專題2-6比大小15種類型歸類（講練）

專題2.6比大小15種類型歸類一、知識梳理與二級結(jié)論二、熱考題型歸納【題型一】基礎1：指數(shù)函數(shù)比大小【題型二】基礎2：冪指對性質(zhì)比大小【題型三】基礎3：三角函數(shù)與冪指對比大小【題型四】臨界值型：正負1與0分界【題型五】臨界值型：選取中間值【題型六】做差比較法【題型七】做商比較法【題型八】零點比較法【題型九】冪指放大法【題型十】放縮比大小【題型十一】三角函數(shù)圖像與性質(zhì)比較法【題型十二】導數(shù)構(gòu)造法比大小【題型十三】構(gòu)造指數(shù)函數(shù)型【題型十四】綜合利用函數(shù)性質(zhì)比較大小【題型十五】幾個比較復雜的構(gòu)造函數(shù)型三、高考真題對點練四、最新模考題組練知識梳理與二級結(jié)論一、比大小所需常見函數(shù)圖像和性質(zhì)1、指數(shù)函數(shù)圖象定義域__R_______R___值域____________性質(zhì)過定點___________，即______0_____時，____0_______減函數(shù)增函數(shù)對數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)（1）定義域：_.（2）值域：（3）過定點，即x=_1_時，y=0（4）在_上增函數(shù)（4）在上是減函數(shù)（5）；（5）；3.三角函數(shù)性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RR{x|x∈R且x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z}值域[－1，1][－1，1]R單調(diào)性[－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ](k∈Z)上遞增；[eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(3π,2)＋2kπ](k∈Z)上遞減[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上遞增；[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上遞減(－eq\f(π,2)＋kπ，eq\f(π,2)＋kπ)(k∈Z)上遞增最值x＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)時，ymax＝1；x＝－eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)時，ymin＝－1x＝2kπ(k∈Z)時，ymax＝1；x＝π＋2kπ(k∈Z)時，ymin＝－1奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱中心(kπ，0)(k∈Z)(eq\f(π,2)＋kπ，0)(k∈Z)(eq\f(kπ,2)，0)(k∈Z)對稱軸方程x＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)周期2π2ππ二、比大小常見思維1、指數(shù)冪比較大小①同底冪比較，構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，用單調(diào)性比較； ②同指數(shù)冪比較，構(gòu)造冪函數(shù)，用單調(diào)性比較；③不同底也不同指冪比較，借助媒介“1”.2、對數(shù)比較大?、偻讛?shù)對數(shù)比較，用單調(diào)性比較； ②同真數(shù)對數(shù)比較，畫圖像比較；③不同底也真對數(shù)比較，借助媒介“0和1”.(3)對數(shù)與指數(shù)之間比較，一般借助媒介“0和1”.注意：①無理數(shù)e≈； ②ln2≈，ln3≈；3、指、對、冪大小比較的常用方法：（1）底數(shù)相同，指數(shù)不同時，如和，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；（2）指數(shù)相同，底數(shù)不同，如和利用冪函數(shù)單調(diào)性比較大?。唬?）底數(shù)相同，真數(shù)不同，如和利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小；（4）底數(shù)、指數(shù)、真數(shù)都不同，尋找中間變量0，1或者其它能判斷大小關系的中間量，借助中間量進行大小關系的判定.熱點考題歸納【題型一】基礎1：指數(shù)函數(shù)比大小【典例分析】1.下列各式比較大小正確的是()A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷數(shù)的大小即可．【詳解】(A中，∵函數(shù)在R上是增函數(shù)，2．5<3，∴，錯誤；B中，∵在R上是減函數(shù)，－1<2，∴，正確；C中，∵，∴問題轉(zhuǎn)化為比較與的大?。咴赗上是增函數(shù)，，∴，即<，錯誤；D中，∵>1,0<<1，∴，錯誤．故選B.2.（2022秋·青海海東·高三校考階段練習）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷．【詳解】最小，又，在上單調(diào)遞增，所以，即，綜上，，故選：A．【提分秘籍】1.利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時要根據(jù)底數(shù)與的大小區(qū)別對待．2.指數(shù)函數(shù)在第一象限圖像，具有“底大圖高”的性質(zhì)3.指數(shù)函數(shù)圖像性質(zhì)：一點一線。恒過定點（0，1），x軸是它的水平漸近線4.進行指數(shù)冪的大小比較時，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行判斷．對于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準確．【變式演練】1.（2022秋·江西南昌·高三模擬）已知，則的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意可得，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得的大小關系.【詳解】解：，因為，所以，因此.故選：B.2.（2023·高三課時練習）已知，，，則（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，確定這三個數(shù)的范圍，可比較大小.【詳解】，即；，即；，即.所以有.故選：B.3.