數(shù)學分析課本(華師大三)-習題及答案06

第六章微分中值定理及其應(yīng)用習題§1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性f()0：1、試討論以下函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)是否存在一點，使xsin1,0x,1f(x)〔1〕〔2〕f〔x〕=|x|，-1≤x≤1。x0,x0;2、證明：〔1〕方程x33xc0〔這里c為常數(shù)〕在區(qū)間[0，1]內(nèi)不可能有兩個不同的實根；〔2〕方程xnpxq0〔n為正整數(shù)，p、q為實數(shù)〕當n為偶數(shù)時至多有兩個實根；當n為奇數(shù)時至多有三個實根。3、證明定理6、2推論2。4、證明〔1〕假設(shè)函數(shù)f在[a，b]上可導，且fxm，那么()f〔b〕≥f〔a〕+m〔b-a〕；|()|〔2〕假設(shè)函數(shù)f在[a，b]上可導，且fxM，那么|f〔b〕-f〔a〕|≤M〔b-a〕；〔3〕對任意實數(shù)x，x，都有|sinxsinx||xx|。1121225、應(yīng)用拉格朗日中值定理證明以下不等式：ba〔1〕bbbaln，其中0<a<b；aah〔2〕arctanhh，其中h>0。1h26、確定以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：〔1〕f〔x〕=3xx2；2xlnx；〔2〕f〔x〕=2x21〔3〕f〔x〕=2xx2；〔4〕f〔x〕=。x7、應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性證明以下不等式：x3〔1〕tanxx,x(0,)；332xsinxx,x(0,)；〔2〕2x2x2xln(1x)x2(1x),x0?！?〕28、以s〔x〕記由〔a，f〔a〕〕，〔b，f〔b〕〕，〔x，f〔x〕〕三點組成的三角形面積，試對s〔x〕應(yīng)用羅爾中值定理證明拉格朗日中值定理。9、設(shè)f為[a，b]上二階可導函數(shù)，f〔a〕=f〔b〕=0，并存在一點c(a,b)使得f〔c〕>0。(a,b)，使得f()0。證明至少存在一點10、設(shè)函數(shù)f在〔a，b〕內(nèi)可導，且f單調(diào)。證明f在〔a，b〕內(nèi)連續(xù)。p(x)的r–1重11、設(shè)p〔x〕為多項式，為p〔x〕=0的r重實根。證明必定是實根。12、證明：設(shè)f為n階可導函數(shù)，假設(shè)方程f〔x〕=0有n+1個相異的實根，那么方程f(n)(x)0至少有一個實根。13、設(shè)a，b>0。證明方程x3axb=0不存在正根。tanxxx,x(0,)。14、證明：sinx215、證明：假設(shè)函數(shù)f，g在區(qū)間[a，b]上可導，且f(x)g(x),f(a)g(a)，那么在〔a，b]內(nèi)有f〔x〕>g〔x〕?！?柯西中值定理和不定式極限1、試問函數(shù)f(x)x2,g(x)x3在區(qū)間[-1，1]上能否應(yīng)用柯西中值定理得到相應(yīng)的結(jié)論，為什么？2、設(shè)函數(shù)f在[a，b]上可導。證明：存在(a,b)，使得2[f(b)f(a)](b2a2)f()。3、設(shè)函數(shù)f在點a處具有連續(xù)的二階導數(shù)。證明：limf(ah)f(ah)2f(a)f(a)。h2h0。證明存在(,)，使得4、設(shè)02coscossinsincot。