歷年考研數(shù)學(xué)一真題及答案(-)

經(jīng)典珍藏版）1987年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（一）試卷一、填空題（本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.把答案填在題中橫線(xiàn)上）⑴當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)y=x?2x取得極小值.■巧■巳（2）由曲線(xiàn)y=Inx與兩直線(xiàn)y=e+1—x及y=0所■巧■巳TOC\o"1-5"\h\z的平面圖形的面積是.1：=X（3）與兩直線(xiàn)'y1+tz=2+t及g=2±2=土都平行且過(guò)原點(diǎn)的平面方程為111（4）設(shè)（4）設(shè)L為取正向的x2+y2=9,則曲線(xiàn)積分(5(2xy一2y)dx+(x2一4x)dy=.L⑸已知三維向量空間的基底為a=(1,1,0),a=(1,0,1),a=(0,1,1),則123向量卩=(2,°,0)在此基底下的坐標(biāo)是.二、（本題滿(mǎn)分8分）求正的常數(shù)數(shù)與b,使等式豐占:呂=1成立.三、(本題滿(mǎn)分7分)⑴設(shè)f、為連續(xù)可微函數(shù),u=f(x,xy),v=g(x+xy),求也豈Jgdx，Qx?「30「(2)設(shè)矩陣A和B滿(mǎn)足關(guān)系式ab=a+2B,其中A=110,求矩陣014B.四、(本題滿(mǎn)分8分)a>0.求微分方程y+6y”+(9+a2)y'二a>0.五、選擇題(本題共4小題,每小題3分,滿(mǎn)分12分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))⑴設(shè)limf(x)—f(a)=-1,則在x=a處xTa(x-a)2⑷f(wàn)(x)的導(dǎo)數(shù)存在，且廣(a)豐0(B)f(x)取得極大值(C)f(x)取得極小值(D)f(x)的導(dǎo)數(shù)不存在⑵設(shè)f(x)為已知連續(xù)函數(shù)，/=tJtf(tx)dx,其中t>0,s>0,則1的值z(mì)zzz(A)依賴(lài)于s和t(C)依賴(lài)于t、x，不依賴(lài)于s賴(lài)于t(B)依賴(lài)于s、/和x(D)依賴(lài)于s,不依值有關(guān)⑷設(shè)A為n階方陣，且A的行列式|A-a豐°,而A*是A的伴隨矩陣,則IA*|等于(A)a⑻丄a(C)an一1(D)an六、(本題滿(mǎn)分10分)g1求冪級(jí)數(shù)'n^7Xn_1的收斂域，并求其和函數(shù).n=1°七、(本題滿(mǎn)分10分)求曲面積分gk+n工(T》_(3)設(shè)常數(shù)k〉0,則級(jí)數(shù)n=1⑷發(fā)散ngk+n工(T》_(3)設(shè)常數(shù)k〉0,則級(jí)數(shù)n=1⑷發(fā)散n2(B)絕對(duì)收斂(C)條件收斂(D)散斂性與k的取其中y是由曲線(xiàn)f(x)Jz二戸1-y-3繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面,Lx=0y其法向量與軸正向的夾角恒大于叟y2-八、(本題滿(mǎn)分10分)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［0,1］上可微，對(duì)于［0,1］上的每一個(gè)，函數(shù)f(x)的值都在開(kāi)區(qū)間(0,］)內(nèi)，且廣(x)J,證明在(0,］)內(nèi)有且僅有一個(gè)x，使得f(x)=x.九、(本題滿(mǎn)分8分)問(wèn)a,b為何值時(shí),現(xiàn)線(xiàn)性方程組{x+x+x+x=0TOC\o"1-5"\h\z1234x+2x+2x=1234—x+(a—3)x—2x=b2343x+2x+x+ax=—11234有唯一解,無(wú)解,有無(wú)窮多解?并求出有無(wú)窮多解時(shí)的通解.十、填空題(本題共3小題,每小題2分,滿(mǎn)分6分.把答案填在題中橫線(xiàn)上)⑴設(shè)在一次實(shí)驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為現(xiàn)進(jìn)行n次獨(dú)立試驗(yàn),Ap,n則A至少發(fā)生一次的概率為;而事件A至多發(fā)生一次的有兩個(gè)箱子,第1個(gè)箱子有3個(gè)白球,2個(gè)紅球,第2個(gè)箱子有4個(gè)白球,4個(gè)紅球.現(xiàn)從第1個(gè)箱子中隨機(jī)地取1個(gè)球放到第2

個(gè)箱子里,再?gòu)牡?個(gè)箱子中取出1個(gè)球,此球是白球的概率為.已知上述從第2個(gè)箱子中取出的球是白球,則從第一個(gè)箱子中取出的球是白球的概率為(3)已知連續(xù)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)=e—x2+2x—i,則X則X的數(shù)學(xué)期望為.,X的方差為.設(shè)隨機(jī)變量f設(shè)隨機(jī)變量fX(x)Z=2X+Y的概率密度函數(shù).一、(本題滿(mǎn)分6分)X,Y相互獨(dú)立,其概率密度函數(shù)分別為尸10<X<10其它，fY(y)P1988年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、(本題共3小題,每小題5分,滿(mǎn)分15分)學(xué)(x—3)n求冪級(jí)數(shù)n3n的收斂域.n=1⑵設(shè)f(x)=ex2,fb(x)］=1—x且?(x)>0，求q(x)及其定義域.(3)設(shè)工為曲面x2+y2+z2=1的外側(cè)，計(jì)算曲面積分I=吐x3dydz+y3dzdx+z3dxdy.二、填空題(本題共4小題,每小題3分,滿(mǎn)分12分.把答案填在題中橫線(xiàn)上)TOC\o"1-5"\h\z若f(t)=hmt(1+-)2tx，則f(t)=.xT8x設(shè)/(x)連續(xù)且『x—1/(t)dt=x，則0f(7)=.設(shè)周期為2的周期函數(shù),它在區(qū)間(—1,1］上定義為>2—1<x<0Af(x)={x20<x<］，則的傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)在兀=1處收斂于?⑷設(shè)4階矩陣A=［a,y,Y，Y］，B=［卩,Y，Y，Y］，其中a，卩，Y,Y,Y均為4234234234維列向量，且已知行列式A=4,B|=1,則行列式A+B=QQ1°2三、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))⑴設(shè)f(x)可導(dǎo)且f'(x0)=1,則Ax一0時(shí)f(X)在x0處的微分dy是與Ax等價(jià)的無(wú)窮小(B)與Ax同階的無(wú)窮小(C)比Ax低階的無(wú)窮小(D)比Ax高階的無(wú)窮?、圃O(shè)y=f(x)是方程y〃—2y，+4y二0的一個(gè)解且xf(X°)>0f(X°)=0,則函數(shù)f(X)在點(diǎn)0處(A)取得極大值(B)取得極小值(C)某鄰域內(nèi)單調(diào)增加(D)某鄰域內(nèi)單調(diào)減少(3)設(shè)空間區(qū)域Q:x2+y2+z2<R2,z>0,Q:x2+y2+z2<R2,x>0,y>0,z>0,則12(A)fffxdv二4fffdvQ1Q2(B)fl!ydv=4fjfydvQ1(C)Iffzdv=4

