11、弧長和扇形面積

弧長和扇形面積在弧長和扇形面積公式的推導(dǎo)過程中，發(fā)現(xiàn)弧長與圓周長、扇形面積與圓面積都是部分與整體之間的關(guān)系，從而將計(jì)算弧長和扇形面積的問題轉(zhuǎn)化為求圓周長和圓面積的一部分來解決，體會轉(zhuǎn)化、類比的數(shù)學(xué)思想．

了解圓錐及其母線、側(cè)面積、全面積等概念，會計(jì)算圓錐的側(cè)面積和全面積．教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點(diǎn)弧長和扇形面積公式的推導(dǎo)及運(yùn)用．

圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算．我們知道，弧是圓的一部分，弧長就是圓周長的一部分．思考想一想，如何計(jì)算半徑為R的圓的周長？圓周長C=2πR圓的周長可以看作多少度的圓心角所對的弧長？360°1°的圓心角所對的弧長是多少？思考n°的圓心角所對的弧長是多少？弧長公式n°的圓心角所對的弧長是多少？如何推導(dǎo)弧長公式？

如何利用弧長公式計(jì)算？弧長制造彎形管道時(shí)，要先按中心線計(jì)算“展直長度”，再下料，試計(jì)算圖所示管道的展直長度L(結(jié)果取整數(shù)).

解：由弧長公式，可得弧AB的長因此所要求的展直長度1．弧長相等的兩段弧是等弧嗎？2．如圖，有一段彎道是圓弧形的，道長是12m，弧所對的圓心角是81°．這段圓弧所在圓的半徑R是多少米（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后以為）？在半徑為6cm的圓中，120°的圓心角所對的弧長為_______．答案：4πcm.

在半徑為50cm的圓中，60°的圓心角所對的弧長為_______．由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫做扇形．扇形可以發(fā)現(xiàn)，扇形的面積除了與圓的半徑有關(guān)外，還與組成扇形的圓心角的大小有關(guān)．圓心角越大，扇形面積也就越大．怎么計(jì)算圓半徑為R，圓心角n°的扇形面積呢？思考怎么計(jì)算圓半徑為R，圓心角n°的扇形面積呢？由扇形的定義可知，扇形面積就是圓面積的一部分．如何計(jì)算半徑為的R圓的面積呢？

圓面積可以看作是多少度圓心角所對的扇形的面積呢？360°思考怎么計(jì)算圓半徑為R，圓心角n°的扇形面積呢？1°的圓心角所對的扇形面積是多少？n°的圓心角所對的扇形面積是多少？扇形面積公式圓心角為n°的扇形面積是如何求扇形的面積？扇形面積另一個(gè)公式比較扇形面積公式與弧長公式可以發(fā)現(xiàn)扇形面積等于弧長與半徑乘積的一半類比記憶：另一個(gè)公式可以扇形看做一個(gè)三角形

弧長看做三角形的底半徑看做三角形的高

如此一來，扇形面積公式就與三角形面積公式一致了．已知扇形的圓心角為120°，半徑為2，則這個(gè)扇形的面積為________．練習(xí)——公式1扇形半徑為12，面積為9π，它的圓心角等于________．練習(xí)——公式1答案：22.5°.已知扇形面積為，圓心角為60°，則這個(gè)扇形的半徑為________．練習(xí)——公式1如果扇形的半徑是6，所含的弧長是5π，那么扇形的面積是_______．練習(xí)——公式2答案：15π.

練習(xí)——公式2已知扇形的面積為24π，弧長為8πcm，則扇形的半徑是_____cm，圓心角是______度．練習(xí)——公式2練習(xí)——公式2答案：19.

如圖、水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面積（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）．如圖，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D兩兩不相交，且半徑都是2cm，求圖中陰影部分的面積．提示：可以先算非陰影部分的扇形面積之和．答案：12π．如圖、水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面積（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）．如下圖中每個(gè)陰影部分是以多邊形各頂點(diǎn)為圓心，1為半徑的扇形，并且所有多邊形的每條邊長都大于2，則第n個(gè)多邊形中，所有扇形面積之和是___________(結(jié)果保留π，用含n式子表示).

