【解析】初中數(shù)學(xué)浙教版八年級(jí)下冊(cè)5.2.2菱形的判定 同步練習(xí)

第第頁(yè)【解析】初中數(shù)學(xué)浙教版八年級(jí)下冊(cè)5.2.2菱形的判定同步練習(xí)登錄二一教育在線組卷平臺(tái)助您教考全無(wú)憂

初中數(shù)學(xué)浙教版八年級(jí)下冊(cè)5.2.2菱形的判定同步練習(xí)

一、單選題

1．（2023八上·宜城期末）如圖，四邊形ABCD沿直線l對(duì)折后重合，如果，則結(jié)論①ABCD；②AB=CD；③；④中正確的是（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

2．（2023八上·奎文期末）如圖，在中，點(diǎn)D在邊BC上，過(guò)點(diǎn)D作，，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．則下列命題是假命題的是（）

A．四邊形是平行四邊形

B．若，則四邊形是矩形

C．若，則四邊形是菱形

D．若，則四邊形是矩形

3．（2023八上·文登期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，連接DF并延長(zhǎng)，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE．添加一個(gè)條件，使四邊形AEBD是菱形，這個(gè)條件是（）

A．B．

C．D．DE平分

4．（2023八上·黃陂開(kāi)學(xué)考）兩張全等的矩形紙片ABCD，AECF按如圖方式交叉疊放在一起，AB=AF，AE=BC.若AB=1，BC=3，則圖中重疊（陰影）部分的面積為（）.

A．2B．C．D．

5．（2023八下·防城港期末）某班同學(xué)在“為抗疫英雄祈?！钡闹黝}班會(huì)課上制作象征“平安歸來(lái)”的黃絲帶，如圖所示，絲帶重疊部分形成的圖形是（）

A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形

6．（2023八下·大化期末）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，CE∥BD，DE∥AC，若AB＝4，BC＝3，則四邊形CODE的周長(zhǎng)是（）

A．5B．8C．10D．12

7．（2023八下·洛寧期末）如圖，在ABCD中，用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線AG交BC于點(diǎn)E.若BF＝12，AB＝10，則AE的長(zhǎng)為()

A．16B．15C．14D．13

8．（2023八下·醴陵期末）如圖，在ABCD中，DE，BF分別是∠ADC和∠ABC的平分線，添加一個(gè)條件，仍無(wú)法判斷四邊形BFDE為菱形的是（）

A．∠A=60B．DE=DF

C．EF⊥BDD．BD是∠EDF的平分線

9．（2023八下·原州期末）如圖，某同學(xué)作線段AB的垂直平分線：分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)C，D，則直線CD為線段AB的垂直平分線.根據(jù)這個(gè)同學(xué)的作圖方法可知四邊形ADBC一定是（）

A．菱形B．平行四邊形

C．矩形D．一般的四邊形

10．（2023八下·曲阜期末）已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A．當(dāng)AB=BC時(shí)，它是菱形B．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，它是菱形

C．當(dāng)時(shí)，它是矩形D．當(dāng)時(shí)，它是菱形

二、填空題

11．（2023八下·北京期中）如圖，在□ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫圓弧，分別交邊AD、AB于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑畫圓弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交邊CD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AD交AB于點(diǎn)F．若AB=5，CE=2，則四邊形ADEF的周長(zhǎng)為．

12．（2023八下·江都期中）如圖，小華剪了兩條寬為3的紙條，交叉疊放在一起，且它們較小的交角為60°，則它們重疊部分的面積為.

13．（2023八下·豐縣月考）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC與BD互相垂直且平分，BD＝10，AC＝24，則四邊形周長(zhǎng)為，面積為.

14．（2023八下·壽縣期末）如圖，在ABCD中，用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線AG交BC于點(diǎn)E．若BF=8，AB=5，則AE的長(zhǎng)為．

三、解答題

15．（2023八下·永春期末）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，且AB=13，AC=24，BD=10．求證：四邊形ABCD是菱形．

16．（2023八下·八步期末）已知：如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE∥AC，DF∥AB.求證：四邊形AEDF是菱形.