(D)JJJxyzdv二4JJJxyzdv。2(4)設(shè)冪級(jí)數(shù)工a(x-1)n在x=-1處收斂，則此級(jí)數(shù)在n=1條件收斂(B)絕對(duì)收斂(C)發(fā)散(D)收斂性不能確定(5)n維向量組a1,a2，as(3-s-n)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充要條件是⑷存在一組不全為零的數(shù)仆k2，…，ks，使ka+ka+???+ka豐0TOC\o"1-5"\h\z1122ss巴，a2，…,a中任意兩個(gè)向量均線(xiàn)性無(wú)關(guān)12sa,a2，…,a中存在一個(gè)向量不能用其余向量線(xiàn)性表示12sa,/，???，a中存在一個(gè)向量都不能用其余向量線(xiàn)性表示12s四、(本題滿(mǎn)分6分)設(shè)u=yfq)+xg(”其中函數(shù)廠g具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)’求d2ud2uX—

dx2+yd2u

dxdy五、(本題滿(mǎn)分8分)設(shè)函數(shù)y=y(x)滿(mǎn)足微分方程y〃-3y'+2y=2ex,其圖形在點(diǎn)處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)y=x2-x-1在該點(diǎn)處的切線(xiàn)重合,求函數(shù)y=y(x).六、(本題滿(mǎn)分9分)設(shè)位于點(diǎn)(0,1)的質(zhì)點(diǎn)A對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的引力大小為土(k>0設(shè)位于點(diǎn)(0,1)r2為A質(zhì)點(diǎn)與M之間的距離)，質(zhì)點(diǎn)M沿直線(xiàn)y=42^X2自B(2,0)運(yùn)動(dòng)到O(0,O(0,0),求在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中質(zhì)點(diǎn)A對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的引力所作的功.七、(本題滿(mǎn)分6分)(2)求一個(gè)滿(mǎn)足(2)求一個(gè)滿(mǎn)足p-1AP=b的可逆陣p.「100-「100「000,P=2-1000-1211已知AP=BP其中B=「200-「200_已知矩陣A=001與B=0y001x00-1八、(本題滿(mǎn)分8分)相似.⑴求x與xy.九、(本題滿(mǎn)分9分)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，且在(a,b)內(nèi)有f'(x)>0,證明：?亠亠在(ab)內(nèi)存在唯一的使曲線(xiàn)y=f(x)與兩直線(xiàn)y=f(g),x=a所圍平面圖形面積S］是曲線(xiàn)y=f(x)與兩直線(xiàn)y=f(g),x=b所圍平面圖形面積S的3倍.2十、填空題(本題共3小題,每小題2分,滿(mǎn)分6分.把答案填在題中橫線(xiàn)上)⑴設(shè)在三次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的概率相等，若已知A至少出現(xiàn)一次的概率等于19則事件A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率是若在區(qū)間(0,1)內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)，則事件”兩數(shù)之和小于6”的概率為設(shè)隨機(jī)變量%服從均值為10,均方差為0.02的正態(tài)分布，已機(jī)x)=Jx1e￥du,(2.5)=0.9938-^/2k則x落在區(qū)間(沖㈣內(nèi)的概率為.十一、(本題滿(mǎn)分6分)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)=1,求隨機(jī)變量X兀(1-X2)Y二1-3；X的概率密度函數(shù)(y).1989年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷

一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.把答案填在題中橫線(xiàn)上)⑴已知廣⑶=⑴已知廣⑶=2,則lim9ht0f(3-h)-f⑶二2h⑵設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且f(x)二x+21J(t)dt,則f(x)=.設(shè)平面曲線(xiàn)L為下半圓周y一口，則曲線(xiàn)積分I(X2+y2)ds=.((-2)-1=-300「「100「⑸設(shè)矩陣A二140,I=010003001⑷向量場(chǎng)divu在點(diǎn)P(1,1,0)處的散度divu=.則矩陣二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))⑴當(dāng)X>0時(shí)，曲線(xiàn)y二Xsin1x有且僅有水平漸近線(xiàn)(B)有且僅有鉛直漸近線(xiàn)(C)既有水平漸近線(xiàn)，又有鉛直漸近線(xiàn)(D)既無(wú)水

平漸近線(xiàn),又無(wú)鉛直漸近線(xiàn)已知曲面z=4-x2-y2上點(diǎn)p處的切平面平行于平面2x+2y+z-1二0,則點(diǎn)的坐標(biāo)是(A)(1,-1,2)(B)(-1,1,2)(C)(1,1,2)(D)(-1,-1,2)設(shè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的函數(shù)都是二階非齊次線(xiàn)性方程的解是任意常數(shù),則該非齊次方程的通解是cy+cy+y11223cy+cy—(c+c)y1122123cy+cy-(1-c-c)y1122123cy+cy+(1-c-c)y1122123(4)設(shè)函數(shù)(4)設(shè)函數(shù)f(x)=x2,0<x<1,g■S(x)=工bsinn冗x,-g<x<+g,其中n=1b=2J1f(x)sinn冗xdx,n=1,2,3，.貝gS(-丄)等于no2(B)-1(B)-14(D)丄22(C)14⑸設(shè)A是n階矩陣，且A的行列式|A|=0,則A中必有一列元素全為0必有兩列元素對(duì)應(yīng)成比例必有一列向量是其余列向量的線(xiàn)性組合(D)任一列向量是其余列向量的線(xiàn)性組合三、(本題共3小題,每小題5分,滿(mǎn)分15分)⑴設(shè)z=f(2x-y“g(x,xy)其中函數(shù)/(t)二階可導(dǎo)g(u,v)具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，求空.dxdy(2)設(shè)曲線(xiàn)積分Jxy2dx+艸(x)dy與路徑無(wú)關(guān)，其中申(x)具有連續(xù)的c導(dǎo)數(shù)，且申(0)=0,計(jì)算J(1,1)xy2dx+y申(x)dy的值.(0,0)⑶計(jì)算三重積分JJJ(x+z)dv,其中Q是由曲面z=(x2+y2與Qz=\:‘1-x2-y2所圍成的區(qū)域.四、(本題滿(mǎn)分6分)將函數(shù)f(x)1-xx五、(本題滿(mǎn)分7分)設(shè)/(x)=sinx-Jx(x—t)/(t)dt,其中f為連續(xù)函數(shù)，求f()0ff(x).六、(本題滿(mǎn)分7分)x證明方程■-cos2xdx在區(qū)間?)內(nèi)有且僅有e0兩個(gè)不同實(shí)根.七、（本題滿(mǎn)分6分）問(wèn)九為何值時(shí)，線(xiàn)性方程組x+x=九13虬6x+x+4x=2-+3123有解,并求出解的一般形式.八、（本題滿(mǎn)分8分）假設(shè)九為n階可逆矩陣A的一個(gè)特征值，證明1（1）-為A-1的特征值.⑵兇為A的伴隨矩陣A*的特征值.-九、（本題滿(mǎn)分9分）設(shè)半徑為R的球面E的球心在定球面x2+y2+z2=a2（a〉0）上，問(wèn)當(dāng)R為何值時(shí),球面工在定球面內(nèi)部的那部分的面積最大？十、填空題（本題共3小題,每小題2分,滿(mǎn)分6分.把答案填在題中橫線(xiàn)上）（1）已知隨機(jī)事件a的概率P（a）=o.5,隨機(jī)事件B的概率P（B）=0.6及條件概率p（b|A）=0.8,則和事件人少的概率p（aUb）（2）甲、乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)射擊一次,其命中率分別為0?6和0.5,現(xiàn)已知目標(biāo)被命中,則它是甲射中的概率為.⑶若隨機(jī)變量g在（］,6）上服從均勻分布,則方程x2+gx+1=0有實(shí)根的概率是.十一、（本題滿(mǎn)分6分）設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，且X服從均值為1、標(biāo)準(zhǔn)差（均方差）為込的正態(tài)分布，而Y服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布?試求隨機(jī)變量Z=2X-Y+3的概率密度函數(shù).1990年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（一）試卷一、填空題（本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.把答案填在題中橫線(xiàn)上）{x=—t+2y=31—4垂直的平面方程是.Z=t—1x+a⑵設(shè)a為非零常數(shù)，則［呼L）x=11lxl01lxl⑶設(shè)函數(shù)f（x）=>]，則f[f(x)]⑷積分J22e-y2d的值等于0x（5）已知向量組a=(1,2,3,4),a=(2,3,4,5),a=(3,4,5,6),a=(4,5,6,7),1234則該向量組的秩是二、選擇題（本題共5小題，每小題3分，滿(mǎn)分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）⑴設(shè)f（x）是連續(xù)函數(shù)，且F（x）=J「f（t）dt,則F,（x）等于

