【解析】人教A版（2023） 必修一2.2 基本不等式

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人教A版（2023）必修一2.2基本不等式

一、單選題

1．（2023高一下·麗水期末）已知實數(shù)滿足，且，則的最小值為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】

,

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號

故答案為：B

【分析】利用1的代換，結(jié)合基本不等式求最值.

2．（2023高一下·宜賓期末）若正數(shù)滿足，則的最大值為（）

A．5B．6C．7D．9

【答案】D

【知識點】基本不等式

【解析】【解答】依題意，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最大值為9.

故答案為：D

【分析】利用基本不等式求得的最大值.

3．（2023高二下·六安月考）設(shè)、、，，，，則、、三數(shù)（）

A．都小于B．至少有一個不大于

C．都大于D．至少有一個不小于

【答案】D

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】由基本不等式得，

當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，若、、三數(shù)都小于，則與矛盾，即、、三數(shù)至少有一個不小于，

故選D.

【分析】利用基本不等式計算出，于此可得出結(jié)論.

4．（2023高一下·哈爾濱期末）已知，，則的最小值為（）

A．8B．6C．D．

【答案】C

【知識點】基本不等式

【解析】【解答】∵，，

∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以的最小值為.

故答案為：C

【分析】結(jié)合題中的條件利用基本不等式求解的最小值即可.

5．（2023高一下·大慶期末）若兩個正實數(shù)滿足，且不等式有解，則實數(shù)m的取值范圍

A．B．

C．D．

【答案】B

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】正實數(shù)滿足則=4，

當(dāng)且僅當(dāng)，取得最小值4．

由x有解，可得解得或．

故答案為：B．

【分析】不等式有解，即為大于的最小值，運用乘1法和基本不等式，計算即可得到所求最小值，解不等式可得m的范圍．

6．（2023高二下·吉林期中）已知不等式對任意實數(shù)x、y恒成立，則實數(shù)a的最小值為（）

A．8B．6C．4D．2

【答案】C

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】.

若，則，從而無最小值，不合乎題意；

若，則，.

①當(dāng)時，無最小值，不合乎題意；

②當(dāng)時，，則不恒成立；

③當(dāng)時，，

當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.

所以，，解得，因此，實數(shù)的最小值為.

故答案為：C.

【分析】由題意可知，，將代數(shù)式展開后利用基本不等式求出該代數(shù)式的最小值，可得出關(guān)于a的不等式，解出即可.

7．（2023·杭州模擬）如果正數(shù)滿足，那么（）

A．，且等號成立時的取值唯一

B．，且等號成立時的取值唯一

C．，且等號成立時的取值不唯一

D．，且等號成立時的取值不唯一

【答案】A

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】，

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ?/p>

即，

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ?/p>

且等號成立

故答案為：A

【分析】利用基本不等式及等號成立的條件即可得到.

8．（2023·成都模擬）已知實數(shù)滿足，則的最小值為（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】解：因為滿足，

則

，

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，

故選：．

【分析】所求的分母特征，利用變形構(gòu)造，再等價變形，利用基本不等式求最值.

二、多選題

9．（2023高二上·徐州期末）若，則下列不等式,其中正確的有（）

A．B．C．D．

【答案】A,C,D

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】由題：

由基本不等式可得：，所以A符合題意；

當(dāng)時，，所以B不符合題意；

，所以，

即，所以C符合題意；

因為，所以

即，所以D符合題意.

故答案為：ACD

【分析】依據(jù)基本不等式相關(guān)知識分別檢驗證明或舉出反例即可的出選項.

10．（2023高二上·煙臺期中）下列說法正確的是（）.

A．若，，則的最大值為4

B．若，則函數(shù)的最大值為-1

C．若，，則的最小值為1

D．函數(shù)的最小值為9

【答案】B,D

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】對于，取得到，錯誤；

對于，，時等號成立，正確；

對于，取滿足等式，此時，錯誤；

對于，

，當(dāng)時等號成立，正確.

故答案為：

【分析】依次判斷每個選項，通過特殊值排除和利用均值不等式計算得到答案.

11．（2023高二上·菏澤期中）設(shè)，則下列不等式一定成立的是（）

A．B．C．D．

【答案】A,C,D

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】A.當(dāng)時，成立，A符合題意；

B.當(dāng)時，，等號成立的條件是，當(dāng)時，，等號成立的條件是，B不正確；

C.當(dāng)時，，所以，C符合題意；

D.，所以，等號成立的條件是當(dāng)且僅當(dāng)，即，D符合題意.

