【數(shù)學(xué)】空間向量與立體幾何（知識(shí)清單 典型例題） 2023-2024學(xué)年高二（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）

第一章空間向量與立體幾何（知識(shí)清單+典型例題）【知識(shí)導(dǎo)圖】【知識(shí)清單】考點(diǎn)一：空間向量的有關(guān)概念1．空間向量(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長度或模：空間向量的大?。?3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，也可記作：eq\o(AB,\s\up8(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up8(→))|.2．幾類常見的空間向量名稱方向模記法零向量任意00單位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aeq\o(AB,\s\up8(→))的相反向量：eq\o(BA,\s\up8(→))相等向量相同相等a＝b【例1】(1)給出下列命題：①若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；②若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|；③在正方體ABCD-A1B1C1D1中，eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(A1C1,\s\up8(→))；④若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝p.其中正確命題的序號(hào)是________．(2)如圖所示，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，頂點(diǎn)連接的向量中，與向量eq\o(AA′,\s\up8(→))相等的向量有________；與向量eq\o(A′B′,\s\up8(→))相反的向量有________．(要求寫出所有適合條件的向量)(1)②③④(2)eq\o(BB′,\s\up8(→))，eq\o(CC′,\s\up8(→))，eq\o(DD′,\s\up8(→))eq\o(B′A′,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(C′D′,\s\up8(→))[(1)對(duì)于①，向量a與b的方向不一定相同或相反，故①錯(cuò)；對(duì)于②，根據(jù)相反向量的定義知|a|＝|b|，故②正確；對(duì)于③，根據(jù)相等向量的定義知，eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(A1C1,\s\up8(→))，故③正確；對(duì)于④，根據(jù)相等向量的定義知正確．(2)根據(jù)相等向量的定義知，與向量eq\o(AA′,\s\up8(→))相等的向量有eq\o(BB′,\s\up8(→))，eq\o(CC′,\s\up8(→))，eq\o(DD′,\s\up8(→)).與向量eq\o(A′B′,\s\up8(→))相反的向量有eq\o(B′A′,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(C′D′,\s\up8(→)).]【規(guī)律方法】解答空間向量有關(guān)概念問題的關(guān)鍵點(diǎn)及注意點(diǎn)(1)關(guān)鍵點(diǎn)：緊緊抓住向量的兩個(gè)要素，即大小和方向．(2)注意點(diǎn)：注意一些特殊向量的特性．①零向量不是沒有方向，而是它的方向是任意的，且與任何向量都共線，這一點(diǎn)說明了共線向量不具備傳遞性．②單位向量方向雖然不一定相同，但它們的長度都是1.③兩個(gè)向量模相等，不一定是相等向量；反之，若兩個(gè)向量相等，則它們不僅模相等，方向也相同.若兩個(gè)向量模相等,方向相反,則它們?yōu)橄喾聪蛄?考點(diǎn)二：空間向量的線性運(yùn)算(1)向量的加法、減法空間向量的運(yùn)算加法eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b減法eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝a－b加法運(yùn)算律①交換律：a＋b＝b＋a②結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(2)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算①定義：實(shí)數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．當(dāng)λ>0時(shí)，λa與向量a方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與向量a方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0；λa的長度是a的長度的|λ|倍．②運(yùn)算律a．結(jié)合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.b．分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.【例2】(1)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中運(yùn)算結(jié)果為向量eq\o(AC1,\s\up8(→))的有()①(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))＋eq\o(CC1,\s\up8(→))；②(eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1D1,\s\up8(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up8(→))；③(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BB1,\s\up8(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up8(→))；④(eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1B1,\s\up8(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up8(→)).A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)(2)已知正四棱錐P-ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中點(diǎn)，求下列各式中x，y，z的值．①eq\o(OQ,\s\up8(→))＝eq\o(PQ,\s\up8(→))＋yeq\o(PC,\s\up8(→))＋zeq\o(PA,\s\up8(→))；②eq\o(PA,\s\up8(→))＝xeq\o(PO,\s\up8(→))＋yeq\o(PQ,\s\up8(→))＋eq\o(PD,\s\up8(→)).[思路探究](1)合理根據(jù)向量的三角形和平行四邊形法則，以及在平行六面體中，體對(duì)角線向量等于從同一起點(diǎn)出發(fā)的三條棱向量的和．如eq\o(AC1,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→)).(2)根據(jù)數(shù)乘向量及三角形或平行四邊形法則求解．(1)D[對(duì)于①，(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))＋eq\o(CC1,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CC1,\s\up8(→))＝eq\o(AC1,\s\up8(→))；對(duì)于②，(eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1D1,\s\up8(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AD1,\s\up8(→))＋eq\o(D1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AC1,\s\up8(→))；對(duì)于③，(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BB1,\s\up8(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AB1,\s\up8(→))＋eq\o(B1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AC1,\s\up8(→))；對(duì)于④，(eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1B1,\s\up8(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AB1,\s\up8(→))＋eq\o(B1C1,\s\up8(→))＝eq\o(AC1,\s\up8(→)).](2)[解]①如圖，∵eq\o(OQ,\s\up8(→))＝eq\o(PQ,\s\up8(→))－eq\o(PO,\s\up8(→))＝eq\o(PQ,\s\up8(→))－eq\f(1,2)(eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→)))＝eq\o(PQ,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up8(→))，∴y＝z＝－eq\f(1,2).