⑷一e-xf(e-x)一f(x)⑻—e-xf(e-x)+f(x)(C)e-xf(e-x)-f(x)(D)e-xf(e-x)+f(x)(2)已知函數(shù)f(x)具有任意階導(dǎo)數(shù)，且f(x)=[f(x)]2,則當(dāng)n為大于2的正整數(shù)時(shí)f(x)的n階導(dǎo)數(shù)f(n)(x)是(B)n[f(x)]“+i(A)n![f(x(B)n[f(x)]“+i(D)n![f(x)]2n(C)[f(x)](D)n![f(x)]2n⑶設(shè)a⑶設(shè)a為常數(shù)，則級(jí)數(shù)蘭[Sin型-」n2n=1有關(guān)絕對(duì)收斂(B)條件收斂(C)有關(guān)絕對(duì)收斂(B)條件收斂(C)發(fā)散(D)收斂性與a的取值(4)已知f(x)(4)已知f(x)f(0)=0,lim竺xT01一COSxx=0的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且2,則在點(diǎn)x=0處f(x)(A)不可導(dǎo)(A)不可導(dǎo)(C)取得極大值(B)可導(dǎo)，且廣(°)工o取得極小值(5)已知卩、卩是非齊次線(xiàn)性方程組AX_b的兩個(gè)不同的解,a、a1212是對(duì)應(yīng)其次線(xiàn)性方程組AX=0的基礎(chǔ)解析,%、k為任意常數(shù),則方程組AX=b的通解(一般解)必是R―R(A)ka+k(a+a)+i2112122B+Bka+k(a-a)+丄、112122B-Bka+k(B+B)+i2112122ka+k(B-B)+B1+卩2112122三、（本題共3小題,每小題5分,滿(mǎn)分15分）ln(1+x)(2-x)2⑵設(shè)z=f(2x-y,ysinx),其中f(u,v)具有連續(xù)的二階02z偏導(dǎo)數(shù)，求dxdy⑶求微分方程y"+4y'+4y=e-2x的通解（一般解）.四、（本題滿(mǎn)分6分）求冪級(jí)數(shù)工（2n+1）xn的收斂域，并求其和函數(shù).n=0五、（本題滿(mǎn)分8分）求曲面積分I=Kyzdzdx+2dxdyS其中S是球面x2+y2+z2=4外側(cè)在z>0的部分?六、（本題滿(mǎn)分7分）設(shè)不恒為常數(shù)的函數(shù)f（x）在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo),且f（a）=f（b）.證明在（a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)g,使得廣憶）〉0.七、（本題滿(mǎn)分6分）設(shè)四階矩陣「1-100一■2134_01-100213B=001-1,C二002100010002且矩陣A滿(mǎn)足關(guān)系式A（E-CB）'C'=E其中E為四階單位矩陣,C-1表示C的逆矩陣,C表示C的轉(zhuǎn)置矩陣?將上述關(guān)系式化簡(jiǎn)并求矩陣A八、（本題滿(mǎn)分8分）求一個(gè)正交變換化二次型f=x2+4x2+4x2一4xx+4xx一8xxTOC\o"1-5"\h\z123121323成標(biāo)準(zhǔn)型.九、（本題滿(mǎn)分8分）質(zhì)點(diǎn)P沿著以AB為直徑的半P|戸圓周，從點(diǎn)A（1,2）運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)b（3,4）的'弋丿過(guò)程中受變力f作用（見(jiàn)圖）.f的-大小等于點(diǎn)P與原點(diǎn)O之間的距離，其方向垂直于線(xiàn)段op且與y軸正向的夾角小于殳求變力F對(duì)2質(zhì)點(diǎn)p所作的功.十、填空題(本題共3小題,每小題2分,滿(mǎn)分6分.把答案填在題中橫線(xiàn)上)已知隨機(jī)變量x的概率密度函數(shù)f(x)=1e-Ix,-g<x<+82則X的概率分布函數(shù)F(x)=.設(shè)隨機(jī)事件A、B及其和事件的概率分別是0?4、0.3和0.6,若B表示B的對(duì)立事件，那么積事件AB的概率p(Ab)=.已知離散型隨機(jī)變量x服從參數(shù)為2的泊松(poisson)分布，即P{X=k}=害，k=0丄2,...,則隨機(jī)變量Z=3X-2的數(shù)學(xué)期望k!E(Z)十一、(本題滿(mǎn)分6分)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域D:0<x<l,|y|<x內(nèi)服從均勻分布,求關(guān)于X的邊緣概率密度函數(shù)及隨機(jī)變量Z=2X+1的方差D(Z).

年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.把答案填在題中橫線(xiàn)上)⑴設(shè)［x二1+12,則如=.y=costdx2⑵由方程xyz+、'x2+y2+z2=邁所確定的函數(shù)z=z（x,y）在點(diǎn)（i,o,_i）處的全微分dz=.(3)已知兩條直線(xiàn)的方程是(3)已知兩條直線(xiàn)的方程是l:口=心=口;l:也=口=I110-12211TOC\o"1-5"\h\z則過(guò)l且平行于i的平面方程是，12⑷已知當(dāng)x-0時(shí),(1+ax2)3—1與cosx—1是等價(jià)無(wú)窮小，則常數(shù)a=.「5200_⑸設(shè)4階方陣a=2100，則A的逆陣A1=.001-2AA-10011二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))=1+e-x2曲線(xiàn)y=市沒(méi)有漸近線(xiàn)(C)僅有鉛直漸近線(xiàn)沒(méi)有漸近線(xiàn)(C)僅有鉛直漸近線(xiàn)僅有水平漸近線(xiàn)(D)既有水平漸近線(xiàn)又有鉛直漸近線(xiàn)⑵若連續(xù)函數(shù)f(X)滿(mǎn)足關(guān)系式f(x)=Jf(2)dt+ln2,則f(x)等02(B)e2xln2于(B)e2xln2(C)ex+ln2(A)(C)ex+ln2(D)e2x+ln2(3)已知級(jí)數(shù)((3)已知級(jí)數(shù)(—1)n-1ann=1=2,藝a2n-1=5,則級(jí)數(shù)n=1等于n=1(B)73(B)7⑷設(shè)D是平面xoy上以(1,1)、(_1,1)和(-1,_1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域,D是D在第一象限的部分，則1D口(xy+cosxsiny)dxdy等于D(A)2JJcosxsinydxdy(B)2JJxydxdy(C)D14JJ(xy+cosxsiny)dxdy(D)0D1D1⑸設(shè)n階方陣A、B、C滿(mǎn)足關(guān)系式ABC=E,其中E是n階單位陣,則必有(A)ACB=E(B)CBA=E(C)BAC=E(D)BCA=E(C)8(D)9三、(本題共3小題,每小題5分,滿(mǎn)分15分)

⑴求lim(cos存)7.XT0+⑵設(shè)n是曲面2x2+3y2+z2=6在點(diǎn)P(1,1,1)處的指向外側(cè)的法向量,求函數(shù)u=向量,求函數(shù)u=在點(diǎn)P處沿方向n的方向?qū)?shù).⑶山(X2+y2+z)dv,其中。是由曲線(xiàn)y2=2z繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的Q］X=0曲面與平面4所圍城的立體.z=4四、(本題滿(mǎn)分6分)過(guò)點(diǎn)O(0,0)和A任,0)的曲線(xiàn)族y=aSinx(a>0)中,求一條曲線(xiàn)l使沿該曲線(xiàn)°從到A的積分J(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最小.L五、(本題滿(mǎn)分8分)將函數(shù)f(x)二2+|x|(-l<x<1)展開(kāi)成以2為周期的傅里葉級(jí)數(shù)，并由此求級(jí)數(shù)￡丄的和.n2n=1六、(本題滿(mǎn)分7分)設(shè)函數(shù)f(x)在［0,1］上連續(xù),(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且3J；f(x)dx=f(0),證明在3(0,1)內(nèi)存在一點(diǎn)c,使廣(c)=0.七、(本題滿(mǎn)分8分)已知a=(1,0,2,3),a=(1,1,3,5),a=(1,-1,a+2,1),a=(1,2,4,a+8)及1234卩=(1,1,b+3,5).⑴a、b為何值時(shí)B不能表示成a,a,a,a的線(xiàn)性組合？，卩1234⑵a、b為何值時(shí)B有a,a,a,a的唯一的線(xiàn)性表示式？寫(xiě)出該表，P1234示式.八、（本題滿(mǎn)分6分）設(shè)A是n階正定陣,E是n階單位陣，證明A+E的行列式大于1.九、（本題滿(mǎn)分8分）在上半平面求一條向上凹的曲線(xiàn),其上任一點(diǎn)p（x,y）處的曲率等于此曲線(xiàn)在該點(diǎn)的法線(xiàn)段pQ長(zhǎng)度的倒數(shù)（Q是法線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)），且曲線(xiàn)在點(diǎn)（口）處的切線(xiàn)與x軸平行.十、填空題（本題共2小題,每小題3分,滿(mǎn)分6分.把答案填在題中橫線(xiàn)上）⑴若隨機(jī)變量x服從均值為2、方差為。2的正態(tài)分布，且P{2<X<4}=0.3,則P{X<0）=（2）隨機(jī)地向半圓0<y<￡07二2（a為正常數(shù)）內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比,則原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線(xiàn)與x軸的夾角小于巴的概率為.4十一、（本題滿(mǎn)分6分）設(shè)二維隨機(jī)變量（x,Y）的密度函數(shù)為2e-（x+2y）x>0,y>0

f（X'⑴o€其它求隨機(jī)變量Z=X+2Y的分布函數(shù).年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.把答案填在題中橫線(xiàn)上)⑴設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程ex+y+cos(xy)=0確定,則空=.dx⑵函數(shù)u二ln(x2+y2+z2)在點(diǎn)M(1,2,-2)處的梯度grad=

