如何認(rèn)識(shí)幾何中的規(guī)則凸多面體

如何認(rèn)識(shí)幾何中的規(guī)則凸多面體

一般數(shù)學(xué)教育包括簡(jiǎn)單的歐幾里德幾何。那里面的幾何形狀,大體上都是一些多邊形,且是區(qū)分形狀和大小的。隨著人們對(duì)幾何認(rèn)識(shí)的深入,還發(fā)展出了更高深的學(xué)問,拓?fù)鋵W(xué)。拓?fù)鋵W(xué),topology,關(guān)切幾何體的拓?fù)湫再|(zhì),與大小、形狀無關(guān)而只和topos(可理解為某種相對(duì)位置關(guān)系)有關(guān)。幾何學(xué)的意義怎么強(qiáng)調(diào)都不為過,幾何是物理學(xué)的語言,甚至有物理學(xué)幾何化的說法。拓?fù)鋵W(xué)近年來深刻地影響了物理理論的發(fā)展,量子力學(xué)、相對(duì)論都納入了拓?fù)鋵W(xué)的語匯。學(xué)習(xí)拓?fù)鋵W(xué)常被視為畏途。本文介紹關(guān)于只存在五種規(guī)則凸多面體的證明,讀者可從中找到一點(diǎn)從幾何學(xué)順利地過渡到拓?fù)鋵W(xué)的感覺。1面數(shù)、頂數(shù)和面數(shù)f的問題在大自然中,液滴的外觀可能是光滑的曲面,小水珠幾乎是完美的球形,而晶體的外觀常常是由一些平的小面(facet)圍成的。比如,圖1中的天然金剛石顆粒,外觀就明顯呈現(xiàn)多個(gè)規(guī)則的小面。這樣的幾何形狀叫多面體,它的特征包括頂點(diǎn)(vertex,0維)、邊(棱,edge,1維)和面(face,2維)。如果多面體是凸的,即往外鼓的,則其頂點(diǎn)數(shù)V、邊數(shù)E和面數(shù)F要滿足一定關(guān)系,V-E+F=2。此乃所謂的歐拉多面體公式。從前用32塊皮子(20塊六邊形,12塊五邊形)縫制的足球,就有60個(gè)頂點(diǎn)和90個(gè)邊,滿足V-E+F=2。記χ=V-E+F,稱為歐拉示性數(shù)(Eulercharacteristic)。筆者以為,對(duì)于多面體這個(gè)公式,引入體(3維)數(shù)S,可寫為V-E+F-S=1,注意公式里的幾何特征數(shù)目,隨著幾何特征的維度從0開始逐步增加,其前面的+/-符號(hào)是交替變化的(這個(gè)符號(hào)的交替是其中學(xué)問的硬核,與其它學(xué)問分支有內(nèi)在的聯(lián)系)。這種寫法的好處是,可以輕松推廣到其它維度的情形而無需記憶不同的公式。比如二維情形,即對(duì)多邊形,有V-E+F=1。當(dāng)然了,因?yàn)镕=1,它實(shí)際上是V-E=0,即多邊形的頂點(diǎn)數(shù)和邊數(shù)相同,這是人所共知的事實(shí)。容易想到,對(duì)于四維情形,即對(duì)polytype,有V-E+F-S+P=1,其中P是四維空間體的數(shù)目。因?yàn)镻=1,相應(yīng)的歐拉公式應(yīng)為V-E+F-S=0。歐拉公式的證明可見文后所列的文獻(xiàn)。本章則要利用歐拉公式證明一個(gè)有趣的觀察事實(shí),即只存在五種規(guī)則多面體,或稱柏拉圖多變體。2正二十面體的形態(tài)如果一個(gè)凸多面體的小面是全等的規(guī)則多邊形,則稱為規(guī)則多面體。這樣的規(guī)則凸多面體只有五種,即正四面體(tetrahedron,小面為三角形),正六面體(cube,立方體,小面為正方形),正八面體(octahedron,小面為三角形),正十二面體(dodecahedron,小面為五邊形)和正二十面體(icosahedron,小面為三角形),見圖2。