17．（2023八下·定興期末）老師布置了一個(gè)作業(yè)，如下：

已知：如圖1的對(duì)角線的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．求證：四邊形是菱形．

嘉琪同學(xué)寫出了如圖2所示的證明過(guò)程，老師說(shuō)嘉琪同學(xué)的作業(yè)是錯(cuò)誤的．請(qǐng)你解答下列問(wèn)題：

（1）能找出該同學(xué)錯(cuò)誤的原因嗎？請(qǐng)你指出來(lái)；

（2）請(qǐng)你給出本題的符合題意證明過(guò)程．

18．（2023八下·曲陽(yáng)期末）如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，P、Q分別是BM、DN的中點(diǎn)．

（1）求證：△MBA≌△NDC；

（2）四邊形MPNQ是什么樣的特殊四邊形？不用證明．

19．（2023八下·海勃灣期末）如圖，直線y=﹣2x+8分別交x軸，y軸于點(diǎn)A，B，直線yx+3交y軸于點(diǎn)C，兩直線相交于點(diǎn)D．

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AE∥y軸交直線yx+3于點(diǎn)E，連接AC，BE．求證：四邊形ACBE是菱形；

（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)F在線段BC上，點(diǎn)G在線段AB上，連接CG，F(xiàn)G，當(dāng)CG=FG，且∠CGF=∠ABC時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)．

答案解析部分

1．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】菱形的判定與性質(zhì)；軸對(duì)稱的性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖所示：

∵直線l是四邊形ABCD的對(duì)稱軸，

∴AB=AD，BC=DC，∠1=∠2，∠3=∠4，

又∵AD∥BC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠4，

∴AB∥CD，故①正確；

∴四邊形ABCD是菱形；

∴AB=CD，故②正確；

∵四邊形ABCD是菱形；

∴AO=OC，故④正確.

∵當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，直線l是四邊形ABCD的對(duì)稱軸，但是AB與BC不一定垂直，故③錯(cuò)誤.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出AB=AD，BC=DC，∠1=∠2，∠3=∠4，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠2=∠3，根據(jù)等量代換得出∠1=∠4，進(jìn)而根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，二直線平行得出AB∥CD，根據(jù)一組鄰邊相等且兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是菱形得出四邊形ABCD是菱形，進(jìn)而根據(jù)菱形的性質(zhì)即可一一判斷得出答案.

2．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定；菱形的判定；矩形的判定

【解析】【解答】

四邊形AEDF是平行四邊形，故A選項(xiàng)不符合題意；

四邊形AEDF是平行四邊形，

四邊形AEDF是矩形，故B選項(xiàng)不符合題意；

同理

要想四邊形AEDF是菱形，只需,則需顯然沒(méi)有這個(gè)條件，故C選項(xiàng)符合題意；

,則,,

四邊形AEDF是矩形，故D選項(xiàng)不符合題意；

故答案為：C．

【分析】根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形的判定逐項(xiàng)判定即可。

3．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】菱形的判定

【解析】【解答】解：在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAB=∠EBA，

∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，

∴AF=BF，

∵∠AFD=∠BFE，

∴△ADF≌△BEF，

∴AD=BE，

∵AD∥BE，

∴四邊形AEBD是平行四邊形，

A、當(dāng)時(shí)，得到AB=BD，無(wú)法判定四邊形AEBD是菱形，故該選項(xiàng)不符合題意；

B、AB=BE時(shí)，無(wú)法判定四邊形AEBD是菱形，故該選項(xiàng)不符合題意；

C、DF=EF時(shí)，無(wú)法判定四邊形AEBD是菱形，故該選項(xiàng)不符合題意；

D、當(dāng)DE平分時(shí)，四邊形AEBD是菱形，故該選項(xiàng)符合題意；

故答案為：D．

【分析】先證明△ADF≌△BEF，得到AD=BE，推出四邊形AEBD是平行四邊形，再逐項(xiàng)分析即可。

4．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；菱形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】設(shè)BC交AE于G，AD交CF于H，如圖所示：

∵四邊形ABCD、四邊形AECF是全等的矩形，

∴AB=CE，∠B=∠E=90°，AD∥BC，AE∥CF，

∴四邊形AGCH是平行四邊形，

在△ABG和△CEG中，

，

∴△ABG≌△CEG（AAS），

∴AG=CG，

∴四邊形AGCH是菱形，

設(shè)AG=CG=x，則BG=BC-CG=3-x，

在Rt△ABG中，由勾股定理得：12+(3-x)2=x2，

解得：x=，

∴CG=，

∴菱形AGCH的面積=CGAB=，

即圖中重疊（陰影）部分的面積為.

故答案為：C.

【分析】證得四邊形AGCH是平行四邊形，由△ABG≌△CEG（AAS），證得四邊形AGCH是菱形，設(shè)AG=CG=x，則BG=BC-CG=3-x，在Rt△ABG中，由勾股定理得出方程，解方程求得CG的長(zhǎng)，即可求出菱形AGCH的面積.

5．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定

【解析】【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作于E，于F，如圖，

兩條彩帶寬度相同，

，，.

四邊形是平行四邊形.

.

又.

，

四邊形是菱形.

故答案為：.