已知正三角形ABC的邊長為a，分別以A、B、C為圓心，以a/2為半徑的圓相切于點(diǎn)D、E、F，求圖中陰影部分的面積S．我們知道，圓錐是由一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面圍成的幾何體，圓錐的相關(guān)概念我們把連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線．圓錐的側(cè)面展開圖是什么圖形？扇形設(shè)圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r．圓錐的側(cè)面積那么側(cè)面展開扇形的半徑是______．側(cè)面展開扇形的弧長與__________相等，等于__________．圓錐的側(cè)面積等于___________________.

圓錐的全面積等于________________.

底面周長2πrl圓錐底面周長和側(cè)面弧長有什么關(guān)系？

怎么算圓錐的側(cè)面積和全面積？圓錐一個(gè)形如圓錐的冰淇淋紙筒，其底面直徑為6cm，母線長5cm，則它的側(cè)面積是_____________．圓錐的底面半徑是1cm，母線是2cm，則高是________，側(cè)面積是_________，全面積是________．解：圓柱的底面圓半徑圓錐的母線長側(cè)面展開扇形的弧長為圓錐的側(cè)面積為已知圓錐的底面半徑為8cm，母線長20cm，求它的側(cè)面展開圖的圓心角．例題——底面半徑，母線，圓心角的關(guān)系由側(cè)面扇形的弧長等于底面周長可知：n=144所以圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角是144°．這是底面半徑、母線、圓心角之間的固定關(guān)系，已知其中任意兩個(gè)都可以求第三個(gè)．底面半徑和母線的比與圓心角有什么關(guān)系？底面半徑和母線的比與圓心角的關(guān)系1．圓錐的底面直徑是80cm，母線長90cm．求它的側(cè)面展開圖的圓心角和圓錐的全面積．2．如圖，圓錐形的煙囪帽的底面圓的直徑是50cm，制作100個(gè)這樣的煙囪帽至少需要多少平方米的鐵皮？如圖，在紙上剪下一個(gè)圓形和一個(gè)扇形的紙片，若他們恰好能圍成一個(gè)圓錐模型，圓的半徑為r，扇形的半徑為R，扇形的圓心角等于90°，則r與R之間的關(guān)系是________．答案：R=4r.

已知一個(gè)圓錐的軸截面△ABC是等邊三角形，它的表面積為75π，求這個(gè)圓錐的底面半徑和母線的長．提示：底面半徑與母線長之比是1：2．答案：底面半徑是5，母線的長是10．一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為18cm，圓心角為240°的扇形，求這個(gè)圓錐的高．一塊等邊三角形的木板，邊長為1，現(xiàn)將木板沿水平線翻滾(如圖)，那么B點(diǎn)從開始至結(jié)束所走過的路徑長度為__________．計(jì)算旋轉(zhuǎn)路徑的長度計(jì)算旋轉(zhuǎn)路徑的長度將邊長為4cm的正方形ABCD的四邊沿直線向右滾動(不滑動)，當(dāng)正方形滾動兩周時(shí)，正方形的頂點(diǎn)A所經(jīng)過的路線的長是__________cm.計(jì)算旋轉(zhuǎn)路徑的長度如圖，A是半徑為1的圓O外一點(diǎn)，且OA=2，AB是⊙O的切線，BC//OA，連結(jié)AC，則陰影部分面積等于________．扇形面積計(jì)算綜合如圖，正方形的邊長為a，分別以兩個(gè)對角頂點(diǎn)為圓心，a為半徑畫弧，則圖中陰影部分的面積為_______．扇形面積計(jì)算綜合扇形面積計(jì)算綜合扇形面積計(jì)算綜合圓心角都是90°的扇形OAB與扇形OCD如圖所示那樣疊放在一起，連結(jié)AC、BD．若OA=3cm，OC=1cm，求陰影部分的面積．答案：2π．扇形面積計(jì)算綜合如圖，直徑AB為8的半圓，繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，此時(shí)點(diǎn)B到了點(diǎn)B'，則圖中陰影部分的面積是___________.圓錐中的最短路徑問題圓錐的底面半徑是1，母線長是4，一只蜘蛛從底面圓周上的一點(diǎn)A出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周后回到A點(diǎn)，則蜘蛛爬行的最短路徑的長是________．圓錐中的最短路徑問題如圖，已知點(diǎn)P是圓錐母線OM上一點(diǎn)，OM=6，OP=4,圓錐的側(cè)面積為12π，一只蝸牛從P點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行一周回到點(diǎn)P，則爬過的最短路線長為______.如圖，圓錐的底面半徑為1，母線長為3，一只螞蟻要從底面圓周上一點(diǎn)B出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬到過母線AB的軸截面上另一母線AC上，問它爬行的最短路線是多少？圓錐中的最短路徑問題怎么解決圓錐中的最短路徑問題？圓錐中的最短路徑問題這節(jié)課我們學(xué)會了什么？總結(jié)1．弧長計(jì)算公式：n°的圓心角所對的弧長為2．扇形面積公式：圓心角為n°的扇形面積是3．圓錐中的計(jì)算公式：這節(jié)課我們學(xué)會了什么？總結(jié)復(fù)習(xí)鞏固1.填空：（1）75°的圓心角所對的弧長是2.5πcm，則此弧所在圓的半徑是______cm；

