大二下syx概率統(tǒng)計(jì)2012 2

第二章 隨機(jī)變量及其分布1P(

AB)

P(

A)P

B

A

(P(

A)

0)(P(B)

0)P(

AB)

P(B)P

A

B

(P(

A1

A2

An

1

)

0)A1

A2

An

1

推廣P(

A1

A2

An

)

P(

A1

)P

A2

A1

P

An內(nèi)

容

復(fù)習(xí)乘法公式利用條件概率求積事件的概率就是乘法公式2B1B2BnAB1AB2ABn3n

Bi

i

1Bi

Bj

nA

ABii

1(

ABi

)(

ABj

)

A全概率公式與Bayes

公式

n

nP(A)

P(ABi

)

P(Bi)

P(A

Bi

)全概率公式Bayes公式P(BkP(

A)A)

P(

ABk

)

4n

i

1P(Bi

)P(

A

Bi

)P(Bk

)P(

A

Bk

)i

1

i

1意義：事件組Bn一般是導(dǎo)致A發(fā)生的所有可能的“原因”意義：A發(fā)生時(shí)，其原因是Bk的概率.A對(duì)B有修正作用。事件的獨(dú)立性定義

設(shè)

A

,

B

為兩事件，若P(

AB)

P(

A)P(B)則稱事件A與事件B

相互獨(dú)立四對(duì)事件

A,

B;

A,

B

;

A,

B;

A,

B任何一對(duì)相互獨(dú)立，則其它三對(duì)也相互獨(dú)立若

P(

A)

0,

P(B)

0,則“事件A

與事件B

相互獨(dú)立”和

“事件A

與事件B

互斥”不能同時(shí)成立5定義 三事件

A,B,C相互獨(dú)立是指下面的關(guān)系式同時(shí)成立：P(

AB)

P(

A)P(B)(1)P(

AC)

P(

A)P(C)P(BC)

P(B)P(C)P(

ABC)

P(

A)P(B)P(C)(2)注：1)

不能由關(guān)系式(1)推出關(guān)系式(2),反之亦然2)僅滿足(1)式時(shí),稱A,B,C

兩兩獨(dú)立A,

B,

C

相互獨(dú)立

A,

B,

C

兩兩獨(dú)立6常利用獨(dú)立事件的性質(zhì)計(jì)算它們的并事件的概率若n

個(gè)事件A1,A2,…,An

相互獨(dú)立，則i

1nP(

Ai

)

P(

A1

A2

An

)ni

1

1

(1

P(

Ai

))n

i

1

1

P(

A1

A2

An

)

1

P(

Ai

)

1

P(

A1

A2

An

)ni

1ni

1P(

Ai

)

1

(1

P(

Ai

))7P(

A)

p,

0

p

1設(shè)Bernoulli

試驗(yàn)概型每次試驗(yàn)的結(jié)果與其他次試驗(yàn)無關(guān)——稱為這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的n

重Bernoulli

試驗(yàn)概型：將隨機(jī)試驗(yàn)重復(fù)n次每次試驗(yàn)感興趣的事件為A即可看作每次試驗(yàn)有兩個(gè)可能的結(jié)果：A,A8一般地，若

P(

A)

p,

0

p

19則k

kn

np)

,

k

0,1,2,

,

nP

(k

)

C

p

(1

n

kn

重Bernoulli

試驗(yàn)概型感興趣的問題為：

在n

次試驗(yàn)中事件A

出現(xiàn)k

次的概率，記為Pn

(k

)第二章 隨機(jī)變量及其分布10

正面向上

0,

反面向上X

(

)

1,為了更好的揭示隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性并利用數(shù)學(xué)工具描述其規(guī)律，引入隨機(jī)變量來描述隨機(jī)試驗(yàn)的不同結(jié)果例

電話總機(jī)某段時(shí)間內(nèi)接到的電話次數(shù)，可用一個(gè)變量

X

來描述

X

(

)

