專題二：豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的綜合問題

專題二：豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的綜合問題【學(xué)習(xí)目標(biāo)】了解豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)．了解變速圓周的運(yùn)動(dòng)物體受到的合力產(chǎn)生的兩個(gè)效果，知道做變速圓周運(yùn)動(dòng)的物體受到的合力不指向圓心．掌握處理變速圓周運(yùn)動(dòng)正交分解的方法．學(xué)會(huì)用能量觀點(diǎn)研究豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)．【教材解讀】豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)分為勻速圓周運(yùn)動(dòng)和變速圓周運(yùn)動(dòng)兩種．常見的豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)是物體在軌道彈力（或繩、桿的彈力）與重力共同作用下運(yùn)動(dòng)，多數(shù)情況下彈力（特別是繩的拉力與軌道的彈力）方向與運(yùn)動(dòng)方向垂直對(duì)物體不做功，而重力對(duì)物體做功使物體的動(dòng)能不斷變化，因而物體做變速圓周運(yùn)動(dòng)．若物體運(yùn)動(dòng)過程中，還受其他力與重力平衡，則物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．變速圓周運(yùn)動(dòng)所受合外力產(chǎn)生兩個(gè)效果做變速圓周運(yùn)動(dòng)的物體受到的合力不指向圓心(圖6-12-1)，它產(chǎn)生兩個(gè)方向的效果．因此變速圓周運(yùn)動(dòng)的合外力不等于向心力，只是在半徑方向的分力F1提供向心力．變速圓周運(yùn)動(dòng)中的正交分解應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律解答圓周運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，常采用正交分解法，其坐標(biāo)原點(diǎn)是做圓周運(yùn)動(dòng)的物體（視為質(zhì)點(diǎn)）所在的位置，建立相互垂直的兩個(gè)坐標(biāo)軸：一個(gè)沿法線（半徑）方向，法線方向的合力F1改變速度的方向；另一個(gè)沿切線方向，切線方向的合力F2改變速度的大?。ㄏ胍幌?，圖6-12-1中物體的速度在增大還是減小？）處理豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的方法如前所述，通常情況下，由于彈力對(duì)物體不做功，只有重力（或其他力）對(duì)物體做功，因此，運(yùn)用能量觀點(diǎn)（動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律）和牛頓運(yùn)動(dòng)定律相結(jié)合是解決此類問題的有效方法．另外要注意在不同約束條件下物體能完成圓周運(yùn)動(dòng)的條件不同：在繩（或沿圓軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)）的約束下，最高點(diǎn)速度；在桿（或管）的約束下，最高點(diǎn)速度v≥0．【案例剖析】例1．如圖6-12-2所示，質(zhì)量為m的小球自半徑為R的光滑半圓形軌道最高點(diǎn)A處由靜止滑下，當(dāng)滑至最低點(diǎn)B時(shí)軌道對(duì)小球的支持力是多大？解析：小球下滑過程中軌道對(duì)小球的彈力不做功，只有重力對(duì)小球做功，所以小球的機(jī)械能守恒．例2．如圖6-12-3所示，長(zhǎng)為l的細(xì)繩一端固定在O點(diǎn)，另一端拴質(zhì)量為m的小球，在O點(diǎn)正下方距離O點(diǎn)d處有一釘子．將細(xì)繩拉成水平無(wú)初速釋放小球，為使細(xì)繩碰到釘子后小球能在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，d應(yīng)滿足什么條件？解析：為使小球能繞釘子做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，小球必須能通過圓周的最高點(diǎn)，設(shè)小球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，則小球在最高點(diǎn)的速度應(yīng)滿足：．由此可解得：R≤0.4l．所以，d滿足的條件是：0.6l≤d<l．例3．風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)室中可產(chǎn)生大小、方向可調(diào)節(jié)的風(fēng)力．用長(zhǎng)為l的細(xì)線拴一小球?qū)⑵浞湃腼L(fēng)洞實(shí)驗(yàn)室，調(diào)節(jié)風(fēng)力方向?yàn)樗较蛴遥ㄈ鐖D6-12-4所示），當(dāng)小球靜止在A點(diǎn)時(shí)，懸線與豎直方向夾角為α．試求：⑴水平風(fēng)力的大?。虎迫魧⑿∏驈呢Q直位置由靜止釋放，當(dāng)懸線與豎直方向成多大角度時(shí)，小球的速度最大？