九年級(jí)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)圓時(shí)與圓有關(guān)的概念及性質(zhì)

第一部分·第六章圓第26課時(shí)與圓有關(guān)的概念及性質(zhì)考點(diǎn)一與圓有關(guān)的概念1.圓的性質(zhì):圓是

軸對(duì)稱

圖形,任意一條

直徑

所在直線都是它的對(duì)稱軸;圓又是

中心對(duì)稱

圖形,它的對(duì)稱中心是

圓心

.

2.確定圓的條件:不在同一條直線上的

三個(gè)

點(diǎn)確定一個(gè)圓.

3.圓心角:頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.4.弦:連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦,經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.5.弧:圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧,直徑兩端點(diǎn)之間的弧叫做半圓,大于半圓的弧叫做優(yōu)弧,小于半圓的弧叫做劣弧.弧的度數(shù)等于它所對(duì)的圓心角的度數(shù).半圓所對(duì)的圓心角等于

180.

6.弦心距*:圓心到弦的垂線段的長(zhǎng)度叫做這條弦的弦心距.在同圓或等圓中,如果弦相等,那么弦心距也

相等

;弦越大,弦心距越

小

;直徑的弦心距等于

0

.

考點(diǎn)一與圓有關(guān)的概念7.圓心角、弧、弦和弦心距的關(guān)系(1)定理:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的

弧

相等,所對(duì)的

弦

也相等.

(2)推論:①在同圓或等圓中,如果兩條弧相等,那么它們所對(duì)的圓心角

相等

,所對(duì)的弦

相等

;

②在同圓或等圓中,如果兩條弦相等,那么它們所對(duì)的圓心角

相等

,所對(duì)的優(yōu)弧和劣弧分別

相等

.

考點(diǎn)點(diǎn)撥在同圓或等圓中,兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦的弦心距,如果其中有一組量相等,那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也分別相等.考點(diǎn)二垂徑定理及其推論1.垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦,且平分弦所對(duì)的

兩條弧

.

2.推論:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.考點(diǎn)點(diǎn)撥如果一條直線滿足如下五個(gè)結(jié)論中的任意兩個(gè),那么其他三個(gè)結(jié)論一定成立:①經(jīng)過圓心;②垂直于弦;③平分弦(被平分的弦不能是直徑);④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧;⑤平分弦所對(duì)的劣弧.例如:(i)弦的垂直平分線經(jīng)過

圓心

,并且平分弦所對(duì)的

兩條弧

;

(ii)平分弦所對(duì)的一條弧的直徑

垂直于

弦,并且平分弦所對(duì)的

另一條弧

.

考點(diǎn)三圓周角定理及其推論考點(diǎn)點(diǎn)撥1.圓周角定義:頂點(diǎn)在

圓上

,兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.常見圖形:2.圓周角定理:一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的

一半

.

推論:(1)同弧(或等弧)所對(duì)的圓周角

相等

.

(2)半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是

直角

;90°的圓周角所對(duì)的弦是

直徑

,所對(duì)的弧是

半圓

.

在同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧相等.考點(diǎn)四與圓有關(guān)的多邊形1.圓內(nèi)接多邊形:如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上,這個(gè)多邊形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接多邊形,這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓.2.圓內(nèi)接四邊形性質(zhì):圓內(nèi)接四邊形對(duì)角

互補(bǔ)

,每個(gè)外角等于與它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角,簡(jiǎn)稱:外角等于它的內(nèi)對(duì)角.

命題點(diǎn)一垂徑定理及其運(yùn)用——命題角度1求弦長(zhǎng)典例1(2016莆田,15改編)如圖,CD為☉O的弦,直徑AB為4,AB⊥CD于點(diǎn)E,∠A=30°,則CD的長(zhǎng)為

.

思路

解題方法圓中“鐵三角”在圓中,弦的一半、過該弦端點(diǎn)的半徑和圓心到該弦的垂線段可謂是圓中的“鐵三角”,它們構(gòu)成了以半徑為斜邊的直角三角形,這種密切的關(guān)系是解決圓中有關(guān)弦、弦心距和半徑的計(jì)算問題的關(guān)鍵.

命題點(diǎn)一垂徑定理及其運(yùn)用——命題角度2求半徑典例2(2017湖南長(zhǎng)沙,15)如圖,AB為☉O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)E,已知CD=6,EB=1,則☉O的半徑為

.

