蘇格拉底論數(shù)學(xué)

蘇格拉底論數(shù)學(xué)

1蘇格拉底關(guān)于數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)蘇格拉底是第一位出生于雅克的希臘哲學(xué)家。“第一個(gè)建立了道德體系，并將道德價(jià)值觀交給了優(yōu)先地位的希臘哲學(xué)家”。蘇格拉底給他的對(duì)話者留下了深刻印象.據(jù)說蘇格拉底相貌丑陋但言談迷人,在柏拉圖《會(huì)飲篇》中記載,微醺的阿爾基比亞德(Alcibiade)把蘇格拉底比作林神瑪西阿(Marsyas).他告訴人們說:“就拿我自己來說吧,先生們,要不是怕你們說我已經(jīng)完全醉了,我可以向你們發(fā)誓,他的話語對(duì)我有過奇妙的影響,而且至今仍在起作用.一聽他講話,我就會(huì)陷入一種神圣的瘋狂,比科里班忒還要厲害.我的心狂跳不止,眼淚會(huì)奪眶而出.噢,不僅是我,還有許多聽眾也是這樣.”在蘇格拉底生前最后時(shí)刻與他一起的朋友有:厄刻克拉底、斐多、阿波羅多、克貝、西米亞絲、克利托、兒子克利托布盧、埃斯基涅、安提斯泰尼和歐幾里得.柏拉圖因病不在場(chǎng).蘇格拉底不是科學(xué)家和數(shù)學(xué)家,但是非常重視數(shù)學(xué),“掌握了他那個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)理論”第一,他堅(jiān)持清晰的定義和分類.蘇格拉底倡導(dǎo):“如果我們進(jìn)行適當(dāng)?shù)挠懻?我們就必須分析我們的命題,定義我們使用的術(shù)語,并且清楚地知道我們?cè)谡務(wù)撌裁?”第二,他運(yùn)用了一種可靠的邏輯發(fā)現(xiàn)法(產(chǎn)婆術(shù))和辯證法.對(duì)于產(chǎn)婆術(shù)的特征及步驟將在后面介紹.對(duì)于辯證法,不同歷史時(shí)期不同學(xué)者有不同的理解.在蘇格拉底那里,“辯證法是科學(xué)的一種工具.在蘇格拉底看來,‘還沒有其他的方法能通過一個(gè)規(guī)范的過程,來理解一切真實(shí)的存在或獲得每一事物自身的性質(zhì)’.它超越了各種較低階段的藝術(shù),后者‘關(guān)注人們的欲望或看法,或者致力于提出創(chuàng)造性的和建設(shè)性的觀點(diǎn)’.它同樣超越了各種數(shù)學(xué)科學(xué),這些科學(xué)‘對(duì)真實(shí)的存在有所把握……卻從不考察其未經(jīng)檢查就使用的前提,也不能說明這些前提’.辯證法把它們當(dāng)作侍女和助手,‘直接走向第一原理,是唯一遠(yuǎn)離假設(shè),以便使她的基礎(chǔ)更加牢固的科學(xué)’”.第三,他對(duì)法律的職能有著深刻的認(rèn)識(shí)并且很尊重法律.第四,他的理性懷疑論為科學(xué)研究提供了基礎(chǔ).他讓人們認(rèn)識(shí)到:“拒絕進(jìn)行無正當(dāng)理由的陳述是科學(xué)智慧的開端.”第五,他要求人們認(rèn)識(shí)自己,內(nèi)省,反思.他指出:“若想認(rèn)識(shí)自己,就必須認(rèn)識(shí)自己的靈魂,尤其是它的神性部分.”蘇格拉底認(rèn)為,某些幾何學(xué)的問題是沒有普遍解法的,只有作了某種規(guī)定之后,這個(gè)問題才有解2蘇格拉底的“產(chǎn)婆術(shù)”蘇格拉底,雖然不是數(shù)學(xué)家,但是他用數(shù)學(xué)來闡明自己的“產(chǎn)婆術(shù)”,開啟人們的智慧.賞析柏拉圖對(duì)話集中蘇格拉底關(guān)于數(shù)學(xué)的一些闡述時(shí),為蘇格拉底的數(shù)學(xué)智慧所折服.“產(chǎn)婆術(shù)”是古希臘哲學(xué)家蘇格拉底用于引導(dǎo)學(xué)生自己思索,自己得出結(jié)論的方法.蘇格拉底的母親是助產(chǎn)士,他以助產(chǎn)術(shù)來形象比喻自己的教學(xué)方法,同時(shí)以紀(jì)念他母親.這種方法分四部分:譏諷(詰問)、助產(chǎn)術(shù)、歸納和下定義.