高中數(shù)學(xué)簡單的線性規(guī)劃問題

3.3.2簡單的線性規(guī)劃（一）畫出不等式組表示的平面區(qū)域。3x+5y≤25

x-4y≤-3x≥13x+5y≤25x-4y≤-3x≥1在該平面區(qū)域上

問題1：ｘ有無最大(小)值？問題２：ｙ有無最大(小)值？xyox-4y=-33x+5y=25x=1問題３：2ｘ+ｙ有無最大(小)值？CABxyox=1CB設(shè)z＝2ｘ+ｙ,式中變量ｘ、ｙ滿足下列條件，求ｚ的最大值和最小值。

3x+5y≤25x-4y≤-3x≥1Ａx-4y=-33x+5y=25xyox-4y=-3x=1C設(shè)z＝2ｘ+ｙ,式中變量ｘ、ｙ滿足下列條件，

求ｚ的最大值和最小值。3x+5y≤25x-4y≤-3x≥1BＡ3x+5y=25問題1:

將z＝2ｘ+ｙ變形?問題2:z幾何意義是_____________________________。斜率為-2的直線在y軸上的截距

則直線l：

2ｘ+ｙ=z是一簇與

l0平行的直線,故

直線l可通過平移直線l0而得，當(dāng)直線往右上方平移時(shí)z逐漸增大：當(dāng)l過點(diǎn)B(1,1)時(shí),z

最小,即zmin=3

當(dāng)l過點(diǎn)A(5,2)時(shí)，ｚ最大,即

zmax＝2×5+2＝12。析:

作直線l0

：2ｘ+ｙ=0,ｙ＝-2ｘ+z最優(yōu)解：使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值或最小值的可行解。線性約束條件：約束條件中均為關(guān)于x、y的一次不等式或方程。有關(guān)概念線性目標(biāo)函數(shù)：欲求最值的解析式是關(guān)于x、y的一次解析式。線性規(guī)劃：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值。可行解：滿足線性約束條件的解（x，y）。

可行域：所有可行解組成的集合。B

Cxyox－4y=－33x+5y=25x=1Ａ例1：設(shè)z＝2x－y,式中變量x、y滿足下列條件求ｚ的最大值和最小值。3x+5y≤25x

－4y≤－3x≥1解：作出可行域如圖：當(dāng)ｚ＝0時(shí)，設(shè)直線l0：2x－y＝0

當(dāng)l0經(jīng)過可行域上點(diǎn)A時(shí)，－z最小，即ｚ最大。

當(dāng)l0經(jīng)過可行域上點(diǎn)C時(shí)，－ｚ最大，即ｚ最小。由得A點(diǎn)坐標(biāo)_____；

x－4y＝－3

3x＋5y＝25由得C點(diǎn)坐標(biāo)_______；

x=1

3x＋5y＝25∴zmax＝2×5－2＝8zmin＝2×1－4.4＝

－2.4(5,2)(5,2)(1,4.4)(1,4.4)平移l0，平移l0

，(5,2)2x－y＝0(1,4.4)(5,2)(1,4.4)解線性規(guī)劃問題的步驟：

2、在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，用平移的方法找出與可行域有公共點(diǎn)且縱截距最大或最小的直線；3、通過解方程組求出最優(yōu)解；4、作出答案。

1、畫出線性約束條件所表示的可行域；畫移求答例2：已知x、y滿足，設(shè)z＝ax＋y(a>0)，若ｚ取得最大值時(shí)，對應(yīng)點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，求a的值。3x+5y≤25x

－4y≤－3x≥13x+5y=25例2：已知x、y滿足，設(shè)z＝ax＋y(a>0)，若ｚ取得最大值時(shí)，對應(yīng)點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，求a的值。3x+5y≤25x

－4y≤－3x≥1xyox-4y=-3x=1CBＡ解：當(dāng)直線

l

：y

＝－ax＋z與直線重合時(shí)，有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，使函數(shù)值取得最大值，此時(shí)有：k

l

＝kAC

∵kAC＝k

l

=-a∴-a=∴a=例3：滿足線性約束條件的可行域中共有多少個(gè)整數(shù)解。x+4y≤113x+２y≤10x>0y>01223314455xy03x+２y=10x+4y=11解：由題意得可行域如圖:

由圖知滿足約束條件的可行域中的整點(diǎn)為(1,1)、(1,2)、(2,1)、(2,2)

故有四個(gè)整點(diǎn)可行解.練習(xí)：設(shè)Z＝ｘ+3ｙ,式中變量ｘ、ｙ滿足下列條件