2021安徽考研數(shù)學(xué)二真題【含答案】

2021安徽考研數(shù)學(xué)二真題試卷

一、選擇題：I?10小題，每小題5分，共50分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選

項是符合題目要求的.

1.當x-0,￡(e"T)d，是，的

A.低階無窮小.B.等價無窮小.C.高階無窮小.D.同階但非等價無窮小.

2(e？-1)

lim---------------=lim,2x6°,故選C.

—>xx->o——俅---=lim-

11°7￡

2.函數(shù)/(x)=《x在x=0處

[1,x=。

A.連續(xù)且取極大值B.連續(xù)且取極小值

C.可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)等于零D.可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為零

D

v

ex1?-ie-l

因為lim=~=1=/(0),故連續(xù)；又因為「％―—ev-l-x21,故可

今o丫lim-----------=--------z------=—

%->0xX22

導(dǎo)，所以選D.

3.有一圓柱體底面半徑與高隨時間變化的速率分別為2CM/S,-3cm/5,當?shù)酌姘霃綖?/p>

10cm,高為5cm時，圓柱體的體積與表面積隨時間變化的速率分別為

A.1257rm3/s,407rm2/s

B.125^?m3Is-407rm2Is

C.-100zr,m3/s,40^/722/s

D.-1OO^m3/s-40^,m2/s

C.

drdh,2

=2，=—3；V=R廣h，S=2nrh+2兀/.

dtdt

dVdr°dh

211rh_+兀廣_=-IOOTI.

drdtdt

dSdrdhdr

=2nh+2〃+4兀〃=40TI.

dzdrdrdr

h

4.設(shè)函數(shù)/(幻=以一切11雙?！?)有2個零點,則的取值范圍

a

A.(e,+oo)B.(0,e)C,(0,)D.(I+oo)

ee

A.

f(x)=ax-b\rvc,^b<0,不滿足條件，舍去；若b〉0,令/'(x)=。一"=0,

得x=".在‘()<"oo\(X)>0.

limf(x)-+oo,Zzm/(x)=-Foo,

x->0+x->+oo

令/')4-例電”=/l-叱幻<0,得>1,踮'>e.故選A.

W一I)■■

5.設(shè)函數(shù)/(x)=secx在x=0處的2次泰勒多項式為1+以+亦，則

A.a=l,8=」,,1

B.a=1,人=

22

C,1C,1

C.a=O,b=-D.a=0,b=

22

D.

D=1+,『+0(尤2).

/(x)=secx=/(O)+/z(O)x+加爐+。

22

所以可得。=0,b=l

2

6.設(shè)函數(shù)/(x,y)可微，且/(x+l,e')=x(x+l)2j(x,x2)=2x2]nx,則q〃i/)=

A.dx+dyB.dx-d>?C.dyD.-dy

選C

由于/(x+1,e*)=x(x+l)2,兩邊同時對X求導(dǎo)得

,x2

/1(x+l,e)+力(x+l,e*)ex=(x+1)+2x(x+l).

令工=0得/(1」)+/(1/)=1+0,/z(x,x)+/r(x,x2)2x=4xInx+2x2-;

1212-

令X=1得//(1,1)+2^(1,1)=2.因此力'(1,1)=0；力(U)=1.

所以4〃l,l)=dy,故選C.

7.設(shè)函數(shù)/(X)在區(qū)間［0,1］上連續(xù)，則［)(x)dx=

"(2k-1\1

A.lim%-----|_B.limZ/i-----|_

"-*%=］(2〃)2n"T8*=l

2"(k-\}1(ky2

C.|_D.limZ/|一|_

"f8*=i12〃J〃f*=i^2n)n

(b1A

|將［0』］的區(qū)間〃等分，每一份取區(qū)間中點的函數(shù)值/-|B.

、/z2n)

8.二次型f(x,x,x)=(x+x)2+O+x)2-(x—x)2的正慣性指數(shù)與負慣性指數(shù)依

123122331

A.2,0D.L2

f^X,X,X)=(x+x『+(X+x)2-(1-X)

123，、12/、23，、317

=X2+2XX+x2+x24-2xx+x2-x2+2xx-x2

112222333I31

2x2+2xx+2xx+2xx.

'01?

二次型對應(yīng)矩陣為121L

、11°>

A-1-12+10-2-1

\^E-A\=-l2-2-1-12-2-1

-1—1Z-1-1A

100

=(2+l)-lA—2—2

-1-12-1

=(2+l)((/l-2)(2-l)-2]

=2(2+1)(2-3)

則p=1q=1.

9.設(shè)3階矩陣A=（四,az,a.：）,5=（4，4,A）,若向量組a3可以由向量組4,夕2,43

線性表出，則（）

A.Ax=0的解均為Bx=0的解.B.4Tx=（）的解均為加工=0的解.

C.Bx=0的解均為Ax=0的解.D.BTx=0的解均為ATx=0的解.

D

由題意，可知A=5C,*x=0的解均為的解，即的解，D

選項正確.

f1of

10.已知矩陣A=2-11，若下三角可逆矩陣尸和上三角可逆矩陣。，使得PAQ為

「125,

對角矩陣，則尸、。分別?。ǎ?