（2）一個(gè)扇形的弧長是20πcm，面積是240πcm2，則扇形的圓心角是______;

（3）用一個(gè)圓心角為120°，半徑為4的扇形做一個(gè)圓錐的側(cè)面，這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為______.復(fù)習(xí)鞏固2.如圖，兩個(gè)大小一樣的傳送輪連接著一條傳送帶.求這條傳送帶的長.復(fù)習(xí)鞏固3.在航海中，常用海里（單位：nmile）作為路程的度量單位.把地球看作球體，1nmile近似等于赤道所在的圓中1'的圓心角所對的弧長.已知地球半徑（也就是赤道所在圓的半徑）約為6370km，1nmile約等于多少米（π取3.14，結(jié)果取整數(shù)）？復(fù)習(xí)鞏固4.正方形的邊長為a，以各邊為直徑在正方形內(nèi)畫半圓.求圖中陰影部分的面積.復(fù)習(xí)鞏固綜合運(yùn)用6.如圖是一段彎型管道，其中，∠O=∠O'=90°，中心線的兩條圓弧半徑都為1000mm.求圖中管道的展直長度.綜合運(yùn)用7.如圖，草坪上的自動噴水裝置能旋轉(zhuǎn)220°，它的噴灌區(qū)域是一個(gè)扇形，這個(gè)扇形的半徑是20m.求它能噴灌的草坪的面積.綜合運(yùn)用8.如圖，扇形紙扇完全打開后，外側(cè)兩竹條AB，AC夾角為120°，AB的長為30cm，扇面BD的長為20cm.求扇面的面積.綜合運(yùn)用9.如圖，糧倉的頂部是圓錐形，這個(gè)圓錐的底面圓的周長為32m,母線長7m.為了防雨，需要在它的頂部鋪上油氈，所需油氈的面積至少是多少？拓廣探索10.如圖，從一塊直徑是1m的圓形鐵皮上剪出一個(gè)圓心角為90°的扇形，求被剪掉的部分的面積；如果將剪下來的扇形圍成一個(gè)圓錐，圓錐的底面圓的半徑是多少？拓廣探索11.如圖，有一個(gè)圓形花壇，要把它分成面積相等的四部分，以種植不同的花卉，請你提供設(shè)計(jì)方案.復(fù)習(xí)鞏固1.選擇題.復(fù)習(xí)鞏固復(fù)習(xí)鞏固復(fù)習(xí)鞏固（4）以半徑為1的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距為三邊作為三角形，則（

）.A.不能構(gòu)成三角形B.這個(gè)三角形是等腰三角形C.這個(gè)三角形是直角三角形D.這個(gè)三角形是鈍角三角形復(fù)習(xí)鞏固（5）一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，則圓錐側(cè)面積展開圖的扇形的圓心角是（

）.A.120°B.180°C.240°D.300°復(fù)習(xí)鞏固復(fù)習(xí)鞏固復(fù)習(xí)鞏固復(fù)習(xí)鞏固(9).如圖，正六邊形ABCDEF的中心為原點(diǎn)O，頂點(diǎn)A，D在x軸上，半徑為2cm.求其各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).復(fù)習(xí)鞏固(10).如圖，大半圓中有n個(gè)小半圓，大半圓的弧長為L1，n個(gè)小半圓的弧長和為L2，探索L1和L2的關(guān)系并證明你的結(jié)論.復(fù)習(xí)鞏固綜合運(yùn)用1.估計(jì)下頁圖中三段弧的半徑的大小關(guān)系，再用圓規(guī)檢驗(yàn)?zāi)愕慕Y(jié)論.綜合運(yùn)用2.如圖，菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O，四條邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，H.這四個(gè)點(diǎn)共圓嗎？圓心在哪里？綜合運(yùn)用3.往直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示.若油面寬AB=600m