2021屆超級全能生高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷(文科)(5月份)(丙卷)附答案解析

2021屆超級全能生高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（文科）（5月份）（丙卷）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.已知集合4=[x\x2-x-2<0,xeZ),集合B={0,2,4}，則AUB等于（）

A.{-1,0,1,2,4}B.{-1,0,2,4}C.[0,2,4)D.[0,1,2,4)

2.期署國;=（)

A.-8B.8C.D.

3

3.已知a=3°i,b=(0.9),c=log20.2,則（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b

4.

，公

圖⑤

c.圖④和圖⑤是圓臺D.圖⑤是圓臺

5.函數(shù)/（x）=在在x=e處的切線斜率為（)

1

A.eB.；C.-eD.

e

6.在△48C中，角4B,C成等差數(shù)列且b=迎，則△ABC的外接圓面積為（)

A.4TTB.27rC.37rD.71

7.從集合?b｝的子集中任取1個集合，則這個集合只含有1個元素的概率是（)

B，Dl

8.己知向量N=（l,n）石=（-l,n）,2方一B與方垂直，|初

A.1B.2C.3D.4E.5

F.6

9.已知雙曲線C：W=i（a>0,b>0）的一條漸近線方程為y=fX，且與橢圓］+?=1有公

共焦點(diǎn)，則雙曲線C的方程為（）

10,若函數(shù)y=sin(<wx+0)(3>0)的部分圖象如圖，則3=()

A.5

B.4

C.3

D.2

11.長方體-中，AB=2,441=2H，AD=3,則長方體ABC。一人1斗弓心的外

接球的直徑為()

A.2B.3C.4D.5

12.已知中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓G與雙曲線C2有共同的焦點(diǎn)，設(shè)左右焦點(diǎn)分別為Fi，F(xiàn)2,

p是G與在第一象限的交點(diǎn)，感P&F2是以P0為底邊的等腰三角形，若橢圓與雙曲線的離心

率分別為ere2,則ei”2的取值范圍是()

"111

A.(-,+喻B.(-,+喇C.(-,+解)D.(0,+喻

螂您翼

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

fx—y>—1

13.在平面直角坐標(biāo)系下，若x,y滿足約束條件2x+yS4,則其可行域的面積為____.

(y>0

14.某校高三文科學(xué)生的一次數(shù)學(xué)周考成績繪制了如右圖的頻率分布直方圖，其中成績在［40,70］內(nèi)

的學(xué)生有120人，則該校高三文科學(xué)生共有人.

15.已知鈍角a滿足Vasina-cosa=&則tan(a-7)=____.

5o

16.已知函數(shù)/'(%)是R上的偶函數(shù),且/'(x+6)=f(x),當(dāng)(-3,0)時,/(x)=2x-5,則

/(2018)=.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列,數(shù)列｛3｝是公比大于零的等比數(shù)列，且的=4=2,a3=b3=8

(1)求數(shù)列｛aj和出正的通項公式

(2)求｛頷匕｝前n項和％

（3）記。=而R，求｛。｝的前n項和

18.某地4個蔬菜大棚頂部，陽光照在一棵棵蔬菜上,這些采用水培、無土栽培方式種植的各類蔬菜,

成為該地區(qū)居民爭相購買的對象，過去50周的資料顯示，該地周光照量X（小時）都在30以上，

其中不足50的周數(shù)大約5周，不低于50且不超過70的周數(shù)大約有35周，超過70的大約有10周,

根據(jù)統(tǒng)計某種改良黃瓜每個蔬菜大棚增加量y（百斤）與每個蔬菜大棚使用農(nóng)夫1號液體肥料x（千

克）之間對應(yīng)數(shù)據(jù)為如圖所示的折線圖.

（1）依據(jù)數(shù)據(jù)的折線圖，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程夕=￡%+創(chuàng)并根據(jù)所求線性回歸

方程，估計如果每個蔬菜大棚使用農(nóng)夫1號肥料10千克，則這種改良黃瓜每個蔬菜大鵬增加量y

是多少斤？

（2）因蔬菜大棚對光照要求較大，某光照控制儀商家為應(yīng)對惡劣天氣對光照的影響，為該基地提供了

部分光照控制儀，該商家希望安裝的光照控制儀盡可能運(yùn)行，但每周光照控制儀最多可運(yùn)行臺

數(shù)受周光照量X限制，并有如下關(guān)系:

周光照量X（單位：小時）30<X<5050<X<70X>70

光照控制儀最多可運(yùn)行臺數(shù)321

若某臺光照控制儀運(yùn)行，則該臺光照儀周利潤為4000元；若某臺光照儀未運(yùn)行，則該臺光照儀

周虧損500元，欲使商家周總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝光照控制儀多少臺？

附:回歸方程系數(shù)公式:_Y,"=iXiy-nxy?-

一工匕x?nG)2'a=y-bx-

》（百斤）

ik

19.如圖，四棱錐P-ABCD^P，AB//CD,AB1BC,AB=2,PA=2CD=

2BC=2,PB=2V2.PD=y/6,E為PD上一點(diǎn).

