廣東省揭陽市第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

廣東省揭陽市第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若實數(shù)x，y滿足不等式組，則z=（x﹣1）2+（y+1）2的最小值為（）A． B．10 C． D．17參考答案：C【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用x2+y2的幾何意義：動點P（x，y）到（1，﹣1）距離的平方，即可求最小值．【解答】解：設(shè)z=（x﹣1）2+（y+1）2，則z的幾何意義為動點P（x，y）到（1，﹣1）距離的平方．作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由圖象可知點P到A點的距離最小，即A點到直線x+2y﹣5=0的距離最?。牲c到直線的距離公式得d==，所以z=（x﹣1）2+（y+1）2的最小值為d2=．故選：C2.已知長方體ABCD–A1B1ClD1的各個頂點都在球O的球面上，若球O的表面積為16且AB：AD：AA1=：1：2，則球O到平面ABCD的距離為A．1

B．

C．

D．2

參考答案：B【知識點】點與平面間的距離因為球O的表面積為16，設(shè)外接球O的半徑為,所以，，又因為長方體ABCD–A1B1ClD1的各個頂點都在球O的球面上，所以長方體的體對角線等于其外接球O的直徑，AB：AD：AA1=：1：2，設(shè)，依題意可得，解得，而球O到平面ABCD的距離為，故選B.【思路點撥】由球O的表面積為16可求其半徑，再利用長方體的體對角線等于其外接球O的直徑可解得長方體的各棱長，最后可求O到平面ABCD的距離。

3.已知向量，則在方向上的投影為()

A．

B．

C．-2

D．2參考答案：D4.已知集合，集合，則等于A．

B．

C．

D．參考答案：A略5.已知拋物線，直線與拋物線C交于A，B兩點，若以AB為直徑的圓與x軸相切，則b的值是(

)A. B. C. D.參考答案：C由題意，可設(shè)交點的坐標(biāo)分別為，聯(lián)立直線與拋物線方程消去得，則，，，由，即，解得.故選C.

6.袋子里有3顆白球，4顆黑球，5顆紅球．由甲、乙、丙三人依次各抽取一個球，抽取后不放回．若每顆球被抽到的機會均等，則甲、乙、丙三人所得之球顏色互異的概率是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D7.如圖，在半徑為R的圓C中，已知弦AB的長為5，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B由于為半徑，圓心，為弦，故在上的投影為

8.若A={x|0＜x＜}，B={x|1≤x＜2}，則A∪B=（）A．{x|x≤0} B．{x|x≥2} C．{0≤x≤}D．{x|0＜x＜2}參考答案：D【考點】并集及其運算．【分析】把兩集合的解集表示在數(shù)軸上，根據(jù)圖形可求出兩集合的并集．【解答】解：由，B={x|1≤x＜2}，兩解集畫在數(shù)軸上，如圖：所以A∪B={x|0＜x＜2}．故選D9.《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，書中有一問題：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，問積幾何？”該著作中提出了一種解決此問題的方法：“重置二位，左位減八，余加右位，至盡虛減一，即得．”通過對該題的研究發(fā)現(xiàn)，若一束方物外周一匝的枚數(shù)n是8的整數(shù)倍時，均可采用此方法求解．如圖是解決這類問題的程序框圖，若輸入n=24，則輸出的結(jié)果為（

）A．23 B．47 C．24 D．48參考答案：B輸入初始值n=24,則S=24第一次循環(huán)：n=16,S=40第二次循環(huán)：n=8,S=48第三次循環(huán)：n=0,S=48,即出循環(huán)s=47,輸出47,選B.

10.設(shè)數(shù)列滿足,且對任意的,點都有,則的前項和為(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的虛部為________.參考答案：12.若函數(shù)的定義域為[－1，2]，則函數(shù)的定義域是

．參考答案：[－1，5]13.若為的展開式中的項的系數(shù)，則

.參考答案：114.設(shè)則=___________.參考答案：，所以.15.已知實數(shù)滿足如果目標(biāo)函數(shù)的最小值為,則實數(shù)________參考答案：516.已知函數(shù)滿足：①對任意，恒有；②當(dāng)時，.則

；方程的最小正數(shù)解為

.參考答案：，

略17.設(shè)x1，x2∈R，函數(shù)f（x）滿足ex=，若f（x1）+f（x2）=1，則f（x1+x2）最小值是．參考答案：【考點】函數(shù)的最值及其幾何意義．【專題】轉(zhuǎn)化思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由條件求得f（x）的解析式，再由f（x1）+f（x2）=1，可得=++3，運用基本不等式可得≥9，再由函數(shù)的單調(diào)性，即可得到最小值．【解答】解：由ex=，可得f（x）==1﹣，由f（x1）+f（x2）=1，可得+=，即為=++3，由+≥2，即有≥2+3，解得≥3，即為≥9，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2，取得等號，則f（x1+x2）=1﹣≥1﹣=．即有最小值為．故答案為：．【點評】本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運用，主要考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及運用，同時考查基本不等式的運用：求最值，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分16分）對于函數(shù)y＝f(x)，若存在開區(qū)間D，同時滿足：①存在t∈D，當(dāng)x＜t時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x＞t時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；②對任意x＞0，只要t－x，t＋x∈D，都有f(t－x)＞f(t＋x)，則稱y＝f(x)為D內(nèi)的“勾函數(shù)”．