所謂“譏諷”,即在談話中讓對(duì)方談出自己對(duì)某一問題的看法,然后揭露對(duì)方談話中的自相矛盾之處,使對(duì)方承認(rèn)自己對(duì)這一問題實(shí)際一無所知.所謂“助產(chǎn)術(shù)”,即用談話法幫助對(duì)方回憶知識(shí),就像助產(chǎn)士幫助產(chǎn)婦產(chǎn)出嬰兒一樣.“歸納”是通過問答使對(duì)方的認(rèn)識(shí)能逐步排除事物個(gè)別的特殊的東西,揭示事物本質(zhì)的普遍的東西,從而得出事物的“定義”.這是一個(gè)從現(xiàn)象、個(gè)別到普通、一般的過程.蘇格拉底在《美諾篇》中幾何學(xué)的問題解決過程充分展示了“產(chǎn)婆術(shù)”的作用.在柏拉圖的《美諾篇》中“把一個(gè)正方形面積加倍”的著名段落里,蘇格拉底把“回憶知識(shí)”的必然性揭示得淋漓盡致.蘇格拉底認(rèn)為,人的靈魂是不朽的,經(jīng)歷著無窮無盡的生死輪回.在這個(gè)無窮無盡的輪回過程中,人的靈魂認(rèn)識(shí)了世界的全部事物.(注:這種靈魂不死的思想是從畢達(dá)哥拉斯學(xué)派那里繼承下來的.)所以與其說知識(shí)是獲得某些新的認(rèn)識(shí),倒不如說知識(shí)是對(duì)于已知的、后來又被忘卻的事物的回憶.(注:這種知識(shí)回憶說的思想對(duì)笛卡兒和萊布尼茲的哲學(xué)思想產(chǎn)生了重要影響.)這一見解令美諾驚詫不已,于是他詢問蘇格拉底能否證實(shí)這一點(diǎn).蘇格拉底并未對(duì)這個(gè)理論提出直接的論證,不過他通過向美諾的一個(gè)奴隸孩子提出一些問題,而使這個(gè)從未受過數(shù)學(xué)訓(xùn)練的孩子證明出幾何題,從而證明了這個(gè)觀點(diǎn)(圖5這個(gè)證明本身是極為簡(jiǎn)單的,但卻并非一目了然.所要證明的問題是確定一個(gè)面積為已知正方形面積兩倍的正方形的邊長(zhǎng).蘇格拉底畫了一個(gè)正方形,這個(gè)正方形邊長(zhǎng)為2尺,其面積等于4平方尺.隨后蘇格拉底又在孩子面前畫出這個(gè)正方形的對(duì)角線.于是他詢問這個(gè)孩子,其面積兩倍于這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是多少,從圖上可以看出這個(gè)正方形的面積應(yīng)是8平方尺.一開始孩子說所求正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)是4尺,但經(jīng)過提問和演示圖形,他認(rèn)識(shí)到這個(gè)回答所導(dǎo)致正方形的面積是16平方尺而不是8平方尺.以后他又推測(cè)所求正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)為3尺,但他隨即意識(shí)到這樣畫出的正方形面積是9平方尺,所以這個(gè)答案也不能成立.最后孩子以已知正方形的對(duì)角線為邊長(zhǎng)畫出正方形,從而解決了這個(gè)問題,得到了一個(gè)其面積兩倍于已知正方形的正方形.蘇格拉底沒有給予孩子以答案,僅僅憑著提出一系列問題便把答案誘導(dǎo)出來.這是目前我們所知道的最早數(shù)學(xué)教學(xué)的完整案例,現(xiàn)在也可以當(dāng)做一堂課典型教學(xué)案例來學(xué)習(xí).蘇格拉底的這種用“產(chǎn)婆術(shù)”指導(dǎo)方法求出新正方形的方法,除了對(duì)一般教學(xué)法有重要啟示以外,對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)也有重要的借鑒作用.例如,我們把問題倒過來說就是:用兩個(gè)相同的正方形構(gòu)造一個(gè)新正方形.我們將問題變化為:能否用兩個(gè)不同正方形構(gòu)造一個(gè)正方形?