故，現(xiàn)場(chǎng)測(cè)得制動(dòng)距離為46.5m，試問交通事故發(fā)生時(shí)車速是多少？是否因超速（該段公路限速為110km/m）行駛導(dǎo)致了交通事故？新知探究【分析】要解答這個(gè)問題，就是要解決在知道了制動(dòng)距離時(shí)，如何求得相應(yīng)的制動(dòng)時(shí)車速.題中給出了幾組制動(dòng)距離與制動(dòng)時(shí)車速之間的關(guān)聯(lián)數(shù)據(jù)，為此，求出制動(dòng)距離與制動(dòng)時(shí)車速的函數(shù)表達(dá)式是解答本題的關(guān)鍵.解：以制動(dòng)時(shí)車速的數(shù)據(jù)為橫坐標(biāo)（x值）、制動(dòng)距離的數(shù)據(jù)為縱坐標(biāo)（y值），在平面直角坐標(biāo)系中，描出各組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，如圖.10O369xy50403020新知探究

觀察圖中描出的這些點(diǎn)的整體分布，它們基本上是在一條拋物線附近，因此，y（制動(dòng)距離）與x（制動(dòng)時(shí)車速）之間的關(guān)系可以近似地以二次函數(shù)來(lái)模擬，即設(shè)

y=ax2+bx+c10O369xy50403020

任選三組數(shù)據(jù)，如?。?,0），（10,0.3），（20,1）代入函數(shù)表達(dá)式，得解得即所求二次函數(shù)表達(dá)式為y=0.002x2+0.01x（x≥0）.新知探究

把y=46.5m代入上式，得答：制動(dòng)時(shí)車速為150km/h(＞110km/h)，即在事故發(fā)生時(shí)，該汽車屬超速行駛.解得

46.5=0.002x2+0.01xx1=150（km/h）,x2=-155（km/h）(舍去）.新知探究

對(duì)于二次函數(shù)不明確的兩個(gè)變量，通常采用取一組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)，在坐標(biāo)系中作圖并觀察點(diǎn)的整體分布，來(lái)確定函數(shù)類型，再用待定系數(shù)法求相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

例5某果園有100棵橙子樹,每一棵樹平均結(jié)600個(gè)橙子.現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些橙子樹以提高產(chǎn)量,但是如果多種樹,那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽(yáng)光就會(huì)減少.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì),每多種一棵樹,平均每棵樹就會(huì)少結(jié)5個(gè)橙子.(1)問題中有哪些變量？其中哪些是自變量？哪些是因變量？(2)假設(shè)果園增種x棵橙子樹,那么果園共有多少棵橙子樹？這時(shí)平均每棵樹結(jié)多少個(gè)橙子？(3)如果果園橙子的總產(chǎn)量為y個(gè),那么請(qǐng)你寫出y與x之間的關(guān)系式.新知探究何時(shí)橙子總產(chǎn)量最大?果園共有（100+x）棵樹,平均每棵樹結(jié)（600-5x）個(gè)橙子,因此果園橙子的總產(chǎn)量你能根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)作出猜測(cè)嗎？y=(100+x)(600-5x)=-5x2+100x+60000.在上述問題中,增種多少棵橙子樹,可以使果園橙子的總產(chǎn)量最多？x/棵1234567891011121314y/個(gè)6009560180602256032060375604206045560480604956050060320604956045560420新知探究何時(shí)橙子總產(chǎn)量最大1.利用函數(shù)表達(dá)式描述橙子的總產(chǎn)量與增種橙子樹的棵數(shù)之間的關(guān)系.2.增種多少棵橙子,可以使橙子的總產(chǎn)量在60400個(gè)以上?(x為正整數(shù)）新知探究新知探究解函數(shù)應(yīng)用題的步驟:設(shè)未知數(shù)(確定自變量和函數(shù));找等量關(guān)系,列出函數(shù)表達(dá)式;化簡(jiǎn),整理成標(biāo)準(zhǔn)形式(一次函數(shù)、二次函數(shù)等);求自變量取值范圍；利用函數(shù)知識(shí)，求解（通常是最值問題）；寫出結(jié)論.隨堂小測(cè)1.足球被從地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t來(lái)表示，其中t(s)表示足球被踢出后經(jīng)過的時(shí)間，則球在

s后落地.42.如圖，小李推鉛球，如果鉛球運(yùn)行時(shí)離地面的高度y(米）關(guān)于水平距離x(米）的函數(shù)表達(dá)式為，那么鉛球運(yùn)動(dòng)過程中最高點(diǎn)離地面的距離為

米.xyO2隨堂小測(cè)3.

某化工材料經(jīng)銷公司購(gòu)進(jìn)了一種化工原料共7000千克，購(gòu)進(jìn)價(jià)格為每千克30元.物價(jià)部門規(guī)定其銷售單價(jià)不得高于每千克70元，也不得低于30元.市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：?jiǎn)蝺r(jià)定為70元時(shí)，日均銷售60千克；單價(jià)每降低1元，日均多售出2千克.在銷售過程中，每天還要支出其它費(fèi)用500元（天數(shù)不足一天時(shí)，按整天計(jì)算）.設(shè)銷售單價(jià)為x元，日均獲利為y元.（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并注明x的取值范圍；（2）將上面所求出的函數(shù)配方成頂點(diǎn)式，寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)，并指出單價(jià)定為多少元時(shí)日均獲利最多，最多是多少？【分析】（1）日利潤(rùn)=每千克的利潤(rùn)×日銷售量﹣雜支，根據(jù)物價(jià)部門規(guī)定，x的取值范圍是30≤x≤70；（2）用配方法變形，根據(jù)頂點(diǎn)的性質(zhì)畫草圖解答．解：（1）y=（x﹣30）【60+2（70﹣x）】﹣500=﹣2x2+260x﹣6500（30≤x≤70）；（2）y=﹣