【解析】高中數(shù)學(xué)人教A版（2023）必修二 第六章 平面向量的坐標(biāo)表示

第第頁(yè)【解析】高中數(shù)學(xué)人教A版（2023）必修二第六章平面向量的坐標(biāo)表示登錄二一教育在線組卷平臺(tái)助您教考全無(wú)憂

高中數(shù)學(xué)人教A版（2023）必修二第六章平面向量的坐標(biāo)表示

一、單選題

1．（2023高一上·南充期末）已知向量，則（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

【解析】【解答】，。

故答案為：A。

【分析】利用已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，從而求出向量的坐標(biāo)。

2．（2023高一上·撫州期末）若向量，且與共線，則實(shí)數(shù)的值為（）

A．-1B．C．1D．2

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示

【解析】【解答】，

,,

與共線,

,解得：。

故答案為：B.

【分析】利用已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出向量與的坐標(biāo)，再利用兩向量共線的坐標(biāo)表示，進(jìn)而求出k的值。

3．（2023高一上·合肥期末）已知向量，，，則向量可用向量表示為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的基本定理；平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

【解析】【解答】根據(jù)平面向量基本定理,可設(shè)

代入可得

即,解得

所以

故答案為：B

【分析】根據(jù)平面向量基本定理,設(shè).代入坐標(biāo),由坐標(biāo)運(yùn)算即可求得參數(shù).

4．（2023高一下·北京期末）已知向量，，滿足，則（）

A．1B．-1C．4D．-4

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示

【解析】【解答】向量，，

，

故答案為：D

【分析】由向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.

5．（2023高一下·北京期末）已知向量，，且，則的坐標(biāo)可以為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；利用數(shù)量積判斷平面向量的垂直關(guān)系

【解析】【解答】設(shè)

由，且，所以①

又，所以②

由①②可知：或

故向量或

故答案為：B

【分析】設(shè)的坐標(biāo)，然后根據(jù)以及，簡(jiǎn)單計(jì)算，可得結(jié)果.

6．（2023高一下·通州期末）在下列各組向量中，互相垂直的是（）

A．，

B．，

C．，

D．，，

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】利用數(shù)量積判斷平面向量的垂直關(guān)系

【解析】【解答】若兩個(gè)向量、垂直，則，

對(duì)于A，，滿足條件；

對(duì)于B，，不滿足條件；

對(duì)于C，，不滿足條件；

對(duì)于D，，不滿足條件；

故答案為：A

【分析】求出兩向量的數(shù)量積，根據(jù)兩垂直向量的數(shù)量積關(guān)系進(jìn)行判斷．

7．（2023高一下·溫州期末）設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，向量，，若，則的值為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積運(yùn)算

【解析】【解答】

，

故答案為：B

【分析】利用向量的數(shù)量積公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題，即可求出結(jié)果.

8．（2023高一下·天津期末）設(shè)R，向量且，則()

A．B．C．D．10

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】向量的模；平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示；利用數(shù)量積判斷平面向量的垂直關(guān)系

【解析】【解答】向量且，

，，

從而，

因此，

故答案為：C．

【分析】利用兩向量垂直數(shù)量積為0，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，再結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示，從而建立關(guān)于x,y的方程組，從而求出x,y的值，從而求出向量的坐標(biāo)表示，從而結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，從而求出向量的坐標(biāo)表示，從而用向量求模的坐標(biāo)公式，從而求出向量的模。

9．（2023高一下·天津期末）已知向量，則與平行的單位向量的坐標(biāo)為（）

A．B．或

C．D．或

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】單位向量；平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示

【解析】【解答】由已知，所以與平行的單位向量為或．

故答案為：D．

【分析】由單位向量的定義，計(jì)算，即得．

10．（2023高一下·宜賓期末）已知向量，，則與（）

A．平行且同向B．垂直

C．平行且反向D．不垂直也不平行

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積運(yùn)算；利用數(shù)量積判斷平面向量的垂直關(guān)系

【解析】【解答】由于，所以與垂直.

故答案為：B

【分析】通過(guò)計(jì)算判斷出的關(guān)系.

二、多選題

11．（2023高一下·沈陽(yáng)期末）設(shè)向量，，則下列敘述錯(cuò)誤的是()

A．若時(shí)，則與的夾角為鈍角

B．的最小值為2

C．與共線的單位向量只有一個(gè)為

D．若，則或

【答案】C,D

【知識(shí)點(diǎn)】向量的模；平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示；平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

【解析】【解答】對(duì)于A選項(xiàng)，若與的夾角為鈍角，則且與不共線，則，

解得且，A選項(xiàng)中的命題正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，B選項(xiàng)中的命題正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，，與共線的單位向量為，即與共線的單位向量為或，C選項(xiàng)中的命題錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，，即，解得，D選項(xiàng)中的命題錯(cuò)誤.