最大速度是多少？解析：⑴參照?qǐng)D6-12-5，根據(jù)平衡知識(shí)，可求得風(fēng)力大小F=mgtanα，同時(shí)還可求得風(fēng)力與重力的合力為mg/cosα．⑵當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到細(xì)線與豎直方向夾角為β時(shí)，建立如圖6-12-6所示的坐標(biāo)系：在x軸方向，當(dāng)Fcosβ>mgsinβ時(shí)，小球速度在增大；當(dāng)Fcosβ<mgsinβ時(shí)，小球速度在減?。?dāng)Fcosβ=mgsinβ時(shí)小球的速度達(dá)到最大，將第⑴問中的F代入即可解得：β=α．思考：⑴小球靜止在A點(diǎn)時(shí)，給小球多大的速度才能使它在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)？如圖6-12-7所示，小球必須能通過B點(diǎn)才能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)通過B點(diǎn)時(shí)小球的最小速度為vmin，則此時(shí)繩上拉力恰好為零．⑵若將風(fēng)力方向調(diào)節(jié)為豎直向上，并使風(fēng)力大小恰好等于小球重力，那么，在最低點(diǎn)給小球水平方向的初速度，試分析小球的運(yùn)動(dòng)情況．分析：因?yàn)楹狭?duì)小球始終不做功，故動(dòng)能不變，所以小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．【知識(shí)鏈接】飛行員在進(jìn)行特技飛行表演時(shí)，會(huì)發(fā)生黑視現(xiàn)象．當(dāng)飛行員從俯沖狀態(tài)往上拉時(shí)（圖6-12-8），血液處于超重狀態(tài)，視重增大，心臟無(wú)法象平常一樣運(yùn)輸血液，導(dǎo)致血壓降低，從而導(dǎo)致視網(wǎng)膜缺血．【目標(biāo)達(dá)成】1．如圖6-12-9所示，小球在豎直放置的光滑圓弧軌道內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)，下列關(guān)于小球加速度方向的說法中，正確的是（）一定指向圓心一定不指向圓心只有在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)指向圓心除最高點(diǎn)和最低點(diǎn)外，肯定不指向圓心解析：對(duì)小球受力分析可知，只有小球處于最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)，彈力與重力的合力才指向圓心，其他位置均不指向圓心，故選項(xiàng)C、D正確．2．上海錦江樂園新建的“摩天轉(zhuǎn)輪”是在直徑為98m的圓周上每隔一定位置固定一座艙，每座艙有6個(gè)座位．游人乘坐時(shí)，轉(zhuǎn)輪始終不停地在豎直平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，試判斷下列說法中正確的是（）每時(shí)每刻，乘客受到的合力都不為零每個(gè)乘客都在做加速度為零的勻速運(yùn)動(dòng)乘客在乘坐過程中對(duì)座位的壓力始終不變乘客在乘坐過程中的機(jī)械能始終保持不變解析：由于乘客隨座艙在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故受到合力指向圓心，選項(xiàng)A正確、B錯(cuò)誤．將加速度沿水平、豎直方向分解可知：人位于轉(zhuǎn)軸以下時(shí)，人處于超重狀態(tài)，人對(duì)座位的壓力大于人的重力；人位于轉(zhuǎn)軸以上時(shí)，人處于失重狀態(tài)，人對(duì)座位的壓力小于人的重力，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤．在運(yùn)動(dòng)過程中，人動(dòng)能始終不變，而勢(shì)能在變化，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故本題正確選項(xiàng)為A．3．如圖6-12-10所示，細(xì)線長(zhǎng)為l，一端固定在O點(diǎn)，另一端系一小球，把線拉至水平位置，然后無(wú)初速釋放小球，在達(dá)到最低點(diǎn)時(shí)小球加速度為a，線的拉力為F，則它們之間的關(guān)系為（）l越長(zhǎng)，a越大，F(xiàn)也越大l越長(zhǎng)，a越大，F(xiàn)不變l越長(zhǎng)，F(xiàn)越大，a不變a、F均不隨l的變化而變化解析：根據(jù)機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律可求得：F=3mg，a=2g，故選項(xiàng)D正確．4．如圖6-12-11所示，將完全相同的兩個(gè)小球A、B，用長(zhǎng)0.8m的細(xì)線懸于以v=4m/s向右勻速行駛的車廂頂部，兩球分別與小車前后壁接觸，由于某種原因，車廂突然停止，此時(shí)前后懸線的拉力之比為（）1：1 1：21：31：4解析：車廂停止時(shí)，前面小球也靜止，故拉力等于重力；后面小球由于慣性開始做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律可解得此時(shí)繩上拉力是其重力的3倍，故選項(xiàng)C正確．