【解析】浙教版2023-2023學(xué)年初中數(shù)學(xué)八年級下學(xué)期期末復(fù)習專題2 一元二次方程

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浙教版2023-2023學(xué)年初中數(shù)學(xué)八年級下學(xué)期期末復(fù)習專題2一元二次方程

一、單選題

1．（2023八下·奉化期中）下列方程是一元二次方程的是

A．B．C．D．

2．（2023八下·越城期中）如果關(guān)于x的一元二次方程（m+1）x2+x+m2﹣2m﹣3＝0有一個根為0，則m的值（）

A．﹣1B．3

C．﹣1或3D．以上答案都不對

3．（2023八下·麗水期中）將方程x(x-2)=x+3化成一般形式后，二次項系數(shù)和常數(shù)項分別為()

A．-3，3B．-1，-3C．1，3D．1，-3

4．（2023八下·房山期中）一元二次方程2x2＋6x＋3=0經(jīng)過配方后可變形為（）

A．=6B．=12

C．D．

5．（2023八下·揚州期中）用公式法解方程x2+4x=2,其中求的Δ的值是（）

A．16B．4C．D．64

6．（2023九下·廣陵月考）方程x（x﹣1）＝5（x﹣1）的解是（）

A．1B．5C．1或5D．無解

7．（2023九下·靜安期中）如果關(guān)于x的方程x2﹣x+1=0有實數(shù)根，那么k的取值范圍是（）

A．k＞0B．k≥0C．k＞4D．k≥4

8．（2023八下·吳興期末）受新冠肺炎疫情影響，某企業(yè)生產(chǎn)總值從1月份的300萬元，連續(xù)兩個月降至260萬元，設(shè)每月平均下降率為x，則可列方程（）

A．B．

C．D．

9．（2023八下·海港期中）如圖，有一長方形雞場，雞場的一邊靠墻（墻長18米），另三邊用竹籬笆圍成，竹籬笆的總長為35米，與墻平行的邊留有1米寬的門（門用其它材料做成），若雞場的面積為160平方米，則雞場與墻垂直的邊長為（）

A．7.5米B．8米C．10米D．10米或8米

10．（2023八下·越城期中）若α，β是方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個實數(shù)根，則α2+β2+αβ的值為（）

A．10B．9C．7D．5

二、填空題

11．（2023八下·房山期中）關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx－2023=0有一個根為x=－1，寫出一組滿足條件的實數(shù)a，b的值：a＝，b＝．

12．（2023九上·昌圖期末）若關(guān)于x的一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項的和是0，則.

13．（2023七下·懷寧期中）若2(x-1)2-8=0，則x的值為．

14．（2023八下·重慶期中）關(guān)于x的一元二次方程(a＋1)x2－2x＋3＝0有實數(shù)根，則整數(shù)a的最大值是.

15．（2023八下·溫州期中）某服裝店經(jīng)銷一種品牌服裝，平均每天可銷售20件，每件贏利44元，經(jīng)市場預(yù)測發(fā)現(xiàn)：在每件降價不超過10元的情況下，若每件降價1元，則每天可多銷售5件，若該專賣店要使該品牌服裝每天的贏利為1600元，則每件應(yīng)降價____元．

16．（2023八下·射陽期中）如圖，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm.一動點N從C點出發(fā)沿CB方向以1cm/s的速度向B點運動，同時另一動點M由點A沿AB方向以2cm/s的速度也向B點運動，其中一點到達B點時另一點也隨之停止，當△MNB的面積為24cm2時運動的時間t為秒.

三、解答題

17．（2023九上·下陸月考）已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2﹣kx+5（k﹣5）＝0的兩個正實數(shù)根，且滿足2x1+x2＝7，求實數(shù)k的值.

18．（2023八下·高新期中）解方程：

（1）(x+2)2=4(自選方法)

（2）2x-x-1=0(配方法)、

（3）x-1=4x(公式法)

（4）x-1=2x+2(因式分解法)

19．（2023九上·椒江期末）已知m是方程的一個根，求的值．

20．（2023九下·鹽都期中）閱讀第（1）題的解題過程，再解答第（2）題：

（1）例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0.

解：當x≥0時，原方程可化為x2﹣x﹣2＝0.

解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合題意.舍去）

當x＜0時，原方程可化為x2+x﹣2＝0.

解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合題意.舍去）

∴原方程的解是x1＝2，x1＝﹣2.

（2）請參照上例例題的解法，解方程x2﹣x|x﹣1|﹣1＝0.

