用二分法求方程的近似解147453

3.1.2.用二分法求方程的近似解2023/9/2研修班2學習目標1、理解求方程近似解的二分法的基本思想，能夠借助科學計算器用二分法求給定方程的滿足一定精確度要求的近似解．2、體驗求方程近似解的二分法的探究過程，感受方程與函數(shù)之間的聯(lián)系，初步認識算法化的形式表達．2023/9/2研修班3學習導圖歸納求函數(shù)零點的一般步驟鞏固練習作業(yè)解方程：探究函數(shù)零點的近似解求方程的近似解2023/9/2研修班4由表3-1和圖3.1—3可知f(2)<0,f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，說明由于函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù)，所以它僅有一個零點。解：用計算器或計算機作出x、f(x)的對應(yīng)值表（表3-1）和圖象（圖3.1—3）

－4－1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972123456789xf（x）.........x0－2－4－6105y241086121487643219函數(shù)在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點2023/9/2研修班5學習過程問題一、解方程：如何找出在區(qū)間內(nèi)的這個零點?1.對于簡單方程，可以通過變形、換元或套用公式求解．2.實際問題中，一般只需要求出符合一定精確度的近似解．3.將求方程近似解的問題轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)零點的近似值問題．2023/9/2研修班6問題方程近似解(或函數(shù)零點的近似值)的精確度與函數(shù)零點所在范圍的大小有何關(guān)系?1.若知道零點在(2．50，2．53)內(nèi)，我們就可以得到方程的一個精確到0．1的近似解2.50；2.若知道零點在(2．515，2．516)內(nèi)，我們就可以得到方程的一個更為精確近似解，等等．．．求方程近似解的問題(或函數(shù)零點的近似值)不斷縮小零點所在范圍(或區(qū)間)的問題2023/9/2研修班7問題如何縮小零點所在的范圍，得到一個越來越小的區(qū)間，以使零點仍在此區(qū)間內(nèi)?從上海到美國舊金山的海底電纜有15個接點，現(xiàn)在某接點發(fā)生故障，需及時修理，為了盡快斷定故障發(fā)生點，一般至少需要檢查接點的個數(shù)為

個．上海舊金山ABCDEFGHIJKLMNO為了縮小零點所在的范圍，一般可以先將區(qū)間分為兩個子區(qū)間，如果分點不是零點，則零點必在兩個中的一個內(nèi)，從而達到縮小零點所在區(qū)間的目的．2023/9/2研修班8問題將一個區(qū)間分為兩個區(qū)間，該找怎樣的分點?取中點對于一個已知的零點所在區(qū)間(a，b)，取中點，計算，根據(jù)零點所在范圍的判斷方法，如果這個函數(shù)值為0，那么中點就是函數(shù)的零點；如果不為0，通過比較中點與兩個端點函數(shù)值的正負，即可判知零點是在內(nèi)，還是在內(nèi)，從而將零點所在范圍縮小了一半．2023/9/2研修班9問題2023/9/2研修班10(a，b)中點x1f(a)f(x1

)(2,3)2.5負-0.084(2.5,3)2.75負0.512(2.5,2.75)2.625負0.215(2.5,2.625)2.5625負0.066(2.5,2.5625)2.53125負-0.009(2.53125,2.5625)2.546875負0.029(2.53125,2.546875)2.5390625負0.010(2.53125,2.5390625)2.53515625負0.001|2.5390625－2.53125|=0.0078125<0．01

f(b)正正正正正正正正精確度已達到0．012023/9/2研修班11結(jié)論1.通過這樣的方法，我們可以得到任意精確度的零點近似值．2.給定一個精確度，即要求誤差不超過某個數(shù)如0．01時，可以通過有限次不斷地重復上述縮小零點所在區(qū)間的方法步驟，而使最終所得的零點所在的小區(qū)間內(nèi)的任意一點，與零點的誤差都不超過給定的精確度，即都可以作為零點的近似值．3.本題中，如在精確度為0．01的要求下，我們可以將區(qū)間(2.53125,2.5390625)內(nèi)的任意點及端點作為此函數(shù)在區(qū)間(2，3)內(nèi)的零點近似值．4.若再將近似值保留兩為小數(shù)，那么2．53，2．54都可以作為在精確度為0．01的要求下的函數(shù)在(2，3)內(nèi)的零點的近似值．一般地，為便于計算機操作，常取區(qū)間端點作為零點的近似值，即2．531252023/9/2研修班12象這種運用縮小零點所在范圍的方法在數(shù)學和計算機科學上被稱為二分法二分法的實質(zhì)就是將函數(shù)零點所在的區(qū)間不斷地一分為二，使新得到的區(qū)間不斷變小，兩個端點逐步逼近零點．對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且的函數(shù)通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．2023/9/2研修班13概括利用二分法求函數(shù)零點的近似值的步驟1．確定區(qū)間[a，b]，驗證，給定精確度2．求區(qū)間(a，b)的中點c3．計算f(c)(1)若f(c)=0，則c就是函數(shù)的零點(2)若，則令b=0（此零點）4．判斷是否達到精確度：即若，則得到零點近似值

a(或b)；否則重復步驟2-4．(3)若，則令a=0（此時零點）2023/9/2研修班14求方程的近似解(精確到0．1)解易知：f(1)<0，f(2)>0取x=1.5，計算f(1.5)≈0.33>0取x=1.25，計算f(1.25)≈-0.87<0取x=1.375，計算f(1．375)≈-0.28<0取x=1.4375，計算f(1.4375)≈0.02>0∴原方程的近似解取為1.43752023/9/2研修班15P102)習題A組第4題借助計算器或計算機，用二分法求方程在區(qū)間(-1,0)內(nèi)的近似解(精確度0.1)解易知：f(-1)<0，f(0)>0取x=-