教材常考重點(diǎn)歸納講義-高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)

沖刺2023年高考教材?？贾攸c(diǎn)歸納一回歸教材贏得高考良好的心態(tài)是穩(wěn)定發(fā)揮乃至超常發(fā)揮的前提．考前這幾天，最明智的做法就是回歸基礎(chǔ)，鞏固基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力；最有效的心態(tài)調(diào)節(jié)方法就是每天練一組基礎(chǔ)小題——做到保溫訓(xùn)練手不涼，每天溫故一組基礎(chǔ)知識(shí)——做到胸中有糧心不慌．(一)集合與常用邏輯用語(yǔ)必記知識(shí)(1)集合的運(yùn)算性質(zhì)①A∪B＝A?B?A；②A∩B＝B?B?A；③A?B??UA??UB.(2)子集、真子集個(gè)數(shù)計(jì)算公式對(duì)于含有n個(gè)元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個(gè)數(shù)依次為2n，2n－1，2n－1，2n－2.(3)集合運(yùn)算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用數(shù)軸求解；若已知的集合是點(diǎn)集，用數(shù)形結(jié)合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn圖求解．2．四種命題之間的相互關(guān)系3．四種命題的真假關(guān)系原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假真真假假假假假提醒(1)兩個(gè)命題互為逆否命題時(shí)，它們有相同的真假性．(2)兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題時(shí)，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系．(3)如果一些命題的真假不容易直接判斷，則可以判斷其逆否命題的真假．4．否命題與命題的否定的區(qū)別否命題命題的否定區(qū)別否命題既否定其條件，又否定其結(jié)論命題的否定只是否定命題的結(jié)論否命題與原命題的真假無(wú)必然聯(lián)系命題的否定與原命題的真假總是相對(duì)立的，即一真一假全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題，如下所述：命題命題的否定?x∈M，p(x)?x0∈M，?p(x0)?x0∈M，p(x0)?x∈M，?p(x)提醒由于全稱命題經(jīng)常省略量詞，因此，在寫(xiě)這類命題的否定時(shí)，應(yīng)先確定其中的全稱量詞，再改寫(xiě)量詞和否定結(jié)論．6．全稱命題與特稱命題真假的判斷方法命題名稱真假判斷方法一判斷方法二全稱命題真所有對(duì)象使命題真否定命題為假假存在一個(gè)對(duì)象使命題假否定命題為真特稱命題真存在一個(gè)對(duì)象使命題真否定命題為假假所有對(duì)象使命題假否定命題為真必會(huì)結(jié)論(1)A∩B?A，A∩B?B；A?A∪B；B?A∪B，A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A；A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.(2)若A?B，則A∩B＝A；反之，若A∩B＝A，則A?B.若A?B，則A∪B＝B；反之，若A∪B＝B，則A?B.(3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A.(4)?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB).2．一些常見(jiàn)詞語(yǔ)的否定正面詞語(yǔ)否定正面詞語(yǔ)否定正面詞語(yǔ)否定等于(＝)不等于(≠)是不是任意的存在一個(gè)大于(>)不大于(小于或等于，即“≤”)都是不都是(至少有一個(gè)不是)所有的存在一個(gè)小于(<)不小于(大于或等于，即“≥”)至多有一個(gè)至少有兩個(gè)且或全為不全為至少有一個(gè)一個(gè)也沒(méi)有或且(1)定義法：正、反方向推理，若p?q，則p是q的充分條件(或q是p的必要條件)；若p?q，且qp，則p是q的充分不必要條件(或q是p的必要不充分條件).(2)集合法：利用集合間的包含關(guān)系．例如，若A?B，則A是B的充分條件(B是A的必要條件)；若A＝B，則A是B的充要條件．(3)等價(jià)法：將命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為另一個(gè)便于判斷真假的命題．易錯(cuò)剖析易錯(cuò)點(diǎn)1忽視集合中元素的互異性【突破點(diǎn)】求解集合中元素含有參數(shù)的問(wèn)題，先根據(jù)其確定性列方程，求出值后，再根據(jù)其互異性檢驗(yàn)．易錯(cuò)點(diǎn)2未弄清集合的代表元素【突破點(diǎn)】集合的特性由元素體現(xiàn)，在解決集合的關(guān)系及運(yùn)算時(shí)，要弄清集合的代表元素是什么．易錯(cuò)點(diǎn)3遺忘空集【突破點(diǎn)】空集是一個(gè)特殊的集合，空集是任何非空集合的真子集，由于思維定式的原因，在解題中常遺忘這個(gè)集合，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤或解題不全面．易錯(cuò)點(diǎn)4忽視不等式解集的端點(diǎn)值【突破點(diǎn)】進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí)，可以借助數(shù)軸，要注意集合中的“端點(diǎn)元素”在運(yùn)算時(shí)的“取”與“舍”．易錯(cuò)點(diǎn)5對(duì)含有量詞的命題的否定不當(dāng)【突破點(diǎn)】由于有的命題的全稱量詞往往可以省略不寫(xiě)，從而在進(jìn)行命題否定時(shí)易只否定全稱命題的判斷詞，而不否定被省略的全稱量詞．易錯(cuò)點(diǎn)6不清楚“否命題”與“命題的否定”的區(qū)別【突破點(diǎn)】“否命題”是既否定其條件，又否定其結(jié)論，而“命題的否定”只是否定命題的結(jié)論．易錯(cuò)快攻易錯(cuò)快攻一遺忘空集[典例1]集合A＝{x|x<－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))C．(－∞，－1)∪[0，＋∞)D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))[嘗試解題]糾錯(cuò)技巧注意空集的特殊性．由于空集是任何集合的子集，因此，本題中B＝?時(shí)也滿足B?A.解含有參數(shù)的集合問(wèn)題時(shí)，要注意含參數(shù)的所給集合可能是空集的情況．空集是一個(gè)特殊的集合，由于受思維定式影響，同學(xué)們往往在解題中易遺忘這個(gè)集合，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤或解題不全面．易錯(cuò)快攻二對(duì)含有量詞的命題的否定不當(dāng)[典例2]已知命題p：?n0∈N，2n0>1000，則?p為()A．?n∈N，2n<1000B．?n?N，2n<1000C．?n∈N，2n≤1000D．?n?N，2n≤1000[嘗試解題]糾錯(cuò)技巧本題易忽視對(duì)量詞的否定致錯(cuò)．在對(duì)含有全稱量詞或存在量詞的命題進(jìn)行否定時(shí)，要先對(duì)全稱量詞或存在量詞進(jìn)行否定：全稱量詞的否定為存在量詞，存在量詞的否定為全稱量詞，然后對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定．簡(jiǎn)記為改量詞，否結(jié)論．(二)不等式必記知識(shí)解一元二次不等式的步驟：一化(將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù))；二判(判斷Δ的符號(hào))；三解(解對(duì)應(yīng)的一元二次方程)；四寫(xiě)(大于取兩邊，小于取中間).解含有參數(shù)的一元二次不等式一般要分類討論，往往從以下幾個(gè)方面來(lái)考慮：①二次項(xiàng)系數(shù)，它決定二次函數(shù)的開(kāi)口方向；②判別式Δ，它決定根的情形，一般分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三種情況；③在有根的條件下，要比較兩根的大小．2．一元二次不等式的恒成立問(wèn)題(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的條件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的條件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))3．分式不等式eq\f(f（x）,g（x）)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)；eq\f(f（x）,g（x）)≥0(≤0)?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）g（x）≥0（≤0），,g（x）≠0.))提醒(1)不等式兩端同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)或同時(shí)除以一個(gè)數(shù)，不討論這個(gè)數(shù)的正負(fù)，從而出錯(cuò)．(2)解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0時(shí)，易忽視系數(shù)a的討論導(dǎo)致漏解或錯(cuò)解，要注意分a>0，a<0進(jìn)行討論．(3)應(yīng)注意求解分式不等式時(shí)正確進(jìn)行同解變形，不能把eq\f(f（x）,g（x）)≤0直接轉(zhuǎn)化為f(x)·g(x)≤0，而忽視g(x)≠0.4．圖解法求解線性規(guī)劃問(wèn)題的基本要點(diǎn)(1)定域：畫(huà)出不等式(組)所表示的平面區(qū)域，注意平面區(qū)域的邊界與不等式中的不等號(hào)的對(duì)應(yīng)．(2)平移：畫(huà)出目標(biāo)函數(shù)等于0時(shí)所表示的直線l，平行移動(dòng)直線，讓其與可行域有公共點(diǎn)，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解；注意熟練掌握常見(jiàn)的幾類目標(biāo)函數(shù)的幾何意義．(3)求值：利用直線方程構(gòu)成的方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)，求出最值．提醒(1)直線定界，特殊點(diǎn)定域：注意不等式中的不等號(hào)有無(wú)等號(hào)，無(wú)等號(hào)時(shí)直線畫(huà)成虛線，有等號(hào)時(shí)直線畫(huà)成實(shí)線．若直線不過(guò)原點(diǎn)，特殊點(diǎn)常選取原點(diǎn)；若直線過(guò)原點(diǎn)，則特殊點(diǎn)常選取(1，0)，(0，1).(2)線性約束條件下的線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點(diǎn)或邊界處取得，最優(yōu)解不一定唯一，有時(shí)可能有多個(gè)；非線性目標(biāo)函數(shù)或非線性可行域的最值問(wèn)題，最優(yōu)解不一定在頂點(diǎn)或邊界處取得．