（新教材）【人教A版】必修一1.1.1（數(shù)學(xué)）

第一章集合與常用邏輯用語1.1集合的概念第1課時集合的含義

1.元素與集合(1)元素:把研究對象統(tǒng)稱為元素,常用小寫的拉丁字母a,b,c,…表示.(2)集合:一些元素組成的總體,簡稱集,常用大寫拉丁字母A,B,C,…表示.(3)集合相等:指構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的.(4)集合中元素的特性:確定性、互異性和無序性.【思考】(1)集合中的“研究對象”所指的就是數(shù)學(xué)中的數(shù)、點(diǎn)、代數(shù)式嗎?提示:集合中的“研究對象”所指的范圍非常廣泛,可以是數(shù)學(xué)中的數(shù)、點(diǎn)、代數(shù)式,也可以是現(xiàn)實(shí)生活中的各種各樣的事物或人等.(2)“很瘦的人”能構(gòu)成集合嗎?為什么?提示:“很瘦的人”不能構(gòu)成集合.因?yàn)樗鼪]有確定的標(biāo)準(zhǔn).如果給定一個集合A,一個研究對象a是不是這個集合中的元素就確定了.2.元素與集合的關(guān)系關(guān)系概念記法讀法屬于如果a是集合A的元素,就說a屬于集合Aa∈Aa屬于集合A不屬于如果a不是集合A中的元素,就說a不屬于集合Aa?Aa不屬于集合A【思考】(1)元素與集合之間有第三種關(guān)系嗎?提示:對于一個元素a與一個集合A而言,只有“a∈A”與“a?A”這兩種結(jié)果.(2)符號“∈”“?”的左邊可以是集合嗎?提示:∈和?具有方向性,左邊是元素,右邊是集合,所以左邊不可以是集合.3.常見的數(shù)集及表示符號數(shù)集非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號NN*或N+ZQR【思考】N與N+(或N*)有何區(qū)別?提示:N+是所有正整數(shù)組成的集合,而N是由0和所有的正整數(shù)組成的集合,所以N比N+(或N*)多一個元素0.【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)在一個集合中可以找到兩個相同的元素. (

)(2)好聽的歌能組成一個集合. (

)(3)高一(1)班所有姓氏構(gòu)成的集合. (

)(4)含有1,2,3三個元素的集合有6個. (

)提示:(1)×.集合中的元素是互不相同的.(2)×.好聽的歌是不確定的,所以好聽的歌不能組成一個集合.(3)√.高一(1)班的姓氏是確定的,所以能構(gòu)成集合.(4)×.因?yàn)榧现械脑貪M足無序性,故含有1,2,3三個元素的集合只有1個.2.已知a∈R,且a?Q,則a可以為(

)A. B. C.-2 D.-【解析】選A.是無理數(shù),所以?Q,∈R.3.已知集合A含有三個元素0,1,x-2,則實(shí)數(shù)x不能取的值是________.

【解析】根據(jù)集合中元素的互異性可知:x-2≠0且x-2≠1,所以實(shí)數(shù)x不能取的值是2,3.答案:2,3類型一元素與集合的相關(guān)概念【典例】1.以下元素的全體不能夠構(gòu)成集合的是(

)A.中國古代四大發(fā)明B.周長為10cm的三角形C.方程x2-1=0的實(shí)數(shù)解D.地球上的小河流2.集合P中含有兩個元素1和4,集合Q中含有兩個元素1和a2,若P與Q相等,則a=________. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號

【思維·引】1.若一組元素是確定的,則這組元素可以構(gòu)成集合.2.根據(jù)相等集合的元素相同,列方程求a的值.【解析】1.選D.在A中,中國古代四大發(fā)明具有確定性,能構(gòu)成集合,故A能構(gòu)成集合;在B中,周長為10cm的三角形具有確定性,能構(gòu)成集合,故B能構(gòu)成集合;在C中,方程x2-1=0的實(shí)數(shù)解為±1,能構(gòu)成集合,故C能構(gòu)成集合;在D中,地球上的小河流不確定,因此不能構(gòu)成集合,故D不能構(gòu)成集合.2.由題意,得a2=4,a=±2.答案:±2【內(nèi)化·悟】1.判斷一組對象能否組成集合的關(guān)鍵是什么.提示:判斷一組對象能否組成集合,關(guān)鍵看該組對象是否滿足確定性,如果此組對象滿足確定性,就可以組成集合;否則,不能組成集合.2.兩個相等集合的元素有什么特點(diǎn)?提示:其中一個集合的任意一個元素,在另一個集合中都可以找到相同的元素.【類題·通】1.一組對象能構(gòu)成集合的兩個條件(1)能找到一個明確的標(biāo)準(zhǔn),使得對于任何一個對象,都能確定它是不是給定集合的元素.(2)任何兩個對象都是不同的.2.集合相等的注意點(diǎn)若兩個集合相等,則這兩個集合的元素相同,但是要注意其中的元素不一定按順序?qū)?yīng)相等.【習(xí)練·破】1.下列判斷正確的個數(shù)為 (