5、求以下不定式極限e1〔2〕lim12sinx；cos3xx〔1〕limx0sinx；x6ln(1x)xcosx1〔4〕limtanxx；xsinx〔3〕limx0；x0limtanx61lim(xex1)；〔6〕1〔5〕secx5；xx021〔8〕；1〔7〕lim(tanx)sinx；limxxx0x11〔9〕x2)x；lim(1limsinxlnx；〔10〕x0x011lim(tanx)x12。〔12〕xlim(x0〔11〕)；xsin2x2x0證明：對充分小的h，存在,016、設(shè)函數(shù)f在點a的某個鄰域具有二階導數(shù)。，使得f(ah)f(ah)2f(a)f(ah)f(ah)。2h27、求以下不定式極限：lncos(x1)lim(2arctanx)lnx；xlimx1〔1〕；〔2〕x1sin2〔3〕limx〔4〕lim(tanx)tan2x；sinx；x4x0ln(1x)(1x)1lim(cotx1)；x0limx0〔5〕；〔6〕xxx21(1x)xelimarctanx2。limx0〔7〕；〔8〕xx8、設(shè)f〔0〕=0，f在原點的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且f(0)0。證明：limx1。fx()x09、證明定理6、6中l(wèi)imf(x)0,limg(x)0情形時的洛必達法那么。xx10、證明：f(x)x3ex2為有界函數(shù)?！?泰勒公式1、求以下函數(shù)帶佩亞諾型的麥克勞林公式：1〔1〕f〔x〕=；1x〔2〕f〔x〕=arctanx到含x5的項；〔3〕f〔x〕=tanx到含的項。x52、按例4的方法求以下極限：exsinxx(1x)1limxx2ln1xlimx0〔1〕；〔2〕；x3x11xx。limcotxx0〔3〕3、求以下函數(shù)在指定點處帶拉格朗日余項的泰勒公式：x4x25，在x=1處；〔1〕f〔x〕=31〔2〕f〔x〕=，在x=0處。1x4、估計以下近似公式的絕對誤差：sinxxx31，當|x|≤；2〔1〕6xx〔2〕1x1,x[0,1]。282105、計算：〔1〕數(shù)e準確到9；10〔2〕lg11準確到5?！?函數(shù)的極值與最大〔小〕值1、求以下函數(shù)的極值：2x1x22xx4；〔2〕f〔x〕=〔1〕f〔x〕=3；(lnx)〔3〕f〔x〕=x；〔4〕f〔x〕=arctanx1ln(1x2)。222、設(shè)1xsin2,x0,4f〔x〕=x0,x0.〔1〕證明：x=0是極小值點；〔2〕說明f的極小值點x=0處是否滿足極值的第一充分條件或第二充分條件。f(x)0(0),f(x)0(0)，那么x為f的假設(shè)函數(shù)f在點x處有03、證明：000極大〔小〕值點。4、求以下函數(shù)在給定區(qū)間上的最大最小值：x5x45x31,[1,2]；〔1〕y=5〔2〕y=2tanxtan2x,0,；2〔3〕y=xlnx,(0,)。5、設(shè)f〔x〕在區(qū)間I上連續(xù)，并且在I上僅有唯一的極值點x。證明：假設(shè)x是f00的極大〔小〕小〕值點。值點，那么x必是f〔x〕在I上的最大〔06、把長為l的線段截為兩段，問怎樣截法能使以這兩段線為邊所組成的矩形的面積最大？7、有一個無蓋的圓柱形容器，當給定體積為V時，要使容器的外表積為最小，問底的半徑與容器高的比例應(yīng)該怎樣？8、設(shè)用某儀器進行測量時，讀得n次實驗數(shù)據(jù)為aa,,a。問以怎樣的數(shù)值x表12n達所要測量的真值，才能使它與這n個數(shù)之差的平方和為最小。9、求一正數(shù)a，使它與其倒數(shù)之和最小。10、求以下函數(shù)的極值：〔1〕f〔x〕=|x(x21)|；x(x21)xx214〔2〕f〔x〕=；〔3〕f〔x〕=(x1)2(x1)3。11、設(shè)f〔x〕=alnxbx2時f在x與x是取得極大值還是極小值？