⑶設(shè)f(x)r-1?<x<o，則其以2“為周期的傅里葉級(jí)數(shù)在1+x20<x<兀y'+ytanx=cosxabab…ab11121nabab…ab21212nabab…ab⑸設(shè)A=nnn1n2的通解為y=點(diǎn)x⑸設(shè)A=nnn1n2的通解為y=,其中a主0,b主0,(i=1,2,…,n).則矩陣iiA的秩r(A)二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))⑴當(dāng)x-］時(shí),函數(shù)1e盒的極限x—1等于2(B)等于0為g(D)不存在但不為g(2)級(jí)數(shù)￡(—1)n(1—cosa)(常數(shù)a〉0)nn=1⑷發(fā)散(B)條件收斂(C)絕對(duì)收斂(D)收斂性與a有關(guān)⑶在曲線(xiàn)x=t,y=—12,z=13的所有切線(xiàn)中，與平面x+2y+z=4平行的切線(xiàn)⑷只有1條(B)只有2條(C)至少有3條(D)不存在⑷設(shè)f(x)=3x3+x2x|，則使f(n)(0)存在的最高階數(shù)n為(A)0(B)1

「01-「「-102_(D)4—2—201—10111(C)-112001(C)2(D)3'0、1<-1>都是線(xiàn)性方程組AX=0的解，只要系數(shù)矩(B)⑷(C)2(D)3'0、1<-1>都是線(xiàn)性方程組AX=0的解，只要系數(shù)矩(B)⑷[-2⑴求iimex-sinx-1.xtO1—1—X2⑵設(shè)z=f(exsiny,x2+y2),其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求玉.Jdxdy⑶設(shè)f(x)J1+x2x§0，求J3f(x—2)dx.e—xx>01四、（本題滿(mǎn)分6分）求微分方程y”+2y'—3yje—3x的通解.五、（本題滿(mǎn)分8分）計(jì)算曲面積分(x3+az2)dydz+(y3+ax2)dzdx+(z3+ay2)dxdy，其中丫為上半球面z=pa2-x2—y2的上側(cè).六、（本題滿(mǎn)分7分）設(shè)f"(x)<0,f(0)=0,證明對(duì)任何x>0,x>0,有f(x+x)<f(x)+f(x).七、（本題滿(mǎn)分8分）在變力F=yziJzj+xyk的作用下，質(zhì)點(diǎn)由原點(diǎn)沿直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到橢球面竺+竺+竺=1上第一卦限的點(diǎn)M（g,耳,匚），問(wèn)當(dāng)「門(mén)、匚取何值時(shí)，力fa2b2c2n所做的功W最大?并求出W的最大值.八、（本題滿(mǎn)分7分）設(shè)向量組a,a,a線(xiàn)性相關(guān),向量組a,a,a線(xiàn)性無(wú)關(guān)，問(wèn)：123234（1）a能否由a,a線(xiàn)性表出?證明你的結(jié)論.TOC\o"1-5"\h\z123（2）a能否由a,a,a線(xiàn)性表出?證明你的結(jié)論.4123九、（本題滿(mǎn)分7分）設(shè)3階矩陣A的特征值為九二1,九二2,九二3,對(duì)應(yīng)的特征向量依次為A123(1](1](1]1,g2=2'g3=3,又向量°=2丄<4丿<9丿13丿TOC\o"1-5"\h\z（1）將°用g,石,g線(xiàn)性表出.卩123⑵求Anp（n為自然數(shù)）.十、填空題（本題共2小題,每小題3分,滿(mǎn)分6分.把答案填在題

中橫線(xiàn)上）⑴已知p（a）=p（b）=p（C）=1,p（AB）=0,p（AC）=p（BC）=1,則事件A、46B、C全不發(fā)生的概率為.⑵設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，則數(shù)學(xué)期望E{X+e-2x}=?十一、（本題滿(mǎn)分6分）設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立,X服從正態(tài)分布N（卩Q2）,Y服從［“,兀］上的均勻分布,試求Z=X+Y的概率分布密度（計(jì)算結(jié)果用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)①函數(shù)①表示，其中0（x）=t22dt)?年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.把答案填在題中橫線(xiàn)上)⑴函數(shù)f(x)=ix(2-丄)dt(x>0)的單調(diào)減少區(qū)間為1vt(0,3x2(0,3x2+2y2=12繞軸旋轉(zhuǎn)z=0y朽，運(yùn))處的指向外側(cè)的單位法向量為_(kāi)(2)由曲周得到的旋轉(zhuǎn)面在點(diǎn)(3)設(shè)函數(shù)f(x)=兀x+x2(一兀<x<兀)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為ag/oag/o+乙(a2nn=1cosnx+bsinnx),n則其中系數(shù)b的值為3⑷設(shè)數(shù)量場(chǎng)u=l^.'x2+y2+z2，則div(gradu)=⑸設(shè)n階矩陣A的各行元素之和均為零，且A的秩為n一1,則線(xiàn)性方程組AX=0的通解為.二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，滿(mǎn)分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))⑴設(shè)f(x)=isinxsin(t2)dt,g(x)=x3+x4,則當(dāng)x一0時(shí),f(x)是g(x)的0等價(jià)無(wú)窮小(B)同價(jià)但非等價(jià)的無(wú)窮小(C)高階無(wú)窮小(C)高階無(wú)窮小xx=1xx=1(2)雙紐線(xiàn)(x2+y2)2=x2一y2所圍成的區(qū)域面積可用定積分表示為(A)(A)2f4cos20d00(C)2f4、：cos20d00⑶設(shè)有直線(xiàn)i?x一1二y-5二z+8「1-21⑷蘭6(C)巴3(B)4fTcos20d00(D)1f：(cos20)2d020與i:x-y=6則i與i的夾角為22y+z=312(B)-4(D)色2設(shè)曲線(xiàn)積分f[f(t)-ex]sinydx-f(x)cosydy與路徑無(wú)關(guān),其中(B)t(B)t=6時(shí)p的秩必為2(C)心(C)心6時(shí)p的秩必為1(D)心6時(shí)p的秩必為2(A)e-x—ex(B)ex—e-x22(C)ex+e-x1(D)1ex+e-x22「123「⑸已知Q=24t,P為三階非零矩陣,且滿(mǎn)足PQ=0,則369f(x)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)=0,則f(x)等于(A)t=6時(shí)p的秩必為1三、(本題共3小題,每小題5分,滿(mǎn)分15分)(1)求21lim(sin+cos(1)求21lim(sin+cos)x⑵求fdx.xex⑶求微分方程x2y，+xy=y2,滿(mǎn)足初始條件y=1的特解.四、（本題滿(mǎn)分6分）計(jì)算2xzdydz+yzdzdx—z2dxdy,其中工是由曲面z=、：兀2+y2與z=丄2-x2-y2所圍立體的表面外側(cè).五、（本題滿(mǎn)分7分）求級(jí)數(shù)才(-l)n(n2-n+1)的和.2nn=0六、（本題共2小題,每小題5分,滿(mǎn)分10分）⑴設(shè)在［0,+8）上函數(shù)f（x）有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f（x）>k>0,f（0）<0,證明f（x）在（0,+8）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).⑵設(shè)b⑵設(shè)b>a>e證明ab>ba.七、（本題滿(mǎn)分8分）已知二次型f（x,x,x）=2x2+3x2+3x2+2axx（a>0）通過(guò)正交變換化12312323成標(biāo)準(zhǔn)形f=y2+2y2+5y2,求參數(shù)a及所用的正交變換矩陣.123八、（本題滿(mǎn)分6分）設(shè)A是nxm矩陣,B是mxn矩陣，其中n<m,I是n階單位矩陣，若AB=I證明B的列向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān).九、（本題滿(mǎn)分6分）設(shè)物體A從點(diǎn)?］）出發(fā)，以速度大小為常數(shù)v沿y軸正向運(yùn)動(dòng)?物