（2022秋·廣西桂林·高三?？茧A段練習）設，其中，則的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由，，可得與的大小關系，而，進而得出大小關系．【詳解】，，，又，，即，故選：C．【題型二】基礎2：冪指對性質(zhì)比大小【典例分析】1．（2023春·山東濱州·高三校聯(lián)考階段練習）若，，，則a，b，c的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可作答.【詳解】依題意，，又，所以a，b，c的大小關系是.故選：B2．（2023春·甘肅天水·高三模擬）已知，，，則的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等知識確定正確答案.【詳解】，由于，所以，則，所以，所以.故選：B【提分秘籍】有關指數(shù)冪和對數(shù)值的比較大小問題，在解題的過程中，注意應用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，確定其對應值的范圍.比較指對冪形式的數(shù)的大小關系，常用方法：（1）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：，當時，函數(shù)遞增；當時，函數(shù)遞減；（2）利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：，當時，函數(shù)遞增；當時，函數(shù)遞減；（3）借助于中間值，例如：0或1等.【變式演練】1．（2023春·天津河北·高三模擬）設，，，則，，的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，取中間值比較即可.【詳解】因為，，，所以.故選：D2．（2020秋·陜西渭南·高三?？茧A段練習）已知，，，則a，b，c的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.【詳解】，，，所以.故選：C.3.（2024秋·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學?？茧A段練習）設，，，則、、的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值分析判斷.【詳解】因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則，即；又因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則，即；因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則，即；綜上所述；.故答案為：B.【題型三】基礎3：三角函數(shù)與冪指對比大小【典例分析】1.（湖南省衡陽市2022-2023學年高三上學期模擬數(shù)學試題），的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及中間值0和1求得結(jié)果.【詳解】∵，∴，∴，，，∴.故選：B.2.（山東省濱州市2022-2023學年高三上學期數(shù)學試題）已知，記，則x，y，z的大小關系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得，再利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合“媒介數(shù)”判斷作答.【詳解】依題意，，則有，且，因此，，，所以.故選：A【提分秘籍】函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象三角函數(shù)基礎圖像【變式演練】1.（福建省龍巖市一級校2023屆高三上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題）已知，，則a，b，c的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用中間值和作差比較法來比較大小.【詳解】,;;因為，所以，所以.綜上可得.故選：A.2.（山東省濟寧市曲阜市第一中學2022-2023學年高三上學期數(shù)學試題）下列選項中大小關系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可求解【詳解】因為，且在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，，，所以。故選：B3.（湖北省部分重點中學2022-2023學年高三上學期聯(lián)考數(shù)學試題）設，，，則的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析和與1和0的關系，由正切函數(shù)性質(zhì)分析與1和0的關系，即可得出答案.【詳解】，即，，且，即，由正切函數(shù)性質(zhì)可知，即，故，故選：A.【題型四】臨界值型：正負1與0分界【典例分析】1.（陜西省西安市長安區(qū)第一中學2021-2022學年高三上學期數(shù)學聯(lián)考）三個數(shù)，，之間的大小關系是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，再借助“媒介”數(shù)即可比較大小判斷作答.【詳解】函數(shù)是R上的減函數(shù)，而，則，函數(shù)是R上的增函數(shù)，而，則，函數(shù)是上的增函數(shù)，而，則，于是得.故選：C2.（四川省遂寧市射洪中學2021-2022學年高三上學期第三次聯(lián)考數(shù)學試題）設，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】以“1”作為中間量，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案.【詳解】因為，，所以.故選：D.【提分秘籍】解答比較函數(shù)值大小問題，常見的基礎思路之一是判斷各個數(shù)值所在的區(qū)間，這樣的區(qū)間劃分，最基礎的是以正負劃分，正數(shù)則以1為區(qū)間端點劃分?！咀兪窖菥殹?.（廣東省陸豐市林啟恩紀念中學2021-2022學年高三上學期第2次模擬（12月）數(shù)學試題）已知，，，則，，三者的大小關系是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較即可【詳解】因為在上為減函數(shù)，且，所以，即，因為在上為增函數(shù)，且，所以，所以，所以故選：C．2.