5．利用基本不等式求最值(1)對(duì)于正數(shù)x，y，若積xy是定值p，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2eq\r(p).(2)對(duì)于正數(shù)x，y，若和x＋y是定值s，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值eq\f(1,4)s2.(3)已知a，b，x，y∈R＋，若ax＋by＝1，則有eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝(ax＋by)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝a＋b＋eq\f(by,x)＋eq\f(ax,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.(4)已知a，b，x，y∈R＋，若eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，則有x＋y＝(x＋y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,y)))＝a＋b＋eq\f(ay,x)＋eq\f(bx,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2.提醒利用基本不等式求最大值、最小值時(shí)應(yīng)注意“一正、二定、三相等”，即：①所求式中的相關(guān)項(xiàng)必須是正數(shù)；②求積xy的最大值時(shí)，要看和x＋y是否為定值，求和x＋y的最小值時(shí)，要看積xy是否為定值，求解時(shí)，常用到“拆項(xiàng)”“湊項(xiàng)”等解題技巧；③當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等時(shí)，才能取等號(hào)．以上三點(diǎn)應(yīng)特別注意，缺一不可．必會(huì)結(jié)論解不等式恒成立問(wèn)題的常用方法(1)若所求問(wèn)題可以化為一元二次不等式，可以考慮使用判別式法求解，利用二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)和判別式進(jìn)行求解，若二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)時(shí)，應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．(2)對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上的函數(shù)值恒大于等于或小于等于零的問(wèn)題，一般的轉(zhuǎn)化原理是：在閉區(qū)間D上，f(x)≥0恒成立?f(x)在區(qū)間D上的圖象在x軸上方或x軸上；f(x)≤0?f(x)在區(qū)間D上的圖象在x軸下方或x軸上．(3)對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上的函數(shù)值恒大于等于或小于等于常數(shù)的問(wèn)題，即“f(x)≥a”或“f(x)≤a”型不等式恒成立問(wèn)題，通常利用函數(shù)最值進(jìn)行轉(zhuǎn)化，其一般的轉(zhuǎn)化原理是：f(x)≥a在閉區(qū)間D上恒成立?f(x)min≥a(x∈D)；f(x)≤a在閉區(qū)間D上恒成立?f(x)max≤a(x∈D).(4)分離參數(shù)法：將恒成立的不等式F(x，m)≥0(或≤0)(m為參數(shù))中的參數(shù)m單獨(dú)分離出來(lái)，不等號(hào)一側(cè)是不含參數(shù)的函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問(wèn)題，該方法主要適用于參數(shù)與變量能分離和函數(shù)的最值易于求出的題目，其一般轉(zhuǎn)化原理是：當(dāng)m為參數(shù)時(shí)，g(m)＞f(x)?g(m)＞f(x)max；g(m)＜f(x)?g(m)＜f(x)min.易錯(cuò)剖析易錯(cuò)點(diǎn)1不能正確應(yīng)用不等式性質(zhì)【突破點(diǎn)】在使用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行推理論證時(shí)一定要注意前提條件，如不等式兩端同時(shí)乘以或同時(shí)除以一個(gè)數(shù)、式，兩個(gè)不等式相乘、一個(gè)不等式兩端同時(shí)n次方時(shí)，一定要注意使其能夠這樣做的條件．易錯(cuò)點(diǎn)2忽視基本不等式應(yīng)用的條件【突破點(diǎn)】(1)利用基本不等式a＋b≥2eq\r(ab)以及變式ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)等求函數(shù)的最值時(shí)，務(wù)必注意a，b為正數(shù)(或a，b非負(fù))，特別要注意等號(hào)成立的條件．(2)對(duì)形如y＝ax＋eq\f(b,x)(a，b>0)的函數(shù)，在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，一定要注意ax，eq\f(b,x)同號(hào)．易錯(cuò)點(diǎn)3解不等式時(shí)轉(zhuǎn)化不等價(jià)【突破點(diǎn)】如求函數(shù)f(x)·eq\r(g（x）)≥0可轉(zhuǎn)化為f(x)·eq\r(g（x）)>0或f(x)·eq\r(g（x）)＝0，否則易出錯(cuò)．易錯(cuò)點(diǎn)4解含參數(shù)的不等式時(shí)分類討論不當(dāng)【突破點(diǎn)】解形如ax2＋bx＋c>0的不等式時(shí)，首先要考慮對(duì)x2的系數(shù)進(jìn)行分類討論．當(dāng)a＝0時(shí)是一次不等式，解的時(shí)候還要對(duì)b，c進(jìn)一步分類討論；當(dāng)a≠0且Δ>0時(shí)，不等式可化為a(x－x1)(x－x2)>0，再求解集．易錯(cuò)點(diǎn)5不等式恒成立問(wèn)題處理不當(dāng)【突破點(diǎn)】應(yīng)注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別，如對(duì)任意x∈[a，b]都有f(x)≤g(x)成立，即f(x)－g(x)≤0的恒成立問(wèn)題，但對(duì)存在x∈[a，b]，使f(x)≤g(x)成立，則為存在性問(wèn)題，可化為f(x)min≤g(x)max，應(yīng)特別注意兩函數(shù)中的最大值與最小值的關(guān)系．易錯(cuò)點(diǎn)6尋找最優(yōu)整數(shù)解的方法不當(dāng)【突破點(diǎn)】線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解一般在可行域的端點(diǎn)或邊界處取得，而最優(yōu)整數(shù)解的橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)，所以最優(yōu)整數(shù)解不一定在邊界或端點(diǎn)處取得，一般先把端點(diǎn)或邊界處的整點(diǎn)找出，然后代入驗(yàn)證．易錯(cuò)快攻易錯(cuò)快攻忽視基本不等式的應(yīng)用條件[典例]函數(shù)y＝ax＋1－3(a>0，a≠1)過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值為()A．3B．2eq\r(2)C．eq\f(3＋2\r(2),2)D．eq\f(3－2\r(2),2)[嘗試解題]糾錯(cuò)技巧應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)必須遵循“一正、二定、三相等”的順序．本題中求出eq\f(m,2)＋n＝1后，若采用兩次基本不等式，有如下錯(cuò)解：eq\f(m,2)＋n＝1≥2eq\r(\f(mn,2))，所以eq\r(mn)≤eq\f(\r(2),2)，eq\f(1,\r(mn))≥eq\r(2)，①又eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)≥2eq\r(\f(1,mn))，②所以eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)≥2eq\r(2).選B.此錯(cuò)解中，①式取等號(hào)的條件是eq\f(m,2)＝n，②式取等號(hào)的條件是eq\f(1,m)＝eq\f(1,n)即m＝n，兩式的等號(hào)不可能同時(shí)取得，所以2eq\r(2)不是eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值．【方法點(diǎn)津】基本不等式加以引申，可得到如下結(jié)論：當(dāng)a≥b>0時(shí)，a≥eq\r(\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≥b，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立．其中稱eq\r(\f(a2＋b2,2))為平方平均數(shù)、稱eq\f(a＋b,2)為算術(shù)平均數(shù)、稱eq\r(ab)為幾何平均數(shù)、稱eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))為調(diào)和平均數(shù)，它們分別包含了兩個(gè)正數(shù)的平方之和a2＋b2、兩個(gè)正數(shù)之和a＋b、兩個(gè)正數(shù)之積ab、兩個(gè)正數(shù)的倒數(shù)之和eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)，只要已知這四個(gè)代數(shù)式的其中一個(gè)為定值，就可以求解另外三式的最值，應(yīng)用十分廣泛，應(yīng)加以重視．(三)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)必記知識(shí)(1)求函數(shù)定義域的類型和相應(yīng)方法①若已知函數(shù)的解析式，則函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍．②若已知f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則f(g(x))的定義域?yàn)椴坏仁絘≤g(x)≤b的解集；反之，已知f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)楹瘮?shù)y＝g(x)(x∈[a，b])的值域．(2)常見(jiàn)函數(shù)的值域①一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的值域?yàn)镽.②二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))，當(dāng)a<0時(shí)，值域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))；③反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k≠0)的值域?yàn)閧y∈R|y≠0}．提醒(1)解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)要注意函數(shù)的定義域，要樹(shù)立定義域優(yōu)先原則．