)(1)所有的等腰三角形構(gòu)成一個集合.(2)倒數(shù)等于它自身的實(shí)數(shù)構(gòu)成一個集合.(3)質(zhì)數(shù)的全體構(gòu)成一個集合.(4)由2,3,4,3,6,2構(gòu)成含有6個元素的集合.A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選C.(1)正確.(2)正確,若=a,則a2=1,所以a=±1,能構(gòu)成集合.(3)正確,任何一個質(zhì)數(shù)都在此集合中,不是質(zhì)數(shù)的都不在.(4)不正確,集合中的元素具有互異性,構(gòu)成的集合只能含有4個元素.2.設(shè)a,b∈R,集合A中含有0,b,三個元素,集合B中含有1,a,a+b三個元素,且集合A與集合B相等,則a+2b=(

)A.1 B.0 C.-1 D.不確定【解析】選A.由題意知a+b=0,所以=-1,所以a=-1,b=1,所以a+2b=1.【加練·固】1.對于以下說法:①絕對值非常小的全體實(shí)數(shù)構(gòu)成一個集合;②長方體的全體構(gòu)成一個集合;③全體無實(shí)數(shù)根的一元二次方程構(gòu)成一個集合;④0,0.5,,組成的集合含有4個元素.其中正確的是 (

)A.①②④ B.②③ C.③④ D.②④【解析】選B.①中的元素不能確定,④中的集合含有3個元素,②③中的元素是確定的,所以②③能構(gòu)成集合.2.下列所給的對象能構(gòu)成集合的是________.

(1)2018年布宜諾斯艾利斯青奧會上中國隊(duì)獲得的金牌.(2)無限接近零的數(shù).(3)方程x2-2x-3=0的所有解.(4)平面直角坐標(biāo)系中,第一象限內(nèi)的所有點(diǎn).【解析】(1)能.因?yàn)橹袊?duì)獲得的金牌是確定的.(2)不能.因?yàn)椤盁o限接近”標(biāo)準(zhǔn)不明確,不具有確定性,不能構(gòu)成集合.(3)能.因?yàn)榉匠蘹2-2x-3=0的解為x=3或x=-1,是確定的數(shù),所以可以組成集合,集合中有兩個元素-1和3.(4)能.因?yàn)榈谝幌笙迌?nèi)的點(diǎn)是確定的點(diǎn).綜上,能構(gòu)成集合的是(1)(3)(4).答案:(1)(3)(4)類型二元素與集合的關(guān)系【典例】1.下列結(jié)論中,不正確的是 (

)A.若a∈N,則-a?N B.若a∈Z,則a2∈ZC.若a∈Q,則|a|∈Q D.若a∈R,則a3∈R2.由不超過5的實(shí)數(shù)組成集合A,a=,則(

)世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號A.a∈A B.a2∈AC.?A D.a+1?A【思維·引】1.根據(jù)常見數(shù)集的表示方法和-a,a2,|a|,a3的意義逐個判斷.2.a,a2,,a+1與5比較大小,即可確定答案.【解析】1.選A.A中a=0時,顯然不成立.2.選A.a=+<+=4<5,所以a∈A.a+1<++1=5,所以a+1∈A,a2=()2+2×+()2=5+2>5,所以a2?A,=<5,所以∈A.【內(nèi)化·悟】研究元素與集合的關(guān)系的關(guān)鍵是什么?提示:(1)明確集合是由怎樣的元素組成.(2)對于各種數(shù)集要熟練掌握.(3)構(gòu)成集合的元素特征較為隱蔽時,要注意利用相關(guān)知識進(jìn)行分析.【類題·通】判斷元素和集合關(guān)系的兩種方法(1)直接法.①使用前提:集合中的元素是直接給出的;②判斷方法:首先明確集合是由哪些元素構(gòu)成,然后再判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可.(2)推理法.①使用前提:對于某些不便直接表示的集合;②判斷方法:首先明確已知集合的元素具有什么特征,然后判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可.【習(xí)練·破】1.給出下列關(guān)系:①∈R;②?Q;③|-3|?N;④|-|∈Q;⑤0?N.其中正確的個數(shù)為 (