②∵O為AC的中點(diǎn)，Q為CD的中點(diǎn)，∴eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＝2eq\o(PO,\s\up8(→))，eq\o(PC,\s\up8(→))＋eq\o(PD,\s\up8(→))＝2eq\o(PQ,\s\up8(→))，∴eq\o(PA,\s\up8(→))＝2eq\o(PO,\s\up8(→))－eq\o(PC,\s\up8(→))，eq\o(PC,\s\up8(→))＝2eq\o(PQ,\s\up8(→))－eq\o(PD,\s\up8(→))，∴eq\o(PA,\s\up8(→))＝2eq\o(PO,\s\up8(→))－2eq\o(PQ,\s\up8(→))＋eq\o(PD,\s\up8(→))，∴x＝2，y＝－2.【規(guī)律方法】1．空間向量加法、減法運(yùn)算的兩個(gè)技巧(1)巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵，靈活運(yùn)用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量加、減法運(yùn)算時(shí)，務(wù)必注意和向量、差向量的方向，必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得運(yùn)算結(jié)果．2．利用數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧(1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí)，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量．(2)明確目標(biāo)：在化簡(jiǎn)過程中要有目標(biāo)意識(shí)，巧妙運(yùn)用中點(diǎn)性質(zhì)．考點(diǎn)三：共線問題(1)定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．(2)方向向量：在直線l上取非零向量a，與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對(duì)任意向量a，都有0∥a.(3)共線向量定理：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ使a＝λb.(4)如圖，O是直線l上一點(diǎn)，在直線l上取非零向量a，則對(duì)于直線l上任意一點(diǎn)P，由數(shù)乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.【例3】(1)設(shè)e1，e2是空間兩個(gè)不共線的向量，已知eq\o(AB,\s\up8(→))＝e1＋ke2，eq\o(BC,\s\up8(→))＝5e1＋4e2，eq\o(DC,\s\up8(→))＝－e1－2e2，且A，B，D三點(diǎn)共線，實(shí)數(shù)k＝________.(2)如圖所示，已知四邊形ABCD，ABEF都是平行四邊形且不共面，M，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，判斷eq\o(CE,\s\up8(→))與eq\o(MN,\s\up8(→))是否共線．[思路探究](1)根據(jù)向量共線的充要條件求解．(2)根據(jù)數(shù)乘向量及三角形法則，把eq\o(MN,\s\up8(→))表示成λeq\o(CE,\s\up8(→))的形式，再根據(jù)向量共線的充要條件求解．(1)1[eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2.設(shè)eq\o(AD,\s\up8(→))＝λeq\o(AB,\s\up8(→))，則7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝7,λk＝k＋6))，解得k＝1.](2)[解]法一：因?yàn)镸，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，且四邊形ABCD，四邊形ABEF都是平行四邊形，所以eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(MA,\s\up8(→))＋eq\o(AF,\s\up8(→))＋eq\o(FN,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(AF,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up8(→)).又因?yàn)閑q\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(MC,\s\up8(→))＋eq\o(CE,\s\up8(→))＋eq\o(EB,\s\up8(→))＋eq\o(BN,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(CE,\s\up8(→))－eq\o(AF,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(FB,\s\up8(→))，以上兩式相加得eq\o(CE,\s\up8(→))＝2eq\o(MN,\s\up8(→))，所以eq\o(CE,\s\up8(→))∥eq\o(MN,\s\up8(→))，即eq\o(CE,\s\up8(→))與eq\o(MN,\s\up8(→))共線．法二：因?yàn)樗倪呅蜛BEF為平行四邊形，所以連接AE時(shí)，AE必過點(diǎn)N.∴eq\o(CE,\s\up8(→))＝eq\o(AE,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))＝2eq\o(AN,\s\up8(→))－2eq\o(AM,\s\up8(→))＝2(eq\o(AN,\s\up8(→))－eq\o(AM,\s\up8(→)))＝2eq\o(MN,\s\up8(→)).所以eq\o(CE,\s\up8(→))∥eq\o(MN,\s\up8(→))，即eq\o(CE,\s\up8(→))與eq\o(MN,\s\up8(→))共線．【規(guī)律方法】證明空間三點(diǎn)共線的三種思路對(duì)于空間三點(diǎn)P，A，B可通過證明下列結(jié)論來證明三點(diǎn)共線．(1)存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o(PA,\s\up8(→))＝λeq\o(PB,\s\up8(→))成立．(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋teq\o(AB,\s\up8(→))(t∈R)．(3)對(duì)空間任一點(diǎn)O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))(x＋y＝1)．考點(diǎn)四：向量共面問題(1)定義：平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或?qū)臻g任意一點(diǎn)O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).【例4】已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O為平面ABC外一點(diǎn)，若點(diǎn)M滿足eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→)).(1)判斷eq\o(MA,\s\up8(→))，eq\o(MB,\s\up8(→))，eq\o(MC,\s\up8(→))三個(gè)向量是否共面；(2)判斷M是否在平面ABC內(nèi)．[思路探究](1)根據(jù)向量共面的充要條件，即判斷是否eq\o(MA,\s\up8(→))＝xeq\o(MB,\s\up8(→))＋yeq\o(MC,\s\up8(→))；(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，也可以利用eq\o(OM,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))＋zeq\o(OC,\s\up8(→))中x＋y＋z是否等于1.[解](1)∵eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝3eq\o(OM,\s\up8(→))，∴eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OM,\s\up8(→))＝(eq\o(OM,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→)))＋(eq\o(OM,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→)))，∴eq\o(MA,\s\up8(→))＝eq\o(BM,\s\up8(→))＋eq\o(CM,\s\up8(→))＝－eq\o(MB,\s\up8(→))－eq\o(MC,\s\up8(→))，∴向量eq\o(MA,\s\up8(→))，eq\o(MB,\s\up8(→))，eq\o(MC,\s\up8(→))共面．