(2)解決分段函數(shù)問(wèn)題時(shí)，要注意與解析式對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍．2．函數(shù)的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，對(duì)于定義域內(nèi)的任意x(定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)，都有f(－x)＝－f(x)成立，則f(x)為奇函數(shù)(都有f(－x)＝f(x)成立，則f(x)為偶函數(shù)).(2)周期性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x的值，若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，則f(x)是周期函數(shù)，T是它的一個(gè)周期．提醒判斷函數(shù)的奇偶性，要注意定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，有時(shí)還要對(duì)函數(shù)式化簡(jiǎn)整理，但必須注意使定義域不受影響．3．函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì)．①單調(diào)性的定義的等價(jià)形式：設(shè)x1，x2∈[a，b]，那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0?eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0?f(x)在[a，b]上是增函數(shù)；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)<0?f(x)在[a，b]上是減函數(shù)．②若函數(shù)f(x)和g(x)都是減函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，f(x)＋g(x)是減函數(shù)；若函數(shù)f(x)和g(x)都是增函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，f(x)＋g(x)是增函數(shù)；根據(jù)同增異減判斷復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的單調(diào)性．提醒求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不能用符號(hào)“∪”和“或”連接，可用“與”連接或用“，”隔開(kāi)．單調(diào)區(qū)間必須是“區(qū)間”，而不能用集合或不等式代替．4．指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)(1)定點(diǎn)：y＝ax(a>0，且a≠1)恒過(guò)(0，1)點(diǎn)；y＝logax(a>0，且a≠1)恒過(guò)(1，0)點(diǎn)．(2)單調(diào)性：當(dāng)a>1時(shí)，y＝ax在R上單調(diào)遞增；y＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)0<a<1時(shí)，y＝ax在R上單調(diào)遞減；y＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．5．導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)f′(x0)的幾何意義：曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率，該切線的方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).(2)切點(diǎn)的兩大特征：①在曲線y＝f(x)上；②在切線上．6．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(1)求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟①求函數(shù)f(x)的定義域；②求導(dǎo)函數(shù)f′(x)；③由f′(x)>0的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間，由f′(x)<0的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間．(2)由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍①若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間M上單調(diào)遞增，則f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間M上單調(diào)遞減，則f′(x)≤0(x∈M)恒成立(注意：等號(hào)不恒成立)；②若可導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上存在單調(diào)遞增(減)區(qū)間，f′(x)>0(或f′(x)<0)在該區(qū)間上存在解集；③若已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I中含有參數(shù)時(shí)，可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，則I是其單調(diào)區(qū)間的子集．提醒已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(減)，則f′(x)≥0(≤0)對(duì)?x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“＝”，且需驗(yàn)證“＝”不能恒成立；已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間為(a，b)，則f′(x)>0(<0)的解集為(a，b).7．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值(1)求函數(shù)的極值的一般步驟①確定函數(shù)的定義域；②解方程f′(x)＝0；③判斷f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0兩側(cè)的符號(hào)變化；若左正右負(fù)，則x0為極大值點(diǎn)；若左負(fù)右正，則x0為極小值點(diǎn)；若不變號(hào)，則x0不是極值點(diǎn)．(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最值的一般步驟①求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]內(nèi)的極值；②比較函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)的大小，最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．提醒f′(x)＝0的解不一定是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)．一定要檢驗(yàn)在x＝x0的兩側(cè)f′(x)的符號(hào)是否發(fā)生變化，若變化，則為極值點(diǎn)；若不變化，則不是極值點(diǎn)．必會(huì)結(jié)論(1)若f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)，則函數(shù)f(x)的周期為2|a|；若f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，則函數(shù)f(x)的周期為2|a|.(2)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)(a≠0，f(x)≠0)，則函數(shù)f(x)的周期為2|a|；若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)(a≠0，f(x)≠0)，則函數(shù)f(x)的周期為2|a|.(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，則函數(shù)f(x)的周期為|a－b|.(4)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a與x＝b(a≠b)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)的周期為2|b－a|.(5)若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x＝a(a≠0)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)的周期為2|a|.(6)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x＝a(a≠0)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)的周期為4|a|.2．函數(shù)圖象的對(duì)稱性(1)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，則f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱；(2)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱；(3)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對(duì)稱．3．三次函數(shù)的相關(guān)結(jié)論給定三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，求導(dǎo)得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)，則(1)當(dāng)4(b2－3ac)>0時(shí)，f′(x)＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，即f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)4(b2－3ac)≤0時(shí)，f(x)無(wú)極值點(diǎn)．(2)若函數(shù)f(x)的圖象存在水平切線，則f′(x)＝0有實(shí)數(shù)解，從而4(b2－3ac)≥0.(3)若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，則a>0且4(b2－3ac)≤0.易錯(cuò)剖析易錯(cuò)點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)區(qū)間理解不準(zhǔn)確【突破點(diǎn)】對(duì)于函數(shù)的幾個(gè)不同的單調(diào)遞增(減)區(qū)間，切忌使用并集，只要指明這幾個(gè)區(qū)間是該函數(shù)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間即可．