（新教材）【人教A版】必修一3.2.2.2（數(shù)學(xué)）

第2課時函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

類型一利用奇偶性求函數(shù)的解析式【典例】已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),x>0時,f(x)=x2-2x-3,求f(x)的解析式. 世紀金榜導(dǎo)學(xué)號【思維·引】利用奇偶性分別求出當x=0,x<0時的解析式.【解析】因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(0)=0,若x<0,則-x>0,則f(-x)=(-x)2-2(-x)-3=x2+2x-3,又由函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則f(x)=-f(-x)=-x2-2x+3,故f(x)=-x2-2x+3,所以函數(shù)f(x)=

【內(nèi)化·悟】對于奇函數(shù),怎樣處理在x=0處的解析式?提示:考查在x=0處是否有意義,如果有,則f(0)=0.【類題·通】利用函數(shù)奇偶性求解析式的方法(1)“求誰設(shè)誰”,即在哪個區(qū)間上求解析式,x就應(yīng)在哪個區(qū)間上設(shè).(2)要利用已知區(qū)間的解析式進行代入.(3)利用f(x)的奇偶性寫出-f(x)或f(-x),從而解出f(x).【習(xí)練·破】

f(x)為R上的奇函數(shù),且當x≥0時,f(x)=x(1+x3),則當x<0時,f(x)為 (

)A.x(1+x3)

B.-x(1-x3)C.x(1-x3)

D.-x(1+x3)【解析】選C.根據(jù)題意,x<0,則-x>0,則f(-x)=(-x)[1+(-x)3]=-x(1-x3),又由函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則f(x)=-f(-x)=x(1-x3).【加練·固】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x>0時,f(x)=x2-x+1.(1)求f(0)的值.(2)求f(x)在R上的解析式.【解析】(1)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),則f(-x)=-f(x),令x=0得f(-0)=-f(0),即f(0)=0.(2)當x<0時,-x>0,f(-x)=(-x)2-(-x)+1=x2+x+1,又由函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則f(x)=-f(-x)=-x2-x-1,又由f(0)=0,則f(x)=

類型二奇偶性與單調(diào)性關(guān)系的應(yīng)用角度1比較大小【典例】定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足:對任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有<0,則 (

)世紀金榜導(dǎo)學(xué)號A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(3)C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2)【思維·引】根據(jù)題意得出函數(shù)在[0,+∞)上的單調(diào)性,結(jié)合f(x)為偶函數(shù)分析f(3),f(-2)和f(1)的大小關(guān)系.【解析】選A.根據(jù)題意,函數(shù)f(x)為偶函數(shù),則f(-2)=f(2),函數(shù)f(x)滿足:對任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有<0,則函數(shù)f(x)在[0,+∞)上是單調(diào)遞減的,則f(3)<f(2)<f(1),又由f(-2)=f(2),則f(3)<f(-2)<f(1).【素養(yǎng)·探】在奇偶性與單調(diào)性關(guān)系的應(yīng)用中,常用到核心素養(yǎng)中的邏輯推理,綜合奇偶性、單調(diào)性轉(zhuǎn)化比較.將本例的條件改為x1,x2∈(-∞,0),試比較f(3),f(-2),f(1)的大小.【解析】函數(shù)f(x)滿足:對任意x1,x2∈(-∞,0)(x1≠x2),有<0,則函數(shù)f(x)在(-∞,0)上是單調(diào)遞減的,因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù),所以f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增的,則f(3)>f(2)>f(1),又由f(-2)=f(2),所以f(3)>f(-2)>f(1).角度2解不等式【典例】已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,則滿足條件f(2x+1)<f(5)的x的取值范圍是 (

)A.(-3,2)

B.(-2,3)C.(-2,2)

D.[-3,2]【思維·引】利用奇偶性得出函數(shù)在R上的單調(diào)性,再確定2x+1的范圍,從而求x的范圍.【解析】選A.因為函數(shù)f(x)為偶函數(shù)且在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增,則在(-∞,0)上是單調(diào)遞減的,f(2x+1)<f(5)?|2x+1|<5,即-5<2x+1<5,解得:-3<x<2,即x的取值范圍為(-3,2).【類題·通】1.奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系(1)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同.(2)偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反.2.奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用(1)奇函數(shù)在y軸兩側(cè)連續(xù)的區(qū)間上,由f(a),f(b)的關(guān)系,利用單調(diào)性可直接得到a,b的大小關(guān)系.(2)偶函數(shù)在y軸兩側(cè)連續(xù)的區(qū)間上,由f(a),f(b)的關(guān)系,應(yīng)考慮|a|,|b|的關(guān)系.【習(xí)練·破】已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[-2,2]上的偶函數(shù),當x∈[0,2]時,f(x)是單調(diào)遞減的,如果不等式f(1-m)<f(m)成立,則實數(shù)m的取值范圍是 (

)A.