思路連接OC,得直角三角形OCE.設(shè)☉O的半徑為r,則OE=r-1.根據(jù)垂徑定理,得CE=3,由勾股定理,可得關(guān)于r的方程,解之即可.解題方法巧用方程思想進(jìn)行圓中有關(guān)弦、弦心距和半徑的計(jì)算時(shí),如果這三者的大小相互制約,除了需要運(yùn)用垂徑定理和勾股定理外,還應(yīng)注意方程思想的運(yùn)用,通過設(shè)元,再由勾股定理列方程解之.5變式訓(xùn)練1命題點(diǎn)一垂徑定理及其運(yùn)用——命題角度2求半徑典例2(2017新疆建設(shè)兵團(tuán),9)如圖,☉O的半徑OD垂直于弦AB,垂足為點(diǎn)C,連接AO并延長(zhǎng)交☉O于點(diǎn)E,連接BE,CE.若AB=8,CD=2,則△BCE的面積為解析

變式訓(xùn)練1A.12

B.15

C.16

D.18(2017湖北黃岡,6)已知,如圖,在☉O中,OA⊥BC,∠AOB=70°,則∠ADC的度數(shù)為A.30° B.35°C.45° D.70°命題點(diǎn)二圓周角定理及其推論——命題角度1運(yùn)用圓周角與圓心角關(guān)系求角的度數(shù)典例3變式訓(xùn)練2思路

解題方法找等弧求角度在圓中求角的度數(shù)時(shí),常常需要運(yùn)用圓周角定理,利用同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,且等于圓心角的一半進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換.而在求弧相等時(shí)要注意垂徑定理中“平分弧”的運(yùn)用.典例4(2017云南,14)如圖,B,C是☉A上的兩點(diǎn),AB的垂直平分線與☉A交于E,F兩點(diǎn),與線段AC交于D點(diǎn).若∠BFC=20°,則∠DBC=命題點(diǎn)二圓周角定理及其推論——命題角度1運(yùn)用圓周角與圓心角關(guān)系求角的度數(shù)典例3思路根據(jù)“同弧所對(duì)圓周角等于圓心角的一半”可知∠A=2∠BFC=40°,從而可得等腰三角形ABC的底角∠ABC=70°.又EF垂直平分AB,所以DA=DB,所以∠ABD=∠A=40°,故可求得∠DBC的度數(shù).變式訓(xùn)練2典例4A.30° B.29°

C.28° D.20°命題點(diǎn)二圓周角定理及其推論——命題角度1運(yùn)用圓周角與圓心角關(guān)系求角的度數(shù)典例3易錯(cuò)考點(diǎn)以弦換弧常致錯(cuò)由于一個(gè)圓周角所對(duì)應(yīng)的弧和弦都是唯一的,因此,在運(yùn)用同弧(或等弧)所對(duì)圓周角相等時(shí),常常以弦換弧,錯(cuò)誤地以為“同弦或等弦”所對(duì)圓周角相等.注意一條弦所對(duì)的圓周角有相等或互補(bǔ)兩種情形.變式訓(xùn)練2典例4

命題點(diǎn)二圓周角定理及其推論——命題角度1運(yùn)用圓周角與圓心角關(guān)系求角的度數(shù)典例3解析

變式訓(xùn)練2典例4A.92° B.108° C.112° D.124°(2017福建,8)如圖,AB是☉O的直徑,C,D是☉O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn),下列四個(gè)角中,一定與∠ACD互余的是命題點(diǎn)二圓周角定理及其推論——命題角度2運(yùn)用直徑所對(duì)圓周角是直角來求角的度數(shù)典例5思路由AB為直徑,得∠ADB=90°,從而可得圖中互余的兩角.再根據(jù)“同弧所對(duì)圓周角相等”可知與∠ACD相等的角是∠B,從而確定一定與∠ACD互余的角.變式訓(xùn)練3

A.∠ADC B.∠ABDC.∠BAC D.∠BAD命題點(diǎn)二圓周角定理及其推論——命題角度2運(yùn)用直徑所對(duì)圓周角是直角來求角的度數(shù)典例5變式訓(xùn)練3解題方法

運(yùn)用半徑、直徑、圓周角之間的關(guān)系求角的度數(shù)