0,1,

2

例

拋擲一枚硬幣可能出現(xiàn)的兩個(gè)結(jié)果，也可以用一個(gè)變量來描述隨機(jī)變量一般用

X,Y

,

Z,

或小寫希臘字母,

,

表示

按一

定法

則

實(shí)數(shù)

X

(

)則稱 上的單值實(shí)值函數(shù)

X(

)為隨機(jī)變量定義

設(shè)E是一隨機(jī)試驗(yàn)， 是它的樣本空間，若§2.1

隨機(jī)變量的概念隨機(jī)變量的概念11隨機(jī)變量是

R

上的映射，這個(gè)映射具有如下的特點(diǎn)：定義域:隨機(jī)性:隨機(jī)變量X

的可能取值不止一個(gè)，試驗(yàn)前只能預(yù)知它的可能的取值但不能預(yù)知取哪個(gè)值概率特性:X以一定的概率取某個(gè)值或某些值12

XA

1,

A

0,

A稱XA

為事件A

的示性變量引入隨機(jī)變量后，用隨機(jī)變量的等式或不等式表達(dá)隨機(jī)事件在同一個(gè)樣本空間可以同時(shí)定義多個(gè)隨機(jī)變量隨機(jī)變量的函數(shù)一般也是隨機(jī)變量可以根據(jù)隨機(jī)事件定義隨機(jī)變量設(shè)A

為隨機(jī)事件，則可定義13{X

100}

或

(

X

100)——表示“某天9:00

~10:00

接到的電話次數(shù)超過100次”這一事件14如，若用X表示電話總機(jī)在9:00~10:00接到的電話次數(shù)，則再如，用隨機(jī)變量15

正面向上

0,

反面向上X

(

)

1,描述拋擲一枚硬幣可能出現(xiàn)的結(jié)果,

則(X

(

)

1)

—

正面向上也可以用

正面向上

1,

反面向上Y

(

)

0,描述這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果例如，要研究某地區(qū)兒童的發(fā)育情況，往往需要多個(gè)指標(biāo)，例如，身高、體重、頭圍等=

{兒童的發(fā)育情況

}X

( )—身高Y( )—體重Z( )—頭圍各隨機(jī)變量之間可能有一定的關(guān)系，也可能沒有關(guān)系——即相互獨(dú)立16隨機(jī)變量的分類離散型隨機(jī)變量非離散型隨機(jī)變量—其中一種重要的類型為連續(xù)性隨機(jī)變量任何隨機(jī)現(xiàn)象可17被隨機(jī)變量描述借助微積分方法 深入討論引入隨機(jī)變量重要意義(X

x)

的概率P(

X

x)定義了一個(gè)x

的實(shí)值函數(shù)，稱為隨機(jī)變量X

的分布函數(shù)，記為F

(x

),即F

(x)

P(

X

x),

x

隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義

設(shè)

X

為隨機(jī)變量,

對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)

x

,

隨機(jī)事件18分布函數(shù)的性質(zhì)F

(x

)單調(diào)不減，即

x1

x2

,

F

(x1

)

F

(x2

)0

F

(x)

1且lim

F

(x)

1, lim

F

(x)

0x

x

F(x

)右連續(xù)，即F

(x

0)

lim

F

(t)

F

(x)t

x

0（為什么）19利用分布函數(shù)可以計(jì)算P(a

X

b)

P(

X

b)

P(

X

a)

F

(b)

F

(a)ab（]]P(

X

a)

1

P(

X

a)

1

F

(a)P(

X

a)

F

(a)

F

(a

0)P(a

X

b)

F

(b)

F

(a

0)P(a

X

b)

F

(b

0)

F

(a)P(a

X

b)

F

(b

0)

F

(a

0)請(qǐng)?zhí)羁?0F

(x)

