《不等式與不等式組》知識點與練習(xí)

《不等式與不等式組》知識點與練習(xí)一、知識梳理不等式是表示大小關(guān)系的式子，含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是一次的不等式叫做一元一次不等式。不等式有三個重要性質(zhì)：加減同一個數(shù)（或式子）不改變不等式的方向，乘除同一個正數(shù)不改變不等式的方向，乘除同一個負(fù)數(shù)改變不等式的方向。解一元一次不等式的方法與解一元一次方程基本相同，只是在化系數(shù)為1時需要注意不等式性質(zhì)的運用，最后的結(jié)果是一個解集。解不等式組時，需要區(qū)分以下四種情況：大的取大的，小的取小的，大的要小，小的要大，取公共部分，大的要大，小的要小，無解。列不等式應(yīng)用題的基本方法與列一元一次方程應(yīng)用題的方法基本相同。二、要點回顧1.不等式是表示大小關(guān)系的式子，含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是一次的不等式叫做一元一次不等式。2.不等式有三個重要性質(zhì)：加減同一個數(shù)（或式子）不改變不等式的方向，乘除同一個正數(shù)不改變不等式的方向，乘除同一個負(fù)數(shù)改變不等式的方向。3.解一元一次不等式的方法與解一元一次方程基本相同，只是在化系數(shù)為1時需要注意不等式性質(zhì)的運用，最后的結(jié)果是一個解集。4.解不等式組時，需要區(qū)分以下四種情況：大的取大的，小的取小的，大的要小，小的要大，取公共部分，大的要大，小的要小，無解。5.列不等式應(yīng)用題的基本方法與列一元一次方程應(yīng)用題的方法基本相同。三、考點解密1.基本概念：例如，已知某天的最高氣溫為8℃，最低氣溫為2℃，則這天氣溫t℃的取值范圍是2≤t≤8。2.不等式的基本性質(zhì)：例如，已知a>b>0，則不等式ab>b2不一定成立。3.不等式的解法：例如，解不等式x>1/x-2，并將其解集表示在數(shù)軸上。4.一元一次不等式組的解法：例如，解不等式組{x-3+3≥x,1-3(x-1)<8-x}，并把其解集在數(shù)軸上表示出來。5.確定字母的取值范圍：例如，已知不等式組{3+2x≥1,x-a<0}無解，則a的取值范圍是a>3/2。6.確定字母系數(shù)的值：例如，已知不等式組{2x-b<5,x+2a>4}的解是x<2，則a+b的值等于-1。7.利用不等式確定一次方程組中的字母系數(shù)的范圍：例如，已知方程組{y-2x=m,2x-b<5}有唯一解，則m的取值范圍是m≥-3。例8：福林制衣廠有24名工人，每人每天可制作3件襯衫或5條褲子。要求每天制作的襯衫和褲子數(shù)量相等時，應(yīng)該安排多少人制作襯衫和褲子？已知制作一件襯衫可獲得利潤30元，制作一條褲子可獲得利潤16元。若該廠要求每天獲得利潤不少于2100元，至少需要安排多少名工人制作襯衫？解：設(shè)制作襯衫的工人數(shù)為x，制作褲子的工人數(shù)為y，則有以下不等式組：3x=5y（要求制作的襯衫和褲子數(shù)量相等）30x+16y≥2100（要求每天獲得利潤不少于2100元）解第一個不等式得：y=3x/5，代入第二個不等式得：30x+16(3x/5)≥2100化簡得：x≥18因為x和y都是整數(shù)，所以x的最小值為18，此時y的值為10。所以應(yīng)該安排18名工人制作襯衫，10名工人制作褲子。疑點剖析：解一元一次不等式需要一定的基礎(chǔ)和方法技巧，可能會出現(xiàn)各種錯誤。常見錯誤有以下幾種：1.去分母時，漏乘整式項。正確的做法是將不含分母的一項也乘進去。2.去分母時，忽視分?jǐn)?shù)線的括號作用。正確的做法是將分子視為一個整體用括號括起來。3.去括號時，忽視括號前面的負(fù)號。正確的做法是將括號里的各項都改變符號。4.移項時，不改變符號。正確的做法是移項時要改變符號。1.不等式2(x+1)>1-x的解集為x>-2/3。2.不等式x-5<0的一個整數(shù)解為x=4。3.a的值為3。4.m的取值范圍為B.m＞0＞m＞-1。5.解為-23≤x≤27，整數(shù)解為-23，-22，-21，...，27。6.不等式組的解為-1≤x<3，整數(shù)解為0，1，2。7.(1)解為x>-3/2，在數(shù)軸上表示為從-3/2向右的實心箭頭。(2)解為x≤-3或x≥2/5，在數(shù)軸上表示為兩個不相交的實心箭頭。