體B從點(diǎn)(-1,0)與A同時(shí)出發(fā),其速度大小為2v,方向始終指向A試建立物體B的運(yùn)動(dòng)軌跡所滿(mǎn)足的微分方程，并寫(xiě)出初始條件.十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿(mǎn)分6分.把答案填在題中橫線(xiàn)上)一批產(chǎn)品共有10個(gè)正品和2個(gè)次品,任意抽取兩次,每次抽一個(gè),抽出后不再放回,則第二次抽出的是次品的概率為(2)設(shè)隨機(jī)變量X(2)設(shè)隨機(jī)變量X服從(0,2)上的均勻分布,則隨機(jī)變X2(0,4)內(nèi)的概率分布密度f(wàn)Y(y)=十一、(本題滿(mǎn)分6分)設(shè)隨機(jī)變量%的概率分布密度為/(x)=1e川,x<+^2⑴求X的數(shù)學(xué)期望EX和方差DX.求X與|x|的協(xié)方差，并問(wèn)X與|x|是否不相關(guān)？⑶問(wèn)X與|X|是否相互獨(dú)立?為什么？

1994年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷

一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.把答案填在題中橫線(xiàn)上)(1)limcot兀((1)limcot兀(—-—xT0sinxx曲面z一ex+2xy=3在點(diǎn)(1,2,0)處的切平面方程為T(mén)OC\o"1-5"\h\z⑶設(shè)u=e一xsin蘭,則賓在點(diǎn)⑵丄)處的值為?yoxoy兀(4)設(shè)區(qū)域D為x2+y2<R2,—.Da2b2D⑸已知a=[1,2,3],0=[1,2,3],設(shè)a=a‘卩,其中出是a的轉(zhuǎn)置，則An=.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))設(shè)冬sinxM=J2-一兀1+x22cos4xdx,N=J2(sin3x+cos4x)dx,P=J2(x冬sinxM=J2-一兀1+x2222(A)(B)M<P<N(A)(B)M<P<N(C)N<M<P(D)P<M<N(2)二兀函數(shù)f(xy)在點(diǎn)(x,y)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)f'(x,y)、f'(x,y)存00x00y00(B)必要條件而(D)既非充分條件(3)(B)必要條件而(D)既非充分條件(3)設(shè)常數(shù)九〉°,且級(jí)數(shù)￡a2nn=1收斂,則級(jí)數(shù)￡(_1)nn2+九n=1在是f(x,y)在該點(diǎn)連續(xù)的⑷充分條件而非必要條件非充分條件(C)充分必要條件又非必要條件⑷發(fā)散(C)絕對(duì)收斂(A)b=⑷發(fā)散(C)絕對(duì)收斂(A)b=4d(B)b=-4d條件收斂(D)收斂性與九有關(guān)⑷limatanx+b(1-cosx)=2,其中a2+c2豐o,則必有xtOcln(1-2x)+d(1-e-x2)(D)⑸已知向量組a,a,a,a線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則向量組(D)12341994年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷

一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.把答案填在題中橫線(xiàn)上)(1)limcot兀((1)limcot兀(—1—xT0sinxx曲面z-ex+2xy=3在點(diǎn)(1,2,0)處的切平面方程為⑶設(shè)u=e-xsin二則冀在點(diǎn)(2,1)處的值為yuxoy兀

TOC\o"1-5"\h\z⑷設(shè)區(qū)域D為x2+y2<R2,則[f(蘭+22)dxdy=.Da2b2D⑸已知a=[1,2,3],0=[1,2,3],設(shè)a=a‘卩,其中出是a的轉(zhuǎn)置，則An=.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)設(shè)M=f2■Sinxcos4xdx,N=f一兀1+x2_2(A)N<P<M2(sin3xM=f2■Sinxcos4xdx,N=f一兀1+x2_2(A)N<P<M22(B)M<P<N(C)N<M(C)N<M<P(2)二兀函數(shù)f(x,；)在點(diǎn)(x,；)00在是f(x,y)在該點(diǎn)連續(xù)的⑷充分條件而非必要條件(D)P<M<N處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)f：(x0,y0)、f；(x0,y。)存必要條件而非充分條件充分必要條件既非充分條件充分必要條件既非充分條件又非必要條件MJn=n2MJn=n2+九(3)設(shè)常數(shù)九〉°,且級(jí)數(shù)￡°2收斂,則級(jí)數(shù)藝(一1)nnn=1n=1(B)條件收斂⑷發(fā)散(C)絕對(duì)收斂(D)收斂性與九有關(guān)⑷恤atanx+b(l-cosx)二2,其中a2+c2豐0,則必有xtocln(l-2x)+d(1-e-x2)（B）b一4d(C)a=4c（D）(C)a=4c⑸已知向量組a,a,a,a線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則向量組1234⑷a+a,a+a,a+a,a+a線(xiàn)性無(wú)關(guān)12233441(B)a-a,a-a,a-a,a-a線(xiàn)性無(wú)關(guān)12233441(C)a+a,a+a,a+a,a-a線(xiàn)性無(wú)關(guān)12233441(D)a+a,a+a,a-a,a-a線(xiàn)性無(wú)關(guān)12233441三、（本題共3小題,每小題5分,滿(mǎn)分15分）⑴設(shè)x=cos(t⑴設(shè)x=cos(t2)21y=tcos(t2)-ftcosudui2ju，求空、dx如在t二匹的值.dx22⑵將函數(shù)f(x)二亠土+1arctanx-x展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù).41-x2(3)求fdx.sin(2x)+2sinx四、（本題滿(mǎn)分6分）計(jì)算曲面積分口xdydz+z2dxdy,其中S是由曲面x2+y2=R2及x2+y2+z2SSz=R,z一R（R>0）兩平面所圍成立體表面的外側(cè).五、（本題滿(mǎn)分9分）設(shè)f（x）具有二階連續(xù)函數(shù),f（0）=0,廣（0）=1,且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy=0為—全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解.六、(本題滿(mǎn)分8分)設(shè)f(x)在點(diǎn)x=0的某一鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且lim迪=0,xT0x證明級(jí)數(shù),f(1)絕對(duì)收斂.nn=1七、(本題滿(mǎn)分6分)已知點(diǎn)a與b的直角坐標(biāo)分別為(i,o,o)與(0,1,1).線(xiàn)段AB繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面為S求由S及兩平面z=0,z=1所圍成的立體體積.八、(本題滿(mǎn)分8分)設(shè)四元線(xiàn)性齊次方程組(I)為xi+x2=0,x—x=0

24又已知某線(xiàn)性齊次方程組(II)的通解為k(0,1,1,0)+k(—1,2,2,1).12⑴求線(xiàn)性方程組(I)的基礎(chǔ)解析.問(wèn)線(xiàn)性方程組(I)和(II)是否有非零公共解?若有，則求出所有的非零公共解.若沒(méi)有,則說(shuō)明理由.九、(本題滿(mǎn)分6分)設(shè)A為n階非零方陣，A*是A的伴隨矩陣，A，是A的轉(zhuǎn)置矩陣，當(dāng)A*=A，時(shí)，證明A|豐0.十、填空題(本題共2小題,每小題3分,滿(mǎn)分6分.把答案填在題中橫線(xiàn)上)⑴已知A、B兩個(gè)事件滿(mǎn)足條件P(AB)=P(AB),且P(A)=p,則P(B)⑵設(shè)相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量%,Y具有同一分布率，且X的分布率為則隨機(jī)變量z=max{X,Y}的分布率為十一、(本題滿(mǎn)分6分)設(shè)隨機(jī)變量X和Y分別服從正態(tài)分布N(1,32)和N(0,42),且X與Y的相關(guān)系數(shù)p一1,設(shè)Z=X+Y,xy2'32’⑴求Z的數(shù)學(xué)期望EZ和DZ方差.求X與Z的相關(guān)系數(shù)p.XZxz問(wèn)乂與Y是否相互獨(dú)立?為什么？(2)(2)設(shè)在[0,1]上f"(x)>0,貝°廣(0),f'(1),f(1)—f(0)或f(0)—f(1)的大小1995年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（一）試卷一、填空題（本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.把答案填在題中橫線(xiàn)上）lim(l+3x)Si^X=.xT0竺j0xcos12dt='dxx2(3)設(shè)((3)設(shè)(axb)?c=2,[(a+b)x(b+c)]?(c+a)(4)冪級(jí)數(shù)藝nx2n一i的收斂半徑R=<2n+(—3)nn=l⑸設(shè)三階方陣A,B滿(mǎn)足關(guān)系式A—iBA=6A+BA,且A=000則B=二、選擇題（本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）（1）設(shè)有直線(xiàn)L:x（1）設(shè)有直線(xiàn)L:x+3y+2z+1=0,及平面2x—y—10z+3=0:4x—2y+z—2=0,則直（B）在（B）在冗上（D）與冗斜交⑷平行于冗（C）垂直于冗