00H1of1o0U100

1001B.2-10I'010

04[o0、-32”1o01

oOV101]fl00V12

-10:013D.01O',0-1

2”10

01,J3”[o0

C

0

通過代入驗證-1

5"100J?00

2

A

選c

二、填空題(11-16小題，每小題5分，共30分)

lL「x3*dx=g.

1

ln3

“叼J2a+8Nr1)I

原式=2x3?dLr=f3.'4-=-L=—

J。J。In3”In3

[x=2e，+/+l,2

12.設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程4確定，則。?_________.

[y=4(I)e，+產(chǎn)d『.

2

3

dy/(/)4e'+4(…l)e'+2f

===為

drx'(t)2/+1-5

d2y=3g=2J一=2

聲drdx2e'+l?3

dz

13.設(shè)函數(shù)z=z(x,y)由方程(%+l)z+ylnz-arctan(2xy)=l確定，則丁二

&(0,2)

1

將x=0,y=2代入得z=l,

又對(x+l)z+yInz-arctan(2xy)=1兩邊同時求x的導(dǎo)數(shù)得

,dz1dz2v

z+(x+l)+y-=0

dxzdx1+(2x>')2

Qz

將X=0,y=2,Z=1代入上式得=1.

dx

’14.已知函數(shù)f(t)=Pdx\'sin⑦，則

y(2廠

兀2

cos.

2兀

12

rf-Xt/X(yx、

1呵J〃丫"‘=』町si〃蘆=[I1sindr|dy,則

Jijyj

⑴2

“)=[%產(chǎn)，所以d#仍小及=一兀2x4兀2

—cos——=—cos—.

2兀12兀

-2

15.微分方程y'—y=0的通解y=_____.

Cer+e21Csin"費x+Jcos?],

其中C,C,C為任意常數(shù).

?I222)123

-1+^z;r故其通解為

設(shè)其特征方程為尸—1=0,則r=l；r=

1222322

1x2-1

16.多項式/(x)=c,,中x3項的系數(shù)為

21x1

2-11x

-5

/項為(—1"Zd+L1)'/=—51,因此/項系數(shù)為—5

三、解答題：17?22小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本題滿分10分）

曝極限■!?”」)

—>ex-1sin尤

[1+產(chǎn)出、v

sinx+xtz-e+1

lim'0-一l=limsinx￡edr

v

DIe'-1sinx1-TO(e-Ijsinx

IJA''

sin-e"+l”

-sinxfed/..sinx-e+isinx|edr

lim---------------h-----------------=hm,+lim——與-----

10]X]XT。x%->0x~

33>22x,2

X-~X+O(^Xj-l-X-~x+o(x)pedr

1?1

=lim---------------------------------------------blim_____=--4-1=-

2

.v->0XKTOx22

18.(本題滿分12分)

已知/(x)=WU,求/(X)的凹凸區(qū)間及漸近線.

1+X

f-x2

,?------x<0,x^-1

f(x)=<11+x

1匚x>0

[l+x'

X2___0

f(O)=lim山一=0

XT°X

-X2-0

/(0)=limJ￡2—=0

DX

所以

1

x<0,xw—1

?。十小

=<|o,x=0

1-1x>0

[(l+x)3

_L-o

/■(0)=lim(l+x)-=2

ZX

-1+1-0

/(0)=lim(l+x)2=-2

XTOx

一i<x<o時，r<o

元>o時，r>o

因此，凹區(qū)間（一8,-1）,（0,+8）,凸區(qū)間（一1,0）

lim----=+oo,lim----=+oo,因此沒有水平漸近線；

581+XXTF14-X

x=-l,x+l=0,且lim—x=-8.lim=+oo,因此存在鉛直漸近線x=-l；

XT-l+l+XXT-11+X

人2

A

lim1+x=l,lim-x=~i,因此存在斜漸近線y=xT；

A'->+OCXXf+81+X

lim~X1殉m____x1，因此存在斜漸近線y=-x+1；

1+x=__+=

X+B'XIB1+X

19.(本題滿分12分)

/(X)滿足J學(xué)公=；f—x+C，L為曲線y=/(x)(4Wx<9),L的弧長為S,

L繞x

軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面面積為A,求S和A.

/(x)1

解：I-二一九一1

yjX3

/(x)=l2-i2

9Ifl'l-'V2

s=[+1-X7-_xr\dx

」4VI22J

,=1[9(xi+,

2小、2M

=22

-T

20.(本題滿分12分)

y=y(x)微分方程xy'-6y=-6,滿足/)=10

(i)求y(x)

(2)P為曲線y=y(x)上的一點，曲線y=y(九)在點P的法線在y軸上截距為I。,為使Ip

最小，求P的坐標。

,66

解(1)y--y=-

xx

J6-J6*、

y=ex|-_e、+C

=x，［『-x^dx+c］

=1+Cx6.

根據(jù)由初始條件得C=L所以y=1+Jx6.

33

x,l+If?的法線為y-11+1/

(2)設(shè)在1

°3J°I3J°0

在y軸上的截距為I=1+1x6+1=%(x),

p至一300

〃'(x)=—2/+2/=0,得*=±1,得p點坐標為。,41「一1,41

0000——

IJIoI

【3八3)

21.（本題滿分12分）

曲線（7+爐彳二月一丁。'。4N。）與X軸圍成的區(qū)域D,求JJ巧.

4

'=r2cos2—=cos2。

1M

/=jj