黃克智版張量分析習(xí)題解析

1.1求證：u×(v×w)=(u·w)v－(u·v)w并問：u×(v×w)與(u×v)×w是否相等？u，v，w為矢量。證明：1.2求證：(A×B)

×(C×D)=B(A·C×D)

－A(B·C×D)

=C(A·B×D)

－D(A·B×C)證明：1.3

求證矢量的非退化性。即：若矢量v與它所屬的矢量空間中的任意矢量u都正交，即：u·v=0，則矢量v=0。證明：因?yàn)閡

為任意，所以可取u1，u2，u3，使得由u·v=0得因?yàn)閐etU≠0，所以vx=vy=vz=0

是唯一零解，即：v=0。1.4已知：矢量

u，v，求證：證明：

1.5求證：a，b

線性相關(guān)。

證明：

即或故即，a，b

線性相關(guān)。1.6求證：a，b，c

線性相關(guān)。

證明：

即或a，b，c共面。三維空間中共面的三矢量線性相關(guān)。

1.7已知：矢量b=2i+j-2k，c=i+2j+3k，i，j，k為笛卡兒基；若將c分解為與b

平行的矢量及垂直于

b

的矢量a之和，即c=a+mb。求a；m(其中b·a=0)解：1.8利用證明gij

是對稱正定的。證明：

>即gij

是對稱正定的。

1.9

求證：對于一組非共面的gi，存在唯一的gj，gj也是非共面的。證明：參見：1.2.2.4由協(xié)變基矢量求逆變基矢量式（1.2.17）及式（1.2.25）。1.10已知：以i，j，k表示三維空間中笛卡坐標(biāo)基矢量，（1）按公式（1.2.17），求g1，g2，g3以i，j，k

表示的式子；（2）求grs。解：1.11根據(jù)上題結(jié)果驗(yàn)算公式：gj=gjigi解：1.12已知：u=2g1+3g2-g3，v=g1-g2+g3，基矢量同上題。運(yùn)用1.11題求得的grs計算：（1）u·v；（2）u，v

的協(xié)變分量。解：1.13已知:（1）圓柱坐標(biāo)系如圖（a），r=x1，

=x2，z=x3。（2）球坐標(biāo)系如圖（b），r=x1，

=x2，

=x3。x3'Ox2‘x1'

z

rx3'Ox2‘x1'

r

求：兩種坐標(biāo)系中：（1）gi

通過笛卡兒基

i，j，k

的表達(dá)式，畫出簡圖。（2）求gi，說明gi

和gi

的大小與方向有何關(guān)系。（3）由gi求gij，gij，。解：（1）

圓柱坐標(biāo)系：球坐標(biāo)系：x3'Ox2‘x1'

z

rg1g2g3x3'Ox2‘x1'

r

g1g2g3（2）圓柱坐標(biāo)系：球坐標(biāo)系：（3）圓柱坐標(biāo)系：球坐標(biāo)系：x3'Ox2‘x1'x3'Ox2‘x1'

r

z

rd

drdzd

d

drrdrdrr1.14斜圓錐面上坐標(biāo)系x1=

，x2=z，R，H，C

為已知（如圖）。求：g

，g

，g

（

，

=1，2）。yzHxO

rg1g2

RCz解：動點(diǎn)所在圓周的半徑為

圓心至z

軸的距離在xy平面上，該圓以

為參數(shù)的方程為于是，動點(diǎn)的矢徑為1.15二維空間為半徑為R的半球面，如圖，x1=

，x2=

。用兩種方法求g

，g

，g

，g

(

，

=1，2)。zR

g2

g1

OyR

Rx解：1.16已知：圓柱坐標(biāo)系中、球坐標(biāo)系中矢量的逆變分量vi。利用題1.13結(jié)果分別求兩個坐標(biāo)系中的協(xié)變分量vi。解：（1）圓柱坐標(biāo)系（2）球坐標(biāo)系1.17求：題1.13所示圓柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)xi，與笛卡兒坐標(biāo)xj′的轉(zhuǎn)換系數(shù)

解：圓柱坐標(biāo)系：球坐標(biāo)系：1.18（1）已知:笛卡兒坐標(biāo)系中v

的分量為v1′，v2′，v3′；求：圓柱坐標(biāo)中v

的分量v1，v2，v3。（2）已知:笛卡兒坐標(biāo)系中v

的分量為v1′，v2′，v3′；求：球坐標(biāo)中v

的分量v1，v2，v3。解：（1）（2）1.19試求線元dxk的長度dsk。解：1.20試求線元dxk與dxl的夾角

kl。解：1.27設(shè)一動點(diǎn)軌跡為xi(t)（t≥0，標(biāo)量），定義求證：vi為矢量分量。1.28由應(yīng)變

ij的定義出發(fā)，求證：

ij

是對稱二階張量的分量。式中dxi

是介質(zhì)的拉格朗日坐標(biāo)的微分。1.38在笛卡兒坐標(biāo)系中，各向同性材料的彈性關(guān)系為

（1）利用商法則證明此式必定可以表示為一個張量的代數(shù)運(yùn)算等式，寫出其實(shí)體形式，說明等式中各階張量的階數(shù)。（2）將上式表示為可運(yùn)用于任意坐標(biāo)系的張量分量形式。（3）寫出任意坐標(biāo)系中的協(xié)變分量Dijkl

用E，

及度量張量分量表達(dá)的形式，以及D

的并矢表達(dá)式。解:(1)(2)(3)1.39已知：矩陣[A]，[B]，[C]=[A][B]，a=det[A]，b=det[B]，c=det[C]。求：利用置換符號證明：c=ab。證明：或1.40已知：矩陣中某兩列的元素成比例，例如：

，k為一個實(shí)數(shù)。求：利用置換符號證明:證明：1.41質(zhì)量為m，繞定點(diǎn)O以角速度

轉(zhuǎn)動的質(zhì)點(diǎn)（如圖），其動量矩矢量的定義為L=mr×v，其中，r

為定點(diǎn)O

至質(zhì)點(diǎn)的矢徑，v

為質(zhì)點(diǎn)的線速度。求證：L=I·

，式中I為慣性矩張量，I=m[(r·r)G－rr