B.[1,2]

C.(-∞,0)

D.(-∞,1)【解析】選A.根據(jù)題意,函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[-2,2]上的偶函數(shù),當x∈[0,2]時,f(x)是單調(diào)遞減的,則f(1-m)<f(m)?

解得-1≤m<,則m的取值范圍為.【加練·固】已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間(-∞,0]上單調(diào)遞增.若實數(shù)a滿足f(a)>f(),則a的取值范圍是(

)

【解析】選C.因為f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間(-∞,0]上單調(diào)遞增,所以f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,所以由f(a)>f(-),得f(|a|)>f(),即|a|<,則-<a<,所以a的取值范圍是(,).類型三奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用【典例】已知奇函數(shù)f(x)=的定義域為R,f(1)=. 世紀金榜導(dǎo)學(xué)號(1)求實數(shù)a,b的值.(2)證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞增.(3)已知0<t<1,求不等式f(t)+f(t-1)<0的解集.【思維·引】(1)利用奇函數(shù)的性質(zhì)和f(1)求值.(2)利用單調(diào)性的定義證明.(3)利用奇偶性轉(zhuǎn)化不等式,利用單調(diào)性解不等式.【解析】(1)根據(jù)題意,奇函數(shù)f(x)=的定義域為R,則有f(0)==0,則b=0,又由f(1)=,則有f(1)=,解得a=1,則a=1,b=0.(2)由(1)的結(jié)論,a=1,b=0,則f(x)=,設(shè)-1<x1<x2<1,f(x1)-f(x2)

又由-1<x1<x2<1,則x1-x2<0,1-x1x2>0,則f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),則函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞增.(3)0<t<1,則-1<t-1<0,f(t)+f(t-1)<0?f(t)<-f(t-1)=f(1-t),又由函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞增,則有t<1-t,解得t<,又由0<t<1,則t的取值范圍為.【內(nèi)化·悟】奇函數(shù)的性質(zhì)在解不等式f(t)+f(t-1)<0中的作用是什么?提示:不等式變?yōu)閒(t)<-f(t-1)后,利用-f(t-1)=f(1-t),才能使用單調(diào)性解不等式.【類題·通】奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用利用奇偶性可以求值以及式子、性質(zhì)的轉(zhuǎn)化,利用單調(diào)性主要解決不等式的轉(zhuǎn)化,在綜合性題目中要熟悉奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用技巧,熟練應(yīng)用.【習(xí)練·破】已知函數(shù)f(x)的定義域為(-2,2),函數(shù)g(x)=f(x-1)+f(3-2x).(1)求函數(shù)g(x)的定義域.(2)若f(x)為奇函數(shù),并且在定義域上是減函數(shù),求不等式g(x)≤0的解集.【解析】(1)由題意可知所以解得<x<,故函數(shù)g(x)的定義域為.(2)由g(x)≤0,得f(x-1)+f(3-2x)≤0,所以f(x-1)≤-f(3-2x).因為f(x)為奇函數(shù),所以f(x-1)≤f(2x-3).而f(x)在(-2,2)上是減函數(shù),所以解得<x≤2.所以不等式g(x)≤0的解集為【加練·固】已知函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù),當x<0時,f(x)=1+.(1)求f(2)的值.(2)用定義法判斷y=f(x)在區(qū)間(-∞,0)上的單調(diào)性.(3)求x>0時,f(x)的解析式.【解析】(1)根據(jù)題意,由函數(shù)f(x)為奇函數(shù),當x<0時,f(x)=1+,則f(2)=-f(-2)=(2)根據(jù)題意,當x<0時,f(x)=1+,在(-∞,0)上任取x1,x2,且