信號(hào)與系統(tǒng)講義

第一章信號(hào)與系統(tǒng)1.1緒言

一、信號(hào)的概念二、系統(tǒng)的概念1.2信號(hào)的描述與分類(lèi)

一、信號(hào)的描述二、信號(hào)的分類(lèi)1.3信號(hào)的基本運(yùn)算

一、加法和乘法二、時(shí)間變換1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)

一、階躍函數(shù)二、沖激函數(shù)

三、沖激函數(shù)的性質(zhì)四、序列δ(k)和ε(k)1.5系統(tǒng)的性質(zhì)及分類(lèi)

一、系統(tǒng)的定義二、系統(tǒng)的分類(lèi)及性質(zhì)

1.6系統(tǒng)的描述

一、連續(xù)系統(tǒng)二、離散系統(tǒng)

1.7LTI系統(tǒng)分析方法概述點(diǎn)擊目錄，進(jìn)入相關(guān)章節(jié)思考問(wèn)題：什么是信號(hào)？什么是系統(tǒng)？為什么把這兩個(gè)概念聯(lián)系在一起？一、信號(hào)的概念1.消息(message):人們常常把來(lái)自外界的各種報(bào)道統(tǒng)稱為消息。消息：反映知識(shí)狀態(tài)的改變。2.信息(information):通常把消息中有意義的內(nèi)容稱為信息。

信息量=[收到消息前對(duì)某事件的無(wú)知程度]—[收到消息后對(duì)某事件的無(wú)知程度]1.1緒言第一章信號(hào)與系統(tǒng)它是信息論中的一個(gè)術(shù)語(yǔ)。1.1緒論3.信號(hào)(signal):信號(hào)是信息的載體。通過(guò)信號(hào)傳遞信息。

信號(hào)我們并不陌生，如剛才鈴聲—聲信號(hào)，表示該上課了；十字路口的紅綠燈—光信號(hào)，指揮交通；電視機(jī)天線接受的電視信息—電信號(hào)；日常生活中的文字信號(hào)、圖像信號(hào)、生物電信號(hào)等等，都是信號(hào)。為了有效地傳播和利用信息，常常需要將信息轉(zhuǎn)換成便于傳輸和處理的信號(hào)。二、系統(tǒng)的概念一般而言，系統(tǒng)(system)是指若干相互關(guān)聯(lián)的事物組合而成具有特定功能的整體。如手機(jī)、電視機(jī)、通信網(wǎng)、計(jì)算機(jī)網(wǎng)等都可以看成系統(tǒng)。它們所傳送的語(yǔ)音、音樂(lè)、圖像、文字等都可以看成信號(hào)。信號(hào)的概念與系統(tǒng)的概念常常緊密地聯(lián)系在一起。信號(hào)的產(chǎn)生、傳輸和處理需要一定的物理裝置，這樣的物理裝置常稱為系統(tǒng)。系統(tǒng)的基本作用是對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行加工和處理，將其轉(zhuǎn)換為所需要的輸出信號(hào)。系統(tǒng)輸入信號(hào)激勵(lì)輸出信號(hào)響應(yīng)1.1緒論演示1.1緒論本課程重點(diǎn)討論通信、信號(hào)處理和控制等領(lǐng)域中的電子信息系統(tǒng)。舉例說(shuō)明:

*.

通信系統(tǒng)

*.控制系統(tǒng)1.2信號(hào)的描述和分類(lèi)第一章信號(hào)與系統(tǒng)一、信號(hào)的描述信號(hào)是信息的一種物理體現(xiàn)。它一般是隨時(shí)間或位置變化的物理量。信號(hào)按物理屬性分：電信號(hào)和非電信號(hào)。它們可以相互轉(zhuǎn)換。電信號(hào)容易產(chǎn)生，便于控制，易于處理。本課程討論電信號(hào)---簡(jiǎn)稱“信號(hào)”。電信號(hào)的基本形式：隨時(shí)間變化的電壓或電流。描述信號(hào)的常用方法（1）表示為時(shí)間的函數(shù)（2）信號(hào)的圖形表示--波形“信號(hào)”與“函數(shù)”兩詞常相互通用。1.2信號(hào)的描述和分類(lèi)二、信號(hào)的分類(lèi)1.確定信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)可以用確定時(shí)間函數(shù)表示的信號(hào)，稱為確定信號(hào)或規(guī)則信號(hào)。如正弦信號(hào)。若信號(hào)不能用確切的函數(shù)描述，它在任意時(shí)刻的取值都具有不確定性，只可能知道它的統(tǒng)計(jì)特性，如在某時(shí)刻取某一數(shù)值的概率，這類(lèi)信號(hào)稱為隨機(jī)信號(hào)或不確定信號(hào)。電子系統(tǒng)中的起伏熱噪聲、雷電干擾信號(hào)就是兩種典型的隨機(jī)信號(hào)。

研究確定信號(hào)是研究隨機(jī)信號(hào)的基礎(chǔ)。本課程只討論確定信號(hào)。1.2信號(hào)的描述和分類(lèi)2.連續(xù)信號(hào)和離散信號(hào)根據(jù)信號(hào)自變量為連續(xù)/離散的特點(diǎn)進(jìn)行區(qū)分。在連續(xù)的時(shí)間范圍內(nèi)(-∞<t<∞）有定義的信號(hào)稱為連續(xù)時(shí)間信號(hào)，簡(jiǎn)稱連續(xù)信號(hào)。函數(shù)值為連續(xù)時(shí)常稱為模擬信號(hào)。這里的“連續(xù)”指函數(shù)的定義域—時(shí)間是連續(xù)的，但可含間斷點(diǎn)，至于值域可連續(xù)也可不連續(xù)。值域連續(xù)值域不連續(xù)（1）連續(xù)時(shí)間信號(hào)：演示1.2信號(hào)的描述和分類(lèi)僅在一些離散的瞬間才有定義的信號(hào)稱為離散時(shí)間信號(hào)，簡(jiǎn)稱離散信號(hào)。取值為規(guī)定數(shù)值時(shí)常稱為數(shù)字信號(hào)。這里的“離散”指信號(hào)的定義域—時(shí)間是離散的，它只在某些規(guī)定的離散瞬間給出函數(shù)值，其余時(shí)間無(wú)定義。如右圖的f(t)僅在一些離散時(shí)刻tk(k=0,±1,±2,…)才有定義，其余時(shí)間無(wú)定義。相鄰離散點(diǎn)的間隔Tk=tk+1-tk可以相等也可不等。通常取等間隔T，離散信號(hào)可表示為f(kT)，簡(jiǎn)寫(xiě)為f(k)，這種等間隔的離散信號(hào)也常稱為序列。其中k稱為序號(hào)。離散時(shí)間信號(hào)：1.2信號(hào)的描述和分類(lèi)上述離散信號(hào)可簡(jiǎn)畫(huà)為用表達(dá)式可寫(xiě)為或?qū)憺閒(k)={…，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，…}↑k=0通常將對(duì)應(yīng)某序號(hào)m的序列值稱為第m個(gè)樣點(diǎn)的“樣值”。1.2信號(hào)的描述和分類(lèi)3.周期信號(hào)和非周期信號(hào)

