第七講-受彎構(gòu)件的內(nèi)力

Contents平面彎曲的概念1梁的類(lèi)型2梁的內(nèi)力——剪力和彎矩的計(jì)算3梁的內(nèi)力圖4１.１彎曲和平面彎曲（１）彎曲:以彎曲變形為主的構(gòu)件通常稱為梁。受力特點(diǎn)：桿件受到垂直于桿件軸線方向的外力或在桿軸線所在平面內(nèi)作用的外力偶的作用。變形特點(diǎn)：桿軸線由直變彎。FPqM平面彎曲的概念1房屋建筑中的樓（屋）面梁、挑梁火車(chē)輪軸（２）平面彎曲

工程中常見(jiàn)的梁，其橫截面大多為矩形、工字形、T形、十字形、槽形等

它們都有對(duì)稱軸，梁橫截面的對(duì)稱軸和梁的軸線所組成的平面通常稱為縱向?qū)ΨQ平面。具有縱向?qū)ΨQ面外力都作用在此面內(nèi)彎曲變形后軸線變成對(duì)稱面內(nèi)的平面曲線縱向?qū)ΨQ面平面彎曲

凡是通過(guò)靜力平衡方程就能夠?qū)⒘旱闹ё戳θ壳蟪龅牧海y(tǒng)稱為靜定梁。梁的三種基本形式懸臂梁FP梁的類(lèi)型2(Cantileverbeam)。梁的一端固定，另一端自由。簡(jiǎn)支梁(SimpleBeam)。梁的一端為固定鉸支座，另一端為可動(dòng)鉸支座。外伸梁(Overhangingbeam)。簡(jiǎn)支梁的一端或兩端伸出支座之外。qFPqMMFP３.１梁的內(nèi)力——剪力和彎矩

現(xiàn)以圖示梁為例來(lái)分析。設(shè)荷載FP和支座反力FAy、FBy均作用在同一縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，組成了平衡力系使梁處于平衡狀態(tài)，欲計(jì)算任一截面1-1上的內(nèi)力。

FPFAyFByABalABFP梁的內(nèi)力——剪力和彎矩的計(jì)算311xFQMMFQ彎矩M

：

構(gòu)件受彎時(shí)，橫截面上其作用面垂直于截面的內(nèi)力偶矩。CCABFyAFByFPFPFByAFAy∑Fy=0FAy－FQ=0FQ=FAy

(↓)∑MC=0－FAyx+M=0M=FAyx(

)剪力FQ：

構(gòu)件受彎時(shí)，橫截面上其作用線平行于截面的內(nèi)力。外力使脫離體產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)為正FFFQFQFFFQFQ外力使脫離體產(chǎn)生逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)為負(fù)剪力：３．２剪力和彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定外力使脫離體產(chǎn)生下凹變形為正，或使脫離體產(chǎn)生下部受拉時(shí)為正

彎矩：外力使脫離體產(chǎn)生上凸變形為負(fù),或使脫離體產(chǎn)生上部受拉為負(fù)MM3.3用截面法求指定截面的內(nèi)力在梁的橫截面上,一般有三個(gè)內(nèi)力分量:軸力N、剪力Q、彎矩M。計(jì)算內(nèi)力的基本方法是截面法(見(jiàn)圖)。（1）N:其數(shù)值等于該截面一側(cè)所有外力沿截面法線方向投影的代數(shù)和。（2）Q:其數(shù)值等于該截面一側(cè)所有外力沿截面切線方向投影的代數(shù)和。（左上右下為正）（3）M:其數(shù)值等于該截面一側(cè)所有外力對(duì)截面形心力矩的代數(shù)和。（左順右逆為正）AKVAHANQMP1KAB↙↘P1P2其結(jié)論是：↙

例7-1試用截面法求圖示懸臂梁1-1、2-2截面上的剪力和彎矩。已知：q=15kN/m，F(xiàn)P=30kN。

解由于懸臂梁具有一端為自由端的特征，所以在計(jì)算內(nèi)力時(shí)可以不求其支座反力。FPq2m1m1122AB（1）求1-1截面的剪力和彎矩

取1-1截面的右側(cè)為隔離體。1-1截面上的剪力和彎矩都按照正方向假定。

FP=30kNq=15kN/m2m1m1122ABFPqBM1FQ1

∑Fy=0

－FP－q×1＋FQ1=0

FQ1=FP＋q×1=30＋15×1=45kN

∑M1=0M1＋

q×1×2.5＋

FP×3=0

M1=－q×1×2.5－FP×3=－15×1×2.5－30×3=－127.5kN·m

計(jì)算結(jié)果為負(fù)，說(shuō)明1-1截面上彎矩的實(shí)際方向與圖中假定的方向相反，即1-1截面上的彎矩為負(fù)值。

計(jì)算結(jié)果為正，說(shuō)明1-1截面上剪力的實(shí)際方向與圖中假定的方向一致，即1-1截面上的剪力為正值。（2）求2-2截面上的剪力和彎矩FP=30kNq=15kN/m2m1m1122ABFPqBM2FQ2取2-2截面的右側(cè)為隔離體。