0

x

0x

1/

3

0

x

1/

21

x

1/

2計(jì)算21P(

X

0)P(

X

1/

4)P(

X

1/

4)P(0

X

1/

3)P(0

X

1/

3)P(

X

0)

F

(0)

F

(0

0)

1/

3

0

1/

3;例1

設(shè)隨機(jī)變量

X

的分布函數(shù)：解P(

X

1/

4)

F

(1/

4)

F

(1/

4

0)

7

/12

7

/12

0;22P(

X

1/

4)

P(

X

1/

4)

P(

X

1/

4)

P(

X

1/

4)

1

F

(1/

4)

1

7/12

5/12P(0

X

1/

3)

F

(1/

3)

F

(0)

2/3

1/3

1/

3P(0

X

1/

3)

P(

X

0)

P(0

X

1/

3)

1/

3

1/

3

2

/

3.§2.3

離散型隨機(jī)變量及其概率分布離散型隨機(jī)變量的概念定義 若隨機(jī)變量

X

的可能取值是有限多個(gè)或無窮可列多個(gè)，則稱

X

為離散型隨機(jī)變量描述離散型隨機(jī)變量的概率特性常用它的概率分布或分布律，即P(

X

xk

)

pk,

k

1,2,

X23Px1

x2

xk

p1

p2

pk

或概率分布的性質(zhì)

非負(fù)性

pk

0,

k

1,2,

pk

1k

1規(guī)范性24離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)xk

x25F

(x)

P(

X

x)

P(

(

X

xk

))

P(

X

xk

)

pkxk

x

xk

xpk

P(

X

xk

)

F

(xk

)

F

(xk

0)

F

(xk

)

F

(xk

1)F(

x)

是分段階梯函數(shù)，在

X的可能取值xk

處發(fā)生間斷，間斷點(diǎn)為第一類跳躍間斷點(diǎn)，在間斷點(diǎn)處有躍度

pk?1?2?

?

?k

k+1?o?1?o?o?op1p2kpF(X)26例1

設(shè)一汽車在開往目的地的途中需經(jīng)過4盞信號(hào)燈，每盞信號(hào)燈獨(dú)立地以概率p允許汽車通過。令X表示首次停下時(shí)已通過的信號(hào)燈的盞數(shù)，求X

的概率分布與p=0.4時(shí)的分布函數(shù)。目的地27出發(fā)地解P(

X

k)

pk

(1

p),

k

0,1,2,3P(

X

4)

p4

,

k

401xx]

?0,x

00

x

11

x

22

x

33

x

40.6,0.6

0.6

0.4,0.6

0.6

0.4

0.6

0.42

,0.6(1

0.4

0.42

0.43

),1x

4F

(x)

]?

]]

?

?

?2

3

4??pk120.60.4

0.6

0.42

0.6

0.433

40.6

0.44當(dāng)p

0.4k

02801

2?

?

?

?3

4xF(

x)o??o1?o?o?o?29概率分布或分布函數(shù)可用來計(jì)算有關(guān)事件的概率例2

在上例中，分別用概率分布與分布函數(shù)計(jì)算下述事件的概率：P(1

X

3),

P(

X

2)解

P(1

X

3)

P(

X

2)

P(

X

3)

0.42

0.6

0.43

0.6

0.1344或P(1

X

3)

F

(3)

F

(1)

0.42

0.6

0.43

0.6

0.134430P(

X

2)

1

P(

X

2)

1

[P(

X

0)

P(

X

1)]

1

0.84

0.16P(

X

2)

1

P(

X

2)

1

P(

X

2)

P(

X

2)

1

F

(2

0)

1

0.84

0.16或此式應(yīng)理解為極限lim

F

(x)x

2

31例3

一門大炮對(duì)目標(biāo)進(jìn)行轟擊，假定此目標(biāo)必須被擊中r次才能被摧毀。若每次擊中目標(biāo)的概率為p(0<p<1),且各次轟擊相互獨(dú)立，一次一次地轟擊