(2)由(1)知向量eq\o(MA,\s\up8(→))，eq\o(MB,\s\up8(→))，eq\o(MC,\s\up8(→))共面，而它們有共同的起點(diǎn)M，且A，B，C三點(diǎn)不共線，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC內(nèi)．【規(guī)律方法】解決向量共面的策略1若已知點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，則有EQ\o(AP,\s\up8(→))＝xEQ\o(AB,\s\up8(→))＋yEQ\o(AC,\s\up8(→))或EQ\o(OP,\s\up8(→))＝xEQ\o(OA,\s\up8(→))＋yEQ\o(OB,\s\up8(→))＋zEQ\o(OC,\s\up8(→))x＋y＋z＝1，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù).2證明三個(gè)向量共面或四點(diǎn)共面，需利用共面向量定理，證明過程中要靈活進(jìn)行向量的分解與合成，將其中一個(gè)向量用另外兩個(gè)向量來表示.考點(diǎn)五：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算1．空間向量的夾角(1)夾角的定義已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．(2)夾角的范圍空間任意兩個(gè)向量的夾角θ的取值范圍是[0，π]．特別地，當(dāng)θ＝0時(shí)，兩向量同向共線；當(dāng)θ＝π時(shí)，兩向量反向共線，所以若a∥b，則〈a，b〉＝0或π；當(dāng)〈a，b〉＝eq\f(π,2)時(shí)，兩向量垂直，記作a⊥b.2．空間向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0.(2)常用結(jié)論(a，b為非零向量)①a⊥b?a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).(3)數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交換律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c3．投影向量(1)投影向量在空間，向量a向向量b投影，可以先將它們平移到同一個(gè)平面內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，則向量c稱為向量a在向量b上的投影向量，同理向量b在向量a上的投影向量是|b|cos〈a，b〉eq\f(a,|a|).(2)向量a在平面β上的投影向量向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到向量eq\o(A′B′,\s\up8(→))，則向量eq\o(A′B′,\s\up8(→))稱為向量a在平面β上的投影向量．這時(shí)，向量a，eq\o(A′B′,\s\up8(→))的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角．[提醒](1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量，它可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零；(2)向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足消去律、作商和乘法的結(jié)合律，即a·b＝a·c?b＝c，a·b＝k?b＝eq\f(k,a)，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立．【例5】(1)如圖，三棱錐A-BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，則eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))等于()A．－2B．2C．－2eq\r(3)D．2eq\r(3)(2)在四面體OABC中，棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G為△ABC的重心，求eq\o(OG,\s\up8(→))·(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)))的值．(1)A[∵eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))，∴eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))·(eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→)))＝eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝0－2×2×cos60°＝－2.](2)[解]eq\o(OG,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(AG,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)[(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))＋(eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))]＝eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→)).∴eq\o(OG,\s\up8(→))·(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(OB,\s\up8(→))＋\f(1,3)\o(OC,\s\up8(→))＋\f(1,3)\o(OA,\s\up8(→))))·(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))2＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→))2＋eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))2＝eq\f(1,3)×22＋eq\f(1,3)×32＋eq\f(1,3)×12＝eq\f(14,3).【規(guī)律方法】在幾何體中求空間向量的數(shù)量積的步驟1首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式.2利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化成已知模和夾角的向量的數(shù)量積.3根據(jù)向量的方向，正確求出向量的夾角及向量的模.4代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.考點(diǎn)六：利用數(shù)量積證明空間垂直關(guān)系【例6】已知空間四邊形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，G是MN的中點(diǎn)，求證：OG⊥BC.[思路探究]首先把向量eq\o(OG,\s\up8(→))和eq\o(BC,\s\up8(→))均用eq\o(OA,\s\up8(→))、eq\o(OB,\s\up8(→))、eq\o(OC,\s\up8(→))表示出來，通過證明eq\o(OG,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝0來證得OG⊥BC.[證明]連接ON，設(shè)∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，又設(shè)eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，eq\o(OC,\s\up8(→))＝c，則|a|＝|b|＝|c|.又eq\o(OG,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OM,\s\up8(→))＋eq\o(ON,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OA,\s\up8(→))＋\f(1,2)\o(OB,\s\up8(→))＋\o(OC,\s\up8(→))))＝eq\f(1,4)(a＋b＋c)，eq\o(BC,\s\up8(→))＝c－b.∴eq\o(OG,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\f(1,4)(a＋b＋c)·(c－b)＝eq\f(1,4)(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)＝eq\f(1,4)(|a|2·cosθ－|a|2·cosθ－|a|2＋|a|2)＝0.∴eq\o(OG,\s\up8(→))⊥eq\o(BC,\s\up8(→))，即OG⊥BC.【規(guī)律方法】用向量法證明垂直關(guān)系的步驟(1)把幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)用已知向量表示所證向量；(3)結(jié)合數(shù)量積公式和運(yùn)算律證明數(shù)量積為0；(4)將向量問題回歸到幾何問題．