21．（2023八下·房山期中）如果關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，研究發(fā)現(xiàn)了此類方程的一般性結(jié)論：設(shè)其中一根為，則另一個根為，因此，所以有；我們記“”即時，方程為倍根方程；

下面我們根據(jù)此結(jié)論來解決問題：

（1）方程①；方程②；方程③這幾個方程中，是倍根方程的是（填序號即可）；

（2）若是倍根方程，則的值為；

22．（2023八下·哈爾濱期中）將4個數(shù)a，b，c，d排成2行、2列，兩邊各加一條豎直線記成，定義＝ad-bc，上述記號就叫做2階行列式．

（1）若＝0，求x的值；

（2）若＝6，求x的值．

23．（2023八下·安慶期中）隨著粵港澳大灣區(qū)建設(shè)的加速推進，廣東省正加速布局以5G等為代表的戰(zhàn)術(shù)性新興產(chǎn)業(yè)．據(jù)統(tǒng)計，目前廣東5G基站的數(shù)量約1.5萬座，計劃到2023年底，全省5G基站數(shù)量是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站數(shù)量將達到17.34萬座．

（1）計劃到2023年底，全省5G基站的數(shù)量是多少萬座？

（2）按照計劃，求2023年底到2022年底，全省5G基站數(shù)量的年平均增長率；

（3）求2023年底全省5G基站的數(shù)量．

24．（2023八下·紹興月考）如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=16cm．點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，當一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設(shè)運動的時間為t秒．

（1）當t為何值時，△PBQ的面積等于35cm2？

（2）當t為何值時，PQ的長度等于8cm？

（3）若點P，Q的速度保持不變，點P在到達點B后返回點A，點Q在到達點C后返回點B，一個點停止，另一個點也隨之停止．問：當t為何值時，△PCQ的面積等于？

答案解析部分

1．【答案】C

【知識點】一元二次方程的定義及相關(guān)的量

【解析】【解答】解：A.是一元一次方程，故A不符合題意；

B.是二元二次方程，故B不符合題意；

C.是一元二次方程，故C符合題意；

D.是分式方程，故D不符合題意.

故答案為：C.

【分析】只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)最高是2的整式方程，叫做一元二次方程，據(jù)此逐一判斷即可.

2．【答案】B

【知識點】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：把x＝0代入方程（m+1）x2+x+m2﹣2m﹣3＝0中，得

m2﹣2m﹣3＝0，

解得m＝3或﹣1，

當m＝﹣1時，原方程二次項系數(shù)m+1＝0，舍去，

故答案為：B．

【分析】把x＝0代入方程（m2﹣1）x2+（m+1）x﹣2＝0中，解關(guān)于m的一元二次方程即可求得m的值．

3．【答案】D

【知識點】一元二次方程的定義及相關(guān)的量

【解析】【解答】去括號：x2-2x=x+3，

移項合并：x2-3x-3=0.

二次項系數(shù)1，常數(shù)項-3.

故選D.

【分析】先將方程化為一般式，然后求出結(jié)論即可.

4．【答案】C

【知識點】配方法解一元二次方程

【解析】【解答】解：∵2x2＋6x＋3=0

∴

∴

∴

故答案為：C

【分析】先把常數(shù)項移到方程的右邊，再把二次項系數(shù)變?yōu)?，然后配方，方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，即可得到答案．

5．【答案】D

【知識點】公式法解一元二次方程

【解析】【解答】解：

故答案為：D

【分析】首先把方程化簡為一般形式，再得出a、b、c的值，最后求出判別式的值即可.

6．【答案】C

【知識點】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：原方程可化為x（x﹣1）﹣5（x﹣1）＝0，

即（x﹣1）（x﹣5）＝0，

解得x1＝1，x2＝5.

故答案為：C.

【分析】先把方程右邊的因式移到左邊，再提取公因式x﹣1，即可利用因式分解法求出x的值.

7．【答案】D

【知識點】一元二次方程根的判別式及應(yīng)用

【解析】【解答】∵關(guān)于x的方程x2-x+1=0有實數(shù)根，

∴，

解得：k≥4．

故答案為：D．

【分析】由被開方數(shù)非負結(jié)合根的判別式△≥0，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式組，解之即可得出k的取值范圍．

8．【答案】D

【知識點】一元二次方程的實際應(yīng)用-百分率問題

【解析】【解答】設(shè)每月平均下降率為x，

得

故答案為：D.

【分析】設(shè)每月平均下降率為x，根據(jù)1月份生產(chǎn)總值×（1-平均下降率）2=3月份生產(chǎn)總值列出方程即可.