周期信號(hào)(periodsignal)是定義在(-∞，∞)區(qū)間，每隔一定時(shí)間T(或整數(shù)N），按相同規(guī)律重復(fù)變化的信號(hào)。連續(xù)周期信號(hào)f(t)滿足

f(t)=f(t+mT)，m=0,±1,±2,…離散周期信號(hào)f(k)滿足

f(k)=f(k+mN)，m=0,±1,±2,…滿足上述關(guān)系的最小T(或整數(shù)N)稱為該信號(hào)的周期。不具有周期性的信號(hào)稱為非周期信號(hào)。演示1.2信號(hào)的描述和分類(lèi)例1判斷下列信號(hào)是否為周期信號(hào)，若是，確定其周期。（1）f1(t)=sin2t+cos3t（2）f2(t)=cos2t+sinπt解：兩個(gè)周期信號(hào)x(t)，y(t)的周期分別為T(mén)1和T2，若其周期之比T1/T2為有理數(shù)，則其和信號(hào)x(t)+y(t)仍然是周期信號(hào)，其周期為T(mén)1和T2的最小公倍數(shù)。（1）sin2t是周期信號(hào)，其角頻率和周期分別為ω1=2rad/s，T1=2π/ω1=πscos3t是周期信號(hào)，其角頻率和周期分別為ω2=3rad/s，T2=2π/ω2=(2π/3)s由于T1/T2=3/2為有理數(shù)，故f1(t)為周期信號(hào)，其周期為T(mén)1和T2的最小公倍數(shù)2π。（2）cos2t和sinπt的周期分別為T(mén)1=πs，T2=2s，由于T1/T2為無(wú)理數(shù)，故f2(t)為非周期信號(hào)。1.2信號(hào)的描述和分類(lèi)例2判斷正弦序列f(k)=sin(βk)是否為周期信號(hào)，若是，確定其周期。解

f

(k)=sin(βk)=sin(βk+2mπ)，m=0,±1,±2,…式中β稱為正弦序列的數(shù)字角頻率，單位：rad。由上式可見(jiàn)：僅當(dāng)2π/β為整數(shù)時(shí)，正弦序列才具有周期N=2π/β。當(dāng)2π/β為有理數(shù)時(shí)，正弦序列仍為具有周期性，但其周期為N=M(2π/β)，M取使N為整數(shù)的最小整數(shù)。當(dāng)2π/β為無(wú)理數(shù)時(shí)，正弦序列為非周期序列。1.2信號(hào)的描述和分類(lèi)例3判斷下列序列是否為周期信號(hào)，若是，確定其周期。（1）f1(k)=sin(3πk/4)+cos(0.5πk)

（2）f2(k)=sin(2k)解（1）sin(3πk/4)和cos(0.5πk)的數(shù)字角頻率分別為β1=3π/4rad，β2=0.5πrad由于2π/β1=8/3，2π/β2=4為有理數(shù)，故它們的周期分別為N1=8，N2=4，故f1(k)為周期序列，其周期為N1和N2的最小公倍數(shù)8。（2）sin(2k)的數(shù)字角頻率為β1=2rad；由于2π/β1=π為無(wú)理數(shù)，故f2(k)=sin(2k)為非周期序列。由上面幾例可看出：①連續(xù)正弦信號(hào)一定是周期信號(hào)，而正弦序列不一定是周期序列。②兩連續(xù)周期信號(hào)之和不一定是周期信號(hào)，而兩周期序列之和一定是周期序列。1.2信號(hào)的描述和分類(lèi)4．能量信號(hào)與功率信號(hào)

將信號(hào)f(t)施加于1Ω電阻上，它所消耗的瞬時(shí)功率為|f(t)|2，在區(qū)間(–∞,∞)的能量和平均功率定義為（1）信號(hào)的能量E（2）信號(hào)的功率P若信號(hào)f(t)的能量有界，即E<∞,則稱其為能量有限信號(hào)，簡(jiǎn)稱能量信號(hào)。此時(shí)P=0若信號(hào)f(t)的功率有界，即P<∞,則稱其為功率有限信號(hào)，簡(jiǎn)稱功率信號(hào)。此時(shí)E=∞1.2信號(hào)的描述和分類(lèi)

相應(yīng)地，對(duì)于離散信號(hào)，也有能量信號(hào)、功率信號(hào)之分。若滿足的離散信號(hào)，稱為能量信號(hào)。若滿足的離散信號(hào)，稱為功率信號(hào)。時(shí)限信號(hào)(僅在有限時(shí)間區(qū)間不為零的信號(hào))為能量信號(hào);周期信號(hào)屬于功率信號(hào)，而非周期信號(hào)可能是能量信號(hào)，也可能是功率信號(hào)。有些信號(hào)既不是屬于能量信號(hào)也不屬于功率信號(hào)，如f(t)=et。1.2信號(hào)的描述和分類(lèi)5．一維信號(hào)與多維信號(hào)

從數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)看，信號(hào)可以表示為一個(gè)或多個(gè)變量的函數(shù)，稱為一維或多維函數(shù)。

語(yǔ)音信號(hào)可表示為聲壓隨時(shí)間變化的函數(shù)，這是一維信號(hào)。而一張黑白圖像每個(gè)點(diǎn)(像素)具有不同的光強(qiáng)度，任一點(diǎn)又是二維平面坐標(biāo)中兩個(gè)變量的函數(shù)，這是二維信號(hào)。還有更多維變量的函數(shù)的信號(hào)。本課程只研究一維信號(hào)，且自變量多為時(shí)間。6．因果信號(hào)與反因果信號(hào)

常將t=0時(shí)接入系統(tǒng)的信號(hào)f(t)[即在t<0，f(t)=0]稱為因果信號(hào)或有始信號(hào)。階躍信號(hào)是典型的一個(gè)。而將t≥0，f(t)=0的信號(hào)稱為反因果信號(hào)。1.3信號(hào)的基本運(yùn)算還有其他分類(lèi)，如實(shí)信號(hào)與復(fù)信號(hào)；左邊信號(hào)與右邊信號(hào)等等。1.3信號(hào)的基本運(yùn)算一、信號(hào)的加減乘運(yùn)算兩信號(hào)f1(·)和f2

(·)的相加減乘，指同一瞬時(shí)兩信號(hào)之值對(duì)應(yīng)相加減乘。如1.3信號(hào)的基本運(yùn)算二、信號(hào)的時(shí)間變換運(yùn)算

1.反轉(zhuǎn)將f

(t)→f

(–t)，f

(k)→f

(–k)稱為對(duì)信號(hào)f(·)的反轉(zhuǎn)或反折。從圖形上看是將f(·)以縱坐標(biāo)為軸反轉(zhuǎn)180o。如演示1.3信號(hào)的基本運(yùn)算

2.平移將f

(t)→f

(t–t0)，f

(k)→f

(k–k0)稱為對(duì)信號(hào)f(·)的平移或移位。若t0(或k0)>0，則將f(·)右移；否則左移。如右移t→t–1左移t→t+1演示1.3信號(hào)的基本運(yùn)算平移與反轉(zhuǎn)相結(jié)合法一：①先平移f