考點(diǎn)7：夾角問題【例7】(1)已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，則向量a與b之間的夾角〈a，b〉為()A．30° B．45°C．60° D．以上都不對(duì)(2)如圖，在空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求異面直線OA與BC的夾角的余弦值．[思路探究](1)根據(jù)題意，構(gòu)造△ABC，使eq\o(AB,\s\up8(→))＝c，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝a，根據(jù)△ABC三邊之長，利用余弦定理求出向量a與b之間的夾角即可．(2)求異面直線OA與BC所成的角，首先來求eq\o(OA,\s\up8(→))與eq\o(BC,\s\up8(→))的夾角，但要注意異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，而向量夾角的取值范圍為[0，π]，注意角度的轉(zhuǎn)化．(1)D[∵a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，∴以這三個(gè)向量首尾相連組成△ABC；令eq\o(AB,\s\up8(→))＝c，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝a，則△ABC三邊之長分別為BC＝2，CA＝3，AB＝4；由余弦定理，得：cos∠BCA＝eq\f(BC2＋CA2－AB2,2BC·CA)＝eq\f(22＋32－42,2×2×3)＝－eq\f(1,4)，又向量eq\o(BC,\s\up8(→))和eq\o(CA,\s\up8(→))是首尾相連，∴這兩個(gè)向量的夾角是180°－∠BCA，∴cos〈a，b〉＝eq\f(1,4)，即向量a與b之間的夾角〈a，b〉不是特殊角．](2)[解]∵eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))，∴eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝|eq\o(OA,\s\up8(→))|·|eq\o(AC,\s\up8(→))|·cos〈eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉－|eq\o(OA,\s\up8(→))|·|eq\o(AB,\s\up8(→))|·cos〈eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(AB,\s\up8(→))〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16eq\r(2).∴cos〈eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))〉＝eq\f(\o(OA,\s\up8(→))·\o(BC,\s\up8(→)),|\o(OA,\s\up8(→))|·|\o(BC,\s\up8(→))|)＝eq\f(24－16\r(2),8×5)＝eq\f(3－2\r(2),5)，∴異面直線OA與BC的夾角的余弦值為eq\f(3－2\r(2),5).【規(guī)律方法】利用向量數(shù)量積求夾角問題的思路(1)求兩個(gè)向量的夾角有兩種方法：①結(jié)合圖形，平移向量，利用空間向量夾角的定義來求，但要注意向量夾角的范圍；②先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)求出cos〈a，b〉的值，最后確定〈a，b〉的值．(2)求兩條異面直線所成的角，步驟如下：①根據(jù)題設(shè)條件在所求的異面直線上取兩個(gè)向量(即直線的方向向量)；②將異面直線所成角的問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題；③利用數(shù)量積求向量夾角的余弦值或角的大小；④異面直線所成的角為銳角或直角，利用向量數(shù)量積求向量夾角的余弦值時(shí)應(yīng)將余弦值加上絕對(duì)值，從而求出異面直線所成的角的大?。}型八：距離問題【例8】如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿著它的對(duì)角線AC將△ACD折起，使AB與CD成60°角，求此時(shí)B，D間的距離．[思路探究]eq\x(\o(BD,\s\up8(→))＝\o(BA,\s\up8(→))＋\o(AC,\s\up8(→))＋\o(CD,\s\up8(→)))→eq\x(|\o(BD,\s\up8(→))|2)注意對(duì)〈eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))〉的討論，再求出B，D間距離．[解]∵∠ACD＝90°，∴eq\o(AC,\s\up8(→))·CD＝0，同理可得eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BA,\s\up8(→))＝0.∵AB與CD成60°角，∴〈eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))〉＝60°或〈eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))〉＝120°.又eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))，∴|eq\o(BD,\s\up8(→))|2＝|eq\o(BA,\s\up8(→))|2＋|eq\o(AC,\s\up8(→))|2＋|eq\o(CD,\s\up8(→))|2＋2eq\o(BA,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＋2eq\o(BA,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))＋2eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))＝3＋2×1×1×cos〈eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))〉．∴當(dāng)〈eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))〉＝60°時(shí)，|eq\o(BD,\s\up8(→))|2＝4，此時(shí)B，D間的距離為2；當(dāng)〈eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))〉＝120°時(shí)，|eq\o(BD,\s\up8(→))|2＝2，此時(shí)B，D間的距離為eq\r(2).【規(guī)律方法】求兩點(diǎn)間的距離或線段長的方法(1)將相應(yīng)線段用向量表示，通過向量運(yùn)算來求對(duì)應(yīng)向量的模．(2)因?yàn)閍·a＝|a|2，所以|a|＝eq\r(a·a)，這是利用向量解決距離問題的基本公式．另外，該公式還可以推廣為|a±b|＝eq\r(a±b2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2).(3)可用|a·e|＝|a||cosθ|(e為單位向量，θ為a，e的夾角)來求一個(gè)向量在另一個(gè)向量所在直線上的投影．考點(diǎn)九：基底的判斷空間向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量．空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底．【例9】(1)設(shè)x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，給出下列向量組：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作為空間一個(gè)基底的向量組有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)(2)已知{e1，e2，e3}是空間的一個(gè)基底，且eq\o(OA,\s\up8(→))＝e1＋2e2－e3，eq\o(OB,\s\up8(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq\o(OC,\s\up8(→))＝e1＋e2－e3，試判斷{eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))}能否作為空間的一個(gè)基底．(1)C[如圖所示，令a＝eq\o(AB,\s\up8(→))，b＝eq\o(AA1,\s\up8(→))，c＝eq\o(AD,\s\up8(→))，則x＝eq\o(AB1,\s\up8(→))，y＝eq\o(AD1,\s\up8(→))，z＝eq\o(AC,\s\up8(→))，a＋b＋c＝eq\o(AC1,\s\up8(→)).由于A，B1，C，D1四點(diǎn)不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，故選C.](2)[解]假設(shè)eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))共面，由向量共面的充要條件知，存在實(shí)數(shù)x，y，使eq\o(OA,\s\up8(→))＝xeq\o(OB,\s\up8(→))＋yeq\o(OC,\s\up8(→))成立，∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)，即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3∵{e1，e2，e3}是空間的一個(gè)基底，∴e1，e2，e3不共面．