對坐標(biāo)的曲線積分的概念二對坐標(biāo)的曲線積分的計算法三兩類曲線-

本節(jié)要點一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念二、對坐標(biāo)的曲線積分的計算法三、兩類曲線積分的聯(lián)系

在第一節(jié)中,討論的是對弧長的曲線積分,這是一種1.有向曲線一、第二類曲線積分的概念無方向的曲線積分.例如曲線的弧長、轉(zhuǎn)動慣量等等,均與方向無關(guān).在這一節(jié)中,我們討論與“方向”有關(guān)的曲線積分.

例如對單位圓

給定一條曲線,如果規(guī)定了其中的一個走向作為曲線的“方向”,則此曲線稱為有向曲線.若規(guī)定其方向為逆時針方向（即當(dāng)參數(shù)由變?yōu)闀r曲線上動點的移動方向）,則就成為一條有向曲線.

對非封閉曲線弧如果規(guī)定它的兩個端點中的一個（記作）為起點,另一個（記作）為終點,此時有

為向曲線量的方向與曲線的方向一致（見下圖）.

對有向曲線曲線規(guī)定上任一點處的切向故,單位切向量為例8.7設(shè)有向曲線求任意一點處的單位位切向量.解按以上對有向曲線切向量的方向的規(guī)定,從圖上可以看出,此曲線在任意點處的切向量為2.變力沿曲線的作功問題

設(shè)一質(zhì)點從點沿光滑的平面曲線移動到點在移

分析若力是常力,曲線為直線,則功為動過程中,質(zhì)點受到力的作用,其中為上的連續(xù)函數(shù),求變力所做的功.由于光滑且很短,可以用

若是變力,且質(zhì)點沿曲線移動,我們用定積分的方法來解決.

在曲線上自至取分點有向線段來近似代替.其中將曲線弧分成個小弧段.設(shè)分點為是向量在軸上的投影,是向量在軸上的投影.因函數(shù)連續(xù),故在上,可以用任一點處的力來近似代替,即在上有于是變力沿有向小弧段所做的功近似于常力沿有向線段所做的功,即所以將所有小弧段長度的最大者記為并令所得上述和式的極限即為變力沿有向曲線所做的功.

這種和式的極限在研究其它問題時也會經(jīng)常遇到.我們引入下述定義.3.第二類曲線積分的定義有向曲線弧,函數(shù)定義8.2設(shè)是平面上從點到點的一條光滑的在上有界,沿的方向依次取分點把分成個有向弧段設(shè)并記為所有小弧段長度的最大者,在上任取一點如果極限類似地,如果極限存在,則稱此極限為函數(shù)在有向線段上對坐標(biāo)的積分,記為存在,則稱此極限為函數(shù)在有向線段上對坐標(biāo)的積分,記為及即（8.5）（）其中稱為被積函數(shù),及稱為被積表達(dá)式,稱為（有向）積分弧,稱為有向弧的投影元素.

在應(yīng)用中經(jīng)常出現(xiàn)這種合并起來的形式.為簡單起見,記為由此,變力沿曲線做的功可寫成（8.6）

如果曲線是分段光滑的,則規(guī)定函數(shù)在上對坐標(biāo)的曲線積分等于在光滑的各弧段上對坐標(biāo)的曲線積分的和.

當(dāng)連續(xù)時,對坐標(biāo)的曲線積分和總存在（以下總假定在上連續(xù)）.5.積分性質(zhì)⑴若則即:改變曲線方向則積分變號.⑵若是

的反向曲線,則

因此,關(guān)于坐標(biāo)的曲線積分,一定要注意積分弧段的方向.二、第二類曲線積分的計算方法

第二類曲線積分可通過下面的轉(zhuǎn)換方法轉(zhuǎn)換成定積分

若平面定向曲線的方程為加以計算.函數(shù)在上連續(xù),當(dāng)參數(shù)單調(diào)地由變到時,點從的起點沿移動到的終點則有（8.7）

下面來推導(dǎo)該公式.

因在上連續(xù),故所給的曲線積分一定存在.在上取取一列點它們對應(yīng)一列單調(diào)變化的參數(shù)值

由對坐標(biāo)曲線積分的定義,有再由微分中值定理,有其中在與之間,取并注意到當(dāng)時,有由曲線積分的存在性得而上式右端即為定積分即有同理有兩式相加即為（8.7）

值得注意的是,在（8.7）式右端的定積分中,下限對應(yīng)于的起點,對應(yīng)于的終點.未必小于特殊地,若平面曲線由方程給出時,其中由變到則例8.7計算解1積分曲線如圖.其中為拋物線從點到點的一段弧.將所給曲線積分化為對的積分,為此將曲線分為和兩部分.其中從變到;從變到.因此解2將所給曲線積分化為對的積分.由于從變到,所以例8.8求解因12的直線段.為從到從到故例8.8計算其中為⑴半徑為圓心在原點,按逆時針方向繞行的上半圓周;⑵從點到點的直線段.解積分曲線如圖.⑴取的參數(shù)方程為從變到則⑵此時為有向線段從變到所以例8.9設(shè)有一質(zhì)量為的質(zhì)點受重力作用在鉛直平面上沿某一曲線弧從點移到點求重力做的功.解取水平直線為軸,軸鉛直向上（見下圖）.力為常力重力在兩坐標(biāo)軸上的投影分別為因此質(zhì)點從點移動到點時,重力所做的功為則重

上式表明,重力做的功與質(zhì)點的路徑無關(guān),僅取決于下降的高度.

對于定義在空間的有向曲線上的三元函數(shù),可以類似定義下列三個對坐標(biāo)的曲線積分:而且公式（8.7）可以做如下推廣.

若由參數(shù)方程確定,則有從變到（）其中對應(yīng)曲線的起點,對應(yīng)曲線終點.例8.10求其中為從解線段的參數(shù)方程為的有向線段.到其中從變到相應(yīng)的積分為例8.11由確定一力場,質(zhì)點沿柱面與平面的交線從解由第二類曲線積分的物理意義,得場力所作的功移動到點求場力作的功.而在曲線

上,有為`三、兩類曲線積分的聯(lián)系

設(shè)有向光滑曲線上任一點處的單位切向量的指向與有向曲線的方向一致,則（8.9）

我們借助變力做功問題來導(dǎo)出（8.9）.

設(shè)質(zhì)點在變力的作用下,沿曲線從點移到點則力所做的功為

現(xiàn)利用對弧長的曲線積分來來計算此功

設(shè)上自到依次排列的分點把分成個小弧段,取出其中一個代表性的小弧段并記作（見下圖）.其中的坐標(biāo)為該點處的切向量為的長度為我們用點處的有向切線段來近似代替有向小弧段當(dāng)質(zhì)從移到時,變力所做的功近似等于對上式右端積分,即