順序是(A)廠(1)>廣(0)>f⑴-f(0)⑻f(1)>f(1)-f(0)>f'(0)(C)f(1)-f(0)>f'(1)>f'(0)(D)f'(1)>f(0)-f(1)>f'(0)⑶設(shè)f(x)可導(dǎo)，F(xiàn)(x)二f(x)(1+|sinx|),則f(0)=0是F(x)在x=0處可導(dǎo)的充分必要條件充分條件但非充分必要條件充分條件但非必要條件(C)必要條件但非充分條件(C)必要條件但非充分條件(D)既非充分條件又非必要條件⑷設(shè)u=(-1)⑷設(shè)u=(-1)nln(1+丄),則級(jí)數(shù)nn與藝u2都收斂nn=1收斂，而藝u2發(fā)散⑷為un=1(C)藝un=1nn=1(B)藝u與藝u2都發(fā)散nn=1(D)另unn=1nn=1收斂，而藝u2nn=1發(fā)散(A)APP12=B(A)APP12=B(C)PPA=B12(B)APP=B21(D)PPA=B21aaaaaa「010-「100_111213111213aaa,B=aaa,P=100,P=01021222321222312aaaaaa0011013132333132331——11——1(5)A=,則必有三、(本題共2小題,每小題5分,滿(mǎn)分10分)⑴設(shè)u=f(x,y,z),cp(x2,ey,z)=0,y=sinx,其中f,申都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且殂“.求包.dzdx⑵設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,]]上連續(xù)，并設(shè)f1f(x)dx二A,求0f1dxf1f(x)f(y)dy.0x四、(本題共2小題,每小題6分,滿(mǎn)分12分)⑴計(jì)算曲面積分口zdS,其中z為錐面z巳E在柱體x2+y2<2x內(nèi)的部分.⑵將函數(shù)f(x)=x_1(0<x<2)展開(kāi)成周期為4的余弦函數(shù).五、(本題滿(mǎn)分7分)設(shè)曲線(xiàn)L位于平面xOy的第一象限內(nèi)丄上任一點(diǎn)M處的切線(xiàn)與y軸總相交，交點(diǎn)記為A.已知阿卜網(wǎng),且L過(guò)點(diǎn)(3,3),求L的方程.^2^2六、(本題滿(mǎn)分8分)恒有設(shè)函數(shù)Q(x,y)在平面xOy上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，曲線(xiàn)積分恒有f2xydx+Q(x,y)dy與路徑無(wú)關(guān),并且對(duì)任意Lf(t」)2xydx+Q(x,y)dy=(0,0)f(1,t)2xydx+Q(x,y)dy,f(t」)2xydx+Q(x,y)dy=(0,0)(0,0)七、(本題滿(mǎn)分8分)假設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在[a,b]上存在二階導(dǎo)數(shù),并且試證:g"(x)工0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,⑴在開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)g（x）主0.（2）在開(kāi)區(qū)間（ab）內(nèi)至少存在一點(diǎn)芒使週—皿g憶）g〃憶）■八、（本題滿(mǎn)分7分）設(shè)三階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的特征值為九=_1,九亠=1,對(duì)應(yīng)于九的特征A1231O向量為鏟1,求A1九、（本題滿(mǎn)分6分）設(shè)A為n階矩陣，滿(mǎn)足AA,=I（I是n階單位矩陣,A，是A的轉(zhuǎn)置矩陣）,|A<0,求|A+1.十、填空題（本題共2小題,每小題3分,滿(mǎn)分6分.把答案填在題中橫線(xiàn)上）⑴設(shè)X表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù),每次射中目標(biāo)的概率為0.4,則%2的數(shù)學(xué)期望E（X2）=.⑵設(shè)X和Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，且P{X>0,Y>0}=3,P{X>0}=P{Y>0}=4,77則P{max（X,Y）>0}=.一、（本題滿(mǎn)分6分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為fx(x)=求隨機(jī)變量Y=eX的概率密度f(wàn)Y(y).年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.把答案填在題中橫線(xiàn)上)TOC\o"1-5"\h\z⑴設(shè)iim(x±：2a)x二&則a=.xsx—a⑵設(shè)一平面經(jīng)過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn)_3,2),且與平面4x-y+2z=8垂直，則此平面方程為.⑶微分方程y〃—2y+2y=ex的通解為.⑷函數(shù)u=ln(x+*y2石)在點(diǎn)a(1,0,1)處沿點(diǎn)a指向點(diǎn)b(3,-2,2)方向的方向?qū)?shù)為.「102_⑸設(shè)A是4X3矩陣，且A的秩r(A)=2,而B(niǎo)=020,則—103r(AB)=.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))⑴已知(X+ay)dx+ydy為某函數(shù)的全微分,。則等于(x+y)2-1(B)01(D)2⑵設(shè)f(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且廣(0)二0,lim加二1,則xt0卜|

(A)f(0)是f(x)的極大值(B)f(0)是f(x)的極小值(0,f(0))是曲線(xiàn)y二f(X)的拐點(diǎn)f(0)不是f(x)的極值,(0,f(0))也不是曲線(xiàn)y二f(x)的拐點(diǎn)(3)設(shè)a>0(n二1,2,…),且為a收斂，常數(shù)仁(0更)則級(jí)數(shù)nn2n=18九乙(_1)n(ntan一)an2nn=1絕對(duì)收斂(B)條件收斂(0發(fā)散(D)散斂性與入有關(guān)⑷設(shè)有f(x)連續(xù)的導(dǎo)數(shù),f(0)=0,f'(0)豐0,F(x)=Jx(x2_12)f(t)dt,且0當(dāng)x-0時(shí),F，(x)與xk是同階無(wú)窮小，則k等于1(B)2(C)34(C)3(5)四階行列式b1000b2b30(5)四階行列式b1000b2b300a2a30Qloo力的值等于(A)aaaa_bbbb12341234(B)aaaa+bbbb12341234(C)(aa_bb)(aa_bb)12123434(D)(aa_bb)(aa_bb)23231414三、(本題共2小題,每小題5分,滿(mǎn)分10分)(1)求心形線(xiàn)r=a(1+cos0-):的全長(zhǎng)，其中a>0是常數(shù).⑵設(shè)x=10,x=?J6+x(n=1,2,...),試證數(shù)列｛x｝極限存在，并求此1n+1nn極限.四、(本題共2小題,每小題6分,滿(mǎn)分12分)計(jì)算曲面積分u(2x+z)dydz+zdxdy,其中S為有向曲面Sz=x2+y2(0<X<1),其法向量與z軸正向的夾角為銳角.設(shè)變換u=X-2y可把方程6空+空一竺二0簡(jiǎn)化為竺=0,v=X+aydx2dxdydy2dudv求常數(shù)a.五、(本題滿(mǎn)分7分)求級(jí)數(shù)￡I的和.(n2-1)2nn=1六、(本題滿(mǎn)分7分)設(shè)對(duì)任意x>0,曲線(xiàn)y=f(X)上點(diǎn)(X,f(x))處的切線(xiàn)在y軸上的截距等于-Jxf(t)dt,求f(x)的一般表達(dá)式?x0七、(本題滿(mǎn)分8分)設(shè)f(%)在［0,1］上具有二階導(dǎo)數(shù),且滿(mǎn)足條件|f(x)|<a,|八x)|<b,其中a,b都是非負(fù)常數(shù),c是(0,1)內(nèi)任意一點(diǎn)?證明|廣(c)|<2a+|.八、(本題滿(mǎn)分6分)設(shè)A=I-塞T,其中】是n階單位矩陣衛(wèi)是n維非零列向量,寧是g的轉(zhuǎn)置?證明(1)A2=A的充分條件是gTg=1.⑵當(dāng)匪=1時(shí),A是不可逆矩陣.九、（本題滿(mǎn)分8分）已知二次型f（X已知二次型f（X1,X2,X3）=5x2+5x2+cx2一2xx+6xx一6xx123121323的秩為2,（1）求參數(shù)c及此二次型對(duì)應(yīng)矩陣的特征值.⑵指出方程f（x,x,x）=1表示何種二次曲面.123十、填空題（本題共2小題,每小題3分,滿(mǎn)分6分.把答案填在題中橫線(xiàn)上）（1）設(shè)工廠A和工廠B的產(chǎn)品的次品率分別為1%和2%,現(xiàn)從由A和B的產(chǎn)品分別占60%和40%的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，發(fā)現(xiàn)是次品,則該次品屬A生產(chǎn)的概率是.⑵設(shè)g耳是兩個(gè)相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布n（0（丄）2）的隨機(jī)變2量,則隨機(jī)變量^一刑的數(shù)學(xué)期望e（|g-n|）=.一、（本題滿(mǎn)分6分）設(shè)gn是兩個(gè)相互獨(dú)立且服從同一分布的兩個(gè)隨機(jī)變量，已知g的分布率為P的分布率為P（^=i）=1,i=1,2,3.又設(shè)又設(shè)X=max（g,耳）,Y=min（g,耳）.11223112233⑵求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.把答案填在題中橫線(xiàn)上)3sinx+x2cos丄_lim—=*XT°(1+cosx)ln(1+x)axn