x在x1,x2處都取得極值，試求a與b；并問這121212、在拋物線y22px哪一點的法線被拋物線所截之線段為最短。13、要把貨物從運河邊上A城運往與運河相為距BC=akm的B城，輪船運費的單價是元/km，火車運費的單價是元/km〔>〕，試求運河邊上的一點M，修建鐵路MB，使總運費最省?！?函數(shù)的凸性與拐點1、確定以下函數(shù)的凸性區(qū)間與拐點：2x3x236x25；〔2〕y=x1；x〔1〕y=3〔3〕y=x21x〔4〕y=ln(x21)；；1〔5〕y=1x2。1，3〕為曲線y=axbx322、問a和b為何值時，點〔的拐點？3、證明：〔1〕假設(shè)f為凸函數(shù)，為非負實數(shù)，那么〔2〕假設(shè)f，g均為凸函數(shù)，那么f+g為凸函數(shù)；〔3〕假設(shè)f為區(qū)間f為凸函數(shù)；I上凸函數(shù)，g為Jf〔I〕上凸增函數(shù)，那么g·f為I上凸函數(shù)。4、設(shè)f為區(qū)間I上嚴格凸函數(shù)。證明：假設(shè)xI為f的極小值點，那么x為f在I00上唯一的極小值點。5、應(yīng)用凸函數(shù)概念證明如下不等式：e12(eaeb)；aba，b，有2〔1〕對任意實數(shù)ab2arctanarctanarctanb。a2〔2〕對任何非負實數(shù)a，b，有6、證明：假設(shè)f，g均為區(qū)間I上凸函數(shù)，那么F〔x〕=max{f〔x〕，g〔x〕}也是I上凸函數(shù)。的充要條件是對I上任意三點xxx，恒有1〕f為區(qū)間I上凸函數(shù)1237、證明：〔1xf(x)111xf(x)0；221xf(x)33〔2〕f為嚴格凸函數(shù)的充要條件是Δ>0。8、應(yīng)用詹森不等式證明：a0(i1,2,,n)，有i〔1〕設(shè)aaan111naaa12n；12nnaa1a2na,b0(i1,2,,n)，有〔2〕設(shè)ii11abapnnnpbqq，i1i1i1iiii11其中p0,q0,1。pq§6函數(shù)圖象的討論按函數(shù)作圖步驟，作以下函數(shù)圖象：x2x6x215x20；〔2〕y=〔1〕y=3；2(1x)2〔3〕y=x–2arctanx；〔4〕y=xex；3x5x3；ex〔5〕y=5〔6〕y=；222|x|(x2)2?！?〕y=3〔7〕y=(x1)x3；總練習題limf(x)limf(x)，那么1、證明：假設(shè)f〔x〕在有限開區(qū)間〔a，b〕內(nèi)可導，且xaxb(a,b)至少存在一點f()0。，使2、證明：假設(shè)x>0，那么1，其中(x)1；1〔1〕x1x2x(x)42lim(x)1,lim(x)1〔2〕。24x0x(a,b)，f在[a，b]上連續(xù)，在〔a，b〕內(nèi)可導，且a·b>0。證明存在3、設(shè)函數(shù)使得1abf()f()。abf(a)f(b)(a,b)，使4、設(shè)f在[a，b]上三階可導，證明存在得f(b)f(a)1(ba)[f(a)f(b)]1(ba)3f()。2125、對f〔x〕=ln〔1+x〕應(yīng)用拉格朗日中值定理，試證：對x≥0有1101。ln(1x)x,,,a為n個正數(shù)，且6、設(shè)aa12n1axaxaxxf〔x〕=。12nnlim()n1〕fxaaa；證明：〔x012n〔2〕limf(x)max{a,a,,a}。n12x7、求以下極限：xexln(1x)〔1〕lim(1x2)1/ln(1x)；x1lim〔2〕；x2x0x2sin1x。limx0〔3〕sinxU(a;h)內(nèi)具有n+2階連續(xù)導數(shù)，且fn(2)(a)0，f在U(a;h)8、設(shè)h>0，函數(shù)f在內(nèi)的泰勒公式為f(n1)(ah)(n1)!f(n)(a)n!