答案是肯定的,由勾股定理直接可以引證:a現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題是,幾乎所有的初中數(shù)學(xué)教師教授勾股定理時(shí),從來不考慮學(xué)生在小學(xué)所學(xué)相關(guān)平面圖形知識(shí),更不考慮勾股定理的實(shí)驗(yàn)幾何特性及其擴(kuò)展.3蘇格拉底的誤讀我們的數(shù)學(xué)教學(xué)一般采用從已知的事實(shí)和條件出發(fā),通過各種操作、變式、開放等途徑達(dá)到某種結(jié)果.很少采用從謬誤性問題出發(fā)達(dá)到正確結(jié)論的教學(xué)方法.兩千幾百年前,蘇格拉底就采用通過謬誤性問題培養(yǎng)學(xué)生辯證思維和數(shù)學(xué)能力的教學(xué)方法.下面我們?cè)傩蕾p他是如何教授數(shù)學(xué)的:有一天蘇格拉底與一位幾何學(xué)家談?wù)摗叭w大于部分”這個(gè)幾何學(xué)公理,他設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)題目,使幾何學(xué)家大吃一驚如圖6,自線段AB的兩端作等長(zhǎng)的線段AC和BD,使∠ABD為直角,∠BAC為鈍角.連接CD并作線段AB、CD的中垂線OM、ON,相交于O點(diǎn).則AO=BO,CO=DO,(中垂線上任一點(diǎn)和兩端點(diǎn)等距離).又AC=BD.所以△AOC≌△BOD(sss)所以∠OAC=∠OBD(對(duì)應(yīng)角)又∠OAB=∠OBA(等腰三角形底角)即鈍角等于直角.如果說交點(diǎn)是在線段AB之下,如圖7所示,同樣可證得∠OAC=∠OBD,兩邊分別減去∠OAB及∠OBA,結(jié)果還是∠BAC=∠ABD.如果說交點(diǎn)落在線段AB上,則情形更為簡(jiǎn)單,無需另證.總之,鈍角等于直角.我們把這個(gè)問題叫做蘇格拉底的謬誤問題.問題出在什么地方?蘇格拉底進(jìn)行到這里后并沒有指出出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因,而把問題留給了對(duì)話者.對(duì)話者從結(jié)論開始檢查每一步證明,似乎沒有錯(cuò)誤.如果按照蘇格拉底的作圖往下證明同樣得到錯(cuò)誤結(jié)論,那么問題究竟出在哪里呢?從直觀上看,蘇格拉底的作圖過程也沒有問題,但是按嚴(yán)格要求作圖后發(fā)現(xiàn)不可能得到蘇格拉底的圖形,而是得到另外一個(gè)圖形,具體情況如下:本題原證的錯(cuò)誤在于作圖不準(zhǔn)確.正確的圖形,∠OAC和∠BAC不是在線段AC的同一邊,如圖8所示.所以∠BAC=360°-∠OAC-∠OAB,∠ABD=∠OBD-∠OBA,所以∠BAC>∠ABD.蘇格拉底的謬誤問題告訴人們,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和哲學(xué)思考中不能以直觀的表面現(xiàn)象為依據(jù),應(yīng)該以嚴(yán)格的邏輯為根據(jù).直觀具有欺騙性,不可靠.誠(chéng)然,直觀的不可靠性并不是蘇格拉底第一個(gè)發(fā)現(xiàn)的,而是畢達(dá)哥拉斯用其定理計(jì)算正方形對(duì)角線長(zhǎng)度時(shí),與他哲學(xué)的根本思想———“萬物皆數(shù)”發(fā)生不可調(diào)和的矛盾之后才發(fā)現(xiàn)了在數(shù)學(xué)中直觀的不可靠.直觀在說明問題時(shí)非常有用,但是也有欺騙性.從此,幾何學(xué)的演繹推理成為西方的理性精神和數(shù)學(xué)教育思想的傳統(tǒng).蘇格拉底謬誤問題不是獨(dú)樹一幟的,該問題被提出后,西方的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家制作了很多類似的問題,以便培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和辯證思維.例如,“線段等于其部分”、“船長(zhǎng)的故事”等等.線段等于其部分.證明:如圖9,設(shè)△ABC是不等邊三角形,頂角是最大角.自頂點(diǎn)A作AD使∠2=∠1并作底邊BC的垂線AE.以S又因這兩個(gè)三角形等高,故船長(zhǎng)的故事:64=65.