第三篇-與圓有關(guān)綜合題運算

第三篇與圓有關(guān)的綜合體運算知識回顧：1.圓的有關(guān)概念和性質(zhì)(1)圓的有關(guān)概念①圓：平面上到的距離等于的所有點組成的圖形叫做圓，其中定點為，定長為．②弧：圓上的部分叫做圓弧，簡稱弧，大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣?。巯遥哼B接圓上任意兩點的叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做．（2）圓的有關(guān)性質(zhì)①圓是圖形；其對稱軸是過圓心的直線；圓是中心對稱圖形，對稱中心為．②垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且所對的?。普摚浩椒窒遥ú皇牵┑闹睆酱怪庇谙遥⑶移椒窒宜鶎Φ幕。刍　⑾?、圓心角的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別．推論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角；直徑所對的是直角；900的圓周角所對的弦是．④三角形的內(nèi)心和外心?：確定圓的條件：．?：三角形的外心：三角形的三個頂點確定一個圓，這個圓叫做三角形的，外接圓的圓心就是三角形的交點，叫做三角形的外心．?：三角形的內(nèi)心：和三角形的三邊都相切的圓叫做三角形的，內(nèi)切圓的圓心是三角形的交點，叫做三角形的內(nèi)心2.與圓有關(guān)的角（1）圓心角：頂點在的角叫圓心角。圓心角的度數(shù)等于它所對的的度數(shù)．（2）圓周角：頂點在圓上，兩邊分別和圓的角，叫圓周角。圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的．（3）圓心角與圓周角的關(guān)系：同圓或等圓中，同弧或等弧所對的等于它所對的圓心角的一半．（4）圓內(nèi)接四邊形：頂點都在上的四邊形，叫圓內(nèi)接四邊形．圓內(nèi)接四邊形對角，它的一個外角等于內(nèi)角的對角．3．點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（1）點與圓的位置關(guān)系:有三種：.設(shè)圓的半徑為r，點到圓心的距離為d，則點在圓外d＞r．點在圓上d=r．點在圓內(nèi)d＜r．（2）直線和圓的位置關(guān)系有三種：．設(shè)圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則直線與圓相交d＜r，直線與圓相切d=r，直線與圓相離d＞r（3）切線的性質(zhì)和判定(1)切線的定義：直線和圓有公共點門直線和圓相切時，這條直線叫做圓的切線．(2)切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點的．(3)切線的判定：經(jīng)過直徑的，并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線．典型例題考點1：圓的有關(guān)性質(zhì)1.如圖，扇形OAB的圓心角為122°，C是弧AB上一點，則_____°.答案：119考點：圓內(nèi)接四邊形內(nèi)角和定理，圓周角定理。解析：由同弧所對的圓心角等于它所對的圓周角的一半，所以，與∠AOB所對同弧的圓周角度數(shù)為∠AOB＝61°，由圓內(nèi)接四邊形對角互補，得：∠ACB＝180°－61°＝119°。2.如圖，在⊙O的內(nèi)接五邊形ABCDE中，∠CAD=35°，則∠B＋∠E=°．考點：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．.分析：連接CE，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補可得∠B+∠AEC=180°，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠CED=∠CAD，然后求解即可．解答：解：如圖，連接CE，∵五邊形ABCDE是圓內(nèi)接五邊形，∴四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形，∴∠B+∠AEC=180°，∵∠CED=∠CAD=35°，∴∠B+∠E=180°+35°=215°．故答案為：215．點評：本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，同弧所對的圓周角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出圓內(nèi)接四邊形是解題的關(guān)鍵．3.如圖，在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，點C為弧BD的中點，則AC的長是．考點： 全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理．.