【分析】首先可判斷重疊部分為平行四邊形，且兩條絲帶寬度相同；再由平行四邊形的面積可得鄰邊相等，則重疊部分為菱形.

6．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】菱形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，

∴四邊形CODE是平行四邊形，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，OB＝OD，OC＝OA，∠ABC＝90°

∴OC＝OD，

∴四邊形CODE是菱形

∵AB＝4，BC＝3

∴OC＝

∴四邊形CODE的周長(zhǎng)＝4×＝10

故答案為：C.

【分析】由矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，CE∥BD，DE∥AC，易證得四邊形CODE是菱形，又由AB＝4，BC＝3，可求得AC的長(zhǎng)，繼而求得OC的長(zhǎng)，則可求得答案.

7．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的判定；菱形的性質(zhì)

【解析】【解答】連結(jié)EF，AE與BF交于點(diǎn)O，如圖，

∵AO平分∠BAD，

∴∠1=∠2，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AF∥BE，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴AB=EB，

同理：AF=BE，

又∵AF∥BE，

∴四邊形ABEF是平行四邊形，

∴四邊形ABEF是菱形，

∴AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA==8，

∴AE=2OA=16.

故答案為：A.

【分析】首先證明四邊形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，利用勾股定理計(jì)算出AO，從而得到AE的長(zhǎng).

8．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；菱形的判定

【解析】【解答】由題意知：四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠ADC=∠ABC，∠A=∠C，AD=BC，AB=CD，ABCD

又∵DE，BF分別是∠ADC和∠ABC的平分線，

∴∠ADE=∠FBC，

在△ADE和△CBF中

∴△ADE≌△CBF（ASA）

∴AE=CF，DE=BF

又∵AB=CD，ABCD，AE=CF

∴DF=BE，DFBE、

∴四邊形BFDE是平行四邊形．

A、∵AB//CD，

∴∠AED=∠EDC，

又∵∠ADE=∠EDC，

∴∠ADE=∠AED，

∴AD=AE，

又∵∠A=60°，

∴△ADE是等邊三角形，

∴AD=AE=DE，

無(wú)法判斷平行四邊形BFDE是菱形．

B、∵DE=DF，

∴平行四邊形BFDE是菱形．

C、∵EF⊥BD，

∴平行四邊形BFDE是菱形．

D、∵BD是∠EDF的平分線，

∴∠EDB=∠FDB，

又∵DF//BE，

∴∠FDB=∠EBD，

∴∠EDB=∠EBD，

∴ED=DB，

∴平行四邊形BFDE是菱形．

故答案為：A．

【分析】先證明四邊形BFDE是平行四邊形，再根據(jù)菱形的判定定理逐項(xiàng)進(jìn)行分析判斷即可．

9．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】菱形的判定

【解析】【解答】解：∵分別以A和B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于C、D，

∴AC=AD=BD=BC，

∴四邊形ADBC一定是菱形，

故答案為：A.

【分析】根據(jù)垂直平分線的畫法得出四邊形ADBC四邊的關(guān)系進(jìn)而得出四邊形一定是菱形.

10．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】菱形的判定；矩形的判定

【解析】【解答】A、當(dāng)AB＝BC時(shí)，平行四邊形ABCD為菱形，A選項(xiàng)不符合題意；

B、當(dāng)AC⊥BD時(shí)，平行四邊形ABCD為菱形，B選項(xiàng)不符合題意；

C、當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，平行四邊形ABCD為矩形，故C選項(xiàng)不符合題意；

D、當(dāng)AC＝BD時(shí)，平行四邊形ABCD為矩形，故D選項(xiàng)符合題意．

故答案為：D．

【分析】根據(jù)矩形、菱形、正方形的的判定方法判斷即可．

11．【答案】12

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】∵□ABCD

∴AD∥BC，AB∥CD

∴DE∥AF，∠AED=∠BAE

∵EF∥AD

∴四邊形ADEF是平行四邊形

∵AE平分∠BAD

∴∠DAE=∠BAE

∴∠AED=∠DAE

∴AD=DE

∴四邊形ADEF是菱形

∵AB=5，CE=2，

∴DE=CD-CE=AB-CE=5-2=3

∴四邊形ADEF的周長(zhǎng)為3×4=12

故答案為：12.

【分析】首先判定四邊形ADEF是平行四邊形，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出AD=DE，進(jìn)而判定四邊形ADEF是菱形，即可求出其周長(zhǎng).

12．【答案】6

【知識(shí)點(diǎn)】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，BF⊥CD于點(diǎn)F，

根據(jù)題意得：AD∥BC，AB∥CD，BE＝BF＝3，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵∠ABC＝∠ADC＝60°，

∴∠ABE＝∠CBF＝30°，

∴AB＝2AE，BC＝2CF，

∵AB2＝AE2+BE2，

∴AB＝2，

同理：BC＝2，

∴AB＝BC，

∴四邊形ABCD是菱形，

∴AD＝2，

∴S菱形ABCD＝ADBE＝6.