nn=1設(shè)冪級(jí)數(shù)￡axn的收斂半徑為3,則冪級(jí)數(shù)axn

nn=1區(qū)間為⑶對(duì)數(shù)螺線(xiàn)p=ee在點(diǎn)(p,e)=(e1J處切線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為22

t2

t-13,B為三階非零矩陣，且1袋中有50個(gè)乒乓球,其中20個(gè)是黃球,30個(gè)是白球,今有兩人依次隨機(jī)地從袋中各取一球,取后不放回,則第二個(gè)人取得黃球的概率是二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，滿(mǎn)分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)){xy=L(x，y)*(0,0)，在點(diǎn)(0,0)處0(x,y)=(0,0)

存在連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不(D)連續(xù)，偏導(dǎo)不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在存在連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不(D)連續(xù)，偏導(dǎo)S=i19f(x)dx,S12=f(a)+f(b)］(b-a),2(A)S<S<S123(C)S<S=i19f(x)dx,S12=f(a)+f(b)］(b-a),2(A)S<S<S123(C)S<S<S312⑶設(shè)F(x)二ix+2兀esintsintdt,則F(x)x(A)為正常數(shù)(B)S<S<S213(D)S<S<S231(B)為負(fù)常數(shù)(C)恒為零(D)不為常數(shù)⑷設(shè)a1aia,a=,a=cic22232abc333,則三條直線(xiàn)ax+by+c=0,111ax+by+c=0,222ax+by+c=0333(其中a2+b2豐0,/=1,2,3)交于一點(diǎn)的充要條件是iia,a,a線(xiàn)性相關(guān)(B)a,a,a線(xiàn)性無(wú)關(guān)123123(C)秩r(a,a,a)=秩r(a,a)(D)a,a,a線(xiàn)性相關(guān),a,a1231212312線(xiàn)性無(wú)關(guān)⑸設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量%和Y的方差分別為4和2,則隨機(jī)變量3X-2Y的方差是

(B)16(D)448(B)16(D)44(C)28三、(本題共3小題,每小題5分,滿(mǎn)分15分)⑴計(jì)算I=川(x2+y2)dv,其中G為平面曲線(xiàn)y2-2z繞z軸旋轉(zhuǎn)一QX=0周所成的曲面與平面z8所圍成的區(qū)域.⑵計(jì)算曲線(xiàn)積分込(z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dz,其中c是曲線(xiàn)x2+y2=1從z軸正向往z軸負(fù)向看c的方向是順時(shí)針的.x一y+z=2在某一人群中推廣新技術(shù)是通過(guò)其中掌握新技術(shù)的人進(jìn)行的,設(shè)該人群的總?cè)藬?shù)為N在t=0時(shí)刻已掌握新技術(shù)的人數(shù)為x°,在任意時(shí)刻t已掌握新技術(shù)的人數(shù)為x(t)(將x(t)視為連續(xù)可微變量)，其變化率與已掌握新技術(shù)人數(shù)和未掌握新技術(shù)人數(shù)之積成正比,比例常數(shù)k〉0,求x(t).四、(本題共2小題,第(1)小題6分,第(2)小題7分,滿(mǎn)分13分)⑴設(shè)直純：x+y+b=0在平面冗上,而平面“與曲面z=x2+y2vx+ay—z—3=0相切于點(diǎn)(1,—2,5),求a,b之值.⑵設(shè)函數(shù)f(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而z=f(exsiny)滿(mǎn)足方程6262z6x2=e2xz,求f(u).五、(本題滿(mǎn)分6分)設(shè)f(x)連續(xù)，申(x)=J1f(xt)dt,且limf(x)=A(A為常數(shù))，求『(x)并討0xt0x論"(x)在x=0處的連續(xù)性.六、(本題滿(mǎn)分8分)設(shè)a=0,a=丄(a+丄)(n=1,2,..?),證明1n+12nan(1)lima存在.nxT8(2)級(jí)數(shù)￡丄-1)收斂.an=1n+1七、(本題共2小題,第(1)小題5分,第(2)小題6分,滿(mǎn)分11分)⑴設(shè)B是秩為2的5x4矩陣,a=[1,1,2,3]t,a=[-1,1,4,-1]t,a=[5,-1,-8,9]t是齊次線(xiàn)性方程組B*=o的123解向量，求Bx=0的解空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.-1--2-12_(2)已知?=1是矩陣A=5a3-1-1b-2的一個(gè)特征向量.1)試確定a,b參數(shù)及特征向量?所對(duì)應(yīng)的特征值.2)問(wèn)A能否相似于對(duì)角陣?說(shuō)明理由.八、(本題滿(mǎn)分5分)設(shè)A是n階可逆方陣，將A的第.行和第?行對(duì)換后得到的矩陣記為AnAij(1)證明B可逆.⑵求AB-1.

九、（本題滿(mǎn)分7分）從學(xué)校乘汽車(chē)到火車(chē)站的途中有3個(gè)交通崗,假設(shè)再各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的,并且概率都是5設(shè)x為途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布律、分布函數(shù)和數(shù)學(xué)期望.十、（本題滿(mǎn)分5分）(9+1)(9+1)x90<x<10J其它f（x）=其中9>_1是未知參數(shù),X,X,X是來(lái)自總體X的一個(gè)容量為n的簡(jiǎn)12n單隨機(jī)樣本,分別用矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法求9的估計(jì)量.年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷

一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.把答案填在題中橫線(xiàn)上)(1)1(1)1+x++1—x—2=limXT0X2(2)設(shè)z(2)設(shè)z=-f(xy)+y申(X+y),f,申x具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則d2z=dxdy(3)設(shè)l為橢43(3)設(shè)l為橢431,其周長(zhǎng)記為6(2xy+3x2+4y2)ds=(L⑷設(shè)A為n階矩陣,|A|士0,A*為A的伴隨矩陣,E為n階單位矩陣?若A有特征值入,則(A*)2+E必有特征.⑸設(shè)平面區(qū)域D由曲線(xiàn)y=1及直線(xiàn)y=0,x=1,x=e2所圍成，二維隨x機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域D上服從均勻分布，則(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度在x=2處的值為二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))⑴設(shè)f(x)連續(xù)，則邑Jxf(x2—12)dt=dx0(A)xf(x2)(B)—xf(x2)(C)2xf(x2)(D)—2xf(x2)