9．【答案】C

【知識點】一元二次方程的應(yīng)用-幾何問題

【解析】【解答】解：設(shè)雞場的長為x，因為籬笆總長為35米，由圖可知寬為：米，

則根據(jù)題意列方程為：，

解得：x1＝16，x2＝20（大于墻長，舍去），

寬為：=10（米），

所以雞場的長為16米，寬為10米，

即雞場與墻垂直的邊長為10米．

故答案為：C．

【分析】設(shè)長為x，則根據(jù)圖可知一共有三面用到了籬笆，長用的籬笆為（x1）米，與2倍的寬長的總和為籬笆的長35米，長×寬＝面積160平方米，根據(jù)這兩個式子可解出長和寬的值．

10．【答案】C

【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：根據(jù)題意得α+β＝2，αβ＝﹣3，

所以α2+β2+αβ＝（α+β）2﹣αβ

＝22﹣（﹣3）

＝7．

故答案為：C．

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到α+β＝2，αβ＝﹣3，再利用完全平方公式得到α2+β2+αβ＝（α+β）2﹣αβ，然后利用整體代入的方法計算．

11．【答案】1；-2023答案不唯一

【知識點】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：把x＝-1代入ax2＋bx2023＝0得a-b2023＝0，

當a＝1時，b＝-2023．

故答案為：1，-2023．答案不唯一

【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，把x＝-1代入方程得到a-b2023＝0，于是a取1時，計算對應(yīng)的b的值．答案不唯一

12．【答案】2

【知識點】一元二次方程的定義及相關(guān)的量

【解析】【解答】∵關(guān)于x的一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項的和是0，

∴，

解得：.

故答案為：2.

【分析】根據(jù)b，c是常數(shù)且，a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項，利用二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項的和是0列關(guān)于k的方程即可得答案.

13．【答案】3或-1

【知識點】直接開平方法解一元二次方程

【解析】【解答】解：2(x-1)2-8=0

(x-1)2＝4

x-1=±2

x1=3，x2=-1

故答案為：3或-1．

【分析】由題意解方程，求出方程的解即可求出答案．

14．【答案】－2

【知識點】一元二次方程根的判別式及應(yīng)用

【解析】【解答】∵關(guān)于x的一元二次方程(a＋1)x2－2x＋3＝0有實數(shù)根，

∴△=4-4（a+1）×3≥0，且a+1≠0，

解得a≤-，且a≠-1，

則a的最大整數(shù)值是-2.

故答案為：-2.

【分析】若一元二次方程有實數(shù)根，則根的判別式△=b2-4ac≥0，建立關(guān)于a的不等式，求出a的取值范圍.還要注意二次項系數(shù)不為0.

15．【答案】4

【知識點】一元二次方程的實際應(yīng)用-銷售問題

【解析】【解答】解：設(shè)每件應(yīng)降價x元，根據(jù)題意得

（20+5x）（44-x）=1600

解之：x1=36，x2=4.

∵x≤10

∴x=4

故答案為：4.

【分析】設(shè)每件應(yīng)降價x元，用含x的代數(shù)式表示出銷售量及每一件的利潤，再根據(jù)銷售量×每一件的利潤=1600，列方程求出方程的解，即可得到符合題意的x的值。

16．【答案】2

【知識點】一元二次方程的應(yīng)用-幾何問題

【解析】【解答】根據(jù)題意可知CN=t，AM=2t，

∴BN=8-t,BM=12-2t,

∵△MNB的面積為24cm2

∴×（12-2t）×（8-t）=24

解得x1=2,x2=12(舍去)

故答案為：2.

【分析】根據(jù)題意可知CN=t，AM=2t，故可得BN=8-t,BM=12-2t,根據(jù)面積公式得到方程即可求解.

17．【答案】解：因為關(guān)于x的方程x2﹣kx+5（k﹣5）＝0的兩個正實數(shù)根，

所以，

解得：k的取值范圍為k＞5.

方程x2﹣kx+5（k﹣5）＝0可化為（x﹣5）（x﹣k+5）＝0，

解得x＝5或x＝k﹣5.

①x1＝5或x2＝k﹣5時，代入2x1+x2＝7得，2×5+k﹣5＝7，則k＝2；

②x2＝5或x1＝k﹣5時，代入2x1+x2＝7得，2k﹣10+5＝7，則k＝6.