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－3x＝1，,x＋y＝2，,2x－y＝－1，))此方程組無解．即不存在實(shí)數(shù)x，y使得eq\o(OA,\s\up8(→))＝xeq\o(OB,\s\up8(→))＋yeq\o(OC,\s\up8(→))，所以eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))不共面．所以{eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))}能作為空間的一個(gè)基底．【規(guī)律方法】基底判斷的基本思路及方法(1)基本思路：判斷三個(gè)空間向量是否共面，若共面，則不能構(gòu)成基底；若不共面，則能構(gòu)成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，則不能作為基底；如果存在一個(gè)向量可以用另外的向量線性表示，則不能構(gòu)成基底．②假設(shè)a＝λb＋μc，運(yùn)用空間向量基本定理，建立λ，μ的方程組，若有解，則共面，不能作為基底；若無解，則不共面，能作為基底．考點(diǎn)十：用基底表示向量【例10】如圖，四棱錐P-OABC的底面為一矩形，PO⊥平面OABC，設(shè)eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OC,\s\up8(→))＝b，eq\o(OP,\s\up8(→))＝c，E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點(diǎn)，試用a，b，c表示：eq\o(BF,\s\up8(→))，eq\o(BE,\s\up8(→))，eq\o(AE,\s\up8(→))，eq\o(EF,\s\up8(→)).[思路探究]eq\x(\a\al(利用圖形尋找待求向,量與a，b，c的關(guān)系))→eq\x(\a\al(利利用向量運(yùn),算進(jìn)行分拆))→eq\x(\a\al(直至向量用,a，b，c表示))[解]連接BO(圖略)，則eq\o(BF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BP,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BO,\s\up8(→))＋eq\o(OP,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(c－b－a)＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CE,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CP,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(CO,\s\up8(→))＋eq\o(OP,\s\up8(→)))＝－a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\o(AP,\s\up8(→))＋eq\o(PE,\s\up8(→))＝eq\o(AO,\s\up8(→))＋eq\o(OP,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(PO,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)))＝－a＋c＋eq\f(1,2)(－c＋b)＝－a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)a.【規(guī)律方法】基向量的選擇和使用方法(1)盡可能選擇具有垂直關(guān)系的，從同一起點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)向量作為基底．(2)用基向量表示一個(gè)向量時(shí)，如果此向量的起點(diǎn)是從基底的公共點(diǎn)出發(fā)的，一般考慮加法，否則考慮減法；如果此向量與一個(gè)易求的向量共線，可用數(shù)乘．考點(diǎn)十一：正交分解在立體幾何中的應(yīng)用正交分解(1)單位正交基底如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪?，且長度都是1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底．常用{i，j，k}表示．(2)正交分解把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解．【例11】如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)棱AA1長為b，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°，求異面直線BD1和AC所成角的余弦值．[思路探究]eq\x(取基底{\o(AB,\s\up8(→))，\o(AD,\s\up8(→))，\o(AA1,\s\up8(→))})→eq\x(用基底表示向量\o(BD1,\s\up8(→))和\o(AC,\s\up8(→)))→eq\x(求|\o(BD1,\s\up8(→))|，|\o(AC,\s\up8(→))|和\o(BD1,\s\up8(→))·\o(AC,\s\up8(→)))→eq\x(求\o(BD1,\s\up8(→))與\o(AC,\s\up8(→))的夾角余弦值)→eq\x(得異面直線所成角的余弦值)[解]{eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AA1,\s\up8(→))}可以作為空間的一個(gè)基底，且|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝a，|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝a，|eq\o(AA1,\s\up8(→))|＝b，〈eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))〉＝90°，〈eq\o(AA1,\s\up8(→))，eq\o(AB,\s\up8(→))〉＝120°，〈eq\o(AA1,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))〉＝120°.又eq\o(BD1,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))，∴|eq\o(BD1,\s\up8(→))|2＝|eq\o(AD,\s\up8(→))|2＋|eq\o(AA1,\s\up8(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up8(→))|2＋2eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(AA1,\s\up8(→))－2eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))－2eq\o(AA1,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝a2＋b2＋a2＋2abcos120°－0－2abcos120°＝2a2＋b2，|eq\o(AC,\s\up8(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|2＋2eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))＋|eq\o(AD,\s\up8(→))|2＝2a2，∴|eq\o(BD1,\s\up8(→))|＝eq\r(2a2＋b2)，|eq\o(AC,\s\up8(→))|＝eq\r(2)a.∴eq\o(BD1,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝(eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→)))·(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))＝eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＋|eq\o(AD,\s\up8(→))|2＋eq\o(AA1,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))－|eq\o(AB,\s\up8(→))|2－eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))＝0＋a2＋abcos120°＋abcos120°－a2－0＝－ab.∴|cos〈eq\o(BD1,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉|＝eq\f(|\o(BD1,\s\up8(→))·\o(AC,\s\up8(→))|,|\o(BD1,\s\up8(→))||\o(AC,\s\up8(→))|)＝eq\f(|－ab|,\r(2a2＋b2)·\r(2)a)＝eq\f(b,\r(4a2＋2b2)).