易錯(cuò)點(diǎn)2判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)忽略定義域【突破點(diǎn)】一個(gè)函數(shù)具備奇偶性的必要條件是這個(gè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果不具備這個(gè)條件，函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)．易錯(cuò)點(diǎn)3用判別式求函數(shù)值域，忽視判別式存在的前提【突破點(diǎn)】(1)確保二次項(xiàng)前的系數(shù)不等于零．(2)確認(rèn)函數(shù)的定義域沒(méi)有其他限制．(3)注意檢驗(yàn)答案區(qū)間端點(diǎn)是否符合要求．易錯(cuò)點(diǎn)4函數(shù)零點(diǎn)定理使用不當(dāng)【突破點(diǎn)】只有函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)曲線，且有f(a)f(b)<0時(shí)，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)才有零點(diǎn)，但f(a)f(b)>0時(shí)，不能否定函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)．易錯(cuò)點(diǎn)5不清楚導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系【突破點(diǎn)】(1)f′(x0)＝0只是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x0處取得極值的必要條件，即必須有這個(gè)條件，但只有這個(gè)條件還不夠，還要考慮f′(x)在x0兩側(cè)是否異號(hào)．(2)已知極值點(diǎn)求參數(shù)要進(jìn)行檢驗(yàn)．易錯(cuò)點(diǎn)6混淆“切點(diǎn)”致誤【突破點(diǎn)】注意區(qū)分“過(guò)點(diǎn)A的切線方程”與“在點(diǎn)A處的切線方程”的不同．“在”說(shuō)明這點(diǎn)就是切點(diǎn)，“過(guò)”只說(shuō)明切線過(guò)這個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)不一定是切點(diǎn)．易錯(cuò)點(diǎn)7導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系理解不準(zhǔn)確【突破點(diǎn)】(1)f′(x)>0(<0)(x∈(a，b))是f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(遞減)的充分不必要條件．(2)對(duì)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上為單調(diào)增(減)函數(shù)的充要條件為：對(duì)于任意x∈(a，b)，有f′(x)≥0(≤0)且f′(x)在(a，b)內(nèi)的任何子區(qū)間上都不恒為零．若求單調(diào)區(qū)間，可用充分條件．若由單調(diào)性求參數(shù)，可用充要條件．即f′(x)≥0(或f(x)≤0)，否則容易漏解．易錯(cuò)快攻易錯(cuò)快攻一函數(shù)零點(diǎn)定理使用不當(dāng)[典例1]設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋1（x≤0），,|log4x|（x>0），))若關(guān)于x的方程f2(x)－(a＋2)f(x)＋3＝0恰好有六個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(－2eq\r(3)－2，2eq\r(3)－2)B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(2\r(3)－2，\f(3,2)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))D．(2eq\r(3)－2，＋∞)糾錯(cuò)技巧(1)F(g(x))＝0的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題的解題關(guān)鍵是正確轉(zhuǎn)化所給條件，其轉(zhuǎn)化思路為：先進(jìn)行整體換元，將F(g(x))＝0轉(zhuǎn)化為方程F(t)＝0(t＝g(x))的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，然后轉(zhuǎn)化為t＝g(x)的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，再轉(zhuǎn)化為y＝t與y＝g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題．(2)“以形助數(shù)”是研究函數(shù)問(wèn)題時(shí)常采用的策略，本題在作函數(shù)f(x)的圖象時(shí)，要注意指數(shù)函數(shù)3x>0.(3)由關(guān)于t的一元二次方程的實(shí)根分布情況得到關(guān)于a的不等式組是求解本題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，注意一元二次方程的實(shí)根分布問(wèn)題一般需要從一元二次方程根的判別式，對(duì)應(yīng)二次函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)所取值的正負(fù)，對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的位置關(guān)系三方面考慮．易錯(cuò)快攻二混淆“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)”“函數(shù)存在單調(diào)區(qū)間”[典例2][2022·山東臨沂高三期末]已知函數(shù)f(x)＝ex－ax－cosx，g(x)＝f(x)－x，a∈R.(1)若f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，求a的最大值；(2)當(dāng)a取(1)中所求的最大值時(shí)，討論g(x)在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明g(x)>－eq\r(2).糾錯(cuò)技巧(1)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的常用解法有兩種：一種是子區(qū)間法，即利用集合思想求解；另一種是恒成立法，即若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減，則f′(x)≤0在區(qū)間D上恒成立(且不恒等于0).若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，則f′(x)≥0在區(qū)間D上恒成立(且不恒等于0).(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間的方法是解不等式f′(x)<0，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間的方法是解不等式f′(x“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”與“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)”，一定要弄清題意，勿因“＝”出錯(cuò)．(四)三角函數(shù)與平面向量必記知識(shí)公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限提醒奇變偶不變，符號(hào)看象限“奇、偶”指的是eq\f(π,2)的倍數(shù)是奇數(shù)，還是偶數(shù)，“變與不變”指的是三角函數(shù)名稱的變化，“變”是指正弦變余弦(或余弦變正弦).“符號(hào)看象限”的含義是：把角α看作銳角，看n·eq\f(π,2)±α(n∈Z)是第幾象限角，從而得到等式右邊是正號(hào)還是負(fù)號(hào)．2．三種三角函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象單調(diào)性在[－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增；在[eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(3π,2)＋2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減在(－eq\f(π,2)＋kπ，eq\f(π,2)＋kπ)(k∈Z)上單調(diào)遞增對(duì)稱性對(duì)稱中心：(kπ，0)(k∈Z)；對(duì)稱軸：x＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)對(duì)稱中心：(eq\f(π,2)＋kπ，0)(k∈Z)；對(duì)稱軸：x＝kπ(k∈Z)對(duì)稱中心：(eq\f(kπ,2)，0)(k∈Z)提醒求函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要注意A與ω的符號(hào)，當(dāng)ω<0時(shí)，需把ω的符號(hào)化為正值后求解．3．三角函數(shù)圖象的變換由函數(shù)y＝sinx的圖象變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種方法提醒圖象變換的實(shí)質(zhì)是點(diǎn)的坐標(biāo)的變換，所以三角函數(shù)圖象的伸縮、平移變換可以利用兩個(gè)函數(shù)圖象上的特征點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)確定變換的方式，一般選取離y軸最近的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，當(dāng)然也可以選取在原點(diǎn)左側(cè)或右側(cè)的第一個(gè)對(duì)稱中心點(diǎn)，根據(jù)這些點(diǎn)的坐標(biāo)即可確定變換的方式、平移的單位與方向等．4．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ.tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ).sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β(平方正弦公式).cos(α＋β)cos(α－β)＝cos2α－sin2β.5．二倍角、輔助角及半角公式(1)二倍角公式sin2α＝2sinαcosα.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).①1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2.②1－sin2α＝(sinα－cosα)2.(2)輔助角公式y(tǒng)＝asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中角φ的終邊所在象限由a，b的符號(hào)確定，角φ的值由tanφ＝eq\f(b,a)(a≠0)確定．6．