故答案為：6.

【分析】首先過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，BF⊥CD于點(diǎn)F，由題意可得四邊形ABCD是平行四邊形，繼而求得AB＝BC的長(zhǎng)，判定四邊形ABCD是菱形，則可求得答案.

13．【答案】52；120

【知識(shí)點(diǎn)】菱形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】∵AC與BD互相垂直且平分，BD＝10，AC＝24，

∴四邊形ABCD是菱形，OD=5，OA=12

∴

∴四邊形的周長(zhǎng)為AD×4=13×4=52

面積為；

故答案為52，120.

【分析】根據(jù)AC與BD互相垂直且平分，BD＝10，AC＝24可知四邊形ABCD是菱形，從而可求答案.

14．【答案】6

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；菱形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：連結(jié)EF，AE與BF交于點(diǎn)O，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=AF，

∴四邊形ABEF是菱形，

∴AE⊥BF，OB=BF=4，OA=AE．

∵AB=5，

在Rt△AOB中，AO==3，

∴AE=2AO=6．

故答案為：6．

【分析】由基本作圖得到AB=AF，AG平分∠BAD，故可得出四邊形ABEF是菱形，由菱形的性質(zhì)可知AE⊥BF，故可得出OB的長(zhǎng)，再由勾股定理即可得出OA的長(zhǎng)，進(jìn)而得出結(jié)論．

15．【答案】解：四邊形ABCD是平行四邊形，，

，

在中，，

，

是直角三角形，且，

，

四邊形ABCD是菱形（對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形）．

【知識(shí)點(diǎn)】菱形的判定

【解析】【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，再根據(jù)勾股定理的逆定理可得是直角三角形，從而可得，然后根據(jù)菱形的判定即可得證．

16．【答案】解：∵DE∥AC，DF∥AB，

∴四邊形AEDF是平行四邊形，

∵AD平分∠BAC，

∴∠1=∠2（角平分線的定義），

∵DE∥AC，

∴∠2=∠3（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

∴∠1=∠3（等量代換），

∴AE=DE，

∴平行四邊形AEDF是菱形.

【知識(shí)點(diǎn)】菱形的判定

【解析】【分析】先證明四邊形AEDF是平行四邊形，再根據(jù)角平分線的定義求出∠1=∠2，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠2=∠3，然后求出∠1=∠3，根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得AE=DE，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定.

17．【答案】（1）解：能；嘉琪同學(xué)錯(cuò)在和并不是互相平分的，垂直平分，

但未證明垂直平分，需要通過(guò)證明得出

（2）證明：∵四邊形是平行四邊形，

∴．

∴．

∵是的垂直平分線，

∴．

∵∠AOF=∠EOC．

∴．

∴．

∴四邊形AECF是平行四邊形．

∵垂直平分．

∴與互相垂直平分．

∴四邊形是菱形

【知識(shí)點(diǎn)】菱形的判定

【解析】【分析】（1）題目中只說(shuō)對(duì)角線的垂直平分線是，所以，只能得到EF垂直平分AC，并不能得到AC是平分EF的，所以不能說(shuō)明四邊形是平行四邊形，故后面的結(jié)論不對(duì)，由此可知嘉琪的不符合題意；（2）根據(jù)是的垂直平分線，所以，由．推出，再結(jié)合對(duì)頂角，證明，可證四邊形是平行四邊形，最后根據(jù)對(duì)角線互相垂直，可證明菱形．

18．【答案】（1）證明∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，

∵在矩形ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，

∴AM=AD，CN=BC，

∴AM=CN，

在△MAB和△NDC中，

∵AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，AM＝CN

∴△MBA≌△NDC（SAS）

（2）解：四邊形MPNQ是菱形．

理由如下：連接AP，MN，

則四邊形ABNM是矩形，

∵AN和BM互相平分，

則A，P，N在同一條直線上，

易證：△ABN≌△BAM，

∴AN=BM，

∵△MAB≌△NDC，

∴BM=DN，

∵P、Q分別是BM、DN的中點(diǎn)，

∴PM=NQ，

∵DM=BN，∠MDQ=∠NBP，DQ=BP，

∴△MQD≌△NPB（SAS）．

∴四邊形MPNQ是平行四邊形，

∵M(jìn)是AD中點(diǎn)，Q是DN中點(diǎn)，

∴MQ=AN，MQ=BM，

∵M(jìn)P=BM

∴MP=MQ，

∴平行四邊形MQNP為菱形．

【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；三角形全等的判定；菱形的判定；矩形的性質(zhì)