(t)→f

(t+2)②再反轉(zhuǎn)f

(t+2)→f

(–t+2)法二：①先反轉(zhuǎn)f

(t)→f

(–t)畫(huà)出f

(2–t)。②再平移f

(–t)→f

(–t+2)左移右移=f

[–(t–2)]注意：是對(duì)t的變換！1.3信號(hào)的基本運(yùn)算

3.尺度變換（橫坐標(biāo)展縮）將f

(t)→f

(at)，稱為對(duì)信號(hào)f(t)的尺度變換。若a>1，則波形沿橫坐標(biāo)壓縮；若0<a<1，則展開(kāi)。如t→2t壓縮t→0.5t展開(kāi)對(duì)于離散信號(hào)，由于f

(ak)僅在為ak為整數(shù)時(shí)才有意義，進(jìn)行尺度變換時(shí)可能會(huì)使部分信號(hào)丟失。因此一般不作波形的尺度變換。演示1.3信號(hào)的基本運(yùn)算平移、反轉(zhuǎn)、尺度變換相結(jié)合例1已知f

(t)，畫(huà)出f

(–4–2t)。壓縮，得f

(2t–4)反轉(zhuǎn)，得f

(–2t–4)右移4，得f

(t–4)三種運(yùn)算的次序可任意。但一定要注意始終對(duì)時(shí)間t進(jìn)行。1.3信號(hào)的基本運(yùn)算壓縮，得f

(2t)右移2，得f

(2(t–2))=f

(2t–4)反轉(zhuǎn)，得f

(–2t–4)也可以先壓縮、再平移、最后反轉(zhuǎn)。1.3信號(hào)的基本運(yùn)算若已知f

(–4–2t)，畫(huà)出f

(t)。反轉(zhuǎn)，得f

(2t–4)展開(kāi)，得f

(t–4)左移4，得f

(t)1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)

階躍函數(shù)和沖激函數(shù)不同于普通函數(shù)，稱為奇異函數(shù)。研究奇異函數(shù)的性質(zhì)要用到廣義函數(shù)（或分配函數(shù)）的理論。這里將直觀地引出階躍函數(shù)和沖激函數(shù)。1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)一、階躍函數(shù)下面采用求函數(shù)序列極限的方法定義階躍函數(shù)。選定一個(gè)函數(shù)序列γn(t)如圖所示。n→∞1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)階躍函數(shù)性質(zhì)：（1）可以方便地表示某些信號(hào)f(t)=2ε(t)-3ε(t-1)+ε(t-2)（2）用階躍函數(shù)表示信號(hào)的作用區(qū)間（3）積分1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)二、沖激函數(shù)

單位沖激函數(shù)是個(gè)奇異函數(shù)，它是對(duì)強(qiáng)度極大，作用時(shí)間極短一種物理量的理想化模型。它由如下特殊的方式定義（由狄拉克最早提出）也可采用下列直觀定義：對(duì)γn(t)求導(dǎo)得到如圖所示的矩形脈沖pn(t)。

高度無(wú)窮大，寬度無(wú)窮小，面積為1的對(duì)稱窄脈沖。

演示1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關(guān)系：可見(jiàn)，引入沖激函數(shù)之后，間斷點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也存在。如f(t)=2ε(t+1)-2ε(t-1)f′(t)=2δ(t+1)-2δ(t-1)求導(dǎo)n→∞n→∞1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)三、沖激函數(shù)的廣義函數(shù)定義

普通函數(shù)，如y=f(t)是將一維實(shí)數(shù)空間的數(shù)t經(jīng)過(guò)

f

所規(guī)定的運(yùn)算映射為一維實(shí)數(shù)空間的數(shù)y。1、廣義函數(shù)的概念

將普通函數(shù)的概念推廣，廣義函數(shù)可以這樣定義：選擇一類(lèi)性能良好的函數(shù)，稱為檢驗(yàn)函數(shù)(相當(dāng)于自變量)，一個(gè)廣義函數(shù)g(t)對(duì)檢驗(yàn)函數(shù)空間中的每個(gè)函數(shù)賦予一個(gè)數(shù)值N的映射，該數(shù)與廣義函數(shù)g(t)和檢驗(yàn)函數(shù)有關(guān)，記作g[]。廣義函數(shù)可寫(xiě)為:表1.1廣義函數(shù)與普通函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)

廣義函數(shù)

普通函數(shù)函數(shù)值定義域自變量定義式類(lèi)型1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)2、廣義函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1（相等）：若則性質(zhì)2（相加）：若則1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)性質(zhì)3（尺度變換）：性質(zhì)4（微分）：[定義]

按廣義函數(shù)理論，沖激函數(shù)由下式確定

即沖激函數(shù)δ(t)作用于檢驗(yàn)函數(shù)φ(t)的效果是給它賦值為φ(0)

。

這常稱為沖激函數(shù)的取樣性質(zhì)(或篩選性質(zhì))。簡(jiǎn)言之，能從檢驗(yàn)函數(shù)φ(t)中篩選出函數(shù)值φ(0)的廣義函數(shù)就稱為沖激函數(shù)δ(t)。

.

1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)3、沖激函數(shù)的廣義函數(shù)定義實(shí)際上，許多函數(shù)序列的廣義極限都具有如上的篩選性質(zhì)，可以用它們來(lái)定義沖激函數(shù)δ(t)，例如高斯（鐘形）函數(shù)點(diǎn)擊看圖形取樣函數(shù)點(diǎn)擊看圖形雙邊指數(shù)函數(shù)點(diǎn)擊看圖形以及點(diǎn)擊看圖形等等。1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)高斯（鐘形）函數(shù)1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)取樣函數(shù)1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)雙邊指數(shù)函數(shù)1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)四、沖激函數(shù)的性質(zhì)

1.與普通函數(shù)f(t)的乘積——取樣性質(zhì)若f(t)在t=0、t=a處存在，則

f(t)δ(t)=f(0)δ(t)，f(t)δ(t–a)=f(a)δ(t–a)

0ε(t)1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)

2.沖激函數(shù)的導(dǎo)數(shù)δ’(t)（也稱沖激偶）證明：[f(t)δ(t)]’=f(t)δ’(t)+f’(t)δ(t)f(t)δ’(t)=[f(t)δ(t)]’–f’(t)δ(t)=f(0)δ’(t)–f’(0)δ(t)δ’(t)的定義：δ(n)(t)的定義：1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)

3.δ(t)的尺度變換綜合以上結(jié)果，得：特例：證明見(jiàn)課本P.21推論:(1)δ(2t)=0.5δ(t)(2)當(dāng)a=–1時(shí)所以，δ(–t)=δ(t)為偶函數(shù)，

δ’(–t)=–δ’(t)為奇函數(shù)1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)已知f(t)，畫(huà)出g(t)=f’(t)和g(2t)求導(dǎo)，得g(t)壓縮，得g(2t)1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)4.復(fù)合函數(shù)形式的沖激函數(shù)實(shí)際中有時(shí)會(huì)遇到形如δ[f(t)]的沖激函數(shù)，其中f(t)是普通函數(shù)。并且f(t)=0有n個(gè)互不相等的實(shí)根ti

