數(shù)學(xué)競賽專題函數(shù)奇偶性和單調(diào)性

11.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镹，且對任意正整數(shù)x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)

若f(0)＝2004，求f(2004)

解：因?yàn)閒(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)所以f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)

兩式相加得0＝f(x－1)＋f(x＋2)

即：f(x＋3)＝－f(x)∴f(x＋6)＝f(x)

12．設(shè)函數(shù)f(x)對任一實(shí)數(shù)x滿足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且f(0)=0。求證：f(x)在[-30，30]上至少有13個(gè)零點(diǎn)且f(x)是以10為周期的函數(shù)。

解．f(x)關(guān)于x=2和x=7對稱。

f(4)＝f(2+2)＝f(2－2)＝f(0)＝0,f(10)＝f(7+3)＝f(7－3)＝f(4)＝0，于是（0，10]上至少有兩個(gè)零點(diǎn)。

f(x＋10)＝f(7＋3＋x)＝f(7－3－x)＝f(4－x)＝f(2＋2－x)＝f(2－2＋x)＝f(x)，∴f(x)以10為周期。f(－30)=f(－30＋3×10)=f(0)=0．綜上，f(x)在[－30，30]上至少有13個(gè)零點(diǎn)13．函數(shù)f(x)=的圖象的對稱軸方程為x=2，則常數(shù)a=

－4

.函數(shù)第三講奇偶性和單調(diào)性莆田四中許沐英這里主要研究運(yùn)用函數(shù)的概念及函數(shù)的性質(zhì)解題,函數(shù)的性質(zhì)通常是指函數(shù)的定義域、值域、解析式、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等等，在解決與函數(shù)有關(guān)的(如方程、不等式等)問題時(shí)，巧妙利用函數(shù)及其圖象的相關(guān)性質(zhì)，可以使得問題得到簡化，從而達(dá)到解決問題的目的.關(guān)于函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，這里不再贅述，請大家參閱高中數(shù)學(xué)教材復(fù)習(xí),這里以例題講解應(yīng)用一.函數(shù)奇偶性的定義：如果對于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意的一個(gè)x，都有：（1）f（－x）=－f（x），則稱y=f（x）為奇函數(shù)（2）f（－x）=f（x），則稱y=f（x）為偶函數(shù)例1：若f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=x·(4－3x),求當(dāng)x＜０時(shí),f(x)的解析式【解法1】x＞0時(shí)，f(x)=x·(4－3x)，在其上取三點(diǎn)P1（0，0）、則它們關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別是Q1(0，0)，設(shè)x＜０時(shí)，34)32()(2-+=xaxf∵Q2在其上，∴

解之，得a=3，∴x＜０時(shí)，034)3234(2=-+-a)43(34)32(3)(2+=-+=xxxxf例1：若f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=x·(4－3x),求當(dāng)x＜０時(shí),f(x)的解析式【解法2】設(shè)x＜0，則－x＞0∴f(－x)=(－x)·(4+3x)∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)=－f(x)∴x＜0時(shí)，f(x)=－f(－x)=x(4+3x)．

例2已知函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)a，b都有，且f（0）≠0，則f(x)是（A）奇函數(shù)非偶函數(shù)（B）偶函數(shù)非奇函數(shù)（C）是奇函數(shù)也是偶函數(shù)（D）既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)

例3函數(shù)y=f(x)在(-∞,0]

上是減函數(shù)，而函數(shù)y=f(x+1)是偶函數(shù)．設(shè)，b=f(3)，c=f(

)．那么a，b，c的大小關(guān)系是____.【解】,c=f(

)∵y=f(x+1)是偶函數(shù)∴y=f(x)的圖像關(guān)于x=1對稱，于是由y=f(x)在(-∞,0]上遞減知，f(x)在[2,+∞)上遞增．∵f(－2)=f(4)而2＜3＜

＜4∴f(3)＜f(

)＜f(4)，即b＜c＜a．．例4.設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，且f(x＋3)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤時(shí)，f(x)＝x，則f(2003)＝()

A.－1 B.0 C.1 D.2003解：f(x＋6)＝f(x＋3＋3)＝－f(x＋3)＝f(x)

∴f(x)的周期為6

f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1

用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟:(1).設(shè)x1＜x2,并是某個(gè)區(qū)間上任意二值;(2).作差

f(x1)－f(x2);(3).判斷

f(x1)－f(x2)的符號:(4).作結(jié)論.①分解因式,得出因式x1－x2

.②配成非負(fù)實(shí)數(shù)和.

方法小結(jié)二.函數(shù)的單調(diào)性

例5

已知函數(shù)，判斷該函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并說明理由．【解法1】設(shè)．11)(212112+++-+-=xxxxxx22112111)()(xxxxxfxf++--+=-úú?ùêê?é++++-×-=111)(211212xxxxxx∴f(x1)>f(x2)

故函數(shù)是減函數(shù)．111112121122+++<+T?t?yü+<+<xxxxxxxx1111212<++++Txxxx01111212>++++-Txxxxxxxf-+=1)(【解法2】x≥0時(shí)，和都是增函數(shù)，∴也是增函數(shù)，從而是上的減函數(shù)．xxxxy++=-+=111xx++1xxy++=11[)+￥,0例6填空（1）函數(shù)的遞增區(qū)間是______．（2）函數(shù)遞減區(qū)間是___．

在y軸左側(cè)，增減的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是x=－2，且先減后增，故[-2,0]是遞增區(qū)間；在y軸右側(cè)，增減的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是x=2，且先減后增，故[2,+∞)

是遞增區(qū)間．654321-1-2-3-4-5-6-7-6-4-224例7.已知(3x＋y)2001＋x2001＋4x＋y＝0，求4x＋y的值.解：構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x2001＋x，則

f(3x＋y)＋f(x)＝0

注意到f(x)是奇函數(shù)且為R上的增函數(shù)，

所以3x＋y＝－x

4x＋y＝0例8解方程：ln(＋x)＋ln(＋2x)＋3x＝0

解：構(gòu)造函數(shù)f(x)＝ln(