由于k＞5，所以k＝6

【知識點】一元二次方程根的判別式及應(yīng)用；一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【分析】根據(jù)關(guān)于x的方程x2﹣kx+5（k﹣5）＝0有兩個正實數(shù)根，可知其根的判別式的值不小于0，兩根之積大于0，兩根之和大于0，從而列出關(guān)于k的不等式組，求解即可得出k的取值范圍；利用因式分解法求出該方程的兩根為x＝5或x＝k﹣5，進而分①x1＝5或x2＝k﹣5時與②x2＝5或x1＝k﹣5時，兩種情況代入2x1+x2＝7求解并檢驗即可得出答案.

18．【答案】（1）解：x+2=±2

x1=0，x2=-4

（2）解：2x2-x-1=0

2（x2-x+）--1=0

2（x-）2-=0

2（x-）2=

（x-）2=

x-=±

∴x1=1，x2=-

（3）解：x2-4x-1=0

x=

x1=2+，x2=2-

（4）解：x2-1-2x-2=0

x2-2x-3=0

（x-3）（x+1）=0

x1=3，x2=-1

【知識點】直接開平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程

【解析】【分析】（1）運用直接開平方法解方程即可；

（2）根據(jù)完全平方公式運用配方法解方程即可；

（3）運用求根公式解方程；

（4）利用因式分解的方法解方程即可。

19．【答案】解：∵m是方程x2-3x=0的根，

∴m2-3m=0，

∴m=0或m=3，

①當m=0時，

∴（m-3）2+（m+2）（m-2），

=（0-3）2+（0+2）（0-2），

=9-4，

=5；

②當m=3時，

∴（m-3）2+（m+2）（m-2），

=（3-3）2+（3+2）（3-2），

=0+5×1，

=5；

綜上所述：（m-3）2+（m+2）（m-2）=5.

【知識點】一元二次方程的根

【解析】【分析】解方程x2-3x=0從而可得m值，在分情況計算：①當m=0時，②當m=3時，分別將m值代入代數(shù)式，計算即可得出答案,

20．【答案】解：當x﹣1≥0，即x≥1時，

原方程可化為x2﹣x（x﹣1）﹣1＝0

即x﹣1＝0，

解得x＝1

當x﹣1＜0，即x＜1時，

原方程可化為x2﹣x（1﹣x）﹣1＝0

即2x2﹣x﹣1＝0，

解得x1＝﹣0.5，x2＝1（不合題意.舍去）

∴原方程的解為x1＝﹣0.5，x2＝1

【知識點】因式分解法解一元二次方程

【解析】【分析】根據(jù)絕對值的意義，分x﹣1≥0與當x﹣1＜0兩種情況去絕對值符號后得出兩個方程，分別解方程再檢驗即可得出原方程的解.

21．【答案】（1）①、③

（2）4或1

【知識點】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判別式及應(yīng)用；一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：（1）①∵

∴=(-3)2-×2×1=0

∴①是倍根方程；

②

∴=

∴②不是倍根方程；

③，

∴=12-×1×=0

∴③是倍根方程；

故答案為：①、③；（2）∵是倍根方程，

∴

∴=

解得：或

∴或

故答案為：或

【分析】（1）根據(jù)“倍根方程”的定義，找出方程①、②、③中K的值，由此即可得出結(jié)論；（2）將方程（x1）（mx-n）＝0整理成一般式，再根據(jù)“倍根方程”的定義，當K＝0，整理后即可得出的值；

22．【答案】（1）由題意可得：

∴

∴，；

（2）由題意可得：，

整理得，，

解得，，．

【知識點】直接開平方法解一元二次方程

【解析】【分析】（1）根據(jù)2階行列式公式列出方程，運用直接開平方法即可求得答案；（2）根據(jù)2階行列式公式列出方程，即可求得答案．

23．【答案】（1）(萬座)．

答：計劃到2023年底，全省5G基站的數(shù)量是6萬座．

（2）設(shè)2023年底到2022年底，全省5G基站數(shù)量的年平均增長率為x，

依題意，得，

解得(舍去)．

（3）2023年底到2022年底，全省5G基站數(shù)量的年平均增長率為70%．

(萬座)．

答：2023年底全省5G基站的數(shù)量為10.2萬座．

【知識點】一元二次方程的實際應(yīng)用-百分率問題

【解析】【分析】（1）利用“現(xiàn)在的數(shù)量×4”即可解答；（2）設(shè)年平均增長率為x，根據(jù)2023年底到2022年底的數(shù)量列出方程即可解答；（3）根據(jù)年平均增長率以及2023年底的數(shù)量即可解答．