分析： 過C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得出∠E=∠CFD=∠CFA=90°，推出=，求出∠BAC=∠DAC，BC=CD，求出CE=CF，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)求出∠D=∠CBE，證△CBE≌△CDF，推出BE=DF，證△AEC≌△AFC，推出AE=AF，設(shè)BE=DF=x，得出5=x+3+x，求出x，解直角三角形求出即可．解答： 解：過C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，則∠E=∠CFD=∠CFA=90°，∵點C為弧BD的中點，∴=，∴∠BAC=∠DAC，BC=CD，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF，∵A、B、C、D四點共圓，∴∠D=∠CBE，在△CBE和△CDF中∴△CBE≌△CDF，∴BE=DF，在△AEC和△AFC中∴△AEC≌△AFC，∴AE=AF，設(shè)BE=DF=x，∵AB=3，AD=5，∴AE=AF=x+3，∴5=x+3+x，解得：x=1，即AE=4，∴AC==，故答案為：．點評： 本題考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強，難度適中．4.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BC的延長線與AD的延長線交于點E，且DC=DE．求證：∠A=∠AEB．連接OE，交CD于點F，OE⊥CD．求證：△ABE是等邊三角形．考點：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理．.分析：（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠A+∠BCD=180°，根據(jù)鄰補角互補可得∠DCE+∠BCD=180°，進而得到∠A=∠DCE，然后利用等邊對等角可得∠DCE=∠AEB，進而可得∠A=∠AEB；（2）首先證明△DCE是等邊三角形，進而可得∠AEB=60°，再根據(jù)∠A=∠AEB，可得△ABE是等腰三角形，進而可得△ABE是等邊三角形．解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠A=∠DCE，∵DC=DE，∴∠DCE=∠AEB，∴∠A=∠AEB；（2）∵∠A=∠AEB，∴△ABE是等腰三角形，∵EO⊥CD，∴CF=DF，∴EO是CD的垂直平分線，∴ED=EC，∵DC=DE，∴DC=DE=EC，∴△DCE是等邊三角形，∴∠AEB=60°，∴△ABE是等邊三角形．點評：此題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接四邊形對角互補．考點2：與圓的位置關(guān)系1.如圖，在網(wǎng)格中（每個小正方形的邊長均為1個單位）選取9個格點（格線的交點稱為格點）．如果以A為圓心，r為半徑畫圓，選取的格點中除點A外恰好有3個在圓內(nèi)，則r的取值范圍為（） A．2＜r＜ B．＜r＜3 C．＜r＜5 D．5＜r＜ 【分析】如圖求出AD、AB、AE、AF即可解決問題． 【解答】解：如圖，∵AD=2，AE=AF=，AB=3， ∴AB＞AE＞AD， ∴＜r＜3時，以A為圓心，r為半徑畫圓，選取的格點中除點A外恰好有3個在圓內(nèi)， 故選B． 【點評】本題考查點由圓的位置關(guān)系、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確畫出圖形，理解題意，屬于中考?？碱}型．2.如圖，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，點C從A點出發(fā)，在邊AO上以2cm/s的速度向O點運動，與此同時，點D從點B出發(fā)，在邊BO上以1.5cm/s的速度向O點運動，過OC的中點E作CD的垂線EF，則當(dāng)點C運動了s時，以C點為圓心，1.5cm為半徑的圓與直線EF相切．【考點】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】當(dāng)以點C為圓心，1.5cm為半徑的圓與直線EF相切時，即CF=1.5cm，又因為∠EFC=∠O=90°，所以△EFC∽△DCO，利用對應(yīng)邊的比相等即可求出EF的長度，再利用勾股定理列出方程即可求出t的值，要注意t的取值范圍為0≤t≤4．【解答】解：當(dāng)以點C為圓心，1.5cm為半徑的圓與直線EF相切時，此時，CF=1.5，∵AC=2t，BD=t，∴OC=8﹣2t，OD=6﹣t，∵點E是OC的中點，∴CE=OC=4﹣t，∵∠EFC=∠O=90°，∠FCE=∠DCO∴△EFC∽△DCO∴=∴EF===由勾股定理可知：CE2=CF2+EF2，∴（4﹣t）2=+，解得：t=或t=，∵0≤t≤4，∴t=．故答案為：3.已知，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．以AC上一點O為圓心的⊙O與BC相切于點C，與AC相交于點D．（1）如圖1，若⊙O與AB相切于點E，求⊙O的半徑；（2）如圖2，若⊙O與AB相交，且在AB邊上截得的弦FG＝，求⊙O的半徑． ABABCODE圖1ABCODFG圖2解：（1）連接OE，因為⊙O與AB相切于點E，所以O(shè)E⊥AB設(shè)OE＝x，則CO＝x，AO＝4－x由Rt△AOE∽Rt△ABC，得∴,解得：x＝∴⊙O的半徑為（2）過點O作OH⊥AB，垂足為點H，則H為FG的中點，F(xiàn)H=FG＝連接OF，設(shè)OF＝x,則OA＝4－x由Rt△AOH∽Rt△ABC可得OH＝在Rt△OHF中，據(jù)勾股定理得：OF2＝FH2＋OH2∴x2＝()2＋()2解得x1＝，x2＝(舍去)∴⊙O的半徑為．