正、余弦定理及其變形(在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑)定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA；(5)eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)＝2RcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)提醒在已知兩邊和其中一邊的對(duì)角時(shí)，要注意檢驗(yàn)解是否滿足“大邊對(duì)大角”，避免增解.7．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角．結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))數(shù)量積a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))·\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立)|x1x2＋y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))·eq\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))提醒(1)要特別注意零向量帶來(lái)的問(wèn)題：0的模是0，方向任意，并不是沒(méi)有方向；0與任意非零向量平行．(2)a·b>0是〈a，b〉為銳角的必要不充分條件；a·b<0是〈a，b〉為鈍角的必要不充分條件.必會(huì)結(jié)論1.降冪、升冪公式(1)降冪公式①sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；②cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；③sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α.(2)升冪公式①1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)；②1－cosα＝2sin2eq\f(α,2)；③1＋sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)＋cos\f(α,2)))eq\s\up12(2)；④1－sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)－cos\f(α,2)))eq\s\up12(2).2．常見(jiàn)的輔助角結(jié)論(1)sinx±cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x±\f(π,4))).(2)cosx±sinx＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x?\f(π,4))).(3)sinx±eq\r(3)cosx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x±\f(π,3))).(4)cosx±eq\r(3)sinx＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x?\f(π,3))).(5)eq\r(3)sinx±cosx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x±\f(π,6))).(6)eq\r(3)cosx±sinx＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x?\f(π,6))).易錯(cuò)剖析易錯(cuò)點(diǎn)1忽視零向量【突破點(diǎn)】零向量是向量中最特殊的向量，規(guī)定零向量的長(zhǎng)度為0，其方向是任意的，零向量與任意向量都共線．易錯(cuò)點(diǎn)2向量投影理解錯(cuò)誤【突破點(diǎn)】把向量投影錯(cuò)以為只是正數(shù)．事實(shí)上，向量a在向量b上的投影|a|cosθ是一個(gè)實(shí)數(shù)，可以是正數(shù)，可以是負(fù)數(shù)，也可以是零．易錯(cuò)點(diǎn)3不清楚向量夾角范圍【突破點(diǎn)】數(shù)學(xué)試題中往往隱含著一些容易被考生所忽視的因素，能不能在解題時(shí)把這些因素考慮到，是解題成功的關(guān)鍵，如當(dāng)a·b<0時(shí)，a與b的夾角不一定為鈍角，要注意隱含的情況．易錯(cuò)點(diǎn)4忽視正、余弦函數(shù)的有界性【突破點(diǎn)】許多三角函數(shù)問(wèn)題可以通過(guò)換元的方法轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題解決，在換元時(shí)注意正、余弦函數(shù)的有界性．易錯(cuò)點(diǎn)5忽視三角函數(shù)值對(duì)角的范圍的限制【突破點(diǎn)】在解決三角函數(shù)中的求值問(wèn)題時(shí)，不僅要看已知條件中角的范圍，更重要的是注意挖掘隱含條件，根據(jù)三角函數(shù)值縮小角的范圍．易錯(cuò)點(diǎn)6忽視解三角形中的細(xì)節(jié)問(wèn)題【突破點(diǎn)】(1)解三角形時(shí)，不要忽視角的取值范圍．(2)由兩個(gè)角的正弦值相等求兩角關(guān)系時(shí)，注意不要忽視兩角互補(bǔ)的情況．(3)利用正弦定理、余弦定理判斷三角形形狀時(shí)，切忌出現(xiàn)漏解情況．易錯(cuò)點(diǎn)7三角函數(shù)性質(zhì)理解不透徹【突破點(diǎn)】(1)研究奇偶性時(shí)，忽視定義域的要求．(2)研究對(duì)稱性時(shí)，忽視y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的對(duì)稱軸有無(wú)窮條、對(duì)稱中心有無(wú)數(shù)個(gè)．(3)研究周期性時(shí)，錯(cuò)將y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的周期寫(xiě)成eq\f(2π,ω).易錯(cuò)點(diǎn)8圖象變換方向或變換量把握不準(zhǔn)確【突破點(diǎn)】圖象變換若先作周期變換，再作相位變換，應(yīng)左(右)平移eq\f(|φ|,ω)(ω>0)個(gè)單位．另外注意根據(jù)φ的符號(hào)判定平移的方向．易錯(cuò)快攻易錯(cuò)快攻一忽視向量的夾角范圍致誤[典例1][2022·山東淄博高三期末]已知向量a、b滿足|a|＝|b|＝2，且a－b在a上的投影的數(shù)量為2＋eq\r(3)，則〈a，b〉＝()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3)D．eq\f(5π,6)[嘗試解題]糾錯(cuò)技巧求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵是：根據(jù)向量的數(shù)量積定義，得到cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).求解時(shí)，要注意兩向量夾角的取值范圍為[0，π].易錯(cuò)快攻二函數(shù)圖象平移的方向把握不準(zhǔn)[典例2]已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋eq\r(3)cos2x的圖象向右平移φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))個(gè)單位長(zhǎng)度后，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則φ＝()A．eq\f(π,12)B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,3)D．eq\f(5π,12)[嘗試解題]糾錯(cuò)技巧(1)函數(shù)y＝sinωx，ω>0的圖象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移eq\f(|φ|,ω)個(gè)單位長(zhǎng)度(“左加右減”)，得到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)的圖象．(2)解此類題時(shí)需要特別注意的地方有：①三角函數(shù)圖象變換的口訣為“左加右減，上加下減”；②自變量的系數(shù)在非“1”狀態(tài)下的“提取”技巧．(五)數(shù)列必記知識(shí)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則(1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d，若p＋q＝m＋n，則ap＋aq＝am＋an.(2)ap＝q，aq＝p(p≠q)?ap＋q＝0；Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd.(3)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列．(4)eq\f(Sn,n)＝eq\f(d,2)n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))是關(guān)于n的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差數(shù)列．(5)Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝eq\f(n（a2＋an－1）,2)＝eq\f(n（a3＋an－2）,2)＝….(6)若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2m(m∈N*)，公差為d，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則所有項(xiàng)之和S2m＝m(am＋am＋1)(am，am＋1為中間兩項(xiàng))，S偶－S奇＝md，eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(am＋1,am).(7)若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2m－1(m∈N*)，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則所有項(xiàng)之和S2m－1＝(2m－1)am(am為中間項(xiàng))，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(m,m－1).(8)若Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，則Sm＋n＝－(m＋n).2．等比數(shù)列(1)an＝am·qn－m，an＋m＝anqm＝amqn(m，n∈N*).(2)若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq；反之，不一定成立(m，n，p，q∈N*).(3)a1a2a3…am，am＋1am＋2…a2m，a2m＋1a2m＋2…a3m，…成等比數(shù)列(m∈N*).(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，Skn－S(k－1)n，…成等比數(shù)列(n≥2，且n∈N*).(5)若等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n(n∈N*)，公比為q，奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則eq\f(S偶,S奇)＝q.