5．如圖6-12-12所示，質(zhì)量為m的小球用細(xì)繩拴住，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，已知小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)對(duì)繩的拉力為mg，則小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)對(duì)繩的拉力為（）A．3mg B．5mgC．7mg D．9mg解析：在最高點(diǎn)：，在最低點(diǎn)：由機(jī)械能守恒定律：；由此可得正確選項(xiàng)為C．6．如圖6-12-13所示，從光滑的1/4圓弧槽的最高點(diǎn)滑下的小滑塊，滑出槽口時(shí)速度方向?yàn)樗椒较?，槽口與一個(gè)半球頂點(diǎn)相切，半球底面為水平，若要使小物塊滑出槽口后不沿半球面下滑，已知圓弧軌道的半徑為R1，半球的半徑為R2，則R1和R2應(yīng)滿足的關(guān)系是（）解析：為使小物塊不沿半球面下滑，則它在球頂端的速度，由機(jī)械能守恒定律可得：，聯(lián)立解得D為正確選項(xiàng)．7．童非是我國(guó)著名的體操運(yùn)動(dòng)員，首次在單杠項(xiàng)目上實(shí)現(xiàn)了“單臂大回環(huán)”，即用一只手抓住單杠，伸展身體以單杠為軸做圓周運(yùn)動(dòng)．假設(shè)童非的質(zhì)量為65kg，那么，在完成“單臂大回環(huán)”的過程中，童非的單臂至少要能夠承受N的力（g取10m/s2）解析：設(shè)童非做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R（R為其重心離轉(zhuǎn)軸的距離），則在最高點(diǎn)，其最小速度可為0．在最低點(diǎn)：由機(jī)械能守恒定律：，由此解得F=5mg=3250N．8．如圖6-12-14所示，支架質(zhì)量為M，放在水平地面上，轉(zhuǎn)軸O處用長(zhǎng)l的細(xì)繩懸掛質(zhì)量為m的小球．⑴把小球拉起到細(xì)繩水平的位置，然后釋放小球，當(dāng)它運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)地面對(duì)支架的支持力多大？⑵若小球在豎直平面內(nèi)擺動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，支架恰對(duì)地面無(wú)壓力，則小球在最高點(diǎn)的速度是多大？解析：⑴設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)速度為v，由機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律得：所以此時(shí)地面對(duì)支架的支持力FN=Mg+F=Mg+3mg⑵運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，支架恰對(duì)地面無(wú)壓力，說明細(xì)繩上的拉力F=Mg【拓展提高】9．如圖6-12-15所示，半徑為R、內(nèi)徑很小的光滑半圓管置于豎直平面內(nèi)，兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球A、B，以不同的速度進(jìn)入管內(nèi)，A通過最高點(diǎn)C時(shí)，對(duì)管壁上部的壓力為3mg，B通過最高點(diǎn)C時(shí)，對(duì)管壁的下部壓力為0.75mg，求A、B兩球落地點(diǎn)間的距離．解析：設(shè)A、B兩球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)速度分別為vA、vB，根據(jù)牛頓第二定律，A、B兩球離開C后做平拋運(yùn)動(dòng)，落地點(diǎn)間距設(shè)為△x，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：10．如圖6-12-16所示，光滑水平面AB與豎直平面內(nèi)半圓形導(dǎo)軌在B點(diǎn)銜接，導(dǎo)軌半徑為R．一個(gè)質(zhì)量為m的物塊靜止在A處壓縮彈簧，在彈力作用下獲得向右的初速度，當(dāng)它經(jīng)過B點(diǎn)進(jìn)入導(dǎo)軌瞬間對(duì)導(dǎo)軌的壓力為其重力的7倍，之后向上運(yùn)動(dòng)恰能完成半圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)．求：⑴彈簧對(duì)物塊的彈力做的功；⑵物塊從B至C克服阻力做的功；⑶物塊離開C點(diǎn)后落回水平面時(shí)的動(dòng)能是多大？解：物塊在B點(diǎn)時(shí)受力mg和導(dǎo)軌的支持力FN=7mg，由牛頓第二定律得：物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)僅受重力mg，由牛頓第二定律得：⑴根據(jù)動(dòng)能定理，可求得彈簧彈力對(duì)物塊做功為⑵物體從B到C只有重力和阻力做功，根據(jù)動(dòng)能定理有：即物體從B到C克服阻力做功為⑶物體離開軌道后做平拋運(yùn)動(dòng)，僅有重力做功，機(jī)械能守恒．章末綜合知識(shí)網(wǎng)絡(luò)曲線運(yùn)動(dòng)曲線運(yùn)動(dòng)速度方向：運(yùn)動(dòng)性質(zhì)：