在解答直徑條件下的求角問題時(shí),一般要運(yùn)用“直徑所對(duì)的圓周角是直角”,把直徑條件轉(zhuǎn)化為直角;在沒有該直徑所對(duì)的圓周角時(shí)往往要作出圓周角,或根據(jù)半圓的度數(shù)為180°直接求解.當(dāng)題目給出的是半徑條件時(shí),常常要將半徑延長(zhǎng)成直徑.命題點(diǎn)二圓周角定理及其推論——命題角度2運(yùn)用直徑所對(duì)圓周角是直角來求角的度數(shù)典例5變式訓(xùn)練3(2017山東青島,6)如圖,AB是☉O的直徑,點(diǎn)C,D,E在☉O上,若∠AED=20°,則∠BCD的度數(shù)為A.100° B.110°

C.115° D.120°解析

連接BE,則∠AEB=90°,∵∠AED=20°,∴∠BED=70°,∴∠BCD=110°.命題點(diǎn)二圓周角定理及其推論——命題角度3在直徑條件下的綜合題典例6變式訓(xùn)練4典例6

(2016廈門,26)已知AB是☉O的直徑,點(diǎn)C在☉O上,點(diǎn)D在半徑OA上(不與點(diǎn)O,A重合).(1)如圖(1),若∠COA=60°,∠CDO=70°,求∠ACD的度數(shù);(2)如圖(2),點(diǎn)E在線段OD上(不與點(diǎn)O,D重合),CD,CE的延長(zhǎng)線分別交☉O于點(diǎn)F,G,連接BF,BG,點(diǎn)P是CO的延長(zhǎng)線與BF的交點(diǎn),若CD=1,BG=2,∠OCD=∠OBG,∠CFP=∠CPF,求CG的長(zhǎng).命題點(diǎn)二圓周角定理及其推論——命題角度3在直徑條件下的綜合題典例6變式訓(xùn)練4思路(1)先求出∠CAD的度數(shù),然后根據(jù)∠ACD=∠CDO-∠CAD即可求解.(2)連接AG,延長(zhǎng)CP交BG于點(diǎn)Q,交☉O于點(diǎn)H,令CG交BF于點(diǎn)R.先證明△COD≌△BOQ(ASA),根據(jù)全等性質(zhì)可得BQ,進(jìn)而得到GQ,再證明△OQB為等腰直角三角形,從而得出CQ的長(zhǎng),最后在Rt△CGQ中根據(jù)勾股定理即可得到CG的長(zhǎng).解析(1)∵OA=OC,∠COA=60°,∴△ACO為等邊三角形,∴∠CAD=60°.又∵∠CDO=70°,∴∠ACD=∠CDO-∠CAD=10°.(2)連接AG,延長(zhǎng)CP交BG于點(diǎn)Q,交☉O于點(diǎn)H,令CG交BF于點(diǎn)R,如圖所示.在△COD和△BOQ中,∵∠OCD=∠OBQ,OC=OB,∠COD=∠BOQ,命題點(diǎn)二圓周角定理及其推論——命題角度3在直徑條件下的綜合題典例6變式訓(xùn)練4

命題點(diǎn)二圓周角定理及其推論——命題角度3在直徑條件下的綜合題典例6變式訓(xùn)練4考點(diǎn)點(diǎn)撥直徑條件下的綜合題往往具有一定的難度,考查的是同學(xué)們分析問題和解決問題的能力.在分析過程中要注意一系列定理的綜合運(yùn)用,比如垂徑定理、勾股定理、直徑所對(duì)的圓周角是直角、半徑相等、同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,同時(shí)還要注意三角形全等和相似的判定等.命題點(diǎn)二圓周角定理及其推論——命題角度3在直徑條件下的綜合題典例6變式訓(xùn)練4(2017浙江臺(tái)州,22)如圖,已知等腰直角三角形ABC,P是斜邊BC上一點(diǎn)(不與B,C重合),PE是△ABP的外接圓☉O的直徑.(1)求證:△APE是等腰直角三角形;(2)若☉O的直徑為2,求PC2+PB2的值.解析(1)證明:∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠C=∠ABC=45°,∴∠PEA=∠ABC=45°.∵PE是☉O的直徑,∴∠PAE=90°,∴∠PEA=∠APE=45°,∴△APE是等腰直角三角形.命題點(diǎn)二圓周角定理及其推論——命題角度3在直徑條件下的綜合題典例6變式訓(xùn)練4(2)∵PE為☉O的直徑,∴∠PBE=90°.∵△ABC和△APE是等腰直角三角形,∴AC=AB,AP=AE,∠