(i=1，2，…，n)ε[f(t)]圖示說(shuō)明：例f(t)=t2–4ε(t2–4)=1–ε(t+2)+ε(t–2)1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)ε(t2–4)=1–ε(t+2)+ε(t–2)一般地，這表明，δ[f(t)]是位于各ti處，強(qiáng)度為的n個(gè)沖激函數(shù)構(gòu)成的沖激函數(shù)序列。注意：如果f(t)=0有重根，δ[f(t)]無(wú)意義。1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)這兩個(gè)序列是普通序列。（1）單位(樣值)序列δ(k)的定義取樣性質(zhì)：f(k)δ(k)=f(0)δ(k)f(k)δ(k–k0)=f(k0)δ(k–k0)例五、序列δ(k)和ε(k)1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)（2）單位階躍序列ε(k)的定義（3）ε(k)與δ(k)的關(guān)系δ(k)=ε(k)–ε(k–1)或ε(k)=δ(k)+δ(k–1)+…1.5系統(tǒng)的描述1.5系統(tǒng)的描述描述連續(xù)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程，描述離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是差分方程。一、連續(xù)系統(tǒng)1.解析描述——建立數(shù)學(xué)模型圖示RLC電路，以u(píng)S(t)作激勵(lì)，以u(píng)C(t)作為響應(yīng)，由KVL和VAR列方程，并整理得二階常系數(shù)線性微分方程。1.6系統(tǒng)的描述抽去具有的物理含義，微分方程寫(xiě)成這個(gè)方程也可以描述下面的一個(gè)二階機(jī)械減振系統(tǒng)。其中，k為彈簧常數(shù)，M為物體質(zhì)量，C為減振液體的阻尼系數(shù)，x為物體偏離其平衡位置的位移，f(t)為初始外力。其運(yùn)動(dòng)方程為能用相同方程描述的系統(tǒng)稱相似系統(tǒng)。1.5系統(tǒng)的描述2.系統(tǒng)的框圖描述上述方程從數(shù)學(xué)角度來(lái)說(shuō)代表了某些運(yùn)算關(guān)系：相乘、微分、相加運(yùn)算。將這些基本運(yùn)算用一些理想部件符號(hào)表示出來(lái)并相互聯(lián)接表征上述方程的運(yùn)算關(guān)系，這樣畫(huà)出的圖稱為模擬框圖，簡(jiǎn)稱框圖?；静考卧校悍e分器：加法器：數(shù)乘器：積分器的抗干擾性比微分器好。1.5系統(tǒng)的描述系統(tǒng)模擬：實(shí)際系統(tǒng)→方程→模擬框圖→實(shí)驗(yàn)室實(shí)現(xiàn)（模擬系統(tǒng)）→指導(dǎo)實(shí)際系統(tǒng)設(shè)計(jì)例1：已知y”(t)+ay’(t)+by(t)=f(t)，畫(huà)出框圖。解：將方程寫(xiě)為y”(t)=f(t)–ay’(t)–by(t)1.5系統(tǒng)的描述例2：已知y”(t)+3y’(t)+2y(t)=4f’(t)+f(t)，畫(huà)框圖。解：該方程含f(t)的導(dǎo)數(shù)，可引入輔助函數(shù)畫(huà)出框圖。設(shè)輔助函數(shù)x(t)滿足x”(t)+3x’(t)+2x(t)=f(t)可推導(dǎo)出y(t)=4x’(t)+x(t)，它滿足原方程。例3：已知框圖，寫(xiě)出系統(tǒng)的微分方程。1.5系統(tǒng)的描述解：設(shè)輔助變量x(t)如圖x(t)x’(t)x”(t)x”(t)=f(t)–2x’(t)–3x(t),即x”(t)+2x’(t)+3x(t)=f(t)y(t)=4x’(t)+3x(t)根據(jù)前面，逆過(guò)程，得y”(t)+2y’(t)+3y(t)=4f’(t)+3f(t)1.5系統(tǒng)的描述二、離散系統(tǒng)1.解析描述——建立差分方程某人每月初在銀行存入一定數(shù)量的款，月息為β元/元，求第k個(gè)月初存折上的款數(shù)。設(shè)第k個(gè)月初的款數(shù)為y(k),這個(gè)月初的存款為f(k),上個(gè)月初的款數(shù)為y(k-1)，利息為βy(k-1),則y(k)=y(k-1)+βy(k-1)+f(k)即y(k)-(1+β)y(k-1)=f(k)若設(shè)開(kāi)始存款月為k=0，則有y(0)=f(0)。上述方程就稱為y(k)與f(k)之間所滿足的差分方程。所謂差分方程是指由未知輸出序列項(xiàng)與輸入序列項(xiàng)構(gòu)成的方程。未知序列項(xiàng)變量最高序號(hào)與最低序號(hào)的差數(shù)，稱為差分方程的階數(shù)。上述為一階差分方程。1.5系統(tǒng)的描述由n階差分方程描述的系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)。描述LTI離散系統(tǒng)的是線性常系數(shù)差分方程。2.差分方程的模擬框圖基本部件單元有：數(shù)乘器加法器遲延單元（移位器）1.5系統(tǒng)的描述例：已知框圖，寫(xiě)出系統(tǒng)的差分方程。解：設(shè)輔助變量x(k)如圖x(k)x(k-1)x(k-2)即x(k)+2x(k-1)+3x(k-2)=f(k)y(k)=4x(k-1)+5x(k-2)消去x(k)，得

y(k)+2y(k-1)+3y(k-2)=4f(k-1)+5f(k-2)x(k)=f(k)–2x(k-1)–3x(k-2)方程←→框圖用變換域方法和梅森公式簡(jiǎn)單，后面討論。1.6系統(tǒng)的性質(zhì)及分析方法1.6系統(tǒng)的性質(zhì)及分析方法一、系統(tǒng)的定義若干相互作用、相互聯(lián)系的事物按一定規(guī)律組成具有特定功能的整體稱為系統(tǒng)。電子系統(tǒng)是電子元器件的集合體。電路側(cè)重于局部，系統(tǒng)側(cè)重于全部。電路、系統(tǒng)兩詞通用。二、系統(tǒng)的分類(lèi)及性質(zhì)可以從多種角度來(lái)觀察、分析研究系統(tǒng)的特征，提出對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分類(lèi)的方法。下面討論幾種常用的分類(lèi)法。1.6系統(tǒng)的性質(zhì)及分析方法1.連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)若系統(tǒng)的輸入信號(hào)是連續(xù)信號(hào)，系統(tǒng)的輸出信號(hào)也是連續(xù)信號(hào)，則稱該系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱為連續(xù)系統(tǒng)。若系統(tǒng)的輸入信號(hào)和輸出信號(hào)均是離散信號(hào)，則稱該系統(tǒng)為離散時(shí)間系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱為離散系統(tǒng)。2.動(dòng)態(tài)系統(tǒng)與即時(shí)系統(tǒng)若系統(tǒng)在任一時(shí)刻的響應(yīng)不僅與該時(shí)刻的激勵(lì)有關(guān)，而且與它過(guò)去的歷史狀況有關(guān)，則稱為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)或記憶系統(tǒng)。含有記憶元件(電容、電感等)的系統(tǒng)是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。否則稱即時(shí)系統(tǒng)或無(wú)記憶系統(tǒng)。3.單輸入單輸出系統(tǒng)與多輸入多輸出系統(tǒng)1.6系統(tǒng)的性質(zhì)及分析方法4.線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)滿足線性性質(zhì)的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。（1）線性性質(zhì)系統(tǒng)的激勵(lì)f(·)所引起的響應(yīng)y(·)可簡(jiǎn)記為y(·)=T[f(·)]線性性質(zhì)包括兩方面：齊次性和可加性。若系統(tǒng)的激勵(lì)f(·)增大a倍時(shí)，其響應(yīng)y(·)也增大a倍，即T