()f(ah)f(a)fahhnhn1,01。1n2limh0證明：。9、設(shè)k>0，試問k為何值時，方程arctanx–kx=0存在正實根。10、證明：對任一多項式p〔x〕，一定存在x與x，使p〔x〕在〔-∞，x〕與〔x，2121+∞〕分別嚴格單調(diào)。11、討論函數(shù)x2sin1,x0,xf(x)2x0,x0,〔1〕在x=0點是否可導？〔2〕是否存在x=0的一個鄰域，使f在該鄰域內(nèi)單調(diào)？f(a)f(b)0。證明存在一點(a,b)，使12、設(shè)函數(shù)f在[a，b]上二階可導，得4|f()|(ba)2|f(b)f(a)|。13、設(shè)函數(shù)f在[0，a]上具有二階導數(shù)，且0，a〕內(nèi)取得最大值。fxM，f在〔|()試證faMa。|f(0)||()|f(x)f(x),f(0)0。證明：在[0，+∞〕上014、設(shè)f在[0，+∞〕上可微，且f〔x〕≡0。15、設(shè)f〔x〕滿足f(x)f(x)g(x)f(x)0，其中g(shù)〔x〕為任一函數(shù)。證明：f(x)f(x)0(xx)，那么f在[x，x]上恒等于0。假設(shè)01010116、證明：定圓內(nèi)接正n邊形面積將隨n的增加而增加。充要條件是對任何x，xI，函數(shù)17、證明：f為I上凸函數(shù)的12()f(x(1)x)12為[0，1]上的凸函數(shù)。18、證明：〔1〕設(shè)f在〔a，+∞〕上limf(x),limf(x)都存在，那么假設(shè)可導，xxlimf(x)0。xlimf(x)和limf(x)都存在，那么〔2〕設(shè)f在〔a，+∞〕上n階可導，假設(shè)n()xxlimf(x)0(k1,2,,n)。k()x(,)上的(,)上有界，那么存在19、設(shè)f為二階可導函數(shù)。假設(shè)f在(,)f()0。，使習題答案§2柯西中值定理和不定式極限3115、〔1〕1；〔2〕；〔3〕1；〔4〕2；〔5〕1；〔6〕；〔7〕1；〔8〕；32e11〔9〕1；〔10〕0；〔11〕；〔12〕e3；341eee1。7、〔1〕；〔2〕0；〔3〕1；〔4〕1；〔5〕；〔6〕0；〔7〕；〔8〕222§3泰勒公式13x3(1)n(2n1)!!xn(xn)；1222!1x1、〔1〕f〔x〕=2n!2nxx315x5(x5)；1〔2〕f〔x〕=31xx3152x5(x5)。〔3〕f〔x〕=312、〔1〕311；〔3〕。3；〔2〕23、〔1〕f〔x〕=1011(x1)7(x1)2(x1)3；(1)nxn1(1x)n1〔2〕f〔x〕=1x2x3(1)n1xn01，。1255!|R(x)|161。；〔2〕2|R(x)|4、〔1〕45、〔1〕取n12,e2.718281828；〔2〕1.04139?！?函數(shù)的極值與最大〔小〕值3271、〔1〕極大值f216；〔2〕極小值f〔-1〕=-1，極大值f〔1〕=1；4〔3〕極小值f〔1〕=0，極大值f(e2)；e21ln2?！?〕極大值f〔1〕=425、〔1〕最小值f〔-1〕=-10，最大值f〔1〕=2；〔2〕最小值f1，無最大值；42〔3〕最小值fe2。el6、邊長為。27、半徑與高之比為1：1。anaa18、取xn。29、取a=1。12；10、〔1〕極小值f(0)f(1)0，極大值f333〔2〕極小值f〔-1〕=-2，極大值f〔1〕=2；1345653125〔3〕極小值f〔1〕=0，極大值f。11、a,b16,x極小值點，x極大值點。231212、(p,2p)。a13、。22§5函數(shù)的凸性與拐點1、〔1〕凹區(qū)間(,1)，凸區(qū)間,，拐點,12113；222〔2〕凹區(qū)間(,0)，凸區(qū)間0,；〔3〕凹區(qū)間(1,0)，凸區(qū)間(,1),(0,)，拐點(1,0)；(1,1)，拐點1,ln2；〔4〕凹區(qū)間(,1),(1,)，凸區(qū)間。