(6){an}，{bn}成等比數(shù)列，則{λan}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{anbn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))成等比數(shù)列(λ≠0，n∈N*).(7)通項(xiàng)公式an＝a1qn－1＝eq\f(a1,q)·qn，從函數(shù)的角度來(lái)看，它可以看作是一個(gè)常數(shù)與一個(gè)關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)的積，其圖象是指數(shù)型函數(shù)圖象上一系列孤立的點(diǎn)．(8)與等差中項(xiàng)不同，只有同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才能有等比中項(xiàng)；兩個(gè)同號(hào)的數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)．(9)三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為eq\f(x,q)，x，xq；四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為eq\f(x,q3)，eq\f(x,q)，xq，xq3.提醒（1）如果數(shù)列{an}成等差數(shù)列，那么數(shù)列{}（總有意義）必成等比數(shù)列．（2）如果數(shù)列{an}成等比數(shù)列，且an>0，那么數(shù)列{logaan}（a>1且a≠1）必成等差數(shù)列．（3）如果數(shù)列{an}既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列{an}是非零常數(shù)列；數(shù)列{an}是常數(shù)列僅是數(shù)列{an}既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要不充分條件．（4）如果兩個(gè)等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原來(lái)兩個(gè)等差數(shù)列的公差的最小公倍數(shù)．（5）如果由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的公共項(xiàng)順次組成一個(gè)新數(shù)列，那么常選用“由特殊到一般”的方法進(jìn)行討論，且以等比數(shù)列的項(xiàng)為主，探求等比數(shù)列中哪些項(xiàng)是它們的公共項(xiàng)，從而分析構(gòu)成什么樣的新數(shù)列．必會(huì)結(jié)論(1)作差比較法：an＋1－an>0?數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；an＋1－an<0?數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；an＋1－an＝0?數(shù)列{an}是常數(shù)列．(2)作商比較法：①當(dāng)an>0時(shí)，則eq\f(an＋1,an)>1?數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；0<eq\f(an＋1,an)<1?數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；eq\f(an＋1,an)＝1?數(shù)列{an}是常數(shù)列．②當(dāng)an<0時(shí)，則eq\f(an＋1,an)>1?數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；0<eq\f(an＋1,an)<1?數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；eq\f(an＋1,an)＝1?數(shù)列{an}是常數(shù)列．(3)結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷．2．?dāng)?shù)列中項(xiàng)的最值的求法(1)借用構(gòu)造法求解：根據(jù)數(shù)列與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)f(n)＝an(n∈N*)，利用求解函數(shù)最值的方法進(jìn)行求解即可，但要注意自變量的取值必須是正整數(shù)．(2)利用數(shù)列的單調(diào)性求解：利用不等式an＋1≥an(或an＋1≤an)求出n的取值范圍，從而確定數(shù)列單調(diào)性的變化，進(jìn)而求出數(shù)列中項(xiàng)的最值．(3)轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的不等式組求解：若求數(shù)列{an}的最大項(xiàng)，則可轉(zhuǎn)化為求解eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1，))若求數(shù)列{an}的最小項(xiàng)，則可轉(zhuǎn)化為求解eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1，))求出n的取值范圍之后再確定取得最值的項(xiàng)．3．求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法(1)公式法：①等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)已知Sn(a1＋a2＋…＋an＝Sn)，求an，用作差法：an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1（n＝1），,Sn－Sn－1（n≥2）.))(3)已知a1·a2·…·an＝f(n)，an≠0，求an，用作商法：an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（1）（n＝1），,\f(f（n）,f（n－1）)（n≥2）.))(4)已知an＋1－an＝f(n)，求an，用累加法：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋f(1)＋a1(n≥2).(5)已知eq\f(an＋1,an)＝f(n)，求an，用累乘法：an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1＝f(n－1)·f(n－2)·…·f(1)·a1(n≥2).(6)構(gòu)造等比數(shù)列法：若已知數(shù)列{an}中，an＋1＝pan＋q(p≠0，p≠1，q≠0)，a1≠eq\f(q,1－p)，設(shè)存在非零常數(shù)λ，使得an＋1＋λ＝p(an＋λ)，其中λ＝eq\f(q,p－1)，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋\f(q,p－1)))就是以a1＋eq\f(q,p－1)為首項(xiàng)，p為公比的等比數(shù)列，先求出數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋\f(q,p－1)))的通項(xiàng)公式，再求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式即可．(7)倒數(shù)法：若an＝eq\f(man－1,k（an－1＋b）)(mkb≠0，n≥2)，對(duì)an＝eq\f(man－1,k（an－1＋b）)取倒數(shù)，得到eq\f(1,an)＝eq\f(k,m)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,an－1)))，即eq\f(1,an)＝eq\f(kb,m)·eq\f(1,an－1)＋eq\f(k,m).令bn＝eq\f(1,an)，則{bn}可歸納為bn＋1＝pbn＋q(p≠0，q≠0)型．4．?dāng)?shù)列求和的常用方法(1)公式法：①等差數(shù)列的求和公式；②等比數(shù)列的求和公式；③常用公式，即1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(1,2)n(n＋1)，12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)，1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，n∈N*.(2)分組求和法：當(dāng)直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中的“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和．(3)倒序相加法：在數(shù)列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)的和有共性，則常考慮選用倒序相加法進(jìn)行求和．(4)錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成的，那么常選用錯(cuò)位相減法將其和轉(zhuǎn)化為“一個(gè)新的等比數(shù)列的和”，從而進(jìn)行求解．(5)裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可分裂成“兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和．常用的裂項(xiàng)形式有①eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)；②eq\f(1,n（n＋k）)＝eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋k)))；③eq\f(1,k2)<eq\f(1,k2－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k－1)－\f(1,k＋1)))(k≥2)，eq\f(1,k)－eq\f(1,k＋1)＝eq\f(1,（k＋1）k)<eq\f(1,k2)<eq\f(1,（k－1）k)＝eq\f(1,k－1)－eq\f(1,k)(k≥2)；④eq\f(1,n（n＋1）（n＋2）)＝eq\f(1,2)[eq\f(1,n（n＋1）)－eq\f(1,（n＋1）（n＋2）)].易錯(cuò)剖析易錯(cuò)點(diǎn)1數(shù)列中的最值錯(cuò)誤【突破點(diǎn)】在關(guān)于正整數(shù)n的二次函數(shù)中取最值的要點(diǎn)：根據(jù)正整數(shù)距離二次函數(shù)的對(duì)稱軸的遠(yuǎn)近而定．易錯(cuò)點(diǎn)2不清楚an與Sn的關(guān)系【突破點(diǎn)】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，求an時(shí)，利用an＝Sn—Sn－1，需注意分n＝1和n≥2兩種情況討論．易錯(cuò)點(diǎn)3不清楚裂項(xiàng)和拆項(xiàng)的規(guī)律，導(dǎo)致多項(xiàng)或少項(xiàng)【突破點(diǎn)】“裂項(xiàng)法”的特點(diǎn)：①分式的每個(gè)分子相同，分母都是兩個(gè)(或三個(gè))代數(shù)式相乘，若不具備就需要轉(zhuǎn)化；②剩余項(xiàng)一般是前后對(duì)稱．常見(jiàn)形式有：eq\f(a,n（n＋1）)，eq\f(a,n2＋2n)，eq\f(a,\r(n)＋\r(n＋1)).