∴異面直線BD1和AC所成角的余弦值為eq\f(b,\r(4a2＋2b2)).【規(guī)律方法】基向量法解決長度、垂直及夾角問題的步驟(1)設(shè)出基向量．(2)用基向量表示出直線的方向向量．(3)用|a|＝eq\r(a·a)求長度，用a·b＝0?a⊥b，用cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求夾角．(4)轉(zhuǎn)化為線段長度，兩直線垂直及夾角問題．考點(diǎn)十二：求空間點(diǎn)的坐標(biāo)1．空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{i，j，k}，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以i，j，k的方向?yàn)檎较?，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)軸x軸、y軸、z軸坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)O坐標(biāo)向量i，j，k坐標(biāo)平面Oxy平面、Oyz平面和Oxz平面右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸正方向，食指指向y軸正方向，如果中指指向z軸正方向，則稱坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系2.空間向量的坐標(biāo)表示空間直角坐標(biāo)系中A點(diǎn)坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系中，i，j，k為坐標(biāo)向量，對(duì)空間任一點(diǎn)A，對(duì)應(yīng)一個(gè)向量eq\o(OA,\s\up8(→))，且點(diǎn)A的位置由向量eq\o(OA,\s\up8(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up8(→))＝xi＋yj＋zk，則(x，y，z)叫做點(diǎn)A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)．記作A(x，y，z)，其中x叫點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系中，給定向量a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，則(x，y，z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，簡(jiǎn)記作a＝(x，y，z)【例12】如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N為棱CC1的中點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．(1)求點(diǎn)A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)N的坐標(biāo)．[思路探究]將各個(gè)點(diǎn)在坐標(biāo)上的射影求出，即可寫出空間各點(diǎn)的坐標(biāo)．[解](1)顯然D(0,0,0)，因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸的正半軸上，且|AD|＝3，所以A(3,0,0)．同理，可得C(0,4,0)，D1(0,0,5)．因?yàn)辄c(diǎn)B在坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，BC⊥CD，BA⊥AD，所以B(3,4,0)．同理，可得A1(3,0,5)，C1(0,4,5)，與B的坐標(biāo)相比，點(diǎn)B1的坐標(biāo)中只有豎坐標(biāo)不同，|BB1|＝|AA1|＝5，則B1(3,4,5)．(2)由(1)知C(0,4,0)，C1(0,4,5)，則C1C的中點(diǎn)N為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0＋0,2)，\f(4＋4,2)，\f(0＋5,2)))，即Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，4，\f(5,2))).【規(guī)律方法】坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面上點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)x軸上(x,0,0)xOy平面上(x，y,0)y軸上(0，y,0)yOz平面上(0，y，z)z軸上(0,0，z)xOz平面上(x,0，z)坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0,0)考點(diǎn)十三：求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)【例13】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(－2,1,4)．(1)求點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)P關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)求點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M(2，－1，－4)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)．[思路探究]求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，可以過該點(diǎn)向?qū)ΨQ平面或?qū)ΨQ軸作垂線并延長，使得垂足為所作線段的中點(diǎn)，再根據(jù)有關(guān)性質(zhì)即可寫出對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)．[解](1)由于點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱后，它在x軸的分量不變，在y軸、z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對(duì)稱點(diǎn)為P1(－2，－1，－4)．(2)由于點(diǎn)P關(guān)于xOy平面對(duì)稱后，它在x軸、y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對(duì)稱點(diǎn)為P2(－2,1，－4)．(3)設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為P3(x，y，z)，則點(diǎn)M為線段PP3的中點(diǎn)．由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．【規(guī)律方法】1．求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)可按以下規(guī)律寫出：“關(guān)于誰對(duì)稱誰不變，其余的符號(hào)均相反．”在空間直角坐標(biāo)系中，任一點(diǎn)P(a，b，c)的幾種特殊的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)如下：對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)P(a，b，c)x軸(a，－b，－c)y軸(－a，b，－c)z軸(－a，－b，c)xOy平面(a，b，－c)yOz平面(－a，b，c)xOz平面(a，－b，c)坐標(biāo)原點(diǎn)(－a，－b，－c)2.在空間直角坐標(biāo)系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2))).考點(diǎn)十四：空間向量的坐標(biāo)表示【例14】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別為A1B1，A1A的中點(diǎn)，試建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求向量eq\o(BN,\s\up8(→))，eq\o(BA1,\s\up8(→))，eq\o(A1B,\s\up8(→))的坐標(biāo)．[思路探究]以點(diǎn)C為原點(diǎn)，分別以eq\o(CA,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(CC1,\s\up8(→))的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，然后，把BN，eq\o(BA1,\s\up8(→))，eq\o(A1B,\s\up8(→))分別用eq\o(CA,\s\up8(→))，eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(CC1,\s\up8(→))表示出來，再寫出它們的坐標(biāo)．[解]法一：由題意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，分別以CA，CB，CC1的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，如圖所示．