（重慶市育才中學2021-2022學年高三上學期數(shù)學試題）已知，，，則，，的大小關系為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較可得選項.【詳解】解：，，，所以．故選：C．3.（山東省臨沂市2021-2022學年高三上學期聯(lián)考數(shù)學試題）已知，，，則a，b，c的大小關系是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由指對數(shù)的運算性質(zhì)可得，根據(jù)單調(diào)性比較大小即可.【詳解】由題設，，，，∴.故選：C【題型五】臨界值型：選取中間值【典例分析】1.在必修第一冊教材幾個函數(shù)模型的比較”一節(jié)的例2中，我們得到如下結(jié)論：當或時，；當時，，請比較，，的大小關系A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意化簡得，能得出，化為指數(shù)根據(jù)當或時，判定，將兩邊同時取底數(shù)為4的指數(shù)，通過放縮比較的進而得出答案.【詳解】解：因為，，所以，對于，令，則故當或時，，所以，即所以，將兩邊同時取底數(shù)為4的指數(shù)得因為所以故選：B.2.（廣西師大附屬外國語學校2021屆高三5月高考考前模擬考試數(shù)學（理）試題）已知，，，，則、、、的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較、、與的大小關系，利用中間值法判斷出、的大小關系，綜合可得出、、、的大小關系.【詳解】，，，，，則，，，則，因此，.故選：D.【提分秘籍】尋找非0、1的中間變量是難點。中間變量的選擇首先要估算要比較大小的兩個值所在的大致區(qū)間。然后可以對區(qū)間使用二分法（或者利用區(qū)間內(nèi)特殊值，或者利用指對互化）尋找合適的中間值。1.估算要比較大小的兩個值所在的大致區(qū)間2.可以對區(qū)間使用二分法（或者利用指對轉(zhuǎn)化）尋找合適的中間值3.利用冪指對等函數(shù)計算公式進行適當?shù)姆趴s轉(zhuǎn)化【變式演練】1.設，，，則，，的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及放縮法有、，可比較，的大小，再由并構(gòu)造，根據(jù)其單調(diào)性即可確定，的大小.【詳解】由題意，，，∴，由，則，而在上遞增，∴，故，即，∴.故選：C2.已知，，設，，，找出這三個數(shù)大小關系_________【答案】【分析】把用換底公式變形，已知不等關系及，也取對數(shù)后，可把與中間值比較大小，從而得出結(jié)論．【詳解】由已知，，，又，則，∴，，則，，又，∴，，而，∴，，綜上有．故答案為：．3.若，則之間的大小關系是__________.【答案】【詳解】注意到.下面證明.，.故.【題型六】做差比較法【典例分析】1.（黑龍江省嫩江市高級中學2021-2022學年高三上學期9月月考數(shù)學（理）試題）已知分別滿足下列關系：，則的大小關系（從小寫到大）_______.【答案】【分析】先分別求出，與可通過作差可比較大小，可以通過放縮再和作商比較出大小.【詳解】因為，所以，=，所以即，。所以，故有故答案為：2.（浙江省金華市曙光學校2020-2021學年高三上學期期中數(shù)學試題）已知，，，則，，的大小關系是A． B．C． D．【答案】B【分析】利用作差法比較a,c大小，再分別比較b,c與的關系即可求解【詳解】a-c==<0,故又故3>,故,即b>,又＜故,故即c＜,所以b＞c,綜上，故選B.【提分秘籍】比法：作差，變形，判斷正負。其中難點在于恒等變形的方向和變形的技巧，變形的目的是為了判斷正負，所以可以因式分解，或者計算化簡，或者放縮為具體值，準確計算找對變形方向是關鍵?！咀兪窖菥殹?.已知，，，則，，的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用比較法，結(jié)合基本不等式、對數(shù)換底公式比較出的大小關系，再通過構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)的性質(zhì)比較出的大小關系即可.【詳解】，因為，所以有：，所以，，設，，當時，，所以在上單凋遞減，因此，即，，，，，所以，綜上可知.故選：C.2.（2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學領航卷（三））已知，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】對已知等式兩邊分別取對數(shù)求出a，b，c，然后通過換底公式并結(jié)合基本不等式比較a，b的大小，從而得到a，b，c的大小關系．【詳解】分別對，，兩邊取對數(shù)，得，，．．由基本不等式，得:，所以，，所以．又，所以.故選：D．3.（廣東省真光中學、深圳二高2023屆高三上學期聯(lián)考數(shù)學試題）實數(shù)，，分別滿足，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意得，，，然后與作差結(jié)合基本不等式比較大小，構(gòu)造函數(shù)，可判斷其在上單調(diào)遞減，則，化簡可得，則，則可比較出與的大小即可【詳解】由題意得，，，則，因為，所以，所以，設，則，當時，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，所以，所以，所以，所以，因為，所以，所以，故選：B【題型七】做商比較法【典例分析】1．（陜西省安康市2023屆高三下學期二模理科數(shù)學試題），，，，則a，b，c，d的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、基本不等式等知識，對的大小關系進行分析，從而確定正確答案.【詳解】，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴.故選：A．2.（廣東省深圳外國語學校高中園2022-2023學年高三上學期學段（三）數(shù)學試題）已知，則的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性得出，作商比較與，得出，即可得出，同取以2為底的對數(shù)得出與，則只需比較與即可，根據(jù)對數(shù)運算與單調(diào)性得出，即可比較得出，即可得出答案.【詳解】，即，，即，則，，，，，，，，即，，，即，，即，綜上，故選：D.【提分秘籍】商比法：兩個正數(shù)a，b，如果，運用商比法，要注意兩個數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)【變式演練】1.（貴州省畢節(jié)市2023屆高三年級診斷性考試（一）數(shù)學（理）試題）已知，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先化簡得到，，再根據(jù)，，則求解即可.【詳解】，，首先證明，，則，因為，又因為，，，所以，即證.因為，即，因為，即，所以.故選：A2.（浙江省杭州四校聯(lián)盟2022-2023學年高三上學期1月數(shù)學試題）已知，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)性質(zhì)確定a，，作商后由換底公式變形，利用均值不等式，再放縮可得，根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性再確定，即可得解.【詳解】由題可知，，，易知a，．因為，所以．另一方面，，所以；故選：D．3.已知，，則實數(shù)a，b，c的大小關系為（