[af(·)]=aT

[f(·)]則稱該系統(tǒng)是齊次的。若系統(tǒng)對(duì)于激勵(lì)f1(·)與f2(·)之和的響應(yīng)等于各個(gè)激勵(lì)所引起的響應(yīng)之和，即

T

[f1(·)+f2(·)]=T[f1(·)]+T[f2(·)]則稱該系統(tǒng)是可加的。1.6系統(tǒng)的性質(zhì)及分析方法若系統(tǒng)既是齊次的又是可加的，則稱該系統(tǒng)是線性的，即T[af1(·)+bf2(·)]=aT[f1(·)]+bT[f2(·)]（2）動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)的條件動(dòng)態(tài)系統(tǒng)不僅與激勵(lì){f

(·)}有關(guān)，而且與系統(tǒng)的初始狀態(tài){x(0)}有關(guān)。初始狀態(tài)也稱“內(nèi)部激勵(lì)”。完全響應(yīng)為

y

(·)=T[{f

(·)},{x(0)}]零狀態(tài)響應(yīng)為

yf(·)=T[{f

(·)},{0}]零輸入響應(yīng)為

yx(·)=T[{0}，{x(0)}]1.6系統(tǒng)的性質(zhì)及分析方法當(dāng)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)滿足下列三個(gè)條件時(shí)該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)：②零狀態(tài)線性：T[{af

(·)},{0}]=aT[{f

(·)},{0}]T[{f1(t)+f2(t)},{0}]=T[{f1

(·)},{0}]+T[{f2

(·)},{0}]或T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1

(·)},{0}]+bT[{f2

(·)},{0}]③零輸入線性：T[{0},{ax(0)}]=aT[{0},{x(0)}]T[{0},{x1(0)+x2(0)}]=T[{0},{x1(0)}]+T[{0},{x2(0)}]或T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}]①可分解性：

y

(·)=yf(·)+yx(·)=T[{f

(·)},{0}]+T[{0}，{x(0)}]1.6系統(tǒng)的性質(zhì)及分析方法例1：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？（1）y

(t)=3x(0)+2f

(t)+x(0)f

(t)+1（2）y

(t)=2x(0)+|f

(t)|（3）y

(t)=x2(0)+2f

(t)解：（1）

yf(t)=2f

(t)+1，yx(t)=3x(0)顯然，y

(t)≠yf(t)＋yx(t)不滿足可分解性，故為非線性（2）

yf(t)=|f

(t)|，yx(t)=2x(0)

y

(t)=yf(t)+yx(t)滿足可分解性；由于T[{af

(t)},{0}]=|af

(t)|≠ayf(t)不滿足零狀態(tài)線性。故為非線性系統(tǒng)。（3）

yf(t)=2f

(t),yx(t)=x2(0)，顯然滿足可分解性；由于T[{0},{ax(0)}]=[ax(0)]2≠ayx(t)不滿足零輸入線性。故為非線性系統(tǒng)。1.6系統(tǒng)的性質(zhì)及分析方法例2：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？解：y

(t)=yf(t)+yx(t)，滿足可分解性；T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1(t)},{0}]+bT[{f2(t)},{0}]，滿足零狀態(tài)線性；T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=e-t[ax1(0)+bx2(0)]=ae-tx1(0)+be-tx2(0)=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}],滿足零輸入線性；所以，該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。1.6系統(tǒng)的性質(zhì)及分析方法5.時(shí)不變系統(tǒng)與時(shí)變系統(tǒng)滿足時(shí)不變性質(zhì)的系統(tǒng)稱為時(shí)不變系統(tǒng)。（1）時(shí)不變性質(zhì)若系統(tǒng)滿足輸入延遲多少時(shí)間，其零狀態(tài)響應(yīng)也延遲多少時(shí)間，即若T[{0}，f(t)]=yf(t)則有T[{0}，f(t-

td)]=yf(t-

td)系統(tǒng)的這種性質(zhì)稱為時(shí)不變性（或移位不變性）。1.6系統(tǒng)的性質(zhì)及分析方法例：判斷下列系統(tǒng)是否為時(shí)不變系統(tǒng)？（1）yf(k)=f

(k)f

(k–1)（2）yf(t)=tf

(t)（3）yf(t)=f

(–t)解(1)令g

(k)=f(k–kd)T[{0}，g

(k)]=g(k)g

(k–1)=f

(k–kd)f

(k–kd–1)而yf(k–kd)=f

(k–kd)f

(k–kd–1)顯然T[{0}，f(k–kd)]=yf(k–kd)故該系統(tǒng)是時(shí)不變的。(2)令g

(t)=f(t–td)T[{0}，g

(t)]=tg

(t)=tf

(t–td)而yf(t–td)=(t–td)f

(t–td)顯然T[{0}，f(t–td)]≠yf(t–td)故該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。(3)令g

(t)=f(t–td),T[{0}，g

(t)]=g

(–t)=f(–t–td)而yf(t–td)=f

[–(t–td)]，顯然T[{0}，f(t–td)]≠yf(t–td)故該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。直觀判斷方法：

若f

(·)前出現(xiàn)變系數(shù)，或有反轉(zhuǎn)、展縮變換，則系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。

1.6系統(tǒng)的性質(zhì)及分析方法1.6系統(tǒng)的性質(zhì)及分析方法（2）LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分特性和積分特性本課程重點(diǎn)討論:線性時(shí)不變(LinearTime-Invariant)系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱LTI系統(tǒng)。①微分特性：若f(t)→yf(t)，則f’(t)→y’

f(t)②積分特性：若f(t)→yf(t)，則1.6系統(tǒng)的性質(zhì)及分析方法6.因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)不會(huì)出現(xiàn)在激勵(lì)之前的系統(tǒng)，稱為因果系統(tǒng)。即對(duì)因果系統(tǒng)，當(dāng)t<t0，f(t)=0時(shí)，有t<t0，yf(t)=0。如下列系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)：yf(t)=3f(t–1)而下列系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)：(1)yf(t)=2f(t+1)(2)yf(t)=f(2t)因?yàn)椋顃=1時(shí)，有yf(1)=2f(2)因?yàn)?，若f(t)=0，t<t0，有yf(t)=f(2t)=0,t<0.5t0。1.6系統(tǒng)的性質(zhì)及分析方法例某LTI因果連續(xù)系統(tǒng)，起始狀態(tài)為x(0–)。已知，當(dāng)x(0–)=1，輸入因果信號(hào)f1(t)時(shí)，全響應(yīng)y1(t)=e–t+cos(πt)，t>0；當(dāng)x(0-)=2，輸入信號(hào)f2(t)=3f1(t)時(shí)，全響應(yīng)y2(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0；求輸入f3(t)=+2f1(t-1)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf3(t)。解設(shè)當(dāng)x(0–)=1，輸入因果信號(hào)f1(t)時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為y1x(t)、y1f(t)。當(dāng)x(0-)=2，輸入信號(hào)f2(t)=3f1(t)時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為y2x(t)、y2f(t)。