【解析】【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和中點(diǎn)的定義，利用SAS判定△MBA≌△NDC；(2)四邊形MPNQ是菱形，連接AN，由(1)可得到BM=DN，再有中點(diǎn)得到PM=NQ，再通過(guò)證明△MQD≌△NPB得到MQ=PN，從而證明四邊形MPNQ是平行四邊形，利用三角形中位線的性質(zhì)可得：MP=MQ，進(jìn)而證明四邊形MQNP是菱形．

19．【答案】（1）解：根據(jù)題意可得：，

解得：，

∴點(diǎn)D坐標(biāo)(2，4)

（2）解：∵直線y=﹣2x+8分別交x軸，y軸于點(diǎn)A，B，

∴點(diǎn)B(0，8)，點(diǎn)A(4，0)．

∵直線yx+3交y軸于點(diǎn)C，

∴點(diǎn)C(0，3)．

∵AE∥y軸交直線yx+3于點(diǎn)E，

∴點(diǎn)E(4，5)

∵點(diǎn)B(0，8)，點(diǎn)A(4，0)，點(diǎn)C(0，3)，點(diǎn)E(4，5)，

∴BC=5，AE=5，AC5，BE5，

∴BC=AE=AC=BE，

∴四邊形ACBE是菱形

（3）解：∵BC=AC，

∴∠ABC=∠CAB．

∵∠CGF=∠ABC，∠AGF=∠ABC+∠BFG=∠AGC+∠CGF，

∴∠AGC=∠BFG，且FG=CG，∠ABC=∠CAB，

∴△ACG≌△BGF(AAS)，

∴BG=AC=5，

設(shè)點(diǎn)G(a，﹣2a+8)，

∴(﹣2a+8﹣8)2+(a﹣0)2=52，

∴a=±，

∵點(diǎn)G在線段AB上，

∴a，

∴點(diǎn)G(，8﹣2)

【知識(shí)點(diǎn)】?jī)梢淮魏瘮?shù)圖象相交或平行問(wèn)題；三角形全等及其性質(zhì)；三角形全等的判定；菱形的判定

【解析】【分析】(1)兩個(gè)解析式組成方程組，可求交點(diǎn)D坐標(biāo)；(2)先求出點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)E，點(diǎn)C坐標(biāo)，由兩點(diǎn)距離公式可求BC=AE=AC=BE=5，可證四邊形ACBE是菱形；(3)由“AAS”可證△ACG≌△BGF，可得BG=AC=5，由兩點(diǎn)距離公式可求點(diǎn)G坐標(biāo)．

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初中數(shù)學(xué)浙教版八年級(jí)下冊(cè)5.2.2菱形的判定同步練習(xí)

一、單選題

1．（2023八上·宜城期末）如圖，四邊形ABCD沿直線l對(duì)折后重合，如果，則結(jié)論①ABCD；②AB=CD；③；④中正確的是（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】菱形的判定與性質(zhì)；軸對(duì)稱的性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖所示：

∵直線l是四邊形ABCD的對(duì)稱軸，

∴AB=AD，BC=DC，∠1=∠2，∠3=∠4，

又∵AD∥BC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠4，

∴AB∥CD，故①正確；

∴四邊形ABCD是菱形；

∴AB=CD，故②正確；

∵四邊形ABCD是菱形；

∴AO=OC，故④正確.

∵當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí)，直線l是四邊形ABCD的對(duì)稱軸，但是AB與BC不一定垂直，故③錯(cuò)誤.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)得出AB=AD，BC=DC，∠1=∠2，∠3=∠4，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠2=∠3，根據(jù)等量代換得出∠1=∠4，進(jìn)而根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，二直線平行得出AB∥CD，根據(jù)一組鄰邊相等且兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是菱形得出四邊形ABCD是菱形，進(jìn)而根據(jù)菱形的性質(zhì)即可一一判斷得出答案.

2．（2023八上·奎文期末）如圖，在中，點(diǎn)D在邊BC上，過(guò)點(diǎn)D作，，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．則下列命題是假命題的是（）

A．四邊形是平行四邊形

B．若，則四邊形是矩形

C．若，則四邊形是菱形

D．若，則四邊形是矩形

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定；菱形的判定；矩形的判定

【解析】【解答】

四邊形AEDF是平行四邊形，故A選項(xiàng)不符合題意；

四邊形AEDF是平行四邊形，

四邊形AEDF是矩形，故B選項(xiàng)不符合題意；

同理

要想四邊形AEDF是菱形，只需,則需顯然沒(méi)有這個(gè)條件，故C選項(xiàng)符合題意；

,則,,

四邊形AEDF是矩形，故D選項(xiàng)不符合題意；

故答案為：C．

【分析】根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形的判定逐項(xiàng)判定即可。

3．（2023八上·文登期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，連接DF并延長(zhǎng)，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE．添加一個(gè)條件，使四邊形AEBD是菱形，這個(gè)條件是（）