24．【答案】（1）解：BP=AB-AP=(12-t)cm，BQ=2tcm．

根據(jù)三角形的面積公式，得PB·BQ=35，

即(12-t)·2t=35，

整理，得t2-12t+35=0，解得t1=5，t2=7．

故當t為5或7時，△PBQ的面積等于35cm2．

（2）解：根據(jù)勾股定理，得PQ2=BP2+BQ2=(12-t)2+(2t)2=(82)2，

整理，得5t2-24t+16=0，

解得

故當t為或4時，PQ的長度等于8cm．

（3）解：①當0<t≤8時，PB=(12-t)cm，CQ=(16-2t)cm，

由題意，得(16-2t)×(12-t)=32，

解得：t1=4，t2=16（舍去）．

②當8<t≤12時，PB=(12-t)cm，CQ=(2t-16)cm，

由題意，得(2t-16)×(12-t)=32，此方程無解．

③當12<t≤16時，PB=(t-12)cm，CQ=(2t-16)cm，

由題意，得(2t-16)×(t-12)=32，

解得：t1=4（舍去），t2=16．

綜上所述，當t為4或16時，△PCQ的面積等于32cm2．

【知識點】一元二次方程的應(yīng)用-幾何問題

【解析】【分析】（1）根據(jù)速度公式分別列出BP和BQ段的含t表達式，結(jié)合面積等于35cm2列等式求解即可.

（2）在Rt△PBQ中，現(xiàn)知PB和QB的表達式，PQ長度已知，根據(jù)勾股定理列式求出t值即可.

（3）分三種情況討論，①當0<t≤8時，這時，P由A去B，Q在BC上，但Q在由B去C的途中，可得PB=12-t，CQ=16-2t,利用三角形面積等于32cm2列等式求解即可；②當8<t≤12時，P仍在去B的途中,Q由C點返回，這時PB=12-t，CQ=2t-16，于是利用三角形面積等于32cm2列等式求解，但無解；③當12<t≤16時，P由B點返回,Q由C點返回，這時PB=t-12，CQ=2t-16，再根據(jù)三角形面積等于32cm2列等式求解即可。

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一、單選題

1．（2023八下·奉化期中）下列方程是一元二次方程的是

A．B．C．D．

【答案】C

【知識點】一元二次方程的定義及相關(guān)的量

【解析】【解答】解：A.是一元一次方程，故A不符合題意；

B.是二元二次方程，故B不符合題意；

C.是一元二次方程，故C符合題意；

D.是分式方程，故D不符合題意.

故答案為：C.

【分析】只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)最高是2的整式方程，叫做一元二次方程，據(jù)此逐一判斷即可.

2．（2023八下·越城期中）如果關(guān)于x的一元二次方程（m+1）x2+x+m2﹣2m﹣3＝0有一個根為0，則m的值（）

A．﹣1B．3

C．﹣1或3D．以上答案都不對

【答案】B

【知識點】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：把x＝0代入方程（m+1）x2+x+m2﹣2m﹣3＝0中，得

m2﹣2m﹣3＝0，

解得m＝3或﹣1，

當m＝﹣1時，原方程二次項系數(shù)m+1＝0，舍去，

故答案為：B．

【分析】把x＝0代入方程（m2﹣1）x2+（m+1）x﹣2＝0中，解關(guān)于m的一元二次方程即可求得m的值．

3．（2023八下·麗水期中）將方程x(x-2)=x+3化成一般形式后，二次項系數(shù)和常數(shù)項分別為()

A．-3，3B．-1，-3C．1，3D．1，-3

【答案】D

【知識點】一元二次方程的定義及相關(guān)的量

【解析】【解答】去括號：x2-2x=x+3，

移項合并：x2-3x-3=0.

二次項系數(shù)1，常數(shù)項-3.

故選D.

【分析】先將方程化為一般式，然后求出結(jié)論即可.

4．（2023八下·房山期中）一元二次方程2x2＋6x＋3=0經(jīng)過配方后可變形為（）

A．=6B．=12

C．D．

【答案】C

【知識點】配方法解一元二次方程

【解析】【解答】解：∵2x2＋6x＋3=0

∴

∴

∴

故答案為：C

【分析】先把常數(shù)項移到方程的右邊，再把二次項系數(shù)變?yōu)?，然后配方，方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，即可得到答案．

5．（2023八下·揚州期中）用公式法解方程x2+4x=2,其中求的Δ的值是（）

A．16B．4C．D．64

【答案】D

【知識點】公式法解一元二次方程

【解析】【解答】解：

故答案為：D

【分析】首先把方程化簡為一般形式，再得出a、b、c的值，最后求出判別式的值即可.