)A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選B.是實(shí)數(shù);是無理數(shù);|-3|=3是自然數(shù);|-|=是無理數(shù);0是自然數(shù).故①②正確,③④⑤不正確.2.已知集合A是由形如m+n(其中m,n∈Z)的數(shù)組成的,判斷是不是集合A中的元素.【解析】是.因?yàn)?2+,此時m=2,n=1,滿足集合A中數(shù)的構(gòu)成形式.所以是集合A中的元素.【加練·固】1.已知A中元素x滿足x=3k-1,k∈Z,則下列表示正確的是(

)A.-1?A

B.-11∈AC.3k2-1∈A

D.-34?A【解析】選C.k=0時,x=-1,所以-1∈A,所以A錯誤;令-11=3k-1,k=-?Z,所以-11?A,所以B錯誤;令-34=3k-1,k=-11,所以-34∈A,所以D錯誤.因?yàn)閗∈Z,所以k2∈Z,則3k2-1∈A,所以C正確.2.集合A中的元素x滿足∈N,x∈N,則集合A中的元素為________.

【解析】由∈N,x∈N知x≥0,>0,且x≠3,故0≤x<3.又x∈N,故x=0,1,2.當(dāng)x=0時,=2∈N,當(dāng)x=1時,=3∈N,當(dāng)x=2時,=6∈N.故集合A中的元素為0,1,2.答案:0,1,2類型三集合中元素的特性【典例】已知集合A含有兩個元素a-3和2a-1,(1)若-3∈A,試求實(shí)數(shù)a的值.(2)若a∈A,試求實(shí)數(shù)a的值. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號【思維·引】(1)先根據(jù)-3∈A列方程求a,然后檢驗(yàn)集合中元素的互異性.(2)先根據(jù)a∈A列方程求a,然后檢驗(yàn)集合中元素的互異性.【解析】(1)因?yàn)?3∈A,所以a-3=-3或2a-1=-3.若a-3=-3,則a=0.此時集合A含有兩個元素-3,-1,符合題意.若2a-1=-3,則a=-1.此時集合A含有兩個元素-4,-3,符合題意.綜上所述,滿足題意的實(shí)數(shù)a的值為0或-1.(2)因?yàn)閍∈A,所以a-3=a或2a-1=a.當(dāng)a-3=a時,有-3=0,不成立.當(dāng)2a-1=a時,有a=1,此時A中有兩個元素-2,1,符合題意.綜上知a=1.【素養(yǎng)·探】在與集合中元素的特性有關(guān)的問題中,經(jīng)常利用核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象,通過研究集合中元素的特性,抽象出集合中元素的一般規(guī)律,并且用數(shù)學(xué)符號予以表示.將本例的條件改為“集合A中含有三個元素x-2,2x2+5x,12,且-3∈A,”求x的值.【解析】因?yàn)?3∈A,所以x-2=-3或2x2+5x=-3,所以x=-1或x=-.當(dāng)x=-1時,x-2=-3,2x2+5x=-3,集合A不滿足元素的互異性,所以x=-1舍去.當(dāng)x=-時,經(jīng)檢驗(yàn),符合題意.所以x=-.【類題·通】根據(jù)集合中元素的特性求值的三個步驟【發(fā)散·拓】集合中元素的特性的主要作用是什么?提示:(1)確定性的主要作用是判斷一組對象能否構(gòu)成集合,只有這種對象具有確定性時才能構(gòu)成集合.(2)無序性的主要作用是與集合相等相映證.當(dāng)兩個集合相等時,其元素不一定依次對應(yīng)相等,只要元素完全一致即可.(3)互異性的主要作用是做題后進(jìn)行檢驗(yàn).特別是題中含有參數(shù)(字母),求出參數(shù)