(I)求證：PAL^ABCD；

(口)若三棱錐E—4CD的體積為g求點(diǎn)E到平面P4B的距離.

O

20.已知函數(shù)f(x)=e*-2ax-a,g(x)=Inx.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)用max{7n,n}表示zn,n中的最大值，若函數(shù)九(久)=max{/'(x),g(x)}(x>0)只有一個零點(diǎn)，求a的

取值范圍.

21.設(shè)雙曲線M的方程為互一嚴(yán)=1.

(1)求M的實(shí)軸長、虛軸長及焦距；

(2)若拋物線N：y2=2Pxe>0)的焦點(diǎn)為雙曲線M的右頂點(diǎn)，且直線x=m(m>0)與拋物線N交于

A、B兩點(diǎn)，若。41OB(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，求m的值.

22.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極

坐標(biāo)方程為P=2sin9,6G[0,.

(1)求C的參數(shù)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)。在C上，C在。處的切線與直線2；式-6y-2=0垂直，根據(jù)(1)中的參數(shù)方程，確定點(diǎn)。的

坐標(biāo).

23.已知/'(%)=/+kx+5,g(x)=4x,設(shè)當(dāng)為W1時，函數(shù)y=4*-2*+I+2的值域為。，且當(dāng)

%€。時，恒有/(乃士9(為，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

參考答案及解析

1.答案：A

解析：解:集合、={%|%2—x-2W0,xWZ}={-1,0,1,2},

集合B={0,2,4},

則4(JB={-1,0,1,2.4).

故選：A.

求出集合4然后利用并集的求法，求解即可.

本題考查并集的定義以及求解，基本知識的考查.

2.答案：A

解析：@帶序；=3■然展年版展y帶w=—班故選A.

【考點(diǎn)定位】復(fù)數(shù)運(yùn)算

3.答案：C

解析：

本題考查三個數(shù)比較大小的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的合理運(yùn)用.

利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.

解：301>3O=1,?1.a>1,

0<(0.9)3<1,：.0<b<l,

"log20.2<log2l=0,c<0,

■■c<b<a,

故選：C.

4答案:D

解析：

本題考查圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)特征，是基礎(chǔ)題.

利用圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)特征直接求解.

解：???圖①的上下底面不平行，

???圖①不是圓柱，故A錯誤；

???圖②和圖③的母線長不相等，

二圖②和圖③不是圓錐，故3錯誤；

???圖④的上下底面不平行，

???圖④不是圓臺，故C錯誤：

???圖⑤的上下底面平行，且母線延長后交于一點(diǎn),

???圖⑤是圓臺，故。正確.

故選：D.

5.答案：D

解析：解：根據(jù)題意，/(x)=T2-,則/'(%)=-一9,

則有f'(e)=-；,即函數(shù)/(x)=今在x=e處的切線斜率為一?

故選：D.

根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而求出/'(e)的值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析可得答案.

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，涉及導(dǎo)數(shù)的計算，屬于基礎(chǔ)題.

6.答案：D

解析：

本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、正弦定理、外接圓的面積，屬于基礎(chǔ)題.

由角4,B,C成等差數(shù)列結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，解得B,設(shè)AABC的外接圓的半徑為R,再利用

正弦定理即可得解.

解：在A4BC中，角4,B,C成等差數(shù)列，

2B-A+C=71-B,解得B=p

設(shè)4ABC的外接圓的半徑為R,

???2R=白=粵=2,即R=l,

sinBsin3-

則4ABC的外接圓面積S=ITR2=n.

故選D

7.答案：C

解析：解：集合｛a,b｝的子集有。，｛a｝,｛b｝,｛a,b｝共4種情況，

集合只含有1個元素的有｛研，8｝2種情況，故概率P=1.

故選：C.

