2021-2022學(xué)年數(shù)學(xué)北師大版必修一練習(xí)：二十七實際問題的函數(shù)建模

二十七實際問題的函數(shù)建模

【基礎(chǔ)全面練】(15分鐘30分)

1.某種動物繁殖數(shù)量y(只)與時間x(年)的關(guān)系為y=alog2(x+1),設(shè)

這種動物第一年有100只,到第7年它們發(fā)展到()

A.300只B.400只C.500只D.600只

選A.由題意得100=alog2(l+1),所以a=100,所以y=1001og2(x+

1).當(dāng)x=7時，y=1001og2(7+1)=300.

2.據(jù)調(diào)查，某自行車存車處在某星期日的存車量為2000輛次，其

中變速車存車費(fèi)是每輛每次0.8元，普通車存車費(fèi)是每輛每次0.5元,

若普通車存車數(shù)為x輛次，存車費(fèi)總收入為y元，則y關(guān)于x的函數(shù)

關(guān)系式是()

A.y=0.3x+800(0<x<2000)

B.y=0.3x+1600(0<x<2000)

C.y=-0.3x+800(0<x<2000)

D.y=-0.3x+1600(0<x<2000)

選D.由題意知，變速車存車數(shù)為(2000-x)輛次，則總收入y=0.5x

+

（2000-x）x0.8=-0.3x+1600（0<x<2000）.

3.在某個物理實驗中，測得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如表：

X0.500.992.013.98

y-0.990.010.982.00

則對x,y最適合的擬合函數(shù)是（）

A.y=2xB.y=x2-1

C.y=2x-2D.y=log2X

選D.根據(jù)x=0.50,y=-0.99，代入計算，可以排除A；根據(jù)x=2.01,

y=0.98，代入計算，可以排除B,C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y=log2x,

可知滿足題意.

4.候鳥每年都要隨季節(jié)的變化進(jìn)行大規(guī)模的遷徙.研究某種鳥類的

專家發(fā)現(xiàn)，該種鳥類的飛行速度v（單位：m/s）與其耗氧量Q之間的關(guān)

系為v=a+log2M（其中a是實數(shù)）據(jù)統(tǒng)計該種鳥類在靜止的時候其

耗氧量為20個單位，若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2

m/s,其耗氧量至少需要_______個單位.

由題意a+log2^Q=0,a=-1,

即v=-1+log2M,

由-1+log2^>2,解得Q>80.

答案：80

5.為弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化，學(xué)校課外閱讀興趣小組進(jìn)行每日一小時的

“經(jīng)典名著”和“古詩詞”的閱讀活動.根據(jù)調(diào)查，小明同學(xué)閱讀兩類讀物

的閱讀量統(tǒng)計如下：

小明閱讀“經(jīng)典名著”的閱讀量f(t)(單位：字)與時間t(單位：分鐘)滿

足二次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示.

t0102030

f(t)0270052007500

閱讀“古詩詞”的閱讀量g(t)(單位：字)與時間t(單位：分鐘)滿足如圖

所示的關(guān)系.

⑴請分別寫出函數(shù)f(。和g(。的解+析式；

⑵在每天的一小時課外閱讀活動中，小明如何分配“經(jīng)典名著”和“古

詩詞”的閱讀時間，使每天的閱讀量最大，最大值是多少？

(1)因為f(0)=0,

所以可設(shè)f(t)=at2+bt,

代入(10,2700)與(30,7500),

解得a=-1,b=280.

所以f(。=-t2+280t,

又令g(t)-kt,(0<t<40),

代入(40,8000),解得k=200,令g(t)=mt+n(40<t<60)，代入(40,

8000),(60,11000),

解得m=150,n=2000,

[200t(0<t<40),

所以虱t)=

[150t+2000z(40<t<60).

