《1三角形中幾條重要線段》教學(xué)

13.1.3三角形中幾條重要線段義務(wù)教育教科書（滬科）八年級數(shù)學(xué)上冊新課引入

定義

圖示垂線線段中點角平分線OBAAB當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線把一條線段分成兩條相等的線段的點一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線新知探究這里有一塊三角形的蛋糕，如果兄弟兩個想要平分的話，你該怎么辦呢？新知探究問題1

如圖，若BD是∠ABC的平分線，你能得到什么結(jié)論？ADCB∠ABD=∠DBC

問題2

如圖，若BD是△ABC的角平分線，你能得到什么結(jié)論？ABCD想一想：三角形的角平分線與角的角平分線相同嗎?相同點是∠

ABD=∠DBC;不同點是前者是線段，后者是射線.∠ABD=∠DBC新知探究問題4：請畫出這個三角形的另外兩條角平分線,你發(fā)現(xiàn)了什么？三條角平分線交于一點．ABCDEF問題3：一個三角形有幾條角平分線？3新知探究思考：觀察直角三角形、鈍角三角形的三條角平分線，你又有什么發(fā)現(xiàn)？三角形的三條角平分線交于一點．稱之為三角形的內(nèi)心．（后面學(xué)到）新知探究例1：如圖，DC平分∠ACB，DE∥BC,∠AED=80°，求∠ECD的度數(shù).解：∵DC平分∠ACB,又DE∥BC,∴∠AED=∠ACB=80°.∴∠ECD=40°.∴∠ECD=∠BCD=∠ACB.新知探究問題1

如圖，如果點C是線段AB的中點，你能得到什么結(jié)論？ACBAC=BC=AB問題2

如圖，如果點D是線段BC的中點，那么線段AD稱為△ABC的什么呢？類比一下.ABCD新知探究BCA三角形的中線∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD=BC.

在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做這個三角形的中線.DA新知探究

畫一畫：如圖，分別畫出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條中線，并觀察它們中線的交點有什么規(guī)律？畫圖發(fā)現(xiàn)三角形的三條中線交于三角形內(nèi)部一點.這一點我們稱為三角形的重心.ABCABCABCDEFDDEFEFOOO新知探究例2如圖，CD為△ABC的邊AB上的中線，△BCD的周長比△ACD的周長大3cm，BC=8cm，求邊AC的長．解：∵CD為△ABC的邊AB上的中線，∴AD=BD，∵△BCD的周長比△ACD的周長大3cm，∴（BC+BD+CD）-（AC+AD+CD）=3，∴BC-AC=3，∵BC=8，∴AC=5．方法總結(jié)：一邊上的中線把原三角形分成兩個三角形，這兩個三角形的周長差等于原三角形其余兩邊的差,新知探究【變式題】

在△ABC中，AB=AC，DB為△ABC的中線，且BD將△ABC的周長分為12cm與15cm兩部分，求三角形各邊長．

解：如圖，∵DB為△ABC的中線，∴AD=CD，設(shè)AD=CD=x，則AB=2x，當(dāng)x+2x=12時，解得x=4.BC+x=15，得BC=11.此時△ABC的三邊長為AB=AC=8，BC=11；當(dāng)x+2x=15時，BC+x=12，解得x=5，BC=7，此時△ABC的三邊長為AB=AC=10，BC=7．注意分類討論新知探究問題1什么是三角形的高？怎樣畫三角形的高？定義

如圖，從△ABC的頂點A向它所對的邊BC所在直線畫垂線，垂足為D,所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的高.問題2由三角形的高你能得到什么結(jié)論？∠ADB=∠ADC=90°ABCD垂足注意:標(biāo)明垂直的記號和垂足的字母.新知探究高的敘述方法（如圖）：有三種.②AD⊥BC,垂足為D.③點D在BC上，且∠BDA=∠CDA=90°.①AD是△ABC的高.ABCD新知探究銳角三角形的三條高問題1每人畫一個銳角三角形.(1)你能畫出這個三角形的三條高嗎?(2)這三條高之間有怎樣的位置關(guān)系？O問題2

銳角三角形的三條高是在三角形的內(nèi)部還是外部?ABCDEF銳角三角形的三條高交于同一點.銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部.新知探究直角三角形的三條高問題：在紙上畫出一個直角三角形.ABC(1)畫出直角三角形的三條高.直角邊BC邊上的高是______;

AB直角邊AB邊上的高是

;CB(2)它們有怎樣的位置關(guān)系？D斜邊AC邊上的高是_______.