先列舉出集合｛a,b｝的所有情況，然后找出符合要求的集合個數(shù)，根據(jù)古典概率求解公式可求.

本題主要考查了古典概率的求解公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題.

8.答案：B

解析：本題考查向量垂直的等價條件，由向量垂直，可知數(shù)量積為0,即可求出n的值，再利用向量

的模的公式即可.

解：??響量方=(l,n)石=(T,n)，2五-方與石垂直，

???(2a-b)-Z?=0>

???(3,n)?(―l,n)=-3+n2=0,

:，n2=3,

???|a|=V1+n2=2，

故答案為B.

9.答案：B

解析：

本題考查雙曲線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.

求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用雙曲線的漸近線方程，即可得出結(jié)果.

解：橢圓［+?=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±3,0),

則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±3,0),可得c=3,

雙曲線C：5—'=19>0/>0)的一條漸近線方程為丁=梟，

可得2=更，即咚=三，

a2a24

可得:=|，解得a=2,

則b=Vc2—a2=V5>

故雙曲線C的方程為蘭-廿=1.

45

故選艮

10.答案：B

解析：設(shè)函數(shù)的最小正周期為T,由函數(shù)圖象可知也=1.跖年;'，所以7=又因為7=吧,

誓\4/qS解；

可解得3=4.

II.答案：D

解析：解：???長方體4BCD-&B1C1D1中，

AB=2,AAX-2炳,AD=3,

???長方體ZBCD-4遇修1。1的外接球的直徑為：

2R=y/AB2+AA^+AD2=24+12+9=5.

故選：D.

長方體4BCD-&當(dāng)口么的外接球的直徑為：2R=yjAB2+AAI+AD2.

本題考查長方體的外接球的直徑的求法，考查長方體、球等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求

解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

12.答案：C

解：?.?中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在X軸上的捕圖Ci與雙曲線C2有共同的焦點(diǎn)，

設(shè)左右焦點(diǎn)分別為Fl,F2,P是Cl與C2在第一象限的交點(diǎn)，

△PFiFz是以PFi為底邊的等腰三角形，

工設(shè)橢圓和雙曲線的長軸長分別為2ai,2a2,焦距為2c，

IPF11=x>|PF2|=|FiF2|=y?

x+j=2ai

由題意得,x-y=2a2，

2c=y

???橢圓與雙曲線的禽心率分別為ei,e2，

解析：，

21

?CCV--------

??ei??2=一?一=-...二?9

416xl_y2(j)-1

由三角形三邊關(guān)系得|F1F2|+|PF2|>|PF,|>|PF2|，

即2y>x>y，得到1<乙<2，

y

1<(-)2<4，-??0<(-)2-1<3，

yy

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得到ei?e2="、2.>1.

y

故選：C.

13.答案：3

解析：解：由約束條件作出可行域如圖，

y

由圖可知，/（一1,0）,8（2,0）,

聯(lián)立｛；：；；匚；，解得?1，2），

.?.可行域的面積為S=|x（2+l）x2=3.

故答案為：3.

由約束條件作出可行域，求出三角形三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)，再由三角形面積公式求解.

本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

14.答案：400

解析：解：根據(jù)頻率分布直方圖，得；

成績在［40,70）內(nèi)的頻率為

1一（0.04+0.02+0.01）x10=0.3,

.?.樣本容量（共有高三文科學(xué)生數(shù)）為

翳=400（人）.

故答案為：400.

根據(jù)頻率分布直方圖，利用頻率、頻數(shù)與樣本容量的關(guān)系進(jìn)行解答即可.

本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了頻率、頻數(shù)與樣本容量的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.

15.答案：—|

解析：解：???鈍角a滿足8s譏a—cosa=:

—sina--cosa=即sin（a-

2256Z5

???。一9K53?；蚴?27。，

6

「a為鈍角，前面一種假設(shè)顯然不成立，

a--?127°,

6

cos(a

65

sin(a-94

???則tan(a--)____=____

6cos(a--)3

4

-

故答案為:3

由兩角差的正弦函數(shù)公式化簡已知等式可得sin(a-?=g結(jié)合角的范圍可求cos(a-9,由同角三

65o

角函數(shù)關(guān)系式即可求得tan(a-名的值.

O

本題主要考查了兩角差的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，屬于基本知識的考查.