故答案為：CD.

【分析】根據(jù)與的夾角為鈍角，得出且與不共線，求出k的取值范圍，可判斷A選項(xiàng)的正誤；根據(jù)平面向量的模長(zhǎng)公式結(jié)合二次函數(shù)的基本可判斷出B選項(xiàng)的正誤；根據(jù)與共線的單位向量為可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用平面向量的模長(zhǎng)公式可判斷出D選項(xiàng)的正誤.

三、填空題

12．（2023高一上·百色期末）已知，則在方向上的投影為.

【答案】3

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積定義與物理意義；空間向量的投影向量

【解析】【解答】根據(jù)投影的概念可得在方向上的投影為：。

故答案為：3。

【分析】利用向量投影的定義結(jié)合數(shù)量積的定義，進(jìn)而結(jié)合已知條件和數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量的模的坐標(biāo)表示，從而求出向量在向量方向上的投影。

13．（2023高一下·宣城期末）已知向量是平面的一組基底，若，則在基底下的坐標(biāo)為，那么在基底下的坐標(biāo)為.

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示

【解析】【解答】解：設(shè)，

解得

故，則在基底下的坐標(biāo)為.

故答案為：

【分析】設(shè)，再根據(jù)得到方程組，解得.

14．（2023高一下·杭州月考）向量，，且，則，．

【答案】-2；-20

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示；平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

【解析】【解答】，，且，，解得，則，

因此，.

故答案為：-2；-20.

【分析】利用共線向量的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于n的等式，可求得n的值，然后利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可計(jì)算得出的值.

15．（2023高一下·開(kāi)封期末）已知向量，，若，則．

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示

【解析】【解答】∵，向量，

∴，易知，

∴，

故答案為：．

【分析】由向量平行得關(guān)系式，可求得．

16．（2023高一下·寶坻月考）已知向量，，則向量的坐標(biāo)是．

【答案】(2,3)

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

【解析】【解答】

【分析】利用，代入點(diǎn)坐標(biāo)，即可．

四、解答題

17．（2023高一上·百色期末）已知平面向量，且與共線.

（1）求的值；

（2）與垂直，求實(shí)數(shù)的值.

【答案】（1）解：由題意得：，

因?yàn)榕c共線

所以，

解得

（2）解：由（1）可知，于是，

而，

由于，

從而，

解得：

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示；平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；利用數(shù)量積判斷平面向量的垂直關(guān)系

【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，進(jìn)而求出共線向量的坐標(biāo)，再結(jié)合兩向量共線的坐標(biāo)表示，進(jìn)而求出m的值。

（2）由（1）可知，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，進(jìn)而求出垂直向量的坐標(biāo)，再利用兩向量垂直數(shù)量積為0，再結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)的值。

18．（2023高一上·撫州期末）已知向量，設(shè)函數(shù)．

（1）求的最小正周期及對(duì)稱軸；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域．

【答案】（1）解：

函數(shù)的最小正周期為

對(duì)稱軸為

（2）解：由得當(dāng)，

，

函數(shù)的值域?yàn)?/p>

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的值域；平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；三角函數(shù)的周期性；正弦函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性

【解析】【分析】（1）利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合二倍角的正弦公式和余弦公式，再利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)為正弦型函數(shù)，再利用正弦型函數(shù)的最小正周期公式，進(jìn)而求出函數(shù)f(x)的最小正周期；再利用換元法將正弦型函數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的圖象求出正弦型函數(shù)的對(duì)稱軸。

（2）利用換元法將正弦型函數(shù)f(x)轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的圖象求出正弦型函數(shù)在的值域。

19．（2023高一下·海南期末）已知向量．

（1）若，求k的值；

（2）若，求m的值.

【答案】（1）解：

即

（2）解：

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示；利用數(shù)量積判斷平面向量的垂直關(guān)系

【解析】【分析】（1）根據(jù)向量共線坐標(biāo)關(guān)系得方程，解方程得k的值；（2）根據(jù)向量垂直坐標(biāo)關(guān)系得方程，解方程得m的值；

20．（2023高一下·溫州期末）已知是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中.

（1）若，且，求的坐標(biāo)；

（2）若，且，求與的夾角θ的余弦值.

【答案】（1）解：設(shè)，因?yàn)?，所以，?/p>

又因?yàn)?，所以，?/p>

由①②聯(lián)立，解得或

（2）解：由已知，可得，

又由，，解得，所以

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示；數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角；利用數(shù)量積判斷平面向量的垂直關(guān)系

【解析】【分析】（1）設(shè)，由，和，列出方程組，求得的值，即可求解；（2）由，求得，結(jié)合夾角公式，即可求解.