）A．c＞a＞b B．a(chǎn)＞b＞cC．a(chǎn)＞c＞b D．c＞b＞a【答案】A【分析】先利用作商法比較a，b的大小，再借助中間值“0.5”得到，得到a＜c，即可得到結(jié)果．【詳解】易知，所以，因為由得所以，所以a＜c．所以實數(shù)a，b，c的大小關系為c＞a＞b．故選：A．【題型八】零點比較法【典例分析】1.（2020-20213學年河北邢臺一中高三上學期第三次模擬數(shù)學試卷）設均為正數(shù)，且，，.則的大小關系為______________．【答案】【詳解】試題分析：分別是函數(shù)的交點，函數(shù)的交點，函數(shù)的交點，做出三函數(shù)圖像，由圖像可知2.已知正實數(shù)，，滿足，，，則a，b，c的大小關系為(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)可得，由此可構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)f(x)的單調(diào)性即可判斷a和c的大??；根據(jù)對數(shù)的計算法則和對數(shù)的性質(zhì)可得b與2的大小關系；變形為，利用函數(shù)與函數(shù)的圖象可判斷兩個函數(shù)的交點的橫坐標c的范圍，從而判斷b與c的大小.由此即可得到答案．【詳解】，故令，則，．易知和均為上的增函數(shù)，故在為增函數(shù)．∵，故由題可知，，即，則．易知，，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，如圖所示，則兩圖象交點橫坐標在內(nèi)，即，，．故選：B．【提分秘籍】冪指對函數(shù)，可以借助函數(shù)之間的圖像交點，以及函數(shù)與坐標軸的交點，函數(shù)的區(qū)間值域，來尋找特殊值之間的大小位置關系【變式演練】1.（新疆生產(chǎn)建設兵團四校2020-2021學年高按（上）期中聯(lián)考數(shù)學試題）已知則，，的大小關系是（）。A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可知，令，可得，，畫出函數(shù)的圖像，結(jié)合的范圍，即可比較a,b,c的大小?！驹斀狻坑深}意知，令，。函數(shù)的圖像如下，當，由圖像可知，即，故答案選B。2.若正實數(shù)a，b，c滿足，，，則正實數(shù)之間的大小關系為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可知，正實數(shù)分別是方程，和在內(nèi)的根，再根據(jù)零點的存在定理，分別可求出正實數(shù)的取值范圍，由此即可得到結(jié)果.【詳解】∵與的圖象在只有一個交點，∴在只有一個根，設為a．令，∵，，，∴．∵與的圖象在只有一個交點，∴在只有一個根，設為b．令，∵，，∴，∴．∵與的圖象在只有一個交點，∴在只有一個根，設為c．令，∵，，，∴．∴．故選：A.3.（河南省南陽市第一中學校2021-2022學年高三上學期第四次階段考試數(shù)學試題）已知，則的大小關系是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】畫出，，，的圖像，根據(jù)圖像得到答案.【詳解】畫出，，，的圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知：.故選：D.【題型九】冪指放大法【典例分析】1.知，則的大小關系為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為比較當時的大小，利用特值法即可求得結(jié)果.【詳解】因為，函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，所以比較a，b，c的大小，只需比較當時的大小即可.用特殊值法，取，容易知，再對其均平方得，顯然，所以，所以。故選：B.2.（2023春·青海西寧·高三模擬）已知，，則a，b的大小關系是（

）A． B．C． D．無法確定【答案】A【分析】利用作差法并結(jié)合不等式的性質(zhì)，可得答案.【詳解】因為所以，所以，即.故選：A.【提分秘籍】指、對、冪大小比較的常用方法：（1）底數(shù)相同，指數(shù)不同時，如和，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；（2）指數(shù)相同，底數(shù)不同，如和利用冪函數(shù)單調(diào)性比較大??；（3）底數(shù)相同，真數(shù)不同，如和利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大??；（4）底數(shù)、指數(shù)、真數(shù)都不同，尋找中間變量0，1或者其它能判斷大小關系的中間量，借助中間量進行大小關系的判定.【變式演練】1.（023春·貴州黔東南·高三?？茧A段練習）設，，，則a，b，c的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接由指數(shù)與對數(shù)的關系及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性計算可得，判定即可【詳解】由題意可得：，則，且，即.故選：B2.（2023春·河北邯鄲·高三校聯(lián)考）已知，則的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，令，利用導數(shù)討論其單調(diào)性，進而可求解【詳解】方法一：，構(gòu)造函數(shù)，則，當時，此時；當時，此時，故，當單調(diào)遞增，當單調(diào)遞減，故，故，，又即，故.故選：A.方法二：所以比較，以下同方法一【題型十】放縮比較法【典例分析】1.（江蘇省南京師范大學附屬中學2022-2023學年高三上學期12月階段性測試數(shù)學試題）設，，，則a，b，c的大小關系為______.