11,1,,113,，拐點43,〔5〕凹區(qū)間，凸區(qū)間3333a,b9。32、22§6函數(shù)圖象的討論〔1〕(,5)(5,2)(2,1)(1,)x-5-210y+0———++y———0++極大值拐點極小值增凹↗f(5)80減凹↘(2,26)減凸↘f(1)28增凸↗y〔2〕(,3)(3,1)(1,0)(0,)x-3000y+—+++y————極大值0拐點增凹↗減凹增凹↘↗(0,0)增凸↗27y8漸近線x1,y1x1；2〔3〕(,1)(1,0)(0,1)(1,)x-1010+y+0———++y———0+極大值拐點極小值增凹↗f(5)12減凹↘(0,0)減凸f(1)1增凸↗y↘2漸近線y=x–π，y=x+π；〔4〕(,1)(1,2)(2,)x102y+————y——0+拐點極大值增凹↗減凹↘減凸↘122,yf(1)ee漸近線y=0；〔5〕奇函數(shù)111(1,)0,,1x01222y00————0+++y0+拐點拐點極大值減凹↘減凸↘增凸↗17y(0,0),f(1)2242〔6〕偶函數(shù)1,(0,1)212x02y0————y—0+拐點極大值減凹減凸↘11y2,f〔0〕=1↘2e漸近線y=0；〔7〕1,51(1,0)20,5252,5x055不存—在不存+在y++++0++y—0+拐點極小值極2增凹↗增凸↗大值0減凸↘增凸↗2161232,555y,3555313210135,x210x5，〔8〕設(shè)1210,21,xx1(x,0)1x021y————不存在+0y+0不存在——極大值拐點減凸↘減凹↘極小值增凹↗19123242yx,f(x)0f11(1,x)xx,2(2,)x22222y————0+++y0+拐點極小值減凹↘減凸↘增凸↗yf(2)0x,f(x)22總練習題37、〔1〕e；〔2〕；〔3〕0。2典型習題解答1、〔§1的第2〔1〕題〕方程x33xc0〔這里c為常數(shù)〕在區(qū)間[0，1]內(nèi)不可能有兩個不同的實根。()33fxxxc，設(shè)f〔x〕=0在[0，1]內(nèi)有兩個不同的實根，且x,x12證明：記xx，那么f(x)f(x)0。1212xxstf[x,x](,),..()0。即f在上連續(xù)，在內(nèi)可導，所以121(x,x)12又由于23(21)01(x,x)[0,1]〔矛盾〕。0。故12x3xc0〔這里因此方程3c為常數(shù)〕在區(qū)間[0，1]內(nèi)不可能有兩個不同的實根。balnbba2、〔§1的第5〔1〕題〕應(yīng)用拉格朗日中值定理證明不等式，其baa中0<a<b。證明：由于lnbbababalnblnaba1lnblna1〔因為abaababba0<a<b〕。x[a,b](0,)，然后利用拉格朗日中值定理便得證。故可令f〔x〕=lnx，tanxxx,x(0,)。單調(diào)性證明不等式33、〔§1的第7〔1〕題〕應(yīng)用函數(shù)的33f(x)tanxxx，那么f(x)tan2xx20,x(0,)，所以3證明：設(shè)f33在內(nèi)x(0,)時，f〔x〕>0，3(0,)嚴格遞增。又f〔x〕在x=0處連續(xù)且f〔0〕=0，故當3tanxxx,x(0,)。3即33(a,b)4、〔§2的第2題〕設(shè)函數(shù)f在[a，b]上可導。證明：存在，使得2[f(b)f(a)](b2a2)f()。證明：由于22x2[f(b)f(a)](b2a2)f()x2[f(b)f(a)]|baf(x)xx[f(b)f(a)](b2a2)f(x)x0。2F(x)x2[f(b)f(a)](b2a2)f(x)，由于f、x2在[a，