“船長(zhǎng)的故事”消失的面積之謎(日本初中三年級(jí)數(shù)學(xué)教科書中的內(nèi)容)西方有個(gè)故事從古流傳至今.有個(gè)航行的船,船底出現(xiàn)了長(zhǎng)為13(單位長(zhǎng)度)和寬為5(單位長(zhǎng)度)的長(zhǎng)方形的缺口.但在船上只找到了邊長(zhǎng)為8(單位長(zhǎng)度)的正方形的板子.聰明的船長(zhǎng)用64平方(單位長(zhǎng)度)的板子巧妙地縫合了65平方的缺口.有下面的縫合方法(如圖10),比較兩個(gè)圖形的面積,正方形面積為為64,長(zhǎng)方形的面積為65,為什么面積增加了1.怎么會(huì)發(fā)生這樣的事呢?事實(shí)上,長(zhǎng)方形中的三個(gè)點(diǎn)O、P、Q不在一條直線上,用三角形的相似性可以說明這個(gè)問題.假設(shè),點(diǎn)O,P,Q在一條直線上(如圖11),在△OPR和△OQS中,∠ORP=∠OSQ=90°,∠O=∠O是公共角,所以△OPR∽△OQS,因?yàn)镺R∶OS=PR∶QS即8∶13=3∶5但這個(gè)等式不成立.在數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)類似的“謬誤問題”,人們對(duì)每一個(gè)別問題采用個(gè)別方法來解決.直到德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲才關(guān)注這些謬誤問題的普遍性根源———理由不充足,這樣萊布尼茲提出了邏輯學(xué)的第四個(gè)基本規(guī)律———充足理由律.4研究的進(jìn)路一:關(guān)于蘇格拉底的最佳方法蘇格拉底構(gòu)造正方形的“產(chǎn)婆術(shù)”教學(xué)法及“蘇格拉底謬誤問題”充分彰顯了蘇格拉底的數(shù)學(xué)教育智慧,從另一個(gè)側(cè)面反映了西方數(shù)學(xué)教育教學(xué)的傳統(tǒng),也展示著其現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育價(jià)值.可以說“蘇格拉底謬誤問題”是蘇格拉底“產(chǎn)婆術(shù)”的更高級(jí)的形式.蘇格拉底的這些問題傳入中國(guó)至少有八十多年的歷史了,但是遺憾的是一直隱藏在柏拉圖的哲學(xué)著作中,很少有人去關(guān)心它的教育價(jià)值.即使是偶爾在數(shù)學(xué)趣味性著作中出現(xiàn),但是在教科書或課堂上幾乎沒出現(xiàn)過.有些發(fā)達(dá)國(guó)家把類似于“蘇格拉底謬誤問題”納入到中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中作學(xué)生探究學(xué)習(xí)的素材.例如,“船長(zhǎng)的故事”在日本的小學(xué)和初中數(shù)學(xué)教科書或課堂上都有不同程度的安排,在小學(xué)用剪紙、拼圖操作去發(fā)現(xiàn)其錯(cuò)誤,在初中用相似三角形和反證法知識(shí)去揭露其錯(cuò)誤.我們可以借鑒日本的某些方面,如他們把研究成果和有些從歷史寶藏中挖掘發(fā)現(xiàn)的東西很容易地融入到教科書或課堂教學(xué)中,將教育教學(xué)研究和教學(xué)實(shí)踐緊密地結(jié)合起來.總之,我們不要覬覦蘇格拉底思想方法立竿見影的效果,教育教學(xué)水平的提高需要從歷史積淀中一點(diǎn)一點(diǎn)地吮吸營(yíng)養(yǎng),在實(shí)踐中逐漸積累和保留好的經(jīng)驗(yàn),在研究中不斷創(chuàng)造,這樣才能看到明天的曙光.根據(jù)它所作的圖形,我能說自己,我一定能說自己蘇:(蘇格拉底在沙地上畫了一個(gè)正方形ABCD,如圖1然后對(duì)那個(gè)童奴說)孩子,你知道有一種方的圖形嗎,就像這個(gè)一樣?童奴:知道.蘇:穿過圖形中點(diǎn)的這些直線也是相等的嗎?(線段EF,GH)童奴:是的.蘇:這樣的圖形可大可小,是嗎?蘇:如果這條邊長(zhǎng)兩尺,這條邊也一樣,那么它的面積有多大?你這樣想,如果這條邊是二尺,而那一條邊是一尺,那么豈不是馬上就可以知道它的面積是二平方尺嗎?