6．（2023九下·廣陵月考）方程x（x﹣1）＝5（x﹣1）的解是（）

A．1B．5C．1或5D．無解

【答案】C

【知識點】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：原方程可化為x（x﹣1）﹣5（x﹣1）＝0，

即（x﹣1）（x﹣5）＝0，

解得x1＝1，x2＝5.

故答案為：C.

【分析】先把方程右邊的因式移到左邊，再提取公因式x﹣1，即可利用因式分解法求出x的值.

7．（2023九下·靜安期中）如果關(guān)于x的方程x2﹣x+1=0有實數(shù)根，那么k的取值范圍是（）

A．k＞0B．k≥0C．k＞4D．k≥4

【答案】D

【知識點】一元二次方程根的判別式及應(yīng)用

【解析】【解答】∵關(guān)于x的方程x2-x+1=0有實數(shù)根，

∴，

解得：k≥4．

故答案為：D．

【分析】由被開方數(shù)非負結(jié)合根的判別式△≥0，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式組，解之即可得出k的取值范圍．

8．（2023八下·吳興期末）受新冠肺炎疫情影響，某企業(yè)生產(chǎn)總值從1月份的300萬元，連續(xù)兩個月降至260萬元，設(shè)每月平均下降率為x，則可列方程（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知識點】一元二次方程的實際應(yīng)用-百分率問題

【解析】【解答】設(shè)每月平均下降率為x，

得

故答案為：D.

【分析】設(shè)每月平均下降率為x，根據(jù)1月份生產(chǎn)總值×（1-平均下降率）2=3月份生產(chǎn)總值列出方程即可.

9．（2023八下·海港期中）如圖，有一長方形雞場，雞場的一邊靠墻（墻長18米），另三邊用竹籬笆圍成，竹籬笆的總長為35米，與墻平行的邊留有1米寬的門（門用其它材料做成），若雞場的面積為160平方米，則雞場與墻垂直的邊長為（）

A．7.5米B．8米C．10米D．10米或8米

【答案】C

【知識點】一元二次方程的應(yīng)用-幾何問題

【解析】【解答】解：設(shè)雞場的長為x，因為籬笆總長為35米，由圖可知寬為：米，

則根據(jù)題意列方程為：，

解得：x1＝16，x2＝20（大于墻長，舍去），

寬為：=10（米），

所以雞場的長為16米，寬為10米，

即雞場與墻垂直的邊長為10米．

故答案為：C．

【分析】設(shè)長為x，則根據(jù)圖可知一共有三面用到了籬笆，長用的籬笆為（x1）米，與2倍的寬長的總和為籬笆的長35米，長×寬＝面積160平方米，根據(jù)這兩個式子可解出長和寬的值．

10．（2023八下·越城期中）若α，β是方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個實數(shù)根，則α2+β2+αβ的值為（）

A．10B．9C．7D．5

【答案】C

【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：根據(jù)題意得α+β＝2，αβ＝﹣3，

所以α2+β2+αβ＝（α+β）2﹣αβ

＝22﹣（﹣3）

＝7．

故答案為：C．

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到α+β＝2，αβ＝﹣3，再利用完全平方公式得到α2+β2+αβ＝（α+β）2﹣αβ，然后利用整體代入的方法計算．

二、填空題

11．（2023八下·房山期中）關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx－2023=0有一個根為x=－1，寫出一組滿足條件的實數(shù)a，b的值：a＝，b＝．

【答案】1；-2023答案不唯一

【知識點】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：把x＝-1代入ax2＋bx2023＝0得a-b2023＝0，

當a＝1時，b＝-2023．

故答案為：1，-2023．答案不唯一

【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，把x＝-1代入方程得到a-b2023＝0，于是a取1時，計算對應(yīng)的b的值．答案不唯一

12．（2023九上·昌圖期末）若關(guān)于x的一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項的和是0，則.

【答案】2

【知識點】一元二次方程的定義及相關(guān)的量

【解析】【解答】∵關(guān)于x的一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項的和是0，

∴，

解得：.

故答案為：2.

【分析】根據(jù)b，c是常數(shù)且，a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項，利用二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項的和是0列關(guān)于k的方程即可得答案.