1.6系統(tǒng)的性質(zhì)及分析方法由題中條件，有y1(t)=y1x(t)+y1f(t)=e–t+cos(πt)，t>0（1）y2(t)=y2x(t)+y2f(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0（2）根據(jù)線性系統(tǒng)的齊次性，y2x(t)=2y1x(t)，y2f(t)=3y1f(t)，代入式（2）得y2(t)=2y1x(t)+3y1f(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0（3）式(3)–2×式(1)，得y1f(t)=–4e-t+cos(πt)，t>0由于y1f(t)是因果系統(tǒng)對(duì)因果輸入信號(hào)f1(t)的零狀態(tài)響應(yīng)，故當(dāng)t<0，y1f(t)=0；因此y1f(t)可改寫(xiě)成y1f(t)=[–4e-t+cos(πt)]ε(t)(4)1.6系統(tǒng)的性質(zhì)及分析方法f1(t)→y1f(t)=[–4e-t+cos(πt)]ε(t)根據(jù)LTI系統(tǒng)的微分特性=–3δ(t)+[4e-t–πsin(πt)]ε(t)根據(jù)LTI系統(tǒng)的時(shí)不變特性f1(t–1)→y1f(t–1)={–4e-(t-1)+cos[π(t–1)]}ε(t–1)由線性性質(zhì)，得：當(dāng)輸入f3(t)=+2f1(t–1)時(shí)，y3f(t)=+2y1(t–1)=–3δ(t)+[4e-t–πsin(πt)]ε(t)+2{–4e-(t-1)+cos[π(t–1)]}ε(t–1)1.6系統(tǒng)的性質(zhì)及分析方法7.穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng)一個(gè)系統(tǒng)，若對(duì)有界的激勵(lì)f(.)所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)yf(.)也是有界時(shí)，則稱該系統(tǒng)為有界輸入有界輸出穩(wěn)定，簡(jiǎn)稱穩(wěn)定。即若│f(.)│<∞，其│yf(.)│<∞則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如yf(k)=f(k)+f(k-1)是穩(wěn)定系統(tǒng)；而是不穩(wěn)定系統(tǒng)。因?yàn)?，?dāng)f(t)=ε(t)有界，當(dāng)t→∞時(shí)，它也→∞，無(wú)界。系統(tǒng)分析研究的主要問(wèn)題：對(duì)給定的具體系統(tǒng)，求出它對(duì)給定激勵(lì)的響應(yīng)。具體地說(shuō)：系統(tǒng)分析就是建立表征系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方程并求出解答。

系統(tǒng)的分析方法：輸入輸出法（外部法）狀態(tài)變量法（內(nèi)部法）（chp.8)外部法時(shí)域分析（chp.2,chp.3)變換域法連續(xù)系統(tǒng)—頻域法(4)和復(fù)頻域法(5)離散系統(tǒng)—z域法（chp6)系統(tǒng)特性：系統(tǒng)函數(shù)（chp.7)三、LTI系統(tǒng)的分析方法1.6系統(tǒng)的性質(zhì)及分析方法（1）把零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分開(kāi)求。（2）把復(fù)雜信號(hào)分解為眾多基本信號(hào)之和，根據(jù)線性系統(tǒng)的可加性：多個(gè)基本信號(hào)作用于線性系統(tǒng)所引起的響應(yīng)等于各個(gè)基本信號(hào)所引起的響應(yīng)之和。求解的基本思路：采用的數(shù)學(xué)工具：（1）卷積積分與卷積和（2）傅里葉變換（3）拉普拉斯變換（4）Z變換1.6系統(tǒng)的性質(zhì)及分析方法例1計(jì)算下列各題。第一章補(bǔ)充例題解：第一章補(bǔ)充例題解：第一章補(bǔ)充例題解：第一章補(bǔ)充例題解：第一章補(bǔ)充例題第一章補(bǔ)充例題例2：下列差分方程描述的系統(tǒng)，是否線性？是否時(shí)不變？并寫(xiě)出方程的階數(shù)。（1）y(k)+(k–1)y(k–1)=f(k)（2）y(k)+y(k+1)y(k–1)=f2(k)（3）y(k)+2y(k–1)=f(1–k)+1解：判斷方法：方程中均為輸出、輸入序列的一次關(guān)系項(xiàng)，則是線性的。輸入輸出序列前的系數(shù)為常數(shù)，且無(wú)反轉(zhuǎn)、展縮變換，則為時(shí)不變的。線性、時(shí)變，一階非線性、時(shí)不變，二階線性、時(shí)變，一階例3反轉(zhuǎn)，得f(0.5t-1)壓縮，得f

(t-1)左移1，得f(t)第一章補(bǔ)充例題第一章補(bǔ)充例題第一章第二章連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)

一、微分方程的經(jīng)典解二、關(guān)于0-和0+初始值三、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)2.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)

一、沖激響應(yīng)二、階躍響應(yīng)2.3卷積積分一、信號(hào)時(shí)域分解與卷積二、卷積的圖解2.4卷積積分的性質(zhì)

一、卷積代數(shù)二、奇異函數(shù)的卷積特性

三、卷積的微積分性質(zhì)四、卷積的時(shí)移特性五、相關(guān)函數(shù)2.5*P算子分析法

一、微分算子及系統(tǒng)描述二、零輸入響應(yīng)求解三、LTI連續(xù)系統(tǒng)的初始條件四、零狀態(tài)響應(yīng)的求解五、由H(P)求h(t)點(diǎn)擊目錄，進(jìn)入相關(guān)章節(jié)LTI連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析，歸結(jié)為：建立并求解線性微分方程。由于在其分析過(guò)程涉及的函數(shù)變量均為時(shí)間t，故稱為時(shí)域分析法。這種方法比較直觀，物理概念清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域分析法的基礎(chǔ)。

第二章連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)一、微分方程的經(jīng)典解y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y

(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f

(t)微分方程的經(jīng)典解：y(t)(完全解)=yh(t)(齊次解)+yp(t)(特解）2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)齊次解是齊次微分方程y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0的解。yh(t)的函數(shù)形式由上述微分方程的特征根確定。（齊次解的函數(shù)形式見(jiàn)P41表2-1）特解的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)的形式有關(guān)。P41表2-2齊次解的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，而與激勵(lì)f(t)的函數(shù)形式無(wú)關(guān)，稱為系統(tǒng)的固有響應(yīng)或自由響應(yīng)；特解的函數(shù)形式由激勵(lì)確定，稱為強(qiáng)迫響應(yīng)。例