BD●直角三角形的三條高交于直角頂點.新知探究ABCDEF鈍角三角形的三條高問題：(1)鈍角三角形的三條高交于一點嗎？(2)它們所在的直線交于一點嗎？O鈍角三角形的三條高不相交于一點鈍角三角形的三條高所在直線交于一點新知探究三角形的三條高的特性高所在的直線是否相交高之間是否相交高在三角形內(nèi)部的數(shù)量鈍角三角形直角三角形銳角三角形311相交相交不相交相交相交相交三條高所在直線的交點的位置三角形內(nèi)部直角頂點三角形外部歸納總結(jié)新知探究【方法總結(jié)】若涉及兩條高求長度，一般需結(jié)合面積(但不求出面積)，利用三角形面積的兩種不同表示方法列等式求解.例3：如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于點D，且AD＝4，若點P在邊AC上移動，求BP的最小值.解：根據(jù)垂線段最短，可知當(dāng)BP⊥AC時，BP有最小值．由△ABC的面積公式可知,AD·BC＝

BP·AC.代入數(shù)值，可解得BP＝.新知探究問題1

如圖所示，在△ABC中，AD是△ABC的中線，AE是△ABC的高．試判斷△ABD和△ACD的面積有什么關(guān)系？為什么？BCDEA相等，因為兩個三角形等底同高，所以它們面積相等.問題2

通過問題1你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？三角形的中線能將三角形的面積平分.新知探究例4：如圖，在△ABC中，E是BC邊上一點，EC＝2BE，點D是AC的中點，設(shè)△ABC，△ADF和△BEF的面積分別為S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，即S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.解：∵點D是AC的中點，∴AD＝

AC.∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝

S△ABC＝6.∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝

S△ABC＝4.【方法總結(jié)】三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分；高相等時，面積的比等于底邊的比；底相等時，面積的比等于高的比．新知探究定義觀察下列語句：1.無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù)；2.兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形；3.三角形中，一個角的平分線與這個角對邊相交，頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線.像這樣能明確界定某個對象含義的語句叫做定義．請你舉出所熟知的一些定義例子.新知探究例如:1.“具有中華人民共和國國籍的人,叫做中華人民共和國公民”是“中華人民共和國公民”的定義;2.“兩點之間線段的長度,叫做這兩點之間的距離”是“兩點之間的距離”的定義;3.“在一個方程中,只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的指數(shù)是1,這樣的方程叫做一元一次方程”是“一元一次方程”的定義.課堂小測2.如果一個三角形的三條高的交點恰是三角形的一個頂點，那么這個三角形是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.銳角三角形1.下列各組圖形中，哪一組圖形中AD是△ABC的高()ADCBABCDABCDABCDABCDBD課堂小測3.如圖,在△ABC中,∠1=∠2,G為AD中點,延長BG交AC于E,F為AB上一點,CF⊥AD于H,判斷下列說法的正誤.⌒⌒ABCDE12FGH①AD是△ABE的角平分線()②BE是△ABD邊AD上的中線()③BE是△ABC邊AC上的中線()④CH是△ACD邊AD上的高()×××√課堂小測

4.

如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，若△ABC的周長為35cm，BC=11cm，且△ABD與△ACD的周長之差為3cm，求AB與AC的長.ACDB解：∵AD是△ABC的中線，∴CD=BD.∵△ABC的周長為35cm，BC=11cm，∴AC+AB=35-11=24（cm）.又∵△ABD與△ACD的周長之差為3cm,∴AB-AC=3，∴AB=13.5cm,AC=10.5cm.5.

如圖，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分線，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小.解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°.∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°，∴∠DAC=180°－(