13．（2023七下·懷寧期中）若2(x-1)2-8=0，則x的值為．

【答案】3或-1

【知識點】直接開平方法解一元二次方程

【解析】【解答】解：2(x-1)2-8=0

(x-1)2＝4

x-1=±2

x1=3，x2=-1

故答案為：3或-1．

【分析】由題意解方程，求出方程的解即可求出答案．

14．（2023八下·重慶期中）關(guān)于x的一元二次方程(a＋1)x2－2x＋3＝0有實數(shù)根，則整數(shù)a的最大值是.

【答案】－2

【知識點】一元二次方程根的判別式及應(yīng)用

【解析】【解答】∵關(guān)于x的一元二次方程(a＋1)x2－2x＋3＝0有實數(shù)根，

∴△=4-4（a+1）×3≥0，且a+1≠0，

解得a≤-，且a≠-1，

則a的最大整數(shù)值是-2.

故答案為：-2.

【分析】若一元二次方程有實數(shù)根，則根的判別式△=b2-4ac≥0，建立關(guān)于a的不等式，求出a的取值范圍.還要注意二次項系數(shù)不為0.

15．（2023八下·溫州期中）某服裝店經(jīng)銷一種品牌服裝，平均每天可銷售20件，每件贏利44元，經(jīng)市場預(yù)測發(fā)現(xiàn)：在每件降價不超過10元的情況下，若每件降價1元，則每天可多銷售5件，若該專賣店要使該品牌服裝每天的贏利為1600元，則每件應(yīng)降價____元．

【答案】4

【知識點】一元二次方程的實際應(yīng)用-銷售問題

【解析】【解答】解：設(shè)每件應(yīng)降價x元，根據(jù)題意得

（20+5x）（44-x）=1600

解之：x1=36，x2=4.

∵x≤10

∴x=4

故答案為：4.

【分析】設(shè)每件應(yīng)降價x元，用含x的代數(shù)式表示出銷售量及每一件的利潤，再根據(jù)銷售量×每一件的利潤=1600，列方程求出方程的解，即可得到符合題意的x的值。

16．（2023八下·射陽期中）如圖，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm.一動點N從C點出發(fā)沿CB方向以1cm/s的速度向B點運動，同時另一動點M由點A沿AB方向以2cm/s的速度也向B點運動，其中一點到達B點時另一點也隨之停止，當△MNB的面積為24cm2時運動的時間t為秒.

【答案】2

【知識點】一元二次方程的應(yīng)用-幾何問題

【解析】【解答】根據(jù)題意可知CN=t，AM=2t，

∴BN=8-t,BM=12-2t,

∵△MNB的面積為24cm2

∴×（12-2t）×（8-t）=24

解得x1=2,x2=12(舍去)

故答案為：2.

【分析】根據(jù)題意可知CN=t，AM=2t，故可得BN=8-t,BM=12-2t,根據(jù)面積公式得到方程即可求解.

三、解答題

17．（2023九上·下陸月考）已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2﹣kx+5（k﹣5）＝0的兩個正實數(shù)根，且滿足2x1+x2＝7，求實數(shù)k的值.

【答案】解：因為關(guān)于x的方程x2﹣kx+5（k﹣5）＝0的兩個正實數(shù)根，

所以，

解得：k的取值范圍為k＞5.

方程x2﹣kx+5（k﹣5）＝0可化為（x﹣5）（x﹣k+5）＝0，

解得x＝5或x＝k﹣5.

①x1＝5或x2＝k﹣5時，代入2x1+x2＝7得，2×5+k﹣5＝7，則k＝2；

②x2＝5或x1＝k﹣5時，代入2x1+x2＝7得，2k﹣10+5＝7，則k＝6.

由于k＞5，所以k＝6

【知識點】一元二次方程根的判別式及應(yīng)用；一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【分析】根據(jù)關(guān)于x的方程x2﹣kx+5（k﹣5）＝0有兩個正實數(shù)根，可知其根的判別式的值不小于0，兩根之積大于0，兩根之和大于0，從而列出關(guān)于k的不等式組，求解即可得出k的取值范圍；利用因式分解法求出該方程的兩根為x＝5或x＝k﹣5，進而分①x1＝5或x2＝k﹣5時與②x2＝5或x1＝k﹣5時，兩種情況代入2x1+x2＝7求解并檢驗即可得出答案.