考點3：切線的性質(zhì)和判定1．如圖1，在△ABC中，點D在邊BC上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，⊙O是△ABD的外接圓．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）當(dāng)BD是⊙O的直徑時（如圖2），求∠CAD的度數(shù)．【考點】切線的判定；圓周角定理；三角形的外接圓與外心．【分析】（1）連接AO，延長AO交⊙O于點E，則AE為⊙O的直徑，連接DE，由已知條件得出∠ABC=∠CAD，由圓周角定理得出∠ADE=90°，證出∠AED=∠ABC=∠CAD，求出EA⊥AC，即可得出結(jié)論；（2）由圓周角定理得出∠BAD=90°，由角的關(guān)系和已知條件得出∠ABC=22.5°，由（1）知：∠ABC=∠CAD，即可得出結(jié)果．【解答】（1）證明：連接AO，延長AO交⊙O于點E，則AE為⊙O的直徑，連接DE，如圖所示：∵∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，∠ADB=∠ACB+∠CAD，∴∠ABC=∠CAD，∵AE為⊙O的直徑，∴∠ADE=90°，∴∠EAD=90°﹣∠AED，∵∠AED=∠ABD，∴∠AED=∠ABC=∠CAD，∴∠EAD=90°﹣∠CAD，即∠EAD+∠CAD=90°，∴EA⊥AC，∴AC是⊙O的切線；（2）解：∵BD是⊙O的直徑，∴∠BAD=90°，∴∠ABC+∠ADB=90°，∵∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，∴4∠ABC=90°，∴∠ABC=22.5°，由（1）知：∠ABC=∠CAD，∴∠CAD=22.5°．2．如圖1，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O交邊BC于點E，過點E作⊙O的切線交AC于點D，且ED⊥AC．（1）試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）如圖2，若線段AB、DE的延長線交于點F，∠C=75°，CD=2﹣，求⊙O的半徑和BF的長．【考點】切線的性質(zhì)．【分析】（1）連接OE，根據(jù)切線性質(zhì)得OE⊥DE，與已知中的ED⊥AC得平行，由此得∠1=∠C，再根據(jù)同圓的半徑相等得∠1=∠B，可得出三角形為等腰三角形；（2）通過作輔助線構(gòu)建矩形OGDE，再設(shè)與半徑有關(guān)系的邊OG=x，通過AB=AC列等量關(guān)系式，可求得結(jié)論．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：如圖1，連接OE，∵DE是⊙O的切線，∴OE⊥DE，∵ED⊥AC，∴AC∥OE，∴∠1=∠C，∵OB=OE，∴∠1=∠B，∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形；（2）如圖2，過點O作OG⊥AC，垂足為G，則得四邊形OGDE是矩形，∵△ABC是等腰三角形，∴∠B=∠C=75°，∴∠A=180°﹣75°﹣75°=30°，設(shè)OG=x，則OA=OB=OE=2x，AG=x，∴DG=0E=2x，根據(jù)AC=AB得：4x=x+2x+2﹣，x=1，∴0E=OB=2，在直角△OEF中，∠EOF=∠A=30°，cos30=，OF==2÷=，∴BF=﹣2，⊙O的半徑為2．考點5：圓綜合1.如圖，O是△ABC內(nèi)一點，⊙O與BC相交于F、G兩點，且與AB、AC分別相切于點D、E，DE∥BC。連接DF、EG。(1)求證：AB=AC(2)已知AB=10，BC=12，求四邊形DFGE是矩形時⊙O的半徑.考點：勾股定理，三角形的相似，矩形的性質(zhì)，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。解析：（1）證明：∵⊙O與AB、AC分別相切于點D、E，∴AD＝AE．∴∠ADE＝∠AED．∵DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED．∴∠B＝∠C．∴AB＝AC．···············4分（2）解：如圖，連接AO，交DE于點M，延長AO交BC于點N，連接OE、DG．設(shè)⊙O的半徑為r．∵四邊形DFGE是矩形，∴∠DFG＝90°．∴DG是⊙O的直徑．∵⊙O與AB、AC分別相切于點D、E，∴OD⊥AB，OE⊥AC．又OD＝OE，∴AN平分∠BAC．又AB＝AC，∴AN⊥BC，BN＝BC＝6．在Rt△ABN中，AN＝＝8．∵OD⊥AB，AN⊥BC，∴∠ADO＝∠ANB＝90°．又∠OAD＝∠BAN，∴△AOD∽△ABN．．∵OD⊥AB，∴∠GDB＝∠ANB＝90°．又∠B＝∠B，∴△GBD∽△ABN．∴四邊形DFGE是矩形時⊙O的半徑為·············8分2.已知：⊙O上兩個定點A，B和兩個動點C，D，AC與BD交于點E．（1）如圖1，求證：EA?EC=EB?ED；（2）如圖2，若，AD是⊙O的直徑，求證：AD?