柏拉圖時(shí)期人們就知道這五種規(guī)則多面體。在《蒂邁歐》一書中,柏拉圖猜測(cè)地上的四種元素風(fēng)、火、水和土以及天上的quintessence(即第五種存在)就分別對(duì)應(yīng)這五種形狀,因此這五種規(guī)則多面體又稱為柏拉圖多面體(Platonicsolids)。具體地,正四面體對(duì)應(yīng)火,正六面體對(duì)應(yīng)土,正八面體對(duì)應(yīng)氣,正二十面體對(duì)應(yīng)水,而正十二面體對(duì)應(yīng)quintessence或者宇宙。整個(gè)天體為球體。后來,開普勒用它們構(gòu)造宇宙的模型(圖3)。柏拉圖和開普勒這類人之所以是智者,就在于他們模糊的認(rèn)識(shí)在后來被發(fā)現(xiàn)包含著最深刻的道理。這些多面體由球脫胎而來,數(shù)學(xué)上這些幾何體的對(duì)稱群是球?qū)ΨQ群SO(3)的子群,而物理上一個(gè)球形液滴冷卻后結(jié)晶,即發(fā)生對(duì)稱性破缺,留下了對(duì)稱性較低的固體顆粒。據(jù)信人類在四千年前就制作出這五種規(guī)則多面體了(圖4)。不過,遠(yuǎn)古人類為什么要用石頭制作正多(曲)面體,十分費(fèi)解。3正多面體的兩個(gè)面古人雖然感覺到只有五種柏拉圖多面體,但卻沒有證明。關(guān)于這個(gè)問題,基于歐拉多面體公式,可以得出一個(gè)非常簡(jiǎn)單的證明。注意觀察正多面體的邊,每一個(gè)邊都是由兩個(gè)頂點(diǎn)規(guī)定了的,且每一個(gè)邊又都是由兩個(gè)面所規(guī)定了的:“兩個(gè)頂點(diǎn)連一個(gè)邊,兩個(gè)面交于一個(gè)邊?！边@樣,假設(shè)正多面體的小面是p-邊形(p>2),每個(gè)頂點(diǎn)連接著q條邊(q>2),則有pF=2E=qV。由歐拉公式V-E+F=2,可聯(lián)立求解得可以得出如下解:p=3,q=3,對(duì)應(yīng)正四面體;p=3,q=4,對(duì)應(yīng)正八面體;p=3,q=5,對(duì)應(yīng)正二十面體;p=4,q=3,對(duì)應(yīng)正六面體;p=5,q=3,對(duì)應(yīng)正十二面體。QED.4多面體的“變”關(guān)于只有五種凸多面體的證明,當(dāng)然還聯(lián)系著別的數(shù)學(xué),比如代數(shù)方程的解,比如群論。從實(shí)用性的角度來看,關(guān)于多面體性質(zhì)的學(xué)問關(guān)系到對(duì)晶體學(xué)的理解,因此它是晶體學(xué)、固體物理進(jìn)而材料科學(xué)的幾何基礎(chǔ)。晶體結(jié)構(gòu)可看作是能充滿整個(gè)三維空間的某種多面體或者多種多面體之組合在空間中的排列。圖5中的多面體,是由正八面體截去六個(gè)頂角得到的十四面體,也稱截角八面體。它是常見的晶體單胞。試試數(shù)一數(shù)它的頂角數(shù)和邊數(shù)是多少,看看是否滿足歐拉多面體公式?這個(gè)多面體是一種典型的Wigner—Seitz單胞。開爾文爵士曾猜測(cè)這種多面體充滿空間,是表面積之和最小的那種選擇,這被稱為開爾文猜想。類似地在二維情形,把平面充滿的多邊形,六角結(jié)構(gòu)(蜂窩、炭單層)是邊長(zhǎng)之和最小的那種。開爾文猜想在2003年被證明是錯(cuò)的。再啰嗦一句,當(dāng)我們學(xué)習(xí)某個(gè)內(nèi)容發(fā)現(xiàn)其極其難以理解時(shí),很可能是預(yù)備知識(shí)不夠。物理學(xué)是一條思想的河流,如果沿著其發(fā)展的