故答案為：ACD

【分析】逐一分析選項，驗證基本不等式的使用是否成立.

12．（2023高一上·葫蘆島月考）已知正數(shù)a，b滿足，ab的最大值為t，不等式的解集為M，則（）

A．B．

C．D．

【答案】B,C

【知識點】基本不等式

【解析】【解答】∵正數(shù)，滿足，

∴，即的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號.

∵的解集為，∴.

故答案為：BC.

【分析】由基本不等式，可求的最大值，然后解二次不等式可得，結(jié)合選項即可判斷．

三、填空題

13．（2023·天津）已知，且，則的最小值為．

【答案】4

【知識點】基本不等式

【解析】【解答】，,

，當(dāng)且僅當(dāng)=4時取等號，

結(jié)合,解得，或時，等號成立.

故答案為：4

【分析】根據(jù)已知條件，將所求的式子化為，利用基本不等式即可求解.

14．（2023·江蘇）已知，則的最小值是．

【答案】

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】∵

∴且

∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.

∴的最小值為.

故答案為：.

【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得，可得，利用基本不等式即可求解.

15．（2023高一下·宜賓期末）若正數(shù)滿足，則的最小值為.

【答案】16

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】依題意，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.所以的最小值為.

故答案為：16

【分析】利用基本不等式求得的最小值.

16．（2023高二下·臺州期末）已知，，且，若恒成立，則實數(shù)m的取值范圍．

【答案】

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】因為，當(dāng)且僅當(dāng)，

即時等號成立，所以，解得.

故答案為：

【分析】利用“1”的替換求出的最小值，再解不等式即可.

17．（2023高二下·杭州期末）若正數(shù)a，b滿足，則ab的最小值是．

【答案】25

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】依題意為正數(shù)，且，

所以，

即，

解得，

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.

所以的最小值是25.

故答案為：25

【分析】利用基本不等式化簡已知條件，由此即可求得的最小值.

18．（2023高一下·嘉興期中）已知，，，則的最小值為．

【答案】12

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】由得出

令，，則

當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號

的最小值為12

故答案為：12

【分析】利用換元法，令，得出，結(jié)合基本不等式，即可得出的最小值.

19．（2023高二下·宜賓月考）已知，若點在直線上，則的最小值為.

【答案】

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】在上，

，，

，

設(shè)，則，

，

當(dāng)，即時，“=”成立，

，

即的最小值為，故答案為.

【分析】由在直線上，可得，設(shè)，則，原式化為，展開后利用基本不等式可得結(jié)果.

20．（2023高一上·遼寧月考）已知，，且，若不等式恒成立，則實數(shù)的范圍是.

【答案】a≤18

【知識點】基本不等式

【解析】【解答】

又，，

那么

當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號．

不等式恒成立，

所以．

故答案為：．

【分析】利用消元法，消去其中一個參數(shù)后，利用基本不等式求解最小值．

四、解答題

21．（2023·徐州模擬）已知，，且，

求證：．

【答案】證明：設(shè)，，因為，，所以，，且，

.

當(dāng)且僅當(dāng)，即時，上述等號成立，原命題得證．

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【分析】設(shè)，，可得出，然后利用基本不等式可證得.

22．（2023高一下·寧波期中）已知，，，

（1）求的最大值.

（2）求的最小值.

【答案】（1）解：法一：，

因此，∴

因此的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號

法二：∵

∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號

因此的最大值為

（2）解：

當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號

因此的最小值為16

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【分析】（1）利用結(jié)論,(當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立)得到，也可對平方變形處理.（2）把與所求相乘，構(gòu)造和的形式用基本不等式求最值.

23．（2023·海南模擬）已知都是正數(shù)，求證：

（1）；

（2）.

【答案】（1）解：∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，

同理可得，，

∴，即；

（2）解：因為，所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，

同理可得，，

∴，

即.

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【分析】（1）因為，同理可得，，三個式子相加，即可得到本題答案；（2）因為，同理可得，，，三個式子相加，即可得到本題答案.

24．（2023高二下·柳州模擬）已知正實數(shù)滿足.

（1）求的最小值.

（2）證明：

【答案】（1）解：因為，所以

因為，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立），

所以

（2）證明：

因為，所以

故（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【分析】（1）利用乘“1”法，結(jié)合基本不等式求得結(jié)果.（2）直接利用基本不等式及乘“1”法，證明即可.