∴eq\o(BN,\s\up8(→))＝eq\o(AN,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CC1,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CC1,\s\up8(→))，∴eq\o(BN,\s\up8(→))的坐標(biāo)為(1，－1,1)，而eq\o(BA1,\s\up8(→))＝eq\o(CA1,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(CC1,\s\up8(→))，∴eq\o(BA1,\s\up8(→))的坐標(biāo)為(1，－1,2)．又∵eq\o(A1B,\s\up8(→))＝－eq\o(BA1,\s\up8(→))，∴eq\o(A1B,\s\up8(→))的坐標(biāo)為(－1,1，－2)．法二：建系同法一，則B(0,1,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N(1,0,1)，∴eq\o(BN,\s\up8(→))＝(1，－1,1)，eq\o(BA1,\s\up8(→))＝(1，－1,2)，eq\o(A1B,\s\up8(→))＝(－1,1，－2)．【規(guī)律方法】用坐標(biāo)表示空間向量的步驟考點(diǎn)十五：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算1．空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則如下表所示：運(yùn)算坐標(biāo)表示加法a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R數(shù)量積a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b32.空間向量的平行、垂直、模與夾角公式的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則平行(a∥b)a∥b(b≠0)?a＝λb?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝λb1，,a2＝λb2，λ∈R,a3＝λb3))垂直(a⊥b)a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均為非零向量)模|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))夾角公式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))3．向量的坐標(biāo)及兩點(diǎn)間的距離公式在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，則(1)eq\o(AB,\s\up8(→))＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；(2)dAB＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝eq\r(a2－a12＋b2－b12＋c2－c12).【例15】(1)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，滿足條件(c－a)·2b＝－2，則x＝________.(2)已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求a＋b，a－b，a·b，(2a)·(－b)，(a＋b)·(a－b)．(1)2[c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，由(c－a)·2b＝－2得2(1－x)＝－2，解得x＝2.](2)[解]a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)；a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2,0，－6)；a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7；(2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14；(a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.【規(guī)律方法】進(jìn)行空間向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算的技巧利用向量坐標(biāo)運(yùn)算解決問題的關(guān)鍵是熟記向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則，同時(shí)掌握下列技巧．(1)在運(yùn)算中注意相關(guān)公式的靈活運(yùn)用，如(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2等．(2)進(jìn)行向量坐標(biāo)運(yùn)算時(shí)，可以先代入坐標(biāo)再運(yùn)算，也可先進(jìn)行向量式的化簡(jiǎn)再代入坐標(biāo)運(yùn)算，如計(jì)算(2a)·(－b)，既可以利用運(yùn)算律把它化成－2(a·b)，也可以求出2a，－b后，再求數(shù)量積；計(jì)算(a＋b)·(a－b)，既可以求出a＋b，a－b后，求數(shù)量積，也可以把(a＋b)·(a－b)寫成a2－b2后計(jì)算．考點(diǎn)十六：空間向量的平行與垂直【例16】(1)對(duì)于空間向量a＝(1,2,3)，b＝(λ，4,6)．若a∥b，則實(shí)數(shù)λ＝()A．－2B．－1C．1D．2(2)正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱D1D的中點(diǎn)，P、Q分別為線段B1D1，BD上的點(diǎn)，且3eq\o(B1P,\s\up8(→))＝eq\o(PD1,\s\up8(→))，若PQ⊥AE，eq\o(BD,\s\up8(→))＝λeq\o(DQ,\s\up8(→))，求λ的值．[思路探究](1)利用向量共線充要條件．(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求λ值．(1)D[因?yàn)榭臻g向量a＝(1,2,3)，b＝(λ，4,6)，若a∥b，則eq\f(1,λ)＝eq\f(2,4)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，所以λ＝2，故選D.](2)[解]如圖所示，以D為原點(diǎn)，eq\o(DA,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(DD1,\s\up8(→))的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，則A(1,0,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，由題意，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，a,1)，因?yàn)?eq\o(B1P,\s\up8(→))＝eq\o(PD1,\s\up8(→))，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)，所以3a－3＝－a，解得a＝eq\f(3,4)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,4)，1)).由題意可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(b，b,0)，因?yàn)镻Q⊥AE，所以eq\o(PQ,\s\up8(→))·eq\o(AE,\s\up8(→))＝0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(3,4)，b－\f(3,4)，－1))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2)))＝0，即－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(3,4)))－eq\f(1,2)＝0，解得b＝eq\f(1,4)，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,4)，0))，因?yàn)閑q\o(BD,\s\up8(→))＝λeq\o(DQ,\s\up8(→))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－1，0))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,4)，0))，所以eq\f(λ,4)＝－1，故λ＝－4.【規(guī)律方法】1．判斷空間向量垂直或平行的步驟(1)向量化：將空間中的垂直與平行轉(zhuǎn)化為向量的垂直與平行；(2)向量關(guān)系代數(shù)化：寫出向量的坐標(biāo)；(3)對(duì)于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根據(jù)x1x2＋y1y2＋z1z2是否為0判斷兩向量是否垂直；根據(jù)x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)＝eq\f(z1,z2)(x2，y2，z2都不為0)判斷兩向量是否平行．