A．B．

C．D．DE平分

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】菱形的判定

【解析】【解答】解：在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAB=∠EBA，

∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，

∴AF=BF，

∵∠AFD=∠BFE，

∴△ADF≌△BEF，

∴AD=BE，

∵AD∥BE，

∴四邊形AEBD是平行四邊形，

A、當(dāng)時(shí)，得到AB=BD，無(wú)法判定四邊形AEBD是菱形，故該選項(xiàng)不符合題意；

B、AB=BE時(shí)，無(wú)法判定四邊形AEBD是菱形，故該選項(xiàng)不符合題意；

C、DF=EF時(shí)，無(wú)法判定四邊形AEBD是菱形，故該選項(xiàng)不符合題意；

D、當(dāng)DE平分時(shí)，四邊形AEBD是菱形，故該選項(xiàng)符合題意；

故答案為：D．

【分析】先證明△ADF≌△BEF，得到AD=BE，推出四邊形AEBD是平行四邊形，再逐項(xiàng)分析即可。

4．（2023八上·黃陂開(kāi)學(xué)考）兩張全等的矩形紙片ABCD，AECF按如圖方式交叉疊放在一起，AB=AF，AE=BC.若AB=1，BC=3，則圖中重疊（陰影）部分的面積為（）.

A．2B．C．D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；菱形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】設(shè)BC交AE于G，AD交CF于H，如圖所示：

∵四邊形ABCD、四邊形AECF是全等的矩形，

∴AB=CE，∠B=∠E=90°，AD∥BC，AE∥CF，

∴四邊形AGCH是平行四邊形，

在△ABG和△CEG中，

，

∴△ABG≌△CEG（AAS），

∴AG=CG，

∴四邊形AGCH是菱形，

設(shè)AG=CG=x，則BG=BC-CG=3-x，

在Rt△ABG中，由勾股定理得：12+(3-x)2=x2，

解得：x=，

∴CG=，

∴菱形AGCH的面積=CGAB=，

即圖中重疊（陰影）部分的面積為.

故答案為：C.

【分析】證得四邊形AGCH是平行四邊形，由△ABG≌△CEG（AAS），證得四邊形AGCH是菱形，設(shè)AG=CG=x，則BG=BC-CG=3-x，在Rt△ABG中，由勾股定理得出方程，解方程求得CG的長(zhǎng)，即可求出菱形AGCH的面積.

5．（2023八下·防城港期末）某班同學(xué)在“為抗疫英雄祈?！钡闹黝}班會(huì)課上制作象征“平安歸來(lái)”的黃絲帶，如圖所示，絲帶重疊部分形成的圖形是（）

A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定

【解析】【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作于E，于F，如圖，

兩條彩帶寬度相同，

，，.

四邊形是平行四邊形.

.

又.

，

四邊形是菱形.

故答案為：.

【分析】首先可判斷重疊部分為平行四邊形，且兩條絲帶寬度相同；再由平行四邊形的面積可得鄰邊相等，則重疊部分為菱形.

6．（2023八下·大化期末）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，CE∥BD，DE∥AC，若AB＝4，BC＝3，則四邊形CODE的周長(zhǎng)是（）

A．5B．8C．10D．12

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】菱形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，

∴四邊形CODE是平行四邊形，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，OB＝OD，OC＝OA，∠ABC＝90°

∴OC＝OD，

∴四邊形CODE是菱形

∵AB＝4，BC＝3

∴OC＝

∴四邊形CODE的周長(zhǎng)＝4×＝10

故答案為：C.

【分析】由矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，CE∥BD，DE∥AC，易證得四邊形CODE是菱形，又由AB＝4，BC＝3，可求得AC的長(zhǎng)，繼而求得OC的長(zhǎng)，則可求得答案.

7．（2023八下·洛寧期末）如圖，在ABCD中，用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線AG交BC于點(diǎn)E.若BF＝12，AB＝10，則AE的長(zhǎng)為()

A．16B．15C．14D．13

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的判定；菱形的性質(zhì)

【解析】【解答】連結(jié)EF，AE與BF交于點(diǎn)O，如圖，

∵AO平分∠BAD，

∴∠1=∠2，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AF∥BE，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴AB=EB，

同理：AF=BE，

又∵AF∥BE，

∴四邊形ABEF是平行四邊形，

∴四邊形ABEF是菱形，

∴AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA==8，

∴AE=2OA=16.