∑Fy

=0

FQ2－FP－q×1=0

FQ2=FP＋q×1=30＋15×1=45kN(正剪力)

∑M2=0 M2＋

q×1×0.5＋

FP×1=0

M2=－q×1×0.5－FP×1=－15×1×0.5－30×1=－37.5kN·m(負(fù)彎矩)

例7-2用截面法求外伸梁指定截面上的剪力和彎矩。M=

75kN·mFP=100kN1.5m1.5m1.5m11223344ABCFByFAy∑MB=0

解（1）求支座反力(↑)∑Fy=0 FBy=25kN(↓)M=

75kN·mFP=100kN1.5m1.5m1.5m11223344ABCFByFAyFP=100kNACM1FQ1（2）求1-1截面上的剪力和彎矩列平衡方程∑Fy=0FQ1＋

FP=0

FQ1=－FP=－100kN(負(fù)剪力)∑M1=0M1＋FP×a=0

M1=－FPa=－100×1.5=－150kN·m(負(fù)彎矩)M=

75kN·mFP=100kN1.5m1.5m1.5m11223344ABCFByFAyFAyFP=100kNACM2FQ2（3）求2-2截面上的剪力和彎矩∑Fy=0FQ2＋

FP－FBy－=0

FQ2=－FP＋FBy

=－100＋125=25kN(正剪力)∑M2=0M2＋FP×a=0

M2=－FP

a

=－100×1.5=－

150KN·m(負(fù)彎矩)M=

75kN·mFP=100kN1.5m1.5m1.5m11223344ABCFByFAyM4FQ4FByFByM3FQ3M（4）求3-3截面的剪力和彎矩∑Fy=0FQ3－FBy=0

FQ3=FBy=25kN(正剪力)∑M3=0M3＋M＋FBy×a=0

M3=－M－FBy×a

=－75－25×1.5=－112.5kN·m(負(fù)彎矩)（5）求4-4截面的剪力和彎矩∑Fy=0 FQ4－FBy=0

FQ4=FBy=25kN(正剪力)∑M4=0 M4＋

FBy×a=0

M4=－FBy×a=－25×1.5=－37.5kN·m(負(fù)彎矩)總結(jié)與提示截面法是求內(nèi)力的基本方法。

(1)用截面法求梁的內(nèi)力時(shí)，可取截面任一側(cè)研究，但為了簡(jiǎn)化計(jì)算，通常取外力比較少的一側(cè)來(lái)研究。

(2)作所取隔離體的受力圖時(shí)，在切開(kāi)的截面上，未知的剪力和彎矩通常均按正方向假定。

(3)在列梁段的靜力平衡方程時(shí)，要把剪力、彎矩當(dāng)作隔離體上的外力來(lái)看待，因此，平衡方程中剪力、彎矩的正負(fù)號(hào)應(yīng)按靜力計(jì)算的習(xí)慣而定，不要與剪力、彎矩本身的正、負(fù)號(hào)相混淆。(4)直接用外力計(jì)算截面上的剪力和彎矩

1)求剪力的規(guī)律梁內(nèi)任一截面上的剪力FQ，在數(shù)值上等于該截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）所有外力在平行于剪力方向投影的代數(shù)和。

FQ=∑FL

或FQ=∑FR

對(duì)外力取正、負(fù)號(hào)的方法是：取左段梁研究時(shí)，作用在該段梁上所有向上的外力會(huì)在截面上產(chǎn)生正剪力，而所有向下的外力會(huì)在截面上產(chǎn)生負(fù)剪力；取右段梁研究時(shí)，作用在該段梁上所有向下的外力會(huì)在截面上產(chǎn)生正剪力，而所有向上的外力會(huì)在該截面上產(chǎn)生負(fù)剪力，即：左上右下正，反之負(fù)。作用在梁上的力偶對(duì)剪力沒(méi)有影響。

2)求彎矩的規(guī)律梁內(nèi)任一截面上的彎矩M，等于該截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）所有外力對(duì)該截面形心的力矩的代數(shù)和。

M=∑MC（FL）或M=∑MC（FR）對(duì)外力矩取正、負(fù)號(hào)的方法是：取左段梁研究時(shí)，作用在該梁段上的外力（包括外力偶）對(duì)截面形心的力矩為順時(shí)針時(shí)，在截面上產(chǎn)生正彎矩，為逆時(shí)針時(shí)在截面上產(chǎn)生負(fù)彎矩；取右段梁研究時(shí)，作用在該梁段上的外力（包括外力偶）對(duì)截面形心的力矩為逆時(shí)針時(shí)，在截面上產(chǎn)生正彎矩，為順時(shí)針時(shí)在截面上產(chǎn)生負(fù)彎矩。即：左順右逆正，反之負(fù)。

