二項式定理課件

二項式定理課件1.3.1二項式定理1.3.1二項式定理

1.在n=1,2,3時，寫出并研究(a+b)n的展開式.(a+b)1=

,(a+b)2=

,(a+b)3=

,

a+ba2+2ab+b2a3+3a2b+3ab2+b3結(jié)合左邊的次數(shù)分析：展開式中的項數(shù)、次數(shù)(a、b各自次數(shù)）每一項的系數(shù)規(guī)律提出問題：次數(shù):各項的次數(shù)等于二項式的次數(shù)項數(shù):次數(shù)+11.在n=1,2,3時，寫出并研究(a+b)n的展開式(a+b)2＝

(a+b)(a+b)展開后其項的形式為：a2，ab，b2這三項的系數(shù)為各項在展開式中出現(xiàn)的次數(shù)?？紤]b對(a+b)2展開式的分析每個都不取b的情況有1種，即,則a2前的系數(shù)為恰有1個取b的情況有

種，則ab前的系數(shù)為恰有2個取b的情況有種，則b2前的系數(shù)為(a+b)2=a2+2ab+b2

＝a2+ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+a2b+ab2+b3(a+b)2＝(a+b)(a+b)展開后其項的形式為：2.在n=4時，猜測(a+b)的展開式.4(a+b)4＝

(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)＝？問題：1)．(a+b)4展開后各項形式分別是什么？2)．各項前的系數(shù)代表著什么？3)．你能分析說明各項前的系數(shù)嗎？a4a3ba2b2ab3b4各項前的系數(shù)代表著這些項在展開式中出現(xiàn)的次數(shù)2.在n=4時，猜測(a+b)的展開式.4(a+b)4＝3)．你能分析說明各項前的系數(shù)嗎？a4a3ba2b2ab3b4每個都不取b的情況有1種，即則a4前的系數(shù)為恰有1個取b的情況有種，則a3b前的系數(shù)為恰有2個取b的情況有種，則a2b2前的系數(shù)為恰有3個取b的情況有種，則ab3前的系數(shù)為恰有4個取b的情況有種，則b4前的系數(shù)為則(a+b)4＝a4＋a3b＋a2b2＋ab3＋b43)．你能分析說明各項前的系數(shù)嗎？a4a3ba4a3ba2b2ab3b4都不取b取一個b

取兩個b

取三個b

取四個b

項系數(shù)C40C41C42C43C44(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)4=C4a4+C4a3b+C4a2b2+C4ab3+C4b401234結(jié)果：a4a3ba2b2發(fā)現(xiàn)規(guī)律：對于(a+b)n=的展開式中an-rbr的系數(shù)是在n個括號中，恰有r個括號中取b(其余括號中取a)的組合數(shù).那么，我們能不能寫出(a+b)n的展開式？

將(a+b)n展開的結(jié)果又是怎樣呢？

歸納提高

(a+b)n=發(fā)現(xiàn)規(guī)律：對于(a+b)n=的展開式中an-rbr的系數(shù)是在一般地，對于nN*有二項式定理這個公式表示的定理叫做二項式定理，公式右邊的多項式叫做(a+b)n的

，其中（r=0,1,2,……,n）叫做

，

叫做二項展開式的通項，用Tr+1

表示，該項是指展開式的第

項，展開式共有_____個項.展開式二項式系數(shù)r+1n+1一般地，對于nN*有二項式定理2.系數(shù)規(guī)律：3.指數(shù)規(guī)律：（1）各項的次數(shù)均為n；（2）字母a按降冪排列,次數(shù)由n遞減到0字母b按升冪排列,次數(shù)由0遞增到n1.項數(shù)規(guī)律：展開式共有n+1個項二項式定理

2.系數(shù)規(guī)律：3.指數(shù)規(guī)律：（1）各項的次數(shù)均為n；1.項數(shù)二項式定理

4.二項式系數(shù)可寫成組合數(shù)的形式,組合數(shù)的下標(biāo)為二項式的次數(shù),組合數(shù)的上標(biāo)由0遞增到n5.展開式中的第r+1項，即通項Tr+1=__________；6.二項式系數(shù)為______；項的系數(shù)為

二項式系數(shù)與數(shù)字系數(shù)的積二項式定理4.二項式系數(shù)可寫成組合數(shù)的形式,組合數(shù)的下標(biāo)為課堂練習(xí)課堂練習(xí)解:（1）例1.

用二項式定理展開下列各式：解:（1）例1.用二項式定理展開下列各式：例2、求（x+a)12的展開式中的倒數(shù)第4項解:解:第四項系數(shù)為280.例2、求（x+a)12的展開式中的倒數(shù)第4項解:解:第四項系課堂小結(jié)1.二項式定理2.二項式系數(shù)及項的系數(shù)；二項式系數(shù)與數(shù)字系數(shù)的積3.通項公式課堂小結(jié)1.二項式定理例4.求近似值（精確到0.001）（1）(1.002)6；（2）(0.997)3（3）今天星期三，再過22001天是星幾？分析：（1）(1.002)6=（1+0.002)6（2）(0.997)3=(1-0.003)3（3）22001=（7+1）667類似這樣的近似計算轉(zhuǎn)化為二項式定理求展開式，按精確度展開到一定項.例4.求近似值（精確到0.001）（1）(1.002)6課堂練習(xí)課堂練習(xí)4.(1)求的展開式常數(shù)項解:(2)求展開式的中間兩項

解:展開式共有10項,中間兩項是第5、6項。4.(1)求的展開式常數(shù)項解:(2)思考：1、化簡：1＋2Cn+4Cn＋8Cn+…+2nCn123n1-2Cn+4Cn-8Cn+…+（-2)nCn123n2、(a+2b+3c)7的展開式中a2b3c2項的系數(shù)是多少？思考：1、化簡：123n123n2、(a+2b+3c)7的例5求展開式中的有理項解:令原式的有理項為:例5求展開式中的有理項解:令原式的112x112x例7計算并求值解(1):將原式變形例7計算并求值解(1):將原式變形例7計算并求值解:(2)原式例7計算并求值解:(2)原式例8:求

的展開式中項的系數(shù).解的通項是的通項是的通項是例8:求由題意知解得所以的系數(shù)為:

注意：對于較為復(fù)雜的二項式與二項式乘積利用兩個通項之積比較方便運算由題意知解得所以的系數(shù)為:注意：例99192除以100的余數(shù)是＿＿＿＿＿由此可見，除后兩項外均能被100整除所以9192除以100的余數(shù)是81例99192除以100的余數(shù)是＿＿＿＿＿由此可見，除整除性問題，余數(shù)問題，主要根據(jù)二項式定理的特點，進(jìn)行添項或減項，湊成能整除的結(jié)構(gòu)，展開后觀察前幾項或后幾項,再分析整除性或余數(shù)。這是解此類問題的最常用技巧。余數(shù)要為正整數(shù)，整除性問題，余數(shù)問題，主要根據(jù)二項式定理的特點，進(jìn)行添項或減1、已知的展開式中x3的系數(shù)為，則常數(shù)a的值是_______2、在(1-x3)(1+x)10的展開式中x5的系數(shù)是（）A.-297B.-252C.297D.2073、(x+y+z)9中含x4y2z3的項的系數(shù)是__________課堂練習(xí)4、已知(1+)n展開式中含x-2的項的系數(shù)為12，求n.5、已知（10+xlgx）5的展開式中第4項為106，求x的值.1、已知6、若展開式中前三項系數(shù)成等差

數(shù)列，求（1）展開式中含x的一次冪的項；（2）展開式中所有x的有理項；6、若