易錯(cuò)點(diǎn)4忽視對(duì)等比數(shù)列中公比的分類討論【突破點(diǎn)】在解決等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和時(shí)，通常只想到Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)，把q＝1的情況不自覺(jué)地排除在外，這是對(duì)前n項(xiàng)和公式理解不透所致．解等比數(shù)列的問(wèn)題，一定要注意對(duì)公比的分類討論．易錯(cuò)快攻易錯(cuò)快攻一忽視對(duì)n＝1的檢驗(yàn)致錯(cuò)[典例1][2022·四川什邡中學(xué)模擬]數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n2－2n＋1，則它的通項(xiàng)公式是________．[嘗試解題]糾錯(cuò)技巧數(shù)列{an}中，由Sn與an的等量關(guān)系式求an時(shí)，先利用a1＝S1求出首項(xiàng)a1，然后用n－1替換等量關(guān)系式中的n，得到一個(gè)新的等量關(guān)系式，再利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式，最后對(duì)n＝1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合n≥2時(shí)an的表達(dá)式，若符合，則可以把數(shù)列{an}的通項(xiàng)合寫(xiě)，若不符合，則應(yīng)該分n＝1與n≥2兩段來(lái)寫(xiě)．而an－an－1＝d(n≥2)與an＋1－an＝d(n∈N*)等價(jià)，eq\f(an,an－1)＝q(n≥2)與eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*)等價(jià)，不需驗(yàn)證n＝1的情形．易錯(cuò)快攻二忽視公比q的取值[典例2]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝Aqn＋B(q≠0)，則“A＝－B”是“數(shù)列{an}是等比數(shù)列”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[嘗試解題]糾錯(cuò)技巧(1)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1（q＝1），,\f(a1（1－qn）,1－q)（q≠1），))特別注意q＝1時(shí)，Sn＝na1這一特殊情況．(2)計(jì)算過(guò)程中，若出現(xiàn)方程qn＝t，要看qn中的n是奇數(shù)還是偶數(shù)，若n是奇數(shù)，則q＝eq\r(n,t)；若n是偶數(shù)，則t>0時(shí)，q＝±eq\r(n,t)，t<0時(shí)，無(wú)解．(六)立體幾何必記知識(shí)幾何體側(cè)面積表面積體積圓柱S側(cè)＝2πrlS表＝2πr(r＋l)V＝S底h＝πr2h圓錐S側(cè)＝πrlS表＝πr(r＋l)V＝eq\f(1,3)S底h＝eq\f(1,3)πr2h圓臺(tái)S側(cè)＝π(r＋r′)lS表＝π(r2＋r′2＋rl＋r′l)V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(r2＋r′2＋rr′)h直棱柱S側(cè)＝Ch(C為底面周長(zhǎng))S表＝S側(cè)＋S上＋S下(棱錐的S上＝0)V＝S底h正棱錐S側(cè)＝eq\f(1,2)Ch′(C為底面周長(zhǎng)，h′為斜高)V＝eq\f(1,3)S底h正棱臺(tái)S側(cè)＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′(C，C′分別為上、下底面周長(zhǎng)，h′為斜高)V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3(1)線線平行：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a?β,α∩β＝b))?a∥b，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))?a∥b，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a∥c))?c∥b.(2)線面平行：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b?α,a?α))?a∥α，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,a?β))?a∥α，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,a⊥β,a?α))?a∥α.(3)面面平行：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α，b?α,a∩b＝O,a∥β，b∥β))?α∥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a⊥β))?α∥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,γ∥β))?α∥γ.(4)線線垂直：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b?α))?a⊥b.(5)線面垂直：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α，b?α,a∩b＝O,l⊥a，l⊥b))?l⊥α，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝l,a?α，a⊥l))?a⊥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,a⊥α))?a⊥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a⊥α))?b⊥α.(6)面面垂直：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?β,a⊥α))?α⊥β，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥β,a⊥α))?α⊥β.提醒要注意空間線面平行與垂直關(guān)系中的判定定理和性質(zhì)定理中的條件．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易誤得出m⊥β的結(jié)論，就是因?yàn)楹鲆暶婷娲怪钡男再|(zhì)定理中m?α的限制條件．必會(huì)結(jié)論俯視圖放在正(主)視圖的下面，長(zhǎng)度與正(主)視圖一樣；側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖的右面，高度與正(主)視圖一樣，寬度與俯視圖一樣．2．平行、垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化示意圖3．球的組合體(1)球與長(zhǎng)方體的組合體：長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)．(2)球與正方體的組合體：正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng)，正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)，正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)．(3)球與正四面體的組合體：棱長(zhǎng)為a的正四面體的內(nèi)切球的半徑為eq\f(\r(6),12)a(正四面體高eq\f(\r(6),3)a的eq\f(1,4))，外接球的半徑為eq\f(\r(6),4)a(正四面體高eq\f(\r(6),3)a的eq\f(3,4)).易錯(cuò)剖析易錯(cuò)點(diǎn)1隨意推廣平面幾何中的結(jié)論【突破點(diǎn)】平面幾何中有些概念和性質(zhì)，推廣到空間中不一定成立．例如“過(guò)直線外一點(diǎn)只能作一條直線與已知直線垂直”“垂直于同一條直線的兩條直線平行”等性質(zhì)在空間中就不成立．易錯(cuò)點(diǎn)2不清楚空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系【突破點(diǎn)】解決這類問(wèn)題的基本思路有兩個(gè)：一是逐個(gè)尋找反例作出否定的判斷或逐個(gè)進(jìn)行邏輯證明作出肯定的判斷；二是結(jié)合長(zhǎng)方體模型或?qū)嶋H空間位置(如課桌、教室)作出判斷，要注意定理應(yīng)用準(zhǔn)確、考慮問(wèn)題全面細(xì)致．易錯(cuò)點(diǎn)3忽視三視圖中的實(shí)、虛線【突破點(diǎn)】三視圖是根據(jù)正投影原理進(jìn)行繪制，嚴(yán)格按照“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”的規(guī)則去畫(huà)，若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的原分界線，且分界線和可視輪廓線都用實(shí)線畫(huà)出，不可見(jiàn)的輪廓線用虛線畫(huà)出．易錯(cuò)點(diǎn)4表面積的計(jì)算不準(zhǔn)確【突破點(diǎn)】在求表面積時(shí)還要注意空間物體是不是中空的，表面積與側(cè)面積要認(rèn)真區(qū)分．易錯(cuò)點(diǎn)5對(duì)折疊與展開(kāi)問(wèn)題認(rèn)識(shí)不清致誤【突破點(diǎn)】注意折疊或展開(kāi)過(guò)程中平面圖形與空間圖形中的變量與不變量，不僅要注意哪些變了，哪些沒(méi)變，還要注意位置關(guān)系的變化．易錯(cuò)快攻易錯(cuò)快攻忽視三視圖中實(shí)線與虛線的區(qū)別[典例]如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()A．eq\f(16π,3)B．eq\f(11π,2)C．eq\f(17π,3)D．eq\f(35π,6)[嘗試解題]糾錯(cuò)技巧本題中，由三視圖還原空間幾何體時(shí)容易出錯(cuò)．首先，要熟悉簡(jiǎn)單幾何體的三種視圖，要特別注意視圖中虛線與實(shí)線的區(qū)別，抓住這一點(diǎn)是識(shí)圖、畫(huà)圖的關(guān)鍵；其次，要善于由三視圖想象出簡(jiǎn)單幾何體的形狀．(七)解析幾何必記知識(shí)(1)點(diǎn)斜式：y－y1＝k(x－x1)(直線過(guò)點(diǎn)P1(x1，y1)，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線).(2)斜截式：y＝kx＋b(b為直線l在y軸上的截距，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線).(3)兩點(diǎn)式：eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(直線過(guò)點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐標(biāo)軸和平行于坐標(biāo)軸的直線).(4)截距式：eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a，b分別為直線的橫、縱截距，且a≠0，b≠0，不包括坐標(biāo)軸、平行于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線).