⑵設(shè)h⑴為小明的總閱讀量，小明對“經(jīng)典名著”的閱讀時間為

t(0<t<60),則對“古詩詞”的閱讀時間為60-t,

當(dāng)0<60-t<40,即20<t<60時,h(t)=f(t)+g(t)=-t2+280t+

200(60-t)

=-t2+80t+12000=-(t-40)2+13600,

所以當(dāng)t=40時，h(t)有最大值13600.

當(dāng)40<60-t<60,即0<t<20時,h(t)=f(t)+g(t)=-t2+280t+

150(60-t)+2000=-t2+130t+11000,因為h(t)的對稱軸方程為

t=65,所以當(dāng)0<t<20時，h(t)是增加的，

所以當(dāng)t=20時，h(t)有最大值為13200.

因為13600>13200,所以總閱讀量h(t)的最大值為13600,此時對

“經(jīng)典名著”的閱讀時間為40分鐘對，古詩詞的閱讀時間為20分鐘.

【綜合突破練】（30分鐘60分）

一、選擇題（每小題5分，共25分）

1.一種藥在病人血液中的含量保持1500mg以上才有效，而低于500

mg病人就有危險.現(xiàn)給某病人注射了這種藥2500mg,如果藥在血

液中以每小時20%的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價值，那么

從現(xiàn)在起經(jīng)過_______小時向病人的血液補(bǔ)充這種藥，才能保持療

效.（附：1g2=0.301,1g3=0.4771,答案采取四舍五入精確到0.1

h）（）

A.2.3小時B.3.5小時

C.5.6小時D.8.8小時

選A.設(shè)從現(xiàn)在起經(jīng)過x小時向病人的血液補(bǔ)充這種藥，才能保持療

效.

則2500x0.8x=1500,08=0.6,lg0.8x=lg0.6,x1g0.8=1g0.6,

.6

lg0.6喧10lg2+lg3-1

=

x=]g0.8-8：3lg2-l

lg10

0.301+0.4771-1

二---------------七23

3x0.301-1…

2.已知A,B兩地相距150千米，某人開汽車以60千米/小時的速

度從A地到達(dá)B地，在B地停留1小時后再以50千米/小時的速度

返回A地，把汽車離開A地的距離x表示為時間t的函數(shù)，解+析式

是（；）

A.x=60t

B.x=60t+50t

60t,0<t<2.5,

C.x=S150,2.5<t<3.5,

J50-50(t-3.5),3.5<t<6.5.

[60t,0<t<2.5,

D.x=，

1150-50t,t>3.5.

選C.應(yīng)分三段建立函數(shù)關(guān)系，當(dāng)0<t<2.5時，x=60t；當(dāng)2.5<t<3.5時,

汽車與A地的距離不變是150；當(dāng)3.5〈區(qū)6.5時，x=150-50（t-3.5）.

3.今有一組試驗數(shù)據(jù)如表所示：

t1.993.04.05.16.12

U1.54.047.51218.01

則能體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是（）

A.u=log2tB.u=2*-2

t2-1

C.u=~D.u=2t-2

【解題指南】可以先根據(jù)表中數(shù)據(jù)建立平面直角坐標(biāo)系，并描出各點(diǎn),

并利用數(shù)據(jù)點(diǎn)直觀地認(rèn)識變量間的關(guān)系，選擇合適的函數(shù)模型來刻畫

它.

選c根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫出函數(shù)圖像如圖所示，由圖可知，圖像不是直

線上的點(diǎn)，排除D；圖像不符合對數(shù)函數(shù)的圖像特征，排除A；當(dāng)t

t2-132-1

=3時，2,-2=23-2=6,~Y~--2-=4,由表格知當(dāng)t=3時，

t2-1

u=4.04,模型u=丁能較好地體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關(guān)系.

20---------------------------------------------；-------------

15'I

10-1

5].

?246

4.某企業(yè)2018年全年投入研發(fā)資金150萬元，為激勵創(chuàng)新，該企業(yè)

計劃今后每年投入的研發(fā)資金比上年增長8%,則該企業(yè)全年投入的

研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是（）

（參考數(shù)據(jù)：1g1.08-0.033,1g2-0.301,1g3-0.477）

A.2020B.2021C.2022D.2023

選C.設(shè)該企業(yè)全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份為n，則

21g2-lg3

150x(1+8%)n-2018>200,貝!]n>2018+??m-2018+

1g1.VO

0.602-0.477

—萬麗--2021.8,取n=2022.

