歐拉法改進(jìn)歐拉法斐波那契法原理及流程圖

1歐拉法求微分方程方法說明歐拉(Euler)法是解常微分方程初值問題最簡單的數(shù)值方法，其詳細(xì)做法是，將區(qū)間[a，b]進(jìn)行N平分：，步長.并將式寫成等價的積分形式（）再對式右端積分用矩形公式計算，則有,在式右端取，舍去余項。則得,作為的近似值。在式右端取，舍去余項，則得作為的近似值．一般地，在式右端棄取去余項，則得作為的近似值．式為歐拉法計算公式．我們知道微分方程的解是平面上的一族積分曲線，這族曲線中過點的積分曲線就是初值問題式的解．歐拉法的幾何意義是，過點引斜率為的積分曲線的切線，此切線與直線的交點為，再過點引認(rèn)為斜率的切線與直線的交點為，依此類推，從出發(fā)，作以為斜率的切線，此切線與直線交點為．于是便獲得過點的一條折線，見圖．過的積分曲線則用此折線來取代．因此，這類方法亦稱折線法．圖例：用歐拉法求微分方程=-2x==區(qū)間為[]y'y,y(0)1,h0,1y歐拉法流程圖以下:開始讀入計算n=1x0+h=>x1y0+h*f(x0,y0)=>y1輸出x1,y1n=N結(jié)束歐拉法程序以下：clear;clc;x1=0;x2=1;h=;

n=1+nx1=>x0x0=0;y0=1;N=(x2-x1)/h;%要計算的次數(shù)x(1)=x0;y(1)=y0;forn=1:Nx(n+1)=x(n)+h;y(n+1)=y(n)+h*(y(n)-2*x(n)/y(n));endX=xY=y改良?xì)W拉法求微分方程方法說明因為歐拉法采納矩形公式計算積分產(chǎn)生較大截斷偏差．改良?xì)W拉法(又稱改良折線法)是采納梯形公式來計算式右端積分，則有（）在式右端取，舍去余項，則得將作為的近似值．在式右端再取，舍去余項，則得將作為的近似值．一般地，在式右端取，舍去余項．則得將作為的近似值．式為改良?xì)W拉法計算公式．流程圖以下：例：用改良?xì)W拉法求微分方程y'=y-2x,y(0)=1,h=0.1,[]區(qū)間為y改良?xì)W拉法程序以下：clear;clc;x1=0;x2=1;h=;x0=0;y0=1;p(1)=0;N=(x2-x1)/h;x(1)=x0;y(1)=y0;forn=1:Nx(n+1)=x(n)+h;y(n+1)=y(n)+h*(y(n)-2*x(n)/y(n));p(n+1)=y(n)+h*(y(n+1)-2*x(n)/y(n+1));y(n+1)=(y(n+1)+p(n+1))/2;endX=xY=y斐波那契法求極值方法說明斐波那契法原理近似于黃金切割法，不過搜尋區(qū)間的縮短率不再采納黃金切割數(shù)。以下圖，只需在[a,b]內(nèi)取兩點x1,x2,并計算出f(x1),f(x2),經(jīng)過比較，可將區(qū)間[a,b]縮短為[a,x2]或[x1,b]。因為新的區(qū)間內(nèi)包括一個已經(jīng)計算過函數(shù)值的點，因此再從此中取一個試點，又可將這個新區(qū)間再縮短一次，不停地重復(fù)這個過程，直至最后的區(qū)間長度縮短到知足早先給定的精準(zhǔn)度為止。圖此刻的問題是，如何選用試點，在保證相同精準(zhǔn)度的狀況下使得計算f(x)函數(shù)值的次數(shù)最少在計算函數(shù)值的次數(shù)必定的狀況下，最先區(qū)間與最后區(qū)間的長度之比可作為取點方式好壞的一個標(biāo)準(zhǔn)。計算n次函數(shù)值，如何取點使最后區(qū)間最小或許最后區(qū)間長度為1，計算n次函數(shù)值，初始區(qū)間最多為多長為此，引入Fibo