描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)；求（1）當(dāng)f(t)=2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)=–1時(shí)的全解；（2）當(dāng)f(t)=e-2t，t≥0；y(0)=1，y’(0)=0時(shí)的全解。2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)解:(1)特征方程為λ2+5λ+6=0其特征根λ1=–2，λ2=–3。齊次解為

yh(t)=C1e–2t+C2e–3t由表2-2可知，當(dāng)f(t)=2e–t時(shí)，其特解可設(shè)為yp(t)=Qe–t將其代入微分方程得Qe–t+5(–Qe–t)+6Qe–t=2e–t解得Q=1于是特解為yp(t)=e–t全解為：y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e–2t+C2e–3t+e–t其中待定常數(shù)C1,C2由初始條件確定。y(0)=C1+C2+1=2，y’(0)=–2C1–3C2–1=–1解得C1=3，C2=–2最后得全解y(t)=3e–2t–2e–3t+e–t,t≥02.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)（2）齊次解同上。當(dāng)激勵(lì)f(t)=e–2t時(shí)，其指數(shù)與特征根之一相重。由表知：其特解為

yp(t)=(Q0+Q1t)e–2t

代入微分方程可得Q1e-2t=e–2t所以Q1=1但Q0不能求得。全解為：y(t)=C1e–2t+C2e–3t+te–2t+Q0e–2t

=(C1+Q0)e–2t+C2e–3t+te–2t代入初始條件，得y(0)=(C1+Q0)+C2=1，y’(0)=–2(C1+Q0)–3C2+1=0解得C1+Q0

=2,C2=–1全解為：y(t)=2e–2t–e–3t+te–2t,t≥0討論：因上式第一項(xiàng)的系數(shù)C1+Q0=2，不能區(qū)分C1和Q0。2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)二、用系數(shù)匹配法求0+初始值若輸入f(t)是在t=0時(shí)接入系統(tǒng)，則確定待定系數(shù)Ci時(shí)用t=0+時(shí)刻的初始值，即y(j)(0+)(j=0,1,2…，n-1)。而y(j)(0+)包含了輸入信號(hào)的作用，不便于描述系統(tǒng)的歷史信息。在t=0-時(shí)，激勵(lì)尚未接入，該時(shí)刻的值y(j)(0-)反映了系統(tǒng)的歷史情況而與激勵(lì)無(wú)關(guān)。稱這些值為初始狀態(tài)或起始值。通常，對(duì)于具體的系統(tǒng)，初始狀態(tài)一般容易求得。這樣為求解微分方程，就需要從已知的初始狀態(tài)y(j)(0-)設(shè)法求得y(j)(0+)。下列舉例說(shuō)明。

例：描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)，求y(0+)和y’(0+)。解：將輸入f(t)=ε(t)代入上述微分方程得

y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2δ(t)+6ε(t)（1）

用系數(shù)匹配法分析：上式對(duì)于t=0-也成立，在0-<t<0+區(qū)間等號(hào)兩端δ(t)項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)相等。由于等號(hào)右端為2δ(t)，故y”(t)應(yīng)包含沖激函數(shù)，從而y’(t)在t=0處將發(fā)生躍變，即y’(0+)≠y’(0-)。但y’(t)不含沖激函數(shù)，否則y”(t)將含有δ’(t)項(xiàng)。由于y’(t)中不含δ(t)，故y(t)在t=0處是連續(xù)的。即y(0+)=y(0-)=2

2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)對(duì)式(1)兩端積分有由于積分在無(wú)窮小區(qū)間[0-，0+]進(jìn)行的，且y(t)在t=0連續(xù)，故于是由上式得[y’(0+)–y’(0-)]+3[y(0+)–y(0-)]=2考慮y(0+)=y(0-)=2，所以y’(0+)–y’(0-)=2，y’(0+)=y’(0-)+2=2結(jié)論：當(dāng)微分方程等號(hào)右端含有沖激函數(shù)（及其各階導(dǎo)數(shù)）時(shí)，響應(yīng)y(t)及其各階導(dǎo)數(shù)中，有些在t=0處將發(fā)生躍變。但如果右端不含沖激函數(shù)時(shí)，則不會(huì)躍變。2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)三、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)

y(t)=yx(t)+yf(t),可以分別用經(jīng)典法求解。注意：對(duì)t=0時(shí)接入激勵(lì)f(t)的系統(tǒng)，

初始值yx(j)(0+),yf(j)(0+)(j=0，1，…，n-1)的計(jì)算：y(j)(0-)=yx(j)(0-)+yf(j)(0-)y(j)(0+)=yx(j)(0+)+yf(j)(0+)對(duì)于零輸入響應(yīng)，由于激勵(lì)為零，故有

yx(j)(0+)=yx(j)(0-)=y(j)(0-)對(duì)于零狀態(tài)響應(yīng)，在t=0-時(shí)刻激勵(lì)尚未接入，故應(yīng)有

yf(j)(0-)=0yf(j)(0+)的求法下面舉例說(shuō)明。2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)例1：描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t)+3y’(t)+2y(t)=2f’(t)+6f(t)已知y(0-)=2，y’(0-)=0，f(t)=ε(t)。求該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。解：（1）零輸入響應(yīng)yx(t)因?yàn)榧?lì)為0，故yx(t)滿足yx”(t)+3yx’(t)+2yx(t)=0yx(0+)=yx(0-)=y(0-)=2yx’(0+)=yx’(0-)=y’(0-)=0該齊次方程的特征根為–1，–2，故yx(t)=C1e–t+C2e–2t

代入初始值并解得系數(shù)為C1=4,C2=–2，代入得yx(t)=4e–t–2e–2t,t>02.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)（2）零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)

滿足yf”(t)+3yf’(t)+2yf(t)=2δ(t)+6ε(t)并有yf(0-)=yf’(0-)=0由于上式等號(hào)右端含有δ(t)，故yf”(t)含有δ(t)，從而yf’(t)躍變，即yf’(0+)≠yf’(0-)，而yf(t)在t=0連續(xù)，即yf(0+)=yf(0-)=0，積分得[yf’(0+)-yf’(0-)]+3[yf(0+)-yf(0-)]+2因此，yf’(0+)=2+yf’(0-)=2

對(duì)t>0時(shí)，有yf”(t)+3yf’(t)+2yf(t)=6不難求得其齊次解為D1e-t+D2e-2t，其特解為常數(shù)3，于是有yf(t)=D1e-t+D2e-2t+3代入初始值求得yf(t)=–4e-t+e-2t+3，t≥02.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)2.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)一、沖激響應(yīng)由單位沖激函數(shù)δ(t)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，簡(jiǎn)稱沖激響應(yīng)，記為h(t)。h(t)=T[{0},δ(t)]

例1描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求其沖激響應(yīng)h(t)。解根據(jù)h(t)的定義有h”(t)+5h’(t)+6h(t)=δ(t)h’(0-)=h(0-)=0先求h’(0+)和h(0+)。2.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)因方程右端有δ(t)，故利用系數(shù)平衡法。h”(t)中含δ(t)，h’(t)含ε(t)，h’(0+)≠h’(0-)，h(t)在t=0連續(xù)，即h(0+)=h(0-)。積分得[h’(0+)-h’(0-)]+5[h(0+)-h(0-)]+6=1考慮h(0+)=h(0-)，由上式可得h(0+)=h(0-)=0,h’(0+)=1+h’(0-)=1對(duì)t>0時(shí)，有h”(t)+5h’(t)+6h(t)=0故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為一齊次解。微分方程的特征根為-2，-3。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為

h(t)=(C1e-2t+C2e-3t)ε(t)代入初始條件求得C1=1,C2=-1,所以

h(t)=(e-2t-e-3t)ε(t)