21．（2023高一下·開(kāi)魯期末）已知向量，，

（1）若，求的值﹔

（2）若，求值.

【答案】（1）解：由得，，

，

（2）解：由得，

，

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示；利用數(shù)量積判斷平面向量的垂直關(guān)系；二倍角的正弦公式；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

【解析】【分析】（1）由向量垂直知數(shù)量積為0，化簡(jiǎn)即可求解（2）根據(jù)向量平行的性質(zhì)，可得，根據(jù)弦化切即可求解.

22．（2023高一下·沈陽(yáng)期末）已知向量，.

（1）求的值；

（2）求向量與夾角的余弦值.

【答案】（1）解：向量（1，1），（﹣3，4），

則（4，﹣3），

∴||5

（2）解：由（1）向量與夾角的余弦值為

cos，

【知識(shí)點(diǎn)】向量的模；平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求模長(zhǎng)即可；（2）根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角的余弦值．

二一教育在線組卷平臺(tái)（）自動(dòng)生成1/1登錄二一教育在線組卷平臺(tái)助您教考全無(wú)憂

高中數(shù)學(xué)人教A版（2023）必修二第六章平面向量的坐標(biāo)表示

一、單選題

1．（2023高一上·南充期末）已知向量，則（）

A．B．C．D．

2．（2023高一上·撫州期末）若向量，且與共線，則實(shí)數(shù)的值為（）

A．-1B．C．1D．2

3．（2023高一上·合肥期末）已知向量，，，則向量可用向量表示為（）

A．B．C．D．

4．（2023高一下·北京期末）已知向量，，滿足，則（）

A．1B．-1C．4D．-4

5．（2023高一下·北京期末）已知向量，，且，則的坐標(biāo)可以為（）

A．B．C．D．

6．（2023高一下·通州期末）在下列各組向量中，互相垂直的是（）

A．，

B．，

C．，

D．，，

7．（2023高一下·溫州期末）設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，向量，，若，則的值為（）

A．B．C．D．

8．（2023高一下·天津期末）設(shè)R，向量且，則()

A．B．C．D．10

9．（2023高一下·天津期末）已知向量，則與平行的單位向量的坐標(biāo)為（）

A．B．或

C．D．或

10．（2023高一下·宜賓期末）已知向量，，則與（）

A．平行且同向B．垂直

C．平行且反向D．不垂直也不平行

二、多選題

11．（2023高一下·沈陽(yáng)期末）設(shè)向量，，則下列敘述錯(cuò)誤的是()

A．若時(shí)，則與的夾角為鈍角

B．的最小值為2

C．與共線的單位向量只有一個(gè)為

D．若，則或

三、填空題

12．（2023高一上·百色期末）已知，則在方向上的投影為.

13．（2023高一下·宣城期末）已知向量是平面的一組基底，若，則在基底下的坐標(biāo)為，那么在基底下的坐標(biāo)為.

14．（2023高一下·杭州月考）向量，，且，則，．

15．（2023高一下·開(kāi)封期末）已知向量，，若，則．

16．（2023高一下·寶坻月考）已知向量，，則向量的坐標(biāo)是．

四、解答題

17．（2023高一上·百色期末）已知平面向量，且與共線.

（1）求的值；

（2）與垂直，求實(shí)數(shù)的值.

18．（2023高一上·撫州期末）已知向量，設(shè)函數(shù)．

（1）求的最小正周期及對(duì)稱軸；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域．

19．（2023高一下·海南期末）已知向量．

（1）若，求k的值；

（2）若，求m的值.

20．（2023高一下·溫州期末）已知是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中.

（1）若，且，求的坐標(biāo)；

（2）若，且，求與的夾角θ的余弦值.

21．（2023高一下·開(kāi)魯期末）已知向量，，

（1）若，求的值﹔

（2）若，求值.

22．（2023高一下·沈陽(yáng)期末）已知向量，.

（1）求的值；

（2）求向量與夾角的余弦值.

答案解析部分

1．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

【解析】【解答】，。

故答案為：A。

【分析】利用已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，從而求出向量的坐標(biāo)。

2．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示

【解析】【解答】，

,,

與共線,

,解得：。

故答案為：B.

【分析】利用已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出向量與的坐標(biāo)，再利用兩向量共線的坐標(biāo)表示，進(jìn)而求出k的值。

3．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的基本定理；平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

【解析】【解答】根據(jù)平面向量基本定理,可設(shè)

代入可得

即,解得

所以

故答案為：B

【分析】根據(jù)平面向量基本定理,設(shè).代入坐標(biāo),由坐標(biāo)運(yùn)算即可求得參數(shù).

