含絕對(duì)值的不等式和一元二次不等式第2課時(shí)

題型四：二次不等式、分式不等式的解法

由x2-6x+8＞0，得(x-2)(x-4)＞0，所以x＜2或x＞4.由，得，所以1＜x＜5.所以原不等式組的解集是(1，2)∪(4，5).1.解不等式組第1頁/共21頁點(diǎn)評(píng)：解一元二次不等式，一般先化二次項(xiàng)系數(shù)為正，然后解得其對(duì)應(yīng)的一元二次方程的兩個(gè)根，再由此寫出不等式的解集；分式不等式，一般是先通分，然后對(duì)分子分母分解因式，再根據(jù)實(shí)數(shù)乘除的符號(hào)法則化為一元二次不等式進(jìn)行求解.第2頁/共21頁解不等式原不等式可化為即，即所以其解用數(shù)軸表示如下：所以不等式的解集是(1，)∪(2，+∞).第3頁/共21頁題型五：高次不等式的解法2.解下列不等式：(1)2x3-x2-15x＞0;(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0.第4頁/共21頁(1)原不等式可化為x(2x+5)(x-3)＞0，把方程x(2x+5)(x-3)=0的三個(gè)根x1=0，x2=，x3=3順次標(biāo)在數(shù)軸上，然后從右上開始畫曲線順次經(jīng)過三個(gè)根，其解集為如圖所示的陰影部分.所以原不等式的解集為{x|＜x＜0或x＞3}.第5頁/共21頁(2)原不等式等價(jià)于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0

x+5≠0(x+4)(x-2)＞0所以原不等式的解集為{x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2}.x≠-5x＜-4或x＞2.點(diǎn)評(píng)：解高次不等式的策略是降次，降次的方法一是分解因式法，二是換元法.本題是利用分解因式，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的積的符號(hào)法則，結(jié)合數(shù)軸標(biāo)根法得出不等式的解集.第6頁/共21頁

(原創(chuàng))解不等式原不等式可化為即(x+1)(x-4)(x-2)(x+3)≤0，所以(x+1)(x-4)(x-2)(x+3)≤0且x≠-3，x≠2，用“數(shù)軸標(biāo)根法”畫草圖，所以原不等式的解集是(-3，-1］∪(2，4］.第7頁/共21頁題型六：含參數(shù)的一元二次不等式的解法3.已知不等式ax2+bx+c＞0的解集為{x|1＜x＜3}，求cx2+bx+a＜0的解集.第8頁/共21頁解法1：注意到一元二次不等式的解集與相應(yīng)二次方程的根之間的關(guān)系，可以知道ax2+bx+c=0的兩個(gè)根為1，3，即原不等式與(x-1)(x-3)＜0同解.即x2-4x+3＜0與-ax2-bx-c＜0同解，因此這樣目標(biāo)不等式cx2+bx+a＜0可變成3x2-4x+1＞0，而方程3x2-4x+1=0的根為因此所求不等式的解集為{x|x＜或x＞1}.第9頁/共21頁解法2：由ax2+bx+c＞0的解集為{x|1＜x＜3}，可知ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)根為1，3，且a＜0，根據(jù)韋達(dá)定理有因?yàn)閍＜0，不等式cx2+bx+a＜0可變成即3x2-4x+1＞0，解得或x＞1，故原不等式的解集為{x|

或x＞1}.第10頁/共21頁點(diǎn)評(píng)：一元二次不等式與一元二次方程有著千絲萬縷的關(guān)系，如一元二次不等式解集的邊界值等于其對(duì)應(yīng)的一元二次方程的兩根，而方程的根又與系數(shù)有著聯(lián)系，因此不等式的邊界值與系數(shù)也就聯(lián)系起來了.不同的是要注意一元二次不等式最高次項(xiàng)的符號(hào).第11頁/共21頁已知a<1，解關(guān)于x的不等式：(x+2)(ax-1)(x+a)>0，因?yàn)閍<1，所以，(1)當(dāng)a=0時(shí)，原不等式-x(x+2)>0-2<x<0；第12頁/共21頁(2)當(dāng)0<a<1時(shí)，原不等式(x+2)(x-)(x+a)>0，因?yàn)?2<-a<，所以-2<x<-a或x>；(3)當(dāng)a<0時(shí)，原不等式(x+2)(x-)(x+a)<0，①若時(shí)，原不等式-2<x<-a或x<；②若時(shí)，原不等式且x≠-2；第13頁/共21頁③若時(shí)，原不等式<x<-a或x<-2，綜上，當(dāng)0<a<1時(shí)，解集是{x|-2<x<-a或}；當(dāng)a=0時(shí)，解集是{x|-2<x<0}；當(dāng)時(shí)，解集是{x|-2<x<-a或}；當(dāng)時(shí)，解集是{x|且x≠-2}；當(dāng)時(shí)，解集是{x|或x<-2}.第14頁/共21頁不等式(m-2)x2+2(m-2)x-4＜0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.①若m=2，不等式可化為-4＜0，這個(gè)不等式與x無關(guān)，即對(duì)一切x∈R都成立.

參考題第15頁/共21頁②若m≠2，這是一個(gè)一元二次不等式.由于解集為R，故知拋物線y=(m-2)x2+2(m-2)x-4的開口向下，且與x軸無交點(diǎn)，必有m-2＜0Δ＜0，解得-2＜m＜2.綜上，m的取值范圍是{m|-2＜m≤2}.m-2＜04(m-2)2-4(m-2)(-4)＜0，即第16頁/共21頁1.含參數(shù)的二次不等式可從①二次項(xiàng)系數(shù)與0的大?。虎谂袆e式與0的大?。虎垡辉畏匠痰母@三個(gè)方面進(jìn)行分層討論.第17頁/共21頁2.

一元n(n≥2，n∈N)次不等式及分式不等式的求解問題也可采用標(biāo)根分區(qū)間法求解.其步驟是：(1)將多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù);(2)將多項(xiàng)式分解為若干個(gè)一次因式的積；第18頁/共21頁(3)將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線；(4)根據(jù)曲線顯現(xiàn)出的多項(xiàng)式值的符號(hào)變化規(guī)律，寫出不等式的解集.第19頁/共21頁一般地，一元n次不等式:(x-a1)(x-a2)…(x-an)＞0(x-a1)(x-a2)…(x-an)＜0其中a1＜a2＜