例7-3直接用規(guī)律求簡(jiǎn)支梁指定截面上的剪力和彎矩。解（1）求支座反力∑MB=0FAy×4－8＋2×2×1=0FAy=1kN(↓)∑MA=0 FBy×4－8－2×2×3=0FB

y=5kN(↑)2m2m221133ABM=8kN·mq=2kN/m1mFAyFBy

(2)求1-1截面上的剪力和彎矩取1-1截面的左側(cè)研究2m2m221133ABM=8kN·mq=2kN/m1mFQ1=－FAy=－1kNM1=8kN·m

(3)求2-2截面上的剪力和彎矩。

FQ2=q×2－FBy=2×2－5=－1kN

M2=－q×2×1＋FBy×2=－2×2×1＋5×2=6kN·m(4)求3-3截面上的剪力和彎矩。

FQ3=q×1－FBy=2×1－5=－3kN

M3=－q×1×0.5＋FBy×1=－2×1×0.5＋5×1=4kN·mFAyFBy

例7-4直接用規(guī)律求外伸梁指定截面上的剪力和彎矩。解（1）求支座反力∑MB=0FAy×4－FP×6－q×6×1＋M=0FAy=4.5KN(↑)∑MA=0FBy×4＋FP×2－q×6×3－M=0FBy=4.5KN(↑)檢驗(yàn)：∑Fy=－FP＋FAy－q×6＋FBy=－3＋4.5－1×6＋4.5=0說(shuō)明支座反力計(jì)算正確。M=

6kN·m2211A33Bq=1kN/m1m2m1m2m1m1mFP=3kN44FByFAy(2)求1-1、2-2截面上的剪力和彎矩。

1-1截面：

FQ1=－FP=－3kN

M1=－FP×1=－3×1=－3kN·m2-2截面：FQ2=－FP＋FAy－q×1=－3＋4.5－1×1=0.5kN

M2=－FP×3＋FAy×1－q×1×0.5=－3×3＋4.5×1－1×1×0.5=－5kN·mM=

6kN·m2211A33Bq=1kN/m1m2m1m2m1m1mFP=3kN44FByFAy(3)求3-3、4-4截面上的剪力和彎矩。3-3截面：FQ3=q×3－FBy=1×3－4.5=－1.5kN

M3=－M－q×3×1.5＋FBy×1=－6－1×3×1.5＋4.5×1=－6kN·m4-4截面：FQ4=0

M4=－M=－6kN·mM=

6kN·m2211A33Bq=1kN/m1m2m1m2m1m1mFP=3kN44FByFAy

通常情況下，梁上不同截面上的剪力和彎矩值是不同的，即梁的內(nèi)力（剪力和彎矩）隨梁橫截面的位置而變化。對(duì)梁進(jìn)行強(qiáng)度和剛度計(jì)算時(shí)，除了要計(jì)算指定截面上的內(nèi)力外，還必須知道內(nèi)力沿梁軸線的變化規(guī)律，從而找到內(nèi)力的最大值以及最大內(nèi)力值所在的位置。梁的內(nèi)力圖44.1剪力方程和彎矩方程梁橫截面上的剪力和彎矩一般是隨橫截面的位置而變化的。若橫截面沿梁軸線的位置用橫坐標(biāo)x表示，則梁內(nèi)各橫截面上的剪力和彎矩就都可以表示為坐標(biāo)x的函數(shù)，即

FQ=FQ（x）和M=M（x）以上兩函數(shù)分別稱為梁的剪力方程和彎矩方程。

通過(guò)梁的剪力方程和彎矩方程，可以找到剪力和彎矩沿梁軸線的變化規(guī)律。4.2剪力圖和彎矩圖為了形象地表明沿梁軸線各橫截面上剪力和彎矩的變化情況，通常將剪力和彎矩在全梁范圍內(nèi)變化的規(guī)律用圖形來(lái)表示，這種圖形稱為剪力圖和彎矩圖。作剪力圖和彎矩圖最基本的方法是：根據(jù)剪力方程和彎矩方程分別繪出剪力圖和彎矩圖。

繪圖時(shí)，以平行于梁軸線的橫坐標(biāo)x表示梁橫截面的位置，以垂直于x軸的縱坐標(biāo)（按適當(dāng)?shù)谋壤┍硎鞠鄳?yīng)橫截面上的剪力或彎矩。lFPABxFPFPlFQ圖M圖

例7-5作圖8示懸臂梁在集中力作用下的剪力圖和彎矩圖。解(1)列剪力方程和彎矩方程將坐標(biāo)原點(diǎn)假定在左端點(diǎn)A處，并取距A端為x的1-1截面的左側(cè)研究。剪力方程為：