25．（2023高二上·延吉期中）

（1）已知，求函數(shù)的最大值；

（2）已知(正實數(shù)集)，且，求的最小值；

（3）已知，，且，求的最大值．

【答案】（1）解：,,故．

．

,

,

當(dāng)且僅當(dāng),即或(舍)時,等號成立,

故當(dāng)時,．

（2）解：,,,

．

當(dāng)且僅當(dāng),且,即時等號成立,

∴當(dāng),時,．

（3）解：,

當(dāng)且僅當(dāng),即,時取最大值,

所以有最大值．

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【分析】(1)將再對進行基本不等式求最值即可.(2)利用,再展開用基本不等式即可.(3)利用在中拼湊出再利用基本不等式即可.

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人教A版（2023）必修一2.2基本不等式

一、單選題

1．（2023高一下·麗水期末）已知實數(shù)滿足，且，則的最小值為（）

A．B．C．D．

2．（2023高一下·宜賓期末）若正數(shù)滿足，則的最大值為（）

A．5B．6C．7D．9

3．（2023高二下·六安月考）設(shè)、、，，，，則、、三數(shù)（）

A．都小于B．至少有一個不大于

C．都大于D．至少有一個不小于

4．（2023高一下·哈爾濱期末）已知，，則的最小值為（）

A．8B．6C．D．

5．（2023高一下·大慶期末）若兩個正實數(shù)滿足，且不等式有解，則實數(shù)m的取值范圍

A．B．

C．D．

6．（2023高二下·吉林期中）已知不等式對任意實數(shù)x、y恒成立，則實數(shù)a的最小值為（）

A．8B．6C．4D．2

7．（2023·杭州模擬）如果正數(shù)滿足，那么（）

A．，且等號成立時的取值唯一

B．，且等號成立時的取值唯一

C．，且等號成立時的取值不唯一

D．，且等號成立時的取值不唯一

8．（2023·成都模擬）已知實數(shù)滿足，則的最小值為（）

A．B．C．D．

二、多選題

9．（2023高二上·徐州期末）若，則下列不等式,其中正確的有（）

A．B．C．D．

10．（2023高二上·煙臺期中）下列說法正確的是（）.

A．若，，則的最大值為4

B．若，則函數(shù)的最大值為-1

C．若，，則的最小值為1

D．函數(shù)的最小值為9

11．（2023高二上·菏澤期中）設(shè)，則下列不等式一定成立的是（）

A．B．C．D．

12．（2023高一上·葫蘆島月考）已知正數(shù)a，b滿足，ab的最大值為t，不等式的解集為M，則（）

A．B．

C．D．

三、填空題

13．（2023·天津）已知，且，則的最小值為．

14．（2023·江蘇）已知，則的最小值是．

15．（2023高一下·宜賓期末）若正數(shù)滿足，則的最小值為.

16．（2023高二下·臺州期末）已知，，且，若恒成立，則實數(shù)m的取值范圍．

17．（2023高二下·杭州期末）若正數(shù)a，b滿足，則ab的最小值是．

18．（2023高一下·嘉興期中）已知，，，則的最小值為．

19．（2023高二下·宜賓月考）已知，若點在直線上，則的最小值為.

20．（2023高一上·遼寧月考）已知，，且，若不等式恒成立，則實數(shù)的范圍是.

四、解答題

21．（2023·徐州模擬）已知，，且，

求證：．

22．（2023高一下·寧波期中）已知，，，

（1）求的最大值.

（2）求的最小值.

23．（2023·海南模擬）已知都是正數(shù)，求證：

（1）；

（2）.

24．（2023高二下·柳州模擬）已知正實數(shù)滿足.

（1）求的最小值.

（2）證明：

25．（2023高二上·延吉期中）

（1）已知，求函數(shù)的最大值；

（2）已知(正實數(shù)集)，且，求的最小值；

（3）已知，，且，求的最大值．

答案解析部分

1．【答案】B

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】

,

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號

故答案為：B

【分析】利用1的代換，結(jié)合基本不等式求最值.

2．【答案】D

【知識點】基本不等式

【解析】【解答】依題意，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最大值為9.

故答案為：D

【分析】利用基本不等式求得的最大值.

3．【答案】D

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】由基本不等式得，

當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，若、、三數(shù)都小于，則與矛盾，即、、三數(shù)至少有一個不小于，

故選D.