16.答案：-9

解析：解:根據(jù)題意,f(x)為偶函數(shù)且滿足/Q+6)=g則"2018)=/(2+336x6)=f(2)=

/(-2),

又由當(dāng)xG(一3,0)時，f(x)=2x-5,則/(-2)=2x(-2)-5=-9,

則/(2018)=-9；

故答案為：—9

根據(jù)題意，分析可得f(2018)=/(2+336x6)=/(2)=/(—2),由函數(shù)的解析式求出/'(-2)的值,

即可得答案.

本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性的應(yīng)用，涉及函數(shù)值的計算，屬于基礎(chǔ)題.

17.答案：解：(1);ct3=%+2d=8,%=2,二d=3,

???an=cit+(n—l)d=3n—1,

,**/J3—q2：—8,b[—2,

又q>0,■-q=2,

n

???bn=2；

23n

(2)???Sn=2x2+5X2+8X2+-+(3n-1)-2,

A2Sn=2x22+5x23+…+(3n-4)-2n+(3n-1)-2n+1,

23nn+1

-Sn=2x2+3x2+3x2+-+3x2-(3n-1)-2

=3(2+22+23+???+2n)-2-(3n-1)-2n+1

=3X空/-2-(3n-1)-2n+1

=(4-3n)-2n+1-8

n+1

Sn=(3n-4)-2+8；

n+2n+211

(JIVC-n=----------=-----------=---------------------

、)nn(n+l)如n(n+l)2nn-2n-1(n+l)-2n

=(1-壺+(點(diǎn)-忌)+(忌-忌)+…

1

=1------------------

5+1”2n

解析：(1)根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念即可分別求出公差與公比，從而求出通項公式；

n

(,2)anbn=(3n-l)-2,利用錯位相減即可求出前ri項和；

n+211

(3)〃=而/=啟口一正聲’利用裂項相消即可求出前幾項和?

本題考察了等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念，以及利用錯位相減和裂項相消法求特殊數(shù)列的前n項和，屬

于中檔題.

18.答案：解：(I辛=2+4+；+6+8=5,1=3+4+；+4+5==

22222

2之1々%=2x3+4x4+5x4+6x44-8x5=106，Sf=1x?=2+4+5+6+8=145,

——八

.106-5x5x4八c—一

b=145-5x52=03'a=y-6x=4-0.3x5=4-0.3x5=2.5'

???y關(guān)于x的線性回歸方程為;=0.3%+2.5，

當(dāng)x=10時，y=0.3x10+2.5百斤=550斤，

.??估計如果每個蔬菜大棚使用農(nóng)夫1號肥料10千克，

則這種改良黃瓜每個蔬菜大棚增加量y是500斤.

(n)記商家總利潤為y元，由已知條件可知至少需安裝1臺，

①安裝1臺光照控制儀可獲得周利潤4000元，

②安裝2臺光照控制儀的情形：

當(dāng)X>70時，一臺光照控制儀運(yùn)行，此時丫=4000-500=3500元，

當(dāng)30VXW70時,兩臺光照控制儀都運(yùn)行，此時>=4000+4000=8000元,

③安裝3臺光照控制儀的情形：

當(dāng)X>70時，一臺光照控制儀運(yùn)行，此時y=4000-100=3000元，

當(dāng)50sxs70時，兩臺光照控制儀運(yùn)行，此時丫=4000+4000-500=7500元,

當(dāng)30<X<50時，三臺光照控制儀都運(yùn)行，此時y=4000+4000+4000=12000元,

故y的分布列為

Y3000750012000

P0.20.70.1

所以EY=3000x0.2+7500x0.7+12000x0.1=7050元，

綜上，為使商家周總利潤的均值達(dá)到最大應(yīng)該安裝2臺光照控制儀.

解析：(I)求出％,y,XL%%=106,/=i媛=145,從而匕=106-5x5x4=

145-5X52u.yUA

0.3x5=4-0.3x5=2.5,進(jìn)而求出y關(guān)于x的線性回歸方程為J=0.3%+2.5，由此能求出這種改

良黃瓜每個蔬菜大棚增加量y.