（用“<”連接）【答案】【分析】易知，的大小借助指數(shù)和對數(shù)的運算性質(zhì)放縮可得，詳見解析.【詳解】，，再比較與的大小，同時四次方：，則.故答案為：.2.若，則之間的大小關系是__________.【答案】【詳解】注意到.下面證明.，.故.【提分秘籍】放縮：1.借助冪指對函數(shù)的單調(diào)性進行放縮。2.常用一些放縮公式：;當時取等;,當時取等,【變式演練】1.（湖北省華中師范大學第一附屬中學2021-2022學年高三下學期5月考前模擬數(shù)學試題）已知，，，則，，的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】結(jié)合已知條件，比較和的大小，進而可得到和的大小，然后利用介值比較與的大小，利用介值和對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得和的大小，進而得出答案.【詳解】由，，可知，又由，從而，可得，因為，所以；因為，從而，即，由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，，綜上所述，.故選：B.2.若，，，則a，b，c的大小關系為（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】利用對數(shù)運算的性質(zhì)將化簡為，從而和c比較大小，同理比較a,c的大小關系，再根據(jù)兩個指數(shù)冪的大小結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)可比較a,b大小，即可得答案.【詳解】由題意：，，故．又，即，所以，即，因為，所以．因為，故，即，所以，所以，所以，所以，故選：B.3.（福建省漳州第一中學2023屆高三上學期第一次階段考試數(shù)學試題）若，，，則的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式和對數(shù)的運算法則得到，再利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合放縮法得到即可求解．【詳解】，，，，，，，，，故選：．【題型十一】三角函數(shù)圖像與性質(zhì)比較法【典例分析】1.（遼寧省沈陽市實驗中學2019-2020學年高三考試數(shù)學試卷）均為銳角，若，，，則的大小關系是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先分析得到，即得解.【詳解】由題得...綜合得.故選：C2.（陜西省渭南市蒲城縣2020-2021學年高三教學檢測數(shù)學試題）設，，，則、、之間的大小關系是_____.【答案】【分析】根據(jù)誘導公式知，可由正弦函數(shù)單調(diào)性知，有知，即可比較出大小.【詳解】因為所以因為知，所以，故填.【提分秘籍】三角函數(shù)與三角函數(shù)值比較大?。?.借助于三角函數(shù)的周期性，對稱性，誘導公式等，轉(zhuǎn)化為一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)比大小2.借助一些三角函數(shù)不等式進行放縮轉(zhuǎn)化：如當(0，)時，3.構(gòu)造含有三角函數(shù)式的函數(shù)，求導后借助單調(diào)性比大小【變式演練】1.（黑龍江省牡丹江市第一高級中學2021-2022學年高三下學期4月數(shù)學試題）設，，，，則a，b，c，d的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】化簡得到，，，，得到答案.【詳解】；；；.根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性知：.故選：.2.（2023春·河南南陽·高三模擬）已知，，，則實數(shù)的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由，根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)及正切函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】因為，所以，即，，即，，所以.故選：C3.（2023春·江蘇鹽城·高三模擬）已知，，，則a，b，c的大小關系為A． B． C． D．【答案】C【分析】利用余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減得到，再利用正切函數(shù)在上單調(diào)遞增得到，進而得到a，b，c的大小關系.【詳解】，，又余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即；又正切函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，綜上.故選：C【題型十二】導數(shù)構(gòu)造法【典例分析】1.已知，，，則a，b，c的大小關系為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小即可.【詳解】令，所以所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，因為，，，所以，即.故選：C2.（【全國百強?！恐貞c巴蜀中學2019屆上學期高三期中復習數(shù)學試卷）已知，則的大小關系為A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導當，當，所以函數(shù)在上增函數(shù)在上減函數(shù)，所以，即可得出結(jié)論.【詳解】因為，當，當，所以函數(shù)在上增函數(shù)在上減函數(shù)，所以，，故選C.【提分秘籍】常見的構(gòu)造函數(shù)求導思維：在于轉(zhuǎn)化過程中，“分參”→“構(gòu)造”，得新函數(shù)，求導函數(shù)尋找單調(diào)性【變式演練】1.（河北省正定中學2021屆高三下學期開學考試數(shù)學試題）設，，，則的大小關系為A． B． C． D．【答案】B【詳解】①由題意得；②由于，令，則，∴區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，即，因此，故，所以，可得；③由于，令，則，∴區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，即，∴，故．綜上可得．選B．2.若，則的大小關系為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題設，，，構(gòu)造，利用導數(shù)研究其單調(diào)性，進而判斷的大小.