（1）證明：函數(shù)y＝為(0，＋∞)內(nèi)的“勾函數(shù)”；

（2）若D內(nèi)的“勾函數(shù)”y＝g(x)的導(dǎo)函數(shù)為y＝g￠(x)，y＝g(x)在D內(nèi)有兩個零點x1，x2，求證：g￠()＞0；（3）對于給定常數(shù)l，是否存在m，使函數(shù)h(x)＝lx3－l2x2－2l3x＋1在(m，＋∞)內(nèi)為“勾函數(shù)”？若存在，試求出m的取值范圍，若不存在，說明理由．參考答案：19.已知橢圓，點F為拋物線的焦點，焦點F到直線3x-4y+3=0的距離為d1，焦點F到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為d2，且。(1)拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若在x軸上存在點M，過點M的直線l分別與拋物線C相交于P、Q兩點，且為定值，求點M的坐標(biāo).參考答案：（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)點到直線的距離公式以及拋物線的性質(zhì)可求得和，再結(jié)合解出即可得拋物線的方程；（2）設(shè)點的坐標(biāo)為，設(shè)點，的坐標(biāo)分別為，，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得，，把根與系數(shù)的關(guān)系代入可得，由其為定值可得，即得結(jié)果.代入同理可得結(jié)論．【詳解】（1）由題意知，焦點的坐標(biāo)為，則，，又，解得：.故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)點坐標(biāo)為，設(shè)點，的坐標(biāo)分別為，，顯然直線的斜率不為0.設(shè)直線的方程為.聯(lián)立方程消去，并整理得，則且，.由，.有.

若定值，必有.所以當(dāng)為定值時，點的坐標(biāo)為.【點睛】本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、定點問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．20.

某網(wǎng)站用“10分制”調(diào)查一社區(qū)人們的治安滿意度．現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機抽取16名，以下莖葉圖記錄了他們的治安滿意度分數(shù)（以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉）．

（I）若治安滿意度不低于分，則稱該人的治安滿意度為“極安全”，求從這16人中隨機選取3人，至多有1人是“極安全”的概率；

（II）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)（人數(shù)很多）任選3人，記表示抽到“極安全”的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考答案：21.某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示．一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)（人）x3025y10結(jié)算時間（分鐘/人）11.522.53已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%．（Ⅰ）確定x，y的值，并求顧客一次購物的結(jié)算時間X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）若某顧客到達收銀臺時前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各顧客的結(jié)算相互獨立，求該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率．（注：將頻率視為概率）參考答案：（Ⅰ）x＝15，y＝20．X11.522.53P

E(X)＝1.9；（Ⅱ）

＝×＋×＋×＝．故該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率為．考點：1.離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望;2.以及相互獨立事件的概率的求法.

22.如圖，在四棱錐中P﹣ABCD，底面ABCD為邊長為的正方形，PA⊥BD．（1）求證：PB=PD；（2）若E，F(xiàn)分別為PC，AB的中點，EF⊥平面PCD，求直線PB與平面PCD所成角的大?。畢⒖即鸢福骸究键c】直線與平面所成的角；點、線、面間的距離計算．【專題】數(shù)形結(jié)合；向量法；空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】（1）連接AC，BD交于點O，連結(jié)PO，則AC⊥BD，結(jié)合PA⊥BD得出BD⊥平面PAC，故而BD⊥PO，又O為BD的中點，得出OP為BD的中垂線，得出結(jié)論；（2）設(shè)PD的中點為Q，連接AQ，EQ，證明四邊形AQEF是平行四邊形，于是AQ⊥平面PCD，通過證明CD⊥平面PAD得出CD⊥PA，結(jié)合PA⊥BD得出PA⊥平面ABCD，以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則直線PB與平面PCD所成角的正弦值等于|cos＜＞|，從而得出線面角的大?。窘獯稹拷猓海?）連接AC，BD交于點O，連結(jié)PO．∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OB=OD．又PA⊥BD，PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∵PO?平面PAC，∴BD⊥PO．又OB=OD，∴PB=PD．（2）設(shè)PD的中點為Q，連接AQ，EQ，則EQ∥CD，EQ=CD，又AF∥CD，AF==，∴EQ∥AF，EQ=AF，∴四邊形AQEF為平行四邊形，∴EF∥AQ，∵EF⊥平面PCD，∴AQ⊥平面PCD，∴AQ⊥PD，∵Q是PD的中點，∴AP=AD=．∵AQ⊥平面PCD，∴AQ⊥CD，又AD⊥CD，AQ∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA．又BD⊥