FQ

=－FP(0＜x＜l)

彎矩方程為：

M=－FPx(0≤x＜l)(2)作剪力圖和彎矩圖當(dāng)x=0時(shí)MA=0當(dāng)x=l時(shí)MB=－FPl

FByFAyFPlABCab

例7-6作圖示簡(jiǎn)支梁在集中力作用下的剪力圖和彎矩圖。

∑MB=0 －FAy

l＋FP

b=0FAy=(↑)∑MA=0 －FPa＋FByl=0FBy=(↑)解（1）求支座反力（2）列剪力方程和彎矩方程x1x2FByFAyABCabFPlAC段：距A端為x1的任意截面1-1以左研究CB段：距B端為x2的任意截面2-2以右研究FQ圖M圖x1x2FByFAyABCabFPl在梁上無(wú)荷載作用的區(qū)段，其剪力圖都是水平線，在集中力作用處，剪力圖突變，突變的絕對(duì)值等于集中力的數(shù)值，而彎矩圖是斜直線，在集中力作用處，彎矩圖發(fā)生轉(zhuǎn)折，出現(xiàn)尖角現(xiàn)象。FByFAy

例7-7作圖示簡(jiǎn)支梁在集中力偶作用下的剪力圖和彎矩圖。

解（1）求支座反力（2）列剪力方程和彎矩方程FBy＝M/lFAy＝-

M/llABCabMAC段：距A端為x1的任意截面1-1以左研究CB段：距B端為x2的任意截面2-2以右研究x1x2lABCabFBy＝M/lFAy＝-

M/lFQ圖M圖

在集中力偶作用處，剪力圖無(wú)變化；彎矩圖不連續(xù)，發(fā)生突變，突變的絕對(duì)值等于集中力偶的力偶矩?cái)?shù)值。

x1x2lABCabFBy＝M/lFAy＝-

M/lFByFAy

例7-8作圖示簡(jiǎn)支梁在滿跨向下均布荷載作用下的剪力圖和彎矩圖。

(↑)解（1）求支座反力lABq(↑)距A端為x的任意截面C以左研究xABClq（2）列剪力方程和彎矩方程

在水平梁上有向下均布荷載作用的區(qū)段，剪力圖為從左向右的下斜直線，彎矩圖為開(kāi)口向上（下凸）的二次拋物線；在剪力為零的截面處，彎矩存在極值。由彎矩方程可知：彎矩為x的二次函數(shù)，彎矩圖為一條二次拋物線，至少需要確定三個(gè)控制截面的數(shù)值。當(dāng)x＝０時(shí) MA=0當(dāng)x＝l時(shí) MB=0當(dāng)x＝l/2時(shí)MC

=ABlqFQ圖M圖一、M(x)、FQ(x)、q(x)之間的微分關(guān)系對(duì)dx

段進(jìn)行平衡分析，有：4.3彎矩、剪力和荷載集度之間的微分關(guān)系及其應(yīng)用dxxq(x)q(x)M(x)+dM(x)FQ(x)+dFQ(x)FQ(x)M(x)dxCy剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處荷載集度的大小。∑Fy=0FQ(x)+q(x)dx?[FQ(x)+dFQ(x)]=0彎矩圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處剪力的大小。彎矩與荷載集度的關(guān)系是：q(x)M(x)+dM(x)FQ(x)+dFQ(x)FQ(x)M(x)dxyC

二、用M(x)、FQ(x)、q(x)三者之間的微分關(guān)系說(shuō)明內(nèi)力圖的特點(diǎn)和規(guī)律q>0FQ=0截面三、應(yīng)用規(guī)律繪制梁的剪力圖和彎矩圖用規(guī)律作剪力圖和彎矩圖的步驟

(1)求支座反力。對(duì)于懸臂梁由于其一端為自由端，所以可以不求支座反力。

(2)將梁進(jìn)行分段梁的端截面、集中力、集中力偶的作用截面、分布荷載的起止截面都是梁分段時(shí)的界線截面。

(3)由各梁段上的荷載情況，根據(jù)規(guī)律確定其對(duì)應(yīng)的剪力圖和彎矩圖的形狀。

(4)確定控制截面，求控制截面的剪力值、彎矩值，并作圖。

控制截面是指對(duì)內(nèi)力圖形能起控制作用的截面。當(dāng)圖形為平行直線時(shí)，只要確定一個(gè)截面的內(nèi)力數(shù)值就能作出圖來(lái)，此時(shí)找到一個(gè)控制截面就行了；當(dāng)圖形為斜直線時(shí)就需要確定兩個(gè)截面的內(nèi)力數(shù)值才能作出圖來(lái)，此時(shí)要找到兩個(gè)控制截面；當(dāng)圖形為拋物線時(shí)就需要至少