【分析】利用基本不等式計算出，于此可得出結(jié)論.

4．【答案】C

【知識點】基本不等式

【解析】【解答】∵，，

∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以的最小值為.

故答案為：C

【分析】結(jié)合題中的條件利用基本不等式求解的最小值即可.

5．【答案】B

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】正實數(shù)滿足則=4，

當(dāng)且僅當(dāng)，取得最小值4．

由x有解，可得解得或．

故答案為：B．

【分析】不等式有解，即為大于的最小值，運用乘1法和基本不等式，計算即可得到所求最小值，解不等式可得m的范圍．

6．【答案】C

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】.

若，則，從而無最小值，不合乎題意；

若，則，.

①當(dāng)時，無最小值，不合乎題意；

②當(dāng)時，，則不恒成立；

③當(dāng)時，，

當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.

所以，，解得，因此，實數(shù)的最小值為.

故答案為：C.

【分析】由題意可知，，將代數(shù)式展開后利用基本不等式求出該代數(shù)式的最小值，可得出關(guān)于a的不等式，解出即可.

7．【答案】A

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】，

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ?/p>

即，

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ?/p>

且等號成立

故答案為：A

【分析】利用基本不等式及等號成立的條件即可得到.

8．【答案】A

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】解：因為滿足，

則

，

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，

故選：．

【分析】所求的分母特征，利用變形構(gòu)造，再等價變形，利用基本不等式求最值.

9．【答案】A,C,D

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】由題：

由基本不等式可得：，所以A符合題意；

當(dāng)時，，所以B不符合題意；

，所以，

即，所以C符合題意；

因為，所以

即，所以D符合題意.

故答案為：ACD

【分析】依據(jù)基本不等式相關(guān)知識分別檢驗證明或舉出反例即可的出選項.

10．【答案】B,D

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】對于，取得到，錯誤；

對于，，時等號成立，正確；

對于，取滿足等式，此時，錯誤；

對于，

，當(dāng)時等號成立，正確.

故答案為：

【分析】依次判斷每個選項，通過特殊值排除和利用均值不等式計算得到答案.

11．【答案】A,C,D

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】A.當(dāng)時，成立，A符合題意；

B.當(dāng)時，，等號成立的條件是，當(dāng)時，，等號成立的條件是，B不正確；

C.當(dāng)時，，所以，C符合題意；

D.，所以，等號成立的條件是當(dāng)且僅當(dāng)，即，D符合題意.

故答案為：ACD

【分析】逐一分析選項，驗證基本不等式的使用是否成立.

12．【答案】B,C

【知識點】基本不等式

【解析】【解答】∵正數(shù)，滿足，

∴，即的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號.

∵的解集為，∴.

故答案為：BC.

【分析】由基本不等式，可求的最大值，然后解二次不等式可得，結(jié)合選項即可判斷．

13．【答案】4

【知識點】基本不等式

【解析】【解答】，,

，當(dāng)且僅當(dāng)=4時取等號，

結(jié)合,解得，或時，等號成立.

故答案為：4

【分析】根據(jù)已知條件，將所求的式子化為，利用基本不等式即可求解.

14．【答案】

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】∵

∴且

∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.

∴的最小值為.

故答案為：.

【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得，可得，利用基本不等式即可求解.

15．【答案】16

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】依題意，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.所以的最小值為.

故答案為：16

【分析】利用基本不等式求得的最小值.

16．【答案】

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】因為，當(dāng)且僅當(dāng)，

即時等號成立，所以，解得.

故答案為：

【分析】利用“1”的替換求出的最小值，再解不等式即可.

17．【答案】25

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】依題意為正數(shù)，且，

所以，

即，

解得，

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.

所以的最小值是25.

故答案為：25

【分析】利用基本不等式化簡已知條件，由此即可求得的最小值.

18．【答案】12

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】由得出

令，，則

當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號

的最小值為12

故答案為：12

【分析】利用換元法，令，得出，結(jié)合基本不等式，即可得出的最小值.

19．【答案】

【知識點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

【解析】【解答】在上，

，，

，

設(shè)，則，

，

當(dāng)，即時，“=”成立，

，

即的最小值為，故答案為.

【分析】由在直線上，可得，設(shè)，則，原式化為，展開后利用基本不等式可得結(jié)果.

20．【答案】a≤18

【知識點】基本不等式

【解析】【解答】

又，，

那么

當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號．

不等式恒成立，