【詳解】由題設知：，，，令，則，易知上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，即，∴.故選：A.3.（四川省宜賓市第四中學校2022-2023學年高三上學期12月月考數(shù)學（文科）試題）設，，，則a、b、c的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用，構(gòu)造且研究單調(diào)性比較大小，構(gòu)造且研究單調(diào)性判斷函數(shù)值符號比較的大小，即可得結(jié)果.【詳解】由，因為，，則，，令且，則，則遞減，所以，即，則，故；因為，，由，令且，則，則遞增；故，，而，所以，則，即，綜上，.故選：D【題型十三】構(gòu)造指數(shù)函數(shù)型【典例分析】1.若，則，，的大小關系正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】,則欲比較大小的三個式子結(jié)構(gòu)相同，可以構(gòu)造函數(shù)，再利用其單調(diào)性即可判斷答案.【詳解】設函數(shù)，則，當時，，單調(diào)遞減.由，可得，則，所以，即.故選：D.2.已知，若，，，則的大小關系為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，結(jié)合時，可得結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.因為，所以，所以.故選：A.【提分秘籍】指數(shù)函數(shù)圖像的三個擴展模型【變式演練】1.（陜西省西安市閻良區(qū)2020-2021學年高三理科數(shù)學試題）設，已知，，，則，，的大小關系是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導函數(shù)可得的單調(diào)性，從而可比較a，c的大小，設，由冪函數(shù)的單調(diào)性可比較b，c的大小，從而可得選項.【詳解】解：，當時，，則，所以在上單調(diào)遞減，因為，所以，所以，所以，所以，設，則在上單調(diào)遞增，又，所以，則，所以，故選：D.2.（河南省三門峽市2021-2022學年高三上學期階段性檢測理科數(shù)學試題）設，則，，的大小關系是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，得，判斷函數(shù)在的單調(diào)性，結(jié)合減函數(shù)的性質(zhì)與不等式性質(zhì)，判斷出，，的大小關系．解：設，則，當時，，故在為減函數(shù)，，，則，故；又，，即，故，．故選：B．【題型十四】綜合利用函數(shù)性質(zhì)比較大小【典例分析】1..已知定義在上的函數(shù)滿足函數(shù)的圖象關于直線對稱，且當成立（是函數(shù)的導數(shù)），若，則的大小關系是A． B． C． D．【答案】A【詳解】令，則當，因為函數(shù)的圖象關于直線對稱，所以函數(shù)的圖象關于直線對稱，即為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，因此當，即為上單調(diào)遞減函數(shù)，因為，而，所以，選A.點睛：利用導數(shù)比較大小，實質(zhì)是利用導數(shù)研究對應函數(shù)單調(diào)性，而對應函數(shù)需要構(gòu)造.構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導數(shù)法則進行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等2.（廣東省六校2023屆高三上學期第三次聯(lián)考數(shù)學試題）已知，為函數(shù)的零點，，若，則（

）A． B．C． D．與大小關系不確定【答案】C【分析】為函數(shù)的零點，則可以將三個根代入方程得到三個方程，再將這三個方程進行運算湊出，可解出為定值，然后再根據(jù)函數(shù)有三個零點求出的范圍可得答案.【詳解】易知為函數(shù)的零點，又解之：，負根舍去；又，即與有三個交點，交點橫坐標分別為，如下圖先計算過原點的切線方程，不妨設切點為切線方程為：過原點，此時的斜率比切線斜率小，結(jié)合圖像容易分析出，故選：C【變式演練】1..已知函數(shù)滿足，且當時，成立，若，，，則a，b，c的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用奇函數(shù)的定義得函數(shù)是奇函數(shù)，再利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，再利用單調(diào)性比較大小得結(jié)論.【詳解】因為函數(shù)滿足，且在上是連續(xù)函數(shù)，所以函數(shù)是偶函數(shù)，令，則是奇函數(shù)，且在上是連續(xù)函數(shù)，則，因為當時，成立，即，所以在上單調(diào)遞減，又因為在上是連續(xù)函數(shù)，且是奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，則，，，因為，，，所以，所以，故選：B.2.（安徽省蚌埠市2021-2022學年高三上學期第二次教學質(zhì)量檢查理科數(shù)學試題）已知函數(shù)，設，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，可得為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，由題可得，，，構(gòu)造函數(shù)及，利用導函數(shù)判斷的大小可得答案.【詳解】∵，∴令，，為偶函數(shù)，令，設，則，因為，，，所以，所以，所以在是增函數(shù)，又為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，所以，，由，得，當時；當時，所以，當且僅當時取等號，所以，故，∴，令，，當時；當時，所以，當且僅當時取等號，，，.綜上故選：D3.（廣東省汕頭市潮陽實驗學校2021-2022學年高三考試數(shù)學試題）已知偶函數(shù)是定義在上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為.當時，恒成立.設，記，，，則，，的大小關系為A． B． C． D．【答案】B【詳解】當時，時，即．構(gòu)造函數(shù)，當x<0時，，即F(x)在上遞增，為奇函數(shù)．所以F(x)在單調(diào)遞增．因為，所以，即，所以,,所以．選B.【題型十五】幾個比較復雜的構(gòu)造【典例分析】1.