為了保護環(huán)境，某企業(yè)計劃購買10臺污水處理設(shè)備，其中A、B兩種型號的設(shè)備價格、月處理污水量和年消耗如下表：|設(shè)備型號|價格（萬元/臺）|月處理污水量（噸/月）|年消耗費（萬元/臺）||--------|--------------|-------------------|------------------||A型|12|240|1||B型|10|200|1|企業(yè)預(yù)算購買設(shè)備的資金不高于105萬元?，F(xiàn)在有以下問題：1.該企業(yè)有幾種購買方案？2.若該企業(yè)每月生產(chǎn)的污水量為2040噸，為了節(jié)約資金，應(yīng)選擇哪種購買方案？3.在第2問的條件下，若每臺設(shè)備的使用年限為10年，污水廠處理費為10元/噸，該企業(yè)自己處理污水與將污水排到污水廠處理相比，10年節(jié)約資金多少萬元？解答：1.該企業(yè)有兩種購買方案，分別是購買10臺A型設(shè)備和購買5臺B型設(shè)備加5臺A型設(shè)備。2.對于處理2040噸污水，購買5臺B型設(shè)備加5臺A型設(shè)備是更優(yōu)的選擇，總花費為100萬元。3.在第2問的條件下，每臺設(shè)備的年處理量為240x12=2880噸，10年總處理量為28800噸。如果自己處理污水，總花費為10x2040=20400萬元。如果將污水排到污水廠處理，總花費為10x28800=28800萬元。因此，自己處理污水比將污水排到污水廠處理節(jié)約8400萬元。水是人類最寶貴的資源之一，我國水資源人均占有量遠(yuǎn)低于世界平均水平。為了節(jié)約用水，保護環(huán)境，學(xué)校于本學(xué)期初制定了詳細(xì)的用水計劃。如果實際每天比計劃多用一噸水，本學(xué)期的用水總量將會超過2300噸；如果實際每天比計劃節(jié)約一噸水，本學(xué)期用水總量將會不足2100噸。如果本學(xué)期的在校時間按110天（22周）計算，那么學(xué)校計劃每天用水應(yīng)控制在什么范圍（結(jié)果保留四個有效數(shù)字）？解答：設(shè)每天計劃用水量為x噸，則實際用水量分別為x+1噸和x-1噸。由題意得：x+1<2300/x-1>2100解得：43.9<x<47.6因此，學(xué)校計劃每天用水應(yīng)控制在43.9~47.6噸之間。如圖6，九年三班學(xué)生到閱覽室讀書，班長問老師要分成幾個小組，老師風(fēng)趣地說：[圖6]解答：1.每組人數(shù)不少于5人，因此至少分成3組。2.解不等式x-5<9，得x<14，小于的整數(shù)有無窮個，如-5、-1、0、1、2、3、4、8、9、10、11、12、13。3.解關(guān)于x的不等式3x-2a≤-2，得x≤(2a-2)/3，又由圖可知x≤-1，因此(2a-2)/3≤-1，解得a≤1。4.依題意，得2m<x<1-m，解得m<0.5，因此選項D正確。5.原不等式的解集是x≤4，因此不等式的整數(shù)解是：1，2，3，4。6.原不等式組的解集是1≤x<3，因此不等式組的整數(shù)解是1，2。7.（1）x<3，圖略；（2）-1<x≤-3，圖略。8.（1）設(shè)購買A型設(shè)備x臺，購買B型設(shè)備y臺，則有12x+10y≤105，且240x+200y≥2040，求解得到5x+5y=50，即x+y=10，因此有兩種購買方案：購買10臺A型設(shè)備或購買5臺A型設(shè)備和5臺B型設(shè)備。根據(jù)題目要求，當(dāng)購買A型號設(shè)備x臺時，應(yīng)購買B型號設(shè)備10-x臺，因此有不等式12x+10(10-x)≤105，解得x≤2.5。由于x是非負(fù)數(shù)，因此可取1或2，共有三種購買方案：購買A型號1臺，B型號9臺；購買A型號2臺，B型號8臺；或者只購買A型號設(shè)備。根據(jù)題目要求，購買A型號設(shè)備x臺和B型號設(shè)備10-x臺的總資金應(yīng)不小于2040萬元，因此有不等式240x+200(10-x)≥2040，解得x≥1。當(dāng)x=1時，購買資金為102萬元；當(dāng)x=2時，購買資金為104萬元。因此，為了節(jié)約資金，應(yīng)選擇購買A型號設(shè)備1臺和B型號設(shè)備9臺。如果企業(yè)自己處理污水，總資金為102+10×10=202萬元。如果將污水排到污水廠處理，10年所需費用為244.8萬元。因此，能節(jié)約資