故答案為：A.

【分析】首先證明四邊形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，利用勾股定理計(jì)算出AO，從而得到AE的長(zhǎng).

8．（2023八下·醴陵期末）如圖，在ABCD中，DE，BF分別是∠ADC和∠ABC的平分線，添加一個(gè)條件，仍無(wú)法判斷四邊形BFDE為菱形的是（）

A．∠A=60B．DE=DF

C．EF⊥BDD．BD是∠EDF的平分線

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；菱形的判定

【解析】【解答】由題意知：四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠ADC=∠ABC，∠A=∠C，AD=BC，AB=CD，ABCD

又∵DE，BF分別是∠ADC和∠ABC的平分線，

∴∠ADE=∠FBC，

在△ADE和△CBF中

∴△ADE≌△CBF（ASA）

∴AE=CF，DE=BF

又∵AB=CD，ABCD，AE=CF

∴DF=BE，DFBE、

∴四邊形BFDE是平行四邊形．

A、∵AB//CD，

∴∠AED=∠EDC，

又∵∠ADE=∠EDC，

∴∠ADE=∠AED，

∴AD=AE，

又∵∠A=60°，

∴△ADE是等邊三角形，

∴AD=AE=DE，

無(wú)法判斷平行四邊形BFDE是菱形．

B、∵DE=DF，

∴平行四邊形BFDE是菱形．

C、∵EF⊥BD，

∴平行四邊形BFDE是菱形．

D、∵BD是∠EDF的平分線，

∴∠EDB=∠FDB，

又∵DF//BE，

∴∠FDB=∠EBD，

∴∠EDB=∠EBD，

∴ED=DB，

∴平行四邊形BFDE是菱形．

故答案為：A．

【分析】先證明四邊形BFDE是平行四邊形，再根據(jù)菱形的判定定理逐項(xiàng)進(jìn)行分析判斷即可．

9．（2023八下·原州期末）如圖，某同學(xué)作線段AB的垂直平分線：分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)C，D，則直線CD為線段AB的垂直平分線.根據(jù)這個(gè)同學(xué)的作圖方法可知四邊形ADBC一定是（）

A．菱形B．平行四邊形

C．矩形D．一般的四邊形

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】菱形的判定

【解析】【解答】解：∵分別以A和B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于C、D，

∴AC=AD=BD=BC，

∴四邊形ADBC一定是菱形，

故答案為：A.

【分析】根據(jù)垂直平分線的畫法得出四邊形ADBC四邊的關(guān)系進(jìn)而得出四邊形一定是菱形.

10．（2023八下·曲阜期末）已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A．當(dāng)AB=BC時(shí)，它是菱形B．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，它是菱形

C．當(dāng)時(shí)，它是矩形D．當(dāng)時(shí)，它是菱形

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】菱形的判定；矩形的判定

【解析】【解答】A、當(dāng)AB＝BC時(shí)，平行四邊形ABCD為菱形，A選項(xiàng)不符合題意；

B、當(dāng)AC⊥BD時(shí)，平行四邊形ABCD為菱形，B選項(xiàng)不符合題意；

C、當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，平行四邊形ABCD為矩形，故C選項(xiàng)不符合題意；

D、當(dāng)AC＝BD時(shí)，平行四邊形ABCD為矩形，故D選項(xiàng)符合題意．

故答案為：D．

【分析】根據(jù)矩形、菱形、正方形的的判定方法判斷即可．

二、填空題

11．（2023八下·北京期中）如圖，在□ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫圓弧，分別交邊AD、AB于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑畫圓弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交邊CD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AD交AB于點(diǎn)F．若AB=5，CE=2，則四邊形ADEF的周長(zhǎng)為．

【答案】12

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】∵□ABCD

∴AD∥BC，AB∥CD

∴DE∥AF，∠AED=∠BAE

∵EF∥AD

∴四邊形ADEF是平行四邊形

∵AE平分∠BAD

∴∠DAE=∠BAE

∴∠AED=∠DAE

∴AD=DE

∴四邊形ADEF是菱形

∵AB=5，CE=2，

∴DE=CD-CE=AB-CE=5-2=3

∴四邊形ADEF的周長(zhǎng)為3×4=12

故答案為：12.

【分析】首先判定四邊形ADEF是平行四邊形，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出AD=DE，進(jìn)而判定四邊形ADEF是菱形，即可求出其周長(zhǎng).

12．（2023八下·江都期中）如圖，小華剪了兩條寬為3的紙條，交叉疊放在一起，且它們較小的交角為60°，則它們重疊部分的面積為.