童奴:對(duì).蘇:但是這條邊也是二尺長(zhǎng),那么不就應(yīng)該乘以二嗎?童奴:是的.蘇:二乘二是多少?算算看,把結(jié)果告訴我.童奴:四.蘇:現(xiàn)在能不能畫一個(gè)大小比這個(gè)大一倍,但形狀卻又相同的圖形,也就是說,畫一個(gè)所有邊都相等的圖形,就像這個(gè)圖形一樣?童奴:能.蘇:那么請(qǐng)告訴我它的邊長(zhǎng)是多少.現(xiàn)在這個(gè)圖形的邊長(zhǎng)是二尺.那個(gè)面積是它兩倍的圖形的邊長(zhǎng)是多少?童奴:它的邊長(zhǎng)顯然也應(yīng)該是原來那個(gè)圖形的邊長(zhǎng)的兩倍,蘇格拉底.……蘇:現(xiàn)在請(qǐng)你注意他是怎樣有序地進(jìn)行回憶的,這是進(jìn)行回憶的恰當(dāng)方式.(他接著對(duì)童奴說)你說兩倍的邊長(zhǎng)會(huì)使圖形的面積為原來圖形面積的兩倍嗎?我的意思不是說這條邊長(zhǎng),那條邊短.它必須像第一個(gè)圖形那樣所有的邊長(zhǎng)相等,但面積是它的兩倍,也就是說它的大小是八(平方)尺.想一想,你是否想通過使邊長(zhǎng)加倍來得到這樣的圖形?童奴:是的,我是想這樣做.蘇:好吧,如果我們?cè)谶@一端加上了同樣長(zhǎng)的邊(BJ),那么我們是否就有了一條兩倍于這條邊(AB)的線段?(圖2)童奴:是的.蘇:那么按照你的說法,如果我們有了同樣長(zhǎng)度的四條邊,我們就能作出一個(gè)面積為八平方尺的圖形來了嗎?童奴:是的.蘇:現(xiàn)在讓我們以這條邊為基礎(chǔ)來畫四條邊.(亦即以AJ為基準(zhǔn),添加JK和KL,再畫LD和DA相接,使圖形完整)這樣一來就能得到面積為八平方尺的圖形了嗎?童奴:當(dāng)然.蘇:但它不是包含著四個(gè)正方形,每個(gè)都與最初那個(gè)四平方尺的正方形一樣大嗎?(蘇格拉底畫上線段CM和CN,構(gòu)成他所指的四個(gè)正方形.)童奴:是的.蘇:它有多大?它不是有原先那個(gè)正方形的四個(gè)那么大嗎?童奴:當(dāng)然是的.蘇:四倍和兩倍一樣嗎?蘇:所以使邊長(zhǎng)加倍得到的圖形的面積不是原來的兩倍,而是四倍,對(duì)嗎?童奴:對(duì).蘇:四乘以四是十六,是嗎?蘇:那么面積為八(平方尺)的圖形的邊長(zhǎng)有多少?而這個(gè)圖形的面積是原來那個(gè)圖形的四倍,是嗎?童奴:是的.蘇:所以它的邊肯定比這個(gè)圖形的邊要長(zhǎng),而比那個(gè)圖形的邊要短,是嗎?童奴:我想是這樣的.蘇:對(duì).你一定要怎么想就怎么說.現(xiàn)在告訴我,這個(gè)圖形的邊是兩尺,那個(gè)圖形的邊是四尺,是嗎?童奴:是的.蘇:那么這個(gè)八平方尺的圖形的邊長(zhǎng)一定大于二尺,小于四尺,對(duì)嗎?童奴:必定如此.蘇:那么試著說說看,它的邊長(zhǎng)是多少.蘇:如果是這樣的話,那么我們?cè)撎砩线@條邊的一半(畫BJ的一半BO),使它成為三尺嗎?這一段是二,這一段是一,而在這一邊我們同樣也有二,再加上一,因此這就是你想要的圖形.(蘇格拉底完成正方形AOPQ)童奴:對(duì).蘇:如果這條邊長(zhǎng)是三,那條邊長(zhǎng)也是三,那么它的整個(gè)面積應(yīng)當(dāng)是三乘三,是嗎?童奴:看起來似乎如此.童奴:九.蘇:但是我們最先那個(gè)正方形的面積的兩倍是多少?童奴:八.蘇:可見,我們即使以三尺為邊長(zhǎng),仍舊不能得到面積為八平方尺的圖形?童奴:對(duì),不能.蘇:那么它的邊長(zhǎng)應(yīng)該是多少呢?試著準(zhǔn)確地告訴我們.如果你不想數(shù)數(shù),可以在圖上比劃給我們看.童奴:沒用的,蘇格拉底,我確實(shí)不知道.(此時(shí)蘇格拉底擦去先前的圖形,從頭開始畫)孩子,告訴我,這不就是我們那個(gè)面積為四的正方形嗎?(ABCD)童奴:是的.蘇:我們還能再加上另一個(gè)相同的正方形嗎?(BCEF)童奴:能.蘇:還能在這里加上與前兩個(gè)正方形相同的第三個(gè)正方形嗎?(CEGH)童奴:能.蘇:還能在這個(gè)角落上添上第四個(gè)正方形嗎?(DCHJ)童奴:能