（2021年高考全國乙卷數(shù)學（理）高考真題變式題11-15題）已知，，，則，，的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】觀察a,b,c的結(jié)構(gòu)，進而變形為，，，然后通過構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，最后比較出大小.【詳解】由題意，，，，構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即.故選：C.2.（山東省實驗中學2022-2023學年高三上學期12月月考數(shù)學試題）若，，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)可求得的單調(diào)性，得到，進而可得，知；令，利用導數(shù)可求得，結(jié)合冪函數(shù)單調(diào)性可得，由此可得大小關系.【詳解】令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，，又，，，即，；令，則，在上單調(diào)遞增，，，即；在上單調(diào)遞增，，即；綜上所述：.故選：C.【變式演練】1.（廣東省深圳市鹽田高級中學2023屆高三上學期11月月考數(shù)學試題）已知，則的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用中間值法比較與，與的大小關系，再通過構(gòu)造函數(shù)，然后通過的單調(diào)性比較與的大小關系.【詳解】，；；又，.令，，由于中，，所以，故在上恒成立，得在單調(diào)遞增.故，即，即得證：，故得.綜上所述得.故選：B2.（江蘇省蘇州市常熟市2022-2023學年高三上學期12月抽測二數(shù)學試題）已知，則的大小關系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造，，利用導函數(shù)求單調(diào)性，分別令和即可求解.【詳解】設令，則在上恒成立，單調(diào)遞增，又，所以在上恒成立，所以，即；令，則在上恒成立，單調(diào)遞增，又，所以在上恒成立，所以，即，所以；綜上，故選：A3.（廣東省廣州市四校2023屆高三上學期第二次模擬聯(lián)考數(shù)學試題）若a＝，，c＝，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則a，b，c的大小關系為（

）A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜c＜aC．c＜b＜a D．c＜a＜b【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)證明，可比較大小，再設設，，利用導數(shù)證明（），得出的大小，從而得結(jié)論．【詳解】設，，，時，，設，則，所以在上是增函數(shù)，，所以時，，所以，即，即，，設，，，所以是增函數(shù)，，，，從而，，，綜上，．故選：B．高考真題對點練一、單選題1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．記，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】令，則開口向下，對稱軸為，因為，而，所以，即由二次函數(shù)性質(zhì)知，因為，而，即，所以，綜上，，又為增函數(shù)，故，即.故選：A.2．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）若，則的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對應冪、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關系即可.【詳解】由在R上遞增，則，由在上遞增，則.所以.故選：D3．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）設，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍即可求解.【詳解】，，，，，，.故選：D.4．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）設，則的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得出的大小關系.【詳解】因為，，，所以.故選：D.5．（2019·天津·高考真題）已知，，，則的大小關系為A． B．C． D．【答案】A【分析】利用利用等中間值區(qū)分各個數(shù)值的大小．【詳解】；；．故．故選A．6．（2019·天津·高考真題）已知，，，則的大小關系為A． B．C． D．【答案】A【解析】利用等中間值區(qū)分各個數(shù)值的大?。驹斀狻?，，，故，所以．故選A．7．（2018·天津·高考真題）已知，，，則a，b，c的大小關系為A． B． C． D．【答案】D【詳解】分析：由題意結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)整理計算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：，，，據(jù)此可得：.本題選擇D選項.8．（2018·天津·高考真題）已知，則的大小關系為A． B． C． D．【答案】D【詳解】分析：由題意結(jié)合對數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)的性質(zhì)整理計算即可確定a,b,c的大小關系.詳解：由題意可知：，即，，即，，即，綜上可得：.本題選擇D選項.9．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】法一：根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．【詳解】［方法一］：（指對數(shù)函數(shù)性質(zhì)）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.綜上，.［方法二］：【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）由，可得．根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù)，則，令，解得，由知.在上單調(diào)遞增，所以，即，又因為，所以.故選：A.【點評】法一：通過基本不等式和換底公式以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；法二：利用的形式構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關系，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．