4．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示

【解析】【解答】向量，，

，

故答案為：D

【分析】由向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.

5．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；利用數(shù)量積判斷平面向量的垂直關(guān)系

【解析】【解答】設(shè)

由，且，所以①

又，所以②

由①②可知：或

故向量或

故答案為：B

【分析】設(shè)的坐標(biāo)，然后根據(jù)以及，簡(jiǎn)單計(jì)算，可得結(jié)果.

6．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】利用數(shù)量積判斷平面向量的垂直關(guān)系

【解析】【解答】若兩個(gè)向量、垂直，則，

對(duì)于A，，滿足條件；

對(duì)于B，，不滿足條件；

對(duì)于C，，不滿足條件；

對(duì)于D，，不滿足條件；

故答案為：A

【分析】求出兩向量的數(shù)量積，根據(jù)兩垂直向量的數(shù)量積關(guān)系進(jìn)行判斷．

7．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積運(yùn)算

【解析】【解答】

，

故答案為：B

【分析】利用向量的數(shù)量積公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題，即可求出結(jié)果.

8．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】向量的模；平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示；利用數(shù)量積判斷平面向量的垂直關(guān)系

【解析】【解答】向量且，

，，

從而，

因此，

故答案為：C．

【分析】利用兩向量垂直數(shù)量積為0，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，再結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示，從而建立關(guān)于x,y的方程組，從而求出x,y的值，從而求出向量的坐標(biāo)表示，從而結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，從而求出向量的坐標(biāo)表示，從而用向量求模的坐標(biāo)公式，從而求出向量的模。

9．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】單位向量；平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示

【解析】【解答】由已知，所以與平行的單位向量為或．

故答案為：D．

【分析】由單位向量的定義，計(jì)算，即得．

10．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積運(yùn)算；利用數(shù)量積判斷平面向量的垂直關(guān)系

【解析】【解答】由于，所以與垂直.

故答案為：B

【分析】通過(guò)計(jì)算判斷出的關(guān)系.

11．【答案】C,D

【知識(shí)點(diǎn)】向量的模；平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示；平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

【解析】【解答】對(duì)于A選項(xiàng)，若與的夾角為鈍角，則且與不共線，則，

解得且，A選項(xiàng)中的命題正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，B選項(xiàng)中的命題正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，，與共線的單位向量為，即與共線的單位向量為或，C選項(xiàng)中的命題錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，，即，解得，D選項(xiàng)中的命題錯(cuò)誤.

故答案為：CD.

【分析】根據(jù)與的夾角為鈍角，得出且與不共線，求出k的取值范圍，可判斷A選項(xiàng)的正誤；根據(jù)平面向量的模長(zhǎng)公式結(jié)合二次函數(shù)的基本可判斷出B選項(xiàng)的正誤；根據(jù)與共線的單位向量為可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用平面向量的模長(zhǎng)公式可判斷出D選項(xiàng)的正誤.

12．【答案】3

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積定義與物理意義；空間向量的投影向量

【解析】【解答】根據(jù)投影的概念可得在方向上的投影為：。

故答案為：3。

【分析】利用向量投影的定義結(jié)合數(shù)量積的定義，進(jìn)而結(jié)合已知條件和數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量的模的坐標(biāo)表示，從而求出向量在向量方向上的投影。

13．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示

【解析】【解答】解：設(shè)，

解得

故，則在基底下的坐標(biāo)為.

故答案為：

【分析】設(shè)，再根據(jù)得到方程組，解得.

14．【答案】-2；-20

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示；平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

【解析】【解答】，，且，，解得，則，

因此，.

故答案為：-2；-20.

【分析】利用共線向量的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于n的等式，可求得n的值，然后利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可計(jì)算得出的值.

15．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示

【解析】【解答】∵，向量，

∴，易知，

∴，

故答案為：．

【分析】由向量平行得關(guān)系式，可求得．

16．【答案】(2,3)

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

【解析】【解答】

【分析】利用，代入點(diǎn)坐標(biāo)，即可．

17．【答案】（1）解：由題意得：，

因?yàn)榕c共線

所以，

解得

（2）解：由（1）可知，于是，

而，

由于，

從而，

解得：

【知識(shí)點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示；平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；利用數(shù)量積判斷平面向量的垂直關(guān)系

【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，進(jìn)而求出共線向量的坐標(biāo)，再結(jié)合兩向量共線的坐標(biāo)表示，進(jìn)而求出m的值。

（2）由（1）可知，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，進(jìn)而求出垂直向量的坐標(biāo)，再利用兩向量垂直數(shù)量積為0，再結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)的值。

18．【答案】（