(n)記商家總利潤為y元，由已知條件可知至少需安裝I臺，①安裝1臺光照控制儀可獲得周利潤4000

元，②安裝2臺光照控制儀的情形：當(dāng)X>70時，一臺光照控制儀運(yùn)行，此時y=4000-500=3500

元，當(dāng)30<X<70時，兩臺光照控制儀都運(yùn)行，此時y=4000+4000=8000元，求出Y的分布列

和Ey=3500X0.2+8000x0.8=7100元，③安裝3臺光照控制儀的情形：當(dāng)X>70時，一臺光照

控制儀運(yùn)行，此時丫=4000—100=3000元，當(dāng)50WXW70時，兩臺光照控制儀運(yùn)行，此時丫=

4000+4000-500=7500元，當(dāng)30<X<50時，三臺光照控制儀都運(yùn)行，此時丫=4000+4000+

4000=12000元,求出y的分布列和=3000x0.2+7500X0.7+12000x0.1=7050元,由此

求出為使商家周總利潤的均值達(dá)到最大應(yīng)該安裝2臺光照控制儀.

本題考查回歸方程的求法及應(yīng)用，考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求

法，考查古典概型、折線圖等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

19.答案：(I)證明：△P4B中，PA=2,AB=2,PB=2/，

PA2+AB2=PB2,

：.PA1AB,

同理PA_LAD,

"ABCyADAB,4Cu平面ABCD.

PAJL平面ABC。；

(II)解：過點(diǎn)E作EM14。于點(diǎn)M,貝i]EM〃P4,

D

B

vPAJ_平面4BCD,

???EM，平面4BCD,

??,SAACD=-xlxl=",

：.-x-xEM=-,

326

???EM=1,

???E為PD中點(diǎn)，

???點(diǎn)E到平面PZB的距離是點(diǎn)。到平面P4B的距離的土

???0C〃平面P4B,BC_L平面P4B,BC=1,

.??點(diǎn)。到平面PAB的距離是1,

???點(diǎn)E到平面PAB的距離是也

解析：(I)利用勾股定理證明PA1AB,PA1AD,利用線面垂直的判定定理，即可證明P41平面

ABCD-,

(11)過點(diǎn)后作后時，/￡(于點(diǎn)用，利用三棱錐E-ACD的體積為求出EM,再求點(diǎn)E到平面P4B的距

離.

本題考查線面垂直，考查點(diǎn)到平面距離的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題.

20.答案：解：⑴函數(shù)/(x)的定義域為R,且f'(x)=/一2a.

當(dāng)a<0時，f'(x)>0對xCR恒成立，所以/(%)在R上單調(diào)遞增.

當(dāng)a>0時，令/'(X)=0,得％=O(2a),

當(dāng)工￡(-8,ln(2a))時，/'(%)V0,當(dāng)xE(ln(2a),+oo)時，f(x)>0.

所以/(%)在(-8,ln(2a))上單調(diào)遞減，在(ln(2a),+oo)上單調(diào)遞增.

(2)①當(dāng)％6(1,+8)時，g(x)=Inx>0,

從而九(x)=max{f(x\g(x)}>g(x)>0,

所以九(%)在(1,+8)上無零點(diǎn).

②當(dāng)％=1時，/(I)=e-3a,

若a九⑴=max{/(l),g(l)}=g⑴=0,所以久=1是/i(x)的零點(diǎn)，

若a<g,九(1)=max{/(l),g(l)}=f(l)>0,所以x=1不是/i(x)的零點(diǎn)，

③當(dāng)％6(0,1)時，g(x)=Inx<0,

所以九(x)在(0,1)上零點(diǎn)個數(shù)只需要考慮/Q)在(0,1)上的零點(diǎn)個數(shù).

f(x)在(0,1)上的零點(diǎn)個數(shù)o/(x)=0在(0,1)上實(shí)根的個數(shù)o公=a在(0,1)上實(shí)根的個數(shù),

令函數(shù)勿(%)=三，xG(0,1),

所以W(x)在(0弓)上單調(diào)遞減，在0,1)上單調(diào)遞增，

當(dāng)a<'或a>1時，/(%)在(0,1)上無零點(diǎn)，

當(dāng)。=立或3sa<l時，f(x)在(0,1)上有唯一零點(diǎn)，

2J

因為心)在(0,+8)上有唯一零點(diǎn)，所以a的取值范圍為［|,+8)ug}.

解析：(1)先求導(dǎo)，再分類討論，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

(2)通過討論/i(x)=max{f(x),g(x)},去研究函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)確定a的范圍即可.

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合

題.

21.答案：解：(1)a?=9,b2=1,c2=a2+b2—10,

?-a=3,b=l,c=VlO?

??.M的實(shí)軸長2a=6,虛軸長2b=2,焦距2c=2國.

(2)vM的右頂點(diǎn)為(3,0),

??4=3,.?.p=6,N的方程為y2=i2x.

當(dāng)