10．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得;構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)可得,即可得解.【詳解】[方法一]：構(gòu)造函數(shù)因為當故，故，所以；設，，所以在單調(diào)遞增，故，所以，所以，所以，故選A[方法二]：不等式放縮因為當，取得：，故，其中，且當時，，及此時，故，故所以，所以，故選A[方法三]：泰勒展開設，則，，，計算得，故選A.[方法四]：構(gòu)造函數(shù)因為，因為當，所以,即，所以；設，，所以在單調(diào)遞增，則,所以，所以,所以，故選：A．[方法五]：【最優(yōu)解】不等式放縮因為，因為當，所以,即，所以；因為當，取得，故，所以．故選：A．【整體點評】方法4：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是常見思路，難點在于構(gòu)造合適的函數(shù)，屬于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式放縮，即可得出大小關系，屬于最優(yōu)解．最新?？颊骖}一、單選題1．（2021·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知實數(shù)a、b滿足，則a、b的大小關系為（

）A． B． C． D．不能確定【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】設，，則，因為函數(shù)和在上都為增函數(shù)，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，所以.故選：C.2．（2020·陜西榆林·陜西省神木中學?？既＃┰O，，，則下列大小關系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及正切函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】因為，，即，，所以.故選：D3．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意求，結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷.【詳解】由題意可知，，，所以，故.故選：A．4．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知，，，則的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，化簡得到，，，即可求解.【詳解】由對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)，可得，，，所以．故選：D．5．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）已知，則的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】使用對數(shù)恒等式和對數(shù)運算對進行化簡放縮比大小，找到中間值，結(jié)合三角不等式，判斷與的大小.【詳解】得，再由對數(shù)運算可得.當時，令，則，所以在遞減，則.所以，故.故選：A6．（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，設，，，則，，的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先分析函數(shù)的單調(diào)性和對稱性，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，再研究與對稱軸的距離即可求解.【詳解】由題意：，，是的對稱軸；設，，并且，則，顯然是增函數(shù)，，，，，即當時，是增函數(shù)，，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性規(guī)則：同增異減，在時是增函數(shù)，根據(jù)對稱性，當時，是減函數(shù)；下面分析自變量時與的距離，顯然距離越大，對應的函數(shù)值越大，；設，則，是增函數(shù)，又，所以當時，，即，，；設，則，當時，是減函數(shù)，又，所以時，，即，，又，；；故選：C.【點睛】本題難度較大，分析問題的出發(fā)點是函數(shù)的圖像，然后要運用縮放法對自變量x與對稱軸的距離做出比較，其中是對正切函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的一個常用的縮放，需要掌握.7．（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考三模）已知正實數(shù)分別滿足，，，其中是自然常數(shù)，則的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用作商法可比較出大小關系；可構(gòu)造函數(shù)，將和大小關系的比較轉(zhuǎn)化為和大小的比較，利用導數(shù)可求得單調(diào)性，從而比較出大小關系.【詳解】由得：，，，，，又，；令，則，當時，；當時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；，即，，即；且，即，，即；綜上所述：.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題考查構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小的問題；解題關鍵是能夠根據(jù)所給數(shù)字的特征，將問題轉(zhuǎn)化為的不同函數(shù)值的比較問題，從而利用導數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性得到大小關系.8．（2023·安徽安慶·安徽省桐城中學?？家荒＃┤魧崝?shù)a，b，，且滿足，，，則a，b，c的大小關系是（

）A．c>b>a B．b>a>c C．a(chǎn)>b>c D．b>c>a【答案】B【分析】注意到，，.通過構(gòu)造函數(shù)可比較與c的大小.后構(gòu)造可比較大小，即可得大小.【詳解】由，，，得，，，令，則，當時，，當時，，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，于是，即，又b，，所以；，因為，所以，，，因此，于