(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時(shí)為0).2．直線的兩種位置關(guān)系當(dāng)不重合的兩條直線l1和l2的斜率存在時(shí)：(1)兩直線平行l(wèi)1∥l2?k1＝k2.(2)兩直線垂直l1⊥l2?k1·k2＝－1.提醒當(dāng)一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在時(shí)，兩直線也垂直，此種情形易忽略．3．三種距離公式(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)間的距離|AB|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).(2)點(diǎn)到直線的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))(其中點(diǎn)P(x0，y0)，直線方程為Ax＋By＋C＝0).(3)兩平行線間的距離d＝eq\f(|C2－C1|,\r(A2＋B2))(其中兩平行線方程分別為l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2).提醒應(yīng)用兩平行線間距離公式時(shí)，注意兩平行線方程中x，y的系數(shù)應(yīng)對(duì)應(yīng)相等．4．圓的方程的兩種形式(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).5．直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系(1)直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離，代數(shù)判斷法與幾何判斷法．(2)圓與圓的位置關(guān)系：相交、內(nèi)切、外切、外離、內(nèi)含，代數(shù)判斷法與幾何判斷法．6．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形幾何性質(zhì)范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a對(duì)稱性對(duì)稱軸：x軸，y軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)焦點(diǎn)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)；B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)；B1(－b，0)，B2(b，0)軸線段A1A2，B1B2分別是橢圓的長(zhǎng)軸和短軸；長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，短軸長(zhǎng)為2b焦距|F1F2|＝2c離心率焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比值：e∈(0，1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b2提醒橢圓的離心率反映了焦點(diǎn)遠(yuǎn)離中心的程度，e的大小決定了橢圓的形狀，反映了橢圓的圓扁程度．因?yàn)閍2＝b2＋c2，所以eq\f(b,a)＝eq\r(1－e2)，因此，當(dāng)e越趨近于1時(shí)，eq\f(b,a)越趨近于0，橢圓越扁；當(dāng)e越趨近于0時(shí)，eq\f(b,a)越趨近于1，橢圓越接近于圓．所以e越大橢圓越扁；e越小橢圓越圓，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b，c＝0時(shí)，橢圓變?yōu)閳A，方程為x2＋y2＝a2(a>0).7．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b＞0)圖形幾何性質(zhì)范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對(duì)稱性對(duì)稱軸：x軸，y軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)焦點(diǎn)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)軸線段A1A2，B1B2分別是雙曲線的實(shí)軸和虛軸；實(shí)軸長(zhǎng)為2a，虛軸長(zhǎng)為2b焦距|F1F2|＝2c離心率焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比值：e∈(1，＋∞)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)xa，b，c的關(guān)系a2＝c2－b2提醒(1)離心率e的取值范圍為(1，＋∞).當(dāng)e越接近于1時(shí)，雙曲線開(kāi)口越?。划?dāng)e越接近于＋∞時(shí)，雙曲線開(kāi)口越大．(2)滿足||PF1|－|PF2||＝2a的點(diǎn)P的軌跡不一定是雙曲線，當(dāng)2a＝0時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2的中垂線；當(dāng)0<2a<|F1F2|時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是雙曲線；當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是兩條射線；當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，點(diǎn)P的軌跡不存在．8．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形幾何性質(zhì)對(duì)稱軸x軸y軸頂點(diǎn)O(0，0)焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R離心率e＝1必會(huì)結(jié)論(1)過(guò)圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＝r2；(2)過(guò)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；(3)過(guò)圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，則過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線方程為x0x＋y0y＝r2；(4)過(guò)圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一點(diǎn)P(x0，y0)引圓的切線，切點(diǎn)為T，則|PT|＝eq\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋Dx0＋Ey0＋F)；(5)過(guò)圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)外一點(diǎn)P(x0，y0)作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則切點(diǎn)弦AB所在的直線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；(6)若圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，則過(guò)圓外一點(diǎn)P(x0，y0)的切線長(zhǎng)d＝eq\r(（x0－a）2＋（y0－b）2－r2).2．橢圓中焦點(diǎn)三角形的相關(guān)結(jié)論由橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形．解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題常利用橢圓的定義和正、余弦定理．以橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點(diǎn)P(x0，y0)(y0≠0)和焦點(diǎn)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)為頂點(diǎn)的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，則(1)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0(焦半徑公式)，|PF1|＋|PF2|＝2a.(e為橢圓的離心率)(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.(3)S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，當(dāng)|y0|＝b，即P為短軸端點(diǎn)時(shí)，S△PF1F2取得最大值，為bc.(4)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(a＋c).3．雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系(1)若雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則漸近線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，即y＝±eq\f(b,a)x.(2)若漸近線的方程為y＝±eq\f(b,a)x(a>0，b>0)，即eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0，則雙曲線的方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ.(λ≠0)(3)若所求雙曲線與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共漸近線，其方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ>0，焦點(diǎn)在x軸上；λ<0，焦點(diǎn)在y軸上).4．雙曲線常用的結(jié)論(1)雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.(2)若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦)，其長(zhǎng)為eq\f(2b2,a)，異支的弦中最短的為實(shí)軸，其長(zhǎng)為2a.(4)P是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)A、B的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則kPA·kPB＝eq\f(b2,a2)，S△PF1F2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))，其中θ為∠F1PF2.(5)P是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)右支上不同于實(shí)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