【答案】6

【知識(shí)點(diǎn)】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，BF⊥CD于點(diǎn)F，

根據(jù)題意得：AD∥BC，AB∥CD，BE＝BF＝3，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵∠ABC＝∠ADC＝60°，

∴∠ABE＝∠CBF＝30°，

∴AB＝2AE，BC＝2CF，

∵AB2＝AE2+BE2，

∴AB＝2，

同理：BC＝2，

∴AB＝BC，

∴四邊形ABCD是菱形，

∴AD＝2，

∴S菱形ABCD＝ADBE＝6.

故答案為：6.

【分析】首先過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，BF⊥CD于點(diǎn)F，由題意可得四邊形ABCD是平行四邊形，繼而求得AB＝BC的長(zhǎng)，判定四邊形ABCD是菱形，則可求得答案.

13．（2023八下·豐縣月考）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC與BD互相垂直且平分，BD＝10，AC＝24，則四邊形周長(zhǎng)為，面積為.

【答案】52；120

【知識(shí)點(diǎn)】菱形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】∵AC與BD互相垂直且平分，BD＝10，AC＝24，

∴四邊形ABCD是菱形，OD=5，OA=12

∴

∴四邊形的周長(zhǎng)為AD×4=13×4=52

面積為；

故答案為52，120.

【分析】根據(jù)AC與BD互相垂直且平分，BD＝10，AC＝24可知四邊形ABCD是菱形，從而可求答案.

14．（2023八下·壽縣期末）如圖，在ABCD中，用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線AG交BC于點(diǎn)E．若BF=8，AB=5，則AE的長(zhǎng)為．

【答案】6

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；菱形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】解：連結(jié)EF，AE與BF交于點(diǎn)O，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=AF，

∴四邊形ABEF是菱形，

∴AE⊥BF，OB=BF=4，OA=AE．

∵AB=5，

在Rt△AOB中，AO==3，

∴AE=2AO=6．

故答案為：6．

【分析】由基本作圖得到AB=AF，AG平分∠BAD，故可得出四邊形ABEF是菱形，由菱形的性質(zhì)可知AE⊥BF，故可得出OB的長(zhǎng)，再由勾股定理即可得出OA的長(zhǎng)，進(jìn)而得出結(jié)論．

三、解答題

15．（2023八下·永春期末）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，且AB=13，AC=24，BD=10．求證：四邊形ABCD是菱形．

【答案】解：四邊形ABCD是平行四邊形，，

，

在中，，

，

是直角三角形，且，

，

四邊形ABCD是菱形（對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形）．

【知識(shí)點(diǎn)】菱形的判定

【解析】【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，再根據(jù)勾股定理的逆定理可得是直角三角形，從而可得，然后根據(jù)菱形的判定即可得證．

16．（2023八下·八步期末）已知：如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE∥AC，DF∥AB.求證：四邊形AEDF是菱形.

【答案】解：∵DE∥AC，DF∥AB，

∴四邊形AEDF是平行四邊形，

∵AD平分∠BAC，

∴∠1=∠2（角平分線的定義），

∵DE∥AC，

∴∠2=∠3（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

∴∠1=∠3（等量代換），

∴AE=DE，

∴平行四邊形AEDF是菱形.

【知識(shí)點(diǎn)】菱形的判定

【解析】【分析】先證明四邊形AEDF是平行四邊形，再根據(jù)角平分線的定義求出∠1=∠2，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠2=∠3，然后求出∠1=∠3，根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得AE=DE，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定.

17．（2023八下·定興期末）老師布置了一個(gè)作業(yè)，如下：

已知：如圖1的對(duì)角線的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．求證：四邊形是菱形．

嘉琪同學(xué)寫出了如圖2所示的證明過(guò)程，老師說(shuō)嘉琪同學(xué)的作業(yè)是錯(cuò)誤的．請(qǐng)你解答下列問(wèn)題：

（1）能找出該同學(xué)錯(cuò)誤的原因嗎？請(qǐng)你指出來(lái)；

（2）請(qǐng)你給出本題的符合題意證明過(guò)程．

【答案】（1）解：能；嘉琪同學(xué)錯(cuò)在和并不是互相平分的，垂直平分，

但未證明垂直平分，需要通過(guò)證明得出

（2）證明：∵四邊形是平行四邊形，

∴．

∴．

∵是的垂直平分線，

∴．

∵∠AOF=∠EOC．

∴．

∴．

∴四邊形AECF是平行四邊形．

∵垂直平分．

∴與互相垂直平分．

∴四邊形是菱形

【知識(shí)點(diǎn)】菱形的判定

【解析】【分析】（1）題目中只說(shuō)對(duì)角線的垂直平分線是，所以，只能得到EF垂直平分AC，并不能得到AC是平分EF的，所以不