18．（2023八下·高新期中）解方程：

（1）(x+2)2=4(自選方法)

（2）2x-x-1=0(配方法)、

（3）x-1=4x(公式法)

（4）x-1=2x+2(因式分解法)

【答案】（1）解：x+2=±2

x1=0，x2=-4

（2）解：2x2-x-1=0

2（x2-x+）--1=0

2（x-）2-=0

2（x-）2=

（x-）2=

x-=±

∴x1=1，x2=-

（3）解：x2-4x-1=0

x=

x1=2+，x2=2-

（4）解：x2-1-2x-2=0

x2-2x-3=0

（x-3）（x+1）=0

x1=3，x2=-1

【知識點】直接開平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程

【解析】【分析】（1）運用直接開平方法解方程即可；

（2）根據(jù)完全平方公式運用配方法解方程即可；

（3）運用求根公式解方程；

（4）利用因式分解的方法解方程即可。

19．（2023九上·椒江期末）已知m是方程的一個根，求的值．

【答案】解：∵m是方程x2-3x=0的根，

∴m2-3m=0，

∴m=0或m=3，

①當m=0時，

∴（m-3）2+（m+2）（m-2），

=（0-3）2+（0+2）（0-2），

=9-4，

=5；

②當m=3時，

∴（m-3）2+（m+2）（m-2），

=（3-3）2+（3+2）（3-2），

=0+5×1，

=5；

綜上所述：（m-3）2+（m+2）（m-2）=5.

【知識點】一元二次方程的根

【解析】【分析】解方程x2-3x=0從而可得m值，在分情況計算：①當m=0時，②當m=3時，分別將m值代入代數(shù)式，計算即可得出答案,

20．（2023九下·鹽都期中）閱讀第（1）題的解題過程，再解答第（2）題：

（1）例：解方程x2﹣|x|﹣2＝0.

解：當x≥0時，原方程可化為x2﹣x﹣2＝0.

解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合題意.舍去）

當x＜0時，原方程可化為x2+x﹣2＝0.

解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合題意.舍去）

∴原方程的解是x1＝2，x1＝﹣2.

（2）請參照上例例題的解法，解方程x2﹣x|x﹣1|﹣1＝0.

【答案】解：當x﹣1≥0，即x≥1時，

原方程可化為x2﹣x（x﹣1）﹣1＝0

即x﹣1＝0，

解得x＝1

當x﹣1＜0，即x＜1時，

原方程可化為x2﹣x（1﹣x）﹣1＝0

即2x2﹣x﹣1＝0，

解得x1＝﹣0.5，x2＝1（不合題意.舍去）

∴原方程的解為x1＝﹣0.5，x2＝1

【知識點】因式分解法解一元二次方程

【解析】【分析】根據(jù)絕對值的意義，分x﹣1≥0與當x﹣1＜0兩種情況去絕對值符號后得出兩個方程，分別解方程再檢驗即可得出原方程的解.

21．（2023八下·房山期中）如果關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，研究發(fā)現(xiàn)了此類方程的一般性結(jié)論：設(shè)其中一根為，則另一個根為，因此，所以有；我們記“”即時，方程為倍根方程；

下面我們根據(jù)此結(jié)論來解決問題：

（1）方程①；方程②；方程③這幾個方程中，是倍根方程的是（填序號即可）；

（2）若是倍根方程，則的值為；

【答案】（1）①、③

（2）4或1

【知識點】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判別式及應(yīng)用；一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：（1）①∵

∴=(-3)2-×2×1=0

∴①是倍根方程；

②

∴=

∴②不是倍根方程；

③，

∴=12-×1×=0

∴③是倍根方程；

故答案為：①、③；（2）∵是倍根方程，

∴

∴=

解得：或

∴或

故答案為：或

【分析】（1）根據(jù)“倍根方程”的定義，找出方程①、②、③中K的值，由此即可得出結(jié)論；（2）將方程（x1）（mx-n）＝0整理成一般式，再根據(jù)“倍根方程”的定義，當K＝0，整理后即可得出的值；

22．（2023八下·哈爾濱期中）將4個數(shù)a，b，c，d排成2行、2列，兩邊各加一條豎直線記成，定義＝ad-bc，上述記號就叫做2階行列式．

（1）若＝0，求x的值；

（2）若＝6，求x的值．

【答案】（1）由題意可得：

∴

∴，；

（2）由題意可得：，

整理得，，

解得，，．

【知識點】直接開平方法解一元二次方程

【解析】【分析】（1）根據(jù)2階行列式公式列出方程，運用直接開平方法即可求得答案；（2）根據(jù)2階行列式公式列出方程，即可求得答案．

23．（2023八下·安慶期中）隨著粵港澳大灣區(qū)建設(shè)的加速推進，廣東省正加速布局以5G等為代表的戰(zhàn)術(shù)性新興