2．由空間向量垂直或平行求值只需根據(jù)垂直或平行的條件建立方程(組)求解即可．考點(diǎn)十七：空間向量的夾角與長度問題【例17】如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別為A1B1，A1A的中點(diǎn)．(1)求BN的長；(2)求A1B與B1C所成角的余弦值；(3)求證：BN⊥平面C1MN.[思路探究]eq\x(建系C-xyz)→eq\x(得各點(diǎn)的坐標(biāo))→eq\x(數(shù)量積運(yùn)算)→eq\x(夾角、長度公式)→eq\x(幾何結(jié)論)[解](1)如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.依題意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，∴|eq\o(BN,\s\up8(→))|＝eq\r(1－02＋0－12＋1－02)＝eq\r(3)，∴線段BN的長為eq\r(3).(2)依題意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，∴eq\o(BA1,\s\up8(→))＝(1，－1,2)，eq\o(CB1,\s\up8(→))＝(0,1,2)，∴eq\o(BA1,\s\up8(→))·eq\o(CB1,\s\up8(→))＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又|eq\o(BA1,\s\up8(→))|＝eq\r(6)，|eq\o(CB1,\s\up8(→))|＝eq\r(5).∴cos〈eq\o(BA1,\s\up8(→))，eq\o(CB1,\s\up8(→))〉＝eq\f(\o(BA1,\s\up8(→))·\o(CB1,\s\up8(→)),|\o(BA1,\s\up8(→))||\o(CB1,\s\up8(→))|)＝eq\f(\r(30),10).故A1B與B1C所成角的余弦值為eq\f(\r(30),10).(3)證明：依題意得A1(1,0,2)，C1(0,0,2)，B(0,1,0)，N(1,0,1)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，2))，∴eq\o(C1M,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，eq\o(C1N,\s\up8(→))＝(1,0，－1)，eq\o(BN,\s\up8(→))＝(1，－1,1)，∴eq\o(C1M,\s\up8(→))·eq\o(BN,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)×1＋eq\f(1,2)×(－1)＋0×1＝0，eq\o(C1N,\s\up8(→))·eq\o(BN,\s\up8(→))＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0.∴eq\o(C1M,\s\up8(→))⊥eq\o(BN,\s\up8(→))，eq\o(C1N,\s\up8(→))⊥eq\o(BN,\s\up8(→))，∴BN⊥C1M，BN⊥C1N，又∵C1M∩C1N＝C1，C1M?平面C1MN，C1N?平面C1MN，∴BN⊥平面C1MN.【規(guī)律方法】1．利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求異面直線所成角的步驟(1)根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)利用已知條件寫出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而獲得相關(guān)向量的坐標(biāo)；(3)利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求得異面直線上有關(guān)向量的夾角，并將它轉(zhuǎn)化為異面直線所成的角．2．利用向量坐標(biāo)求空間中線段的長度的一般步驟(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)求出線段端點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)利用兩點(diǎn)間的距離公式求出線段的長．考點(diǎn)十八：求平面的法向量1．空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示點(diǎn)P的位置向量在空間中，取一定點(diǎn)O作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)P可以用向量eq\o(OP,\s\up8(→))表示，我們把向量eq\o(OP,\s\up8(→))稱為點(diǎn)P的位置向量.空間直線的向量表示式a是直線l的方向向量，在直線l上取eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，取定空間中的任意一點(diǎn)O，可以得到點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋ta，也可以表示為eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋teq\o(AB,\s\up8(→)).這兩個(gè)式子稱為空間直線的向量表示式.空間平面ABC的向量表示式設(shè)兩條直線相交于點(diǎn)O，它們的方向向量分別為a和b，P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝xa＋yb.那么取定空間任意一點(diǎn)O，可以得到，空間一點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)x，y，使eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))，這就是空間平面ABC的向量表示式.2.直線的方向向量與平面的法向量(1)直線的方向向量的定義直線的方向向量是指和這條直線_平行或共線的非零向量，一條直線的方向向量有無數(shù)個(gè)．(2)平面的法向量的定義直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量．3．空間中平行關(guān)系的向量表示線線平行設(shè)兩條不重合的直線l1，l2的方向向量分別為u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，則l1∥l2?u1∥u2?(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)線面平行設(shè)l的方向向量為u＝(a1，b1，c1)，α的法向量為n＝(a2，b2，c2)，則l∥α?u·n＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0面面平行設(shè)α，β的法向量分別為n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，則α∥β?n1∥n2?(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)【例18】四邊形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.在如圖所示的坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz中，分別求平面SCD和平面SAB的一個(gè)法向量．[解]A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)．∵AD⊥平面SAB，∴eq\o(AD,\s\up8(→))＝(1,0,0)是平面SAB的一個(gè)法向量．設(shè)平面SCD的法向量為n＝(1，y，z)，則n·eq\o(DC,\s\up8(→))＝(1，y，z)·(1,2,0)＝1＋2y＝0，∴y＝－eq\f(1,2).又n·eq\o(DS,\s\up8(→))＝(1，y，z)·(－1,0,2)＝－1＋2z＝0，∴z＝eq\f(1,2).∴n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2)，\f(1,2)))即為平面SCD的一個(gè)法向量．【規(guī)律方法】求平面法向量的步驟(1)設(shè)法向量n＝(x，y，z)；(2)在已知平面內(nèi)找兩個(gè)不共線向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；(3)建立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·a＝a1x＋a2y＋a3z＝0，,n·b＝b1x＋b2y＋b3z＝0；))(4)解方程組：用一個(gè)未知量表示其他兩個(gè)未知量，然后對(duì)用來表示兩未知量的未知量賦以特殊值，從而得到平面的一個(gè)法向量．考點(diǎn)十九：利用空間向量證明線線平行【例19】(1)已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，則λ與μ的值可以是()A．2，eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)，eq\f(1,2)C．－3,2D．2,2(2)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分別是AA1，D1C1，AB，CC1的中點(diǎn)．求證：PQ∥RS.[思路探