2.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)

例2描述某系統(tǒng)的微分方程為y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f”(t)+2f’(t)+3f(t)求其沖激響應(yīng)h(t)。解根據(jù)h(t)的定義有h”(t)+5h’(t)+6h(t)=δ”(t)+2δ’(t)+3δ(t)(1)h’(0-)=h(0-)=0先求h’(0+)和h(0+)。由方程可知，h(t)中含δ(t)故令h(t)=aδ(t)+p1(t)[pi(t)為不含δ(t)的某函數(shù)]h’(t)=aδ’(t)+bδ(t)+p2(t)h”(t)=aδ”(t)+bδ’(t)+cδ(t)+p3(t)代入式(1)，有2.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)aδ”(t)+bδ’(t)+cδ(t)+p3(t)+5[aδ’(t)+bδ(t)+p2(t)]+6[aδ(t)+p1(t)]=δ”(t)+2δ’(t)+3δ(t)整理得aδ”(t)+(b+5a)δ’(t)+(c+5b+6a)δ(t)+p3(t)+5p2(t)+6p1(t)=δ”(t)+2δ’(t)+3δ(t)利用δ(t)系數(shù)匹配，得a=1，b=-3，c=12所以h(t)=δ(t)+p1(t)（2）h’(t)=δ’(t)-3δ(t)+p2(t)（3）h”(t)=δ”(t)-3δ’(t)+12δ(t)+p3(t)（4）對(duì)式(3)從0-到0+積分得h(0+)–h(0-)=–3對(duì)式(4)從0-到0+積分得h’(0+)–h’(0-)=12故h(0+)=–3，h’(0+)=122.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)微分方程的特征根為–2，–3。故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)=C1e–2t+C2e–3t，t>0代入初始條件h(0+)=–3，h’(0+)=12求得C1=3，C2=–6,所以h(t)=3e–2t–6e–3t,t>0結(jié)合式(2)得h(t)=δ(t)+(3e–2t–6e–3t)ε(t)對(duì)t>0時(shí)，有h”(t)+5h’(t)+6h(t)=0二、階躍響應(yīng)g(t)=T[ε(t)，{0}]由于δ(t)與ε(t)為微積分關(guān)系，故例3如圖所示的LTI系統(tǒng)，求其階躍響應(yīng)及沖激響應(yīng)。解：（1）列寫(xiě)系統(tǒng)的微分方程2.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)（2）求階躍響應(yīng)2.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)2.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)（3）求沖激響應(yīng)2.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)2.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)2.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)驗(yàn)證結(jié)論（解法II）：2.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)2.3卷積積分2.3卷積積分一、信號(hào)的時(shí)域分解與卷積積分1.信號(hào)的時(shí)域分解(1)預(yù)備知識(shí)問(wèn)

f1(t)=?

p(t)直觀看出2.3卷積積分(2)任意信號(hào)分解“0”號(hào)脈沖高度f(wàn)(0),寬度為△，用p(t)表示為：f(0)△p(t)“1”號(hào)脈沖高度f(wàn)(△),寬度為△，用p(t-△)表示為：

f(△)△p(t-△)“-1”號(hào)脈沖高度f(wàn)(-△)、寬度為△，用p(t+△)表示為：f(-△)△p(t+△)2.3卷積積分2.任意信號(hào)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)f(t)根據(jù)h(t)的定義：δ(t)

h(t)由時(shí)不變性：δ(t

-τ)h(t-τ)f(τ)δ(t

-τ)由齊次性：f(τ)h(t-τ)由疊加性：‖f(t)‖yf(t)卷積積分2.3卷積積分3.卷積積分的定義已知定義在區(qū)間（–∞，∞）上的兩個(gè)函數(shù)f1(t)和f2(t)，則定義積分為f1(t)與f2(t)的卷積積分，簡(jiǎn)稱卷積；記為f(t)=f1(t)*f2(t)注意：積分是在虛設(shè)的變量τ下進(jìn)行的，τ為積分變量，t為參變量。結(jié)果仍為t的函數(shù)。2.3卷積積分例1：f(t)=et,（-∞<t<∞)，h(t)=(6e-2t–1)ε(t)，求yf(t)。解：yf(t)=f(t)*h(t)當(dāng)t<τ，即τ>t時(shí)，ε(t-τ)=02.3卷積積分二、卷積的圖解法卷積過(guò)程可分解為四步：（1）換元：t換為τ→得f1(τ)，f2(τ)（2）反轉(zhuǎn)平移：由f2(τ)反轉(zhuǎn)→f2(–τ)右移t→f2(t-τ)（3）乘積：f1(τ)f2(t-τ)（4）積分：τ從–∞到∞對(duì)乘積項(xiàng)積分。注意：t為參變量。下面舉例說(shuō)明。演示2.3卷積積分例2f(t),h(t)如圖所示，求yf(t)=h(t)*f(t)。[解]采用圖解法求卷積。f(t-τ)f(τ)反折f(-τ)平移t①t<0時(shí),f(t-τ)向左移f(t-τ)h(τ)=0，故

yf(t)=0

0≤t≤1

時(shí),f(t-τ)向右移②0≤t≤1時(shí)④2≤t≤3時(shí)f(t-τ)h(τ)=0，故

yf(t)=0h(t)函數(shù)形式復(fù)雜換元為h(τ)。

f(t)換元f(τ)③1≤t≤2

時(shí)02.3卷積積分圖解法一般比較繁瑣，但若只求某一時(shí)刻卷積值時(shí)還是比較方便的。確定積分的上下限是關(guān)鍵。例3：f1(t)、f2(t)如圖所示，已知f(t)=f2(t)*f1(t)，求f(2)=？f1(-τ)f1(2-τ)解：（1）換元（2）f1(τ)得f1(–τ)（3）f1(–τ)右移2得f1(2–τ)（4）f1(2–τ)乘f2(τ)（5）積分，得f(2)=0（面積為0）2.4卷積積分的性質(zhì)2.4卷積積分的性質(zhì)卷積積分是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，它有許多重要的性質(zhì)（或運(yùn)算規(guī)則），靈活地運(yùn)用它們能簡(jiǎn)化卷積運(yùn)算。下面討論均設(shè)卷積積分是收斂的（或存在的）。一、卷積代數(shù)1滿足乘法的三律：（1）交換律：f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)（2）

分配律：f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)（3）

結(jié)合律：[f1(t)*f2(t)]*f3(t)]=f1(t)*[f2(t)*f3(t)]2.復(fù)合系統(tǒng)的沖激響應(yīng)2.4卷積積分的性質(zhì)2.4卷積積分的性質(zhì)二、奇異函數(shù)的卷積特性1.f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)證：f(t)*δ(t–t0)=f(t–t0)2.f(t)*δ’(t)=f’(t)證：f(t)*δ(n)(t)=f(n)(t)3.f(t)*ε(t)ε(t)*ε(t)=tε(t)2.4卷積積分的性質(zhì)三、卷積的微積分性質(zhì)1.證：上式=δ(n)(t)*[f1(t)*f2(t)]=[δ(n)(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(n)(t)*f2(t)2.證：上式=ε(t)*[f1(t)*f2(t)]=[ε(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(–1)(t)*f2(t)3.在f1(–∞)