【誤區(qū)警示】取對數(shù)的時候運(yùn)算易出錯.

5.某城市對一種售價為每件160元的電子產(chǎn)品征收附加稅，稅率為

R%（即每銷售100元征稅R元），若年銷售量為130-（R）萬件，要使

附加稅不少于128萬元，則R的取值范圍是（）

A.[4,8]B.[6,10]

C.[4%,8%]D.[6%,10%]

選A.根據(jù)題意，要使附加稅不少于128萬元,需（30-到

X160XR%>128,

整理得R2-12R+32<0,解得4<R<8,因此，實數(shù)R的取值范圍是

[4,8].

【光速解題】選A.代入選項檢驗比較簡便.

二、填空題（每小題5分，共15分）

6.某學(xué)校開展研究性學(xué)習(xí)活動，一組同學(xué)獲得了下面的一組試驗數(shù)

據(jù)：

X1.99345.18

y0.991.582.012.353.00

現(xiàn)有如下5個模擬函數(shù)：(Dy=0.58x-0.16；(2)y=2X-3.02；(3)y=x2

-5.5x+8；④y=log2X；⑤y=+1.74

請從中選擇一個模擬函數(shù)，使它能近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，應(yīng)選

________（填序號）.

畫出散點(diǎn)圖如圖所示.

4-

3-?

2-?*

*

1-?

~O-12345678~

由圖可知上述點(diǎn)大體在函數(shù)y=log2x的圖像上，故選擇y=Iog2x可

以近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律.

答案：④

7.在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度v（米/秒）和燃料的

質(zhì)量M（千克）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量m（千克）的函數(shù)關(guān)系式是v=2

000.In（1+黑?當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的倍時，火箭的最大

速度可達(dá)12千米/秒.

由題意可得12000=2OOOln11+知，

In（1+制=6,解得1+黑=e6,

所以葛=e6-1.

答案：e6-1

【易錯警示】本題易錯點(diǎn)在沒有注意單位，函數(shù)關(guān)系式中速度v的單

位是（米/秒），問題當(dāng)中的單位是火箭的最大速度可達(dá)12千米/秒，所

以需要統(tǒng)一單位為（米/秒），再利用對數(shù)式與指數(shù)式互化.

8.一個駕駛員喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3

mg/mL,在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時25%的速度減

少.為了保障交通安全，規(guī)定駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09

mg/mL,那么這個駕駛員至少要經(jīng)過_____小時才能開車.（精確到1

小時,參考數(shù)據(jù)炫2-0.30,1g3-0.48）.

設(shè)經(jīng)過n小時才能開車，

由題意得0.3（1-0.25）咚0.09,

所以用咚0.3,所以nig|<lg1<0,

lg3-113

所以它二;二，即n*,

1g3-21g23

故至少經(jīng)過5小時才能開車.

答案：5

三、解答題（每小題10分，共20分）

9.某種商品的銷售價格會因諸多因素而上下浮動，經(jīng)過調(diào)研得知：

2019年9月份第x（l<x<30,x￡N+）天的單件銷售價格（單位：元）f（x）

20+x,l<x<15,

第x天的銷售量(單位：件)g(x)=m-x(m為

50-x,15<x<30,

常數(shù)），且第20天該商品的銷售收入為600元（銷售收入=銷售價格x

銷售量）.

⑴求m的值.

⑵該月第幾天的銷售收入最高？最高為多少？

20+x,l<x<15,

⑴銷售價格f(x)=<

50-x,15<x<30,

第X天的銷售量(單位：件)g(x)=m-x(m為常數(shù)),

當(dāng)x=20時,

由f(20)-g(20)=(50-20)(m-20)=600,

解得m=4