⑵函數(shù)f(x)=(X2-x-2)x3-x|不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3(B)2(C)1(D)0⑶已知函數(shù)y=y(x)在任意點(diǎn)x處的增量Ay=d+a,且當(dāng)AxT01+x2時(shí)q是Ax的高階無(wú)窮小，y(0)=.，則y⑴等于(A)2“(B)“(C)e4(D)“e4設(shè)矩陣abiab2ab33abiab2ab33c1c2c3是滿(mǎn)秩的,則直線(xiàn)x-ay-b=3a-ab-b1212z一c3-c-c12與直線(xiàn)x-ay-bz-c1—=L=1-a-ab-bc-c232323(B)重合(A)(B)重合(C)平行但不重合(D)異面⑸設(shè)A,B是兩個(gè)隨機(jī)事件，且0<P(A)<1,P(B)>0,P(BIA)=P(BIA),則必有(A)P(A|B)=P(A|B)(B)P(AIB)豐P(AIB)(C)P(AB)=P(A)P(B)(D)P(AB)豐P(A)P(B)三、(本題滿(mǎn)分5分)求直線(xiàn)l：□=工=Ml在平面一xy+2zi=0上的投影直線(xiàn)/的'll-1?0方程，并求i繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面的方程.l0y四、(本題滿(mǎn)分6分)確定常數(shù)人使在右半平面x>0上的向量

A(x,y)二2xy(x4+y2)九i-x2(x4+y2)九j為某二元函數(shù)u(x,y)的梯度,并求u(x,y).五、(本題滿(mǎn)分6分)從船上向海中沉放某種探測(cè)儀器,按探測(cè)要求,需確定儀器的下沉深度y(從海平面算起)與下沉速度v之間的函數(shù)關(guān)系.設(shè)儀器在重力作用下,從海平面由靜止開(kāi)始鉛直下沉,在下沉過(guò)程中還受到阻力和浮力的作用?設(shè)儀器的質(zhì)量為體積為B海水密度為儀器所受的m,B,p,阻力與下沉速度成正比，比例系數(shù)為k(k>0,試建立y與v所滿(mǎn)足的微分方程，并求出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=y(v,六、(本題滿(mǎn)分7分)計(jì)算axdydz+(z+a)2dxdy,其中￡為下半平面z二-細(xì)2-x2-y2的上(x2+y2+z2)12￡側(cè)為大于零的常數(shù).,a七、(本題滿(mǎn)分6分)求limxS.求limxS.兀

sm—n+n+1sin蘭+???+sin兀八、(本題滿(mǎn)分5分)設(shè)正向數(shù)列｛a｝單調(diào)減少，且—-1)na發(fā)散，試問(wèn)級(jí)數(shù)三(丄)n是n=1nnan=1否收斂?并說(shuō)明理由.

九、（本題滿(mǎn)分6分）設(shè)y=f⑴是區(qū)間［0,］］上的任一非負(fù)連續(xù)函數(shù).⑴試證存在xe（0,1）,使得在區(qū)間［0,X］上以f（x）為高的矩形面積，000等于在區(qū)間％,1］上以y=f（x）為曲邊的曲邊梯形面積.⑵又設(shè)f（x）在區(qū)間（°」）內(nèi)可導(dǎo)，且f，（x）>_fl,證明⑴中的x是x0唯一的.十、（本題滿(mǎn)分6分）已知一次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4可以經(jīng)過(guò)正交變換xy=xy=pnz匚化為橢圓柱面方程中+牝2=4,求a,b的值和正交矩陣p.十一、（本題滿(mǎn)分4分）設(shè)A是n階矩陣，若存在正整數(shù)公使線(xiàn)性方程組Akx=0有解向量且a,Ak-ia主0.證明：向量組a,Aa，…,Ak-ia是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的.十二、（本題滿(mǎn)分5分）已知方程組ax+ax++ax=01111221,2n2nax+ax++ax=02112222,2n2nax+ax++ax=0n11n22n,2n2n的一個(gè)基礎(chǔ)解析為(b,b，…,b)t,(b,b，…,b)T,???,(b,b，…,b)T.試11121,2n21222,2nn1n2n,2n寫(xiě)出線(xiàn)性方程組j（II）的通解，并說(shuō)明理由.j（II）的通解，并說(shuō)明理由.by+byHFby二01111221,2n2nby+byFFby二02112222,2n2nby+byFFby二0n11n22n,2n2n十三、（本題滿(mǎn)分6分）設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量XY設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量XY相互獨(dú)立,且都服從均值為0、方差為1的正態(tài)2分布，求隨機(jī)變量|X-y|的方差.十四、（本題滿(mǎn)分4分）從正態(tài)總體N（3.4,62）中抽取容量為n的樣本，如果要求其樣本均值位于區(qū)間w）內(nèi)的概率不小于0?95,問(wèn)樣本容量n至少應(yīng)取多大？附:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表z1.281.6451.962.33①(x)0.9000.9500.9750.990Q(x)二iz—g1<2t22dt十五、（本題滿(mǎn)分4分）設(shè)某次考試的學(xué)生成績(jī)服從正態(tài)分布,從中隨機(jī)地抽取36位考生地成績(jī),算得平均成績(jī)?yōu)?6?5分,標(biāo)準(zhǔn)差為15分?問(wèn)在顯著性水平0?05下,是否可以認(rèn)為這次考試全體考生的平均成績(jī)?yōu)?0分？并給出檢驗(yàn)過(guò)程.附:t分布表0.950.975351.68962.0301361.68832.0281P{t(n)<t(n)}=pp年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.把答案填在題中橫線(xiàn)上)TOC\o"1-5"\h\z⑴lim(丄=.x-°x2xtanx竺jxsin(x-1)2dt=?dx0y〃-4y二e2x的通解為y=.設(shè)n階矩陣A的元素全為1,則A的n個(gè)特征值是■設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件A,B和C滿(mǎn)足條件:ABC=0,P(A)=P(B)=P(C)<丄，2且已知p(aUBUC)=—,貝卩P(A)=*16二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))⑴設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù),F(x)是f(x)的原函數(shù)，則⑷當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時(shí),F⑴必是偶函數(shù)(B)當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí),F(x)必是奇函數(shù)(C)當(dāng)f(x)是周期函數(shù)時(shí),F(x)必是周期函數(shù)(D)當(dāng)f(x)是單調(diào)增函數(shù)時(shí)F(x)必是單調(diào)增函數(shù)廠1—cosxo⑵設(shè)f(x)=\-jTx>0，其中g(shù)(x)是有界函數(shù)，則f(x)在x=o處、x2g(x)x<0(A)極限不存在(C)連續(xù)，但不可導(dǎo)(D)可導(dǎo)⑶設(shè)f(x(A)極限不存在(C)連續(xù)，但不可導(dǎo)(D)可導(dǎo)⑶設(shè)f(x)=<9S(x)=ar+才acosn兀x,一g<x<+x,2-2x<x<12nni其中a=2!1f(x)cosn兀xdx(n=0丄2,…)，則S(-二)n0'''“⑷12(C)345)等于2(B)_12(D)_34⑷設(shè)a是mxn矩陣,b是nxm矩陣，則⑷當(dāng)m>n時(shí)，必有行列式IAB圧。(B)當(dāng)m>n時(shí)，必有極限存在,但不連行列式IAB1=0(C)當(dāng)(C)當(dāng)n>m時(shí)，必有行列式|ab圧。(D)當(dāng)n>m時(shí)，必有行列式IABI=0⑸設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量x和Y分別服從正態(tài)分布N(0,1)和N(1,1),則⑻P{x+Y<1}=2(C)P{x-Y<0}二2(D)P{x-y<1}=2三、(本題滿(mǎn)分6分)設(shè)y=y(x),z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x,y,z)=0所確定的函數(shù),其中f和f分別具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求J

四、(本題滿(mǎn)分5分)求I=I(exsiny-b(x+y))dx+(excosy-ax)dy,其中a,b為正的常數(shù)，L為L(zhǎng)從點(diǎn)A(2a,0)沿曲線(xiàn)y=\：2ax-x2到點(diǎn)o(0,0)的弧.五、(本題滿(mǎn)分6分)設(shè)函數(shù)y(x)(x,0)二階可導(dǎo)且y，(x)〉0,y(0)=1?過(guò)曲線(xiàn)y=y(x)上任意一點(diǎn)P(x,y)作該曲線(xiàn)的切線(xiàn)及x軸的垂線(xiàn),上述兩直線(xiàn)與x軸所圍成的三角形的面積記為S,區(qū)間［0,x］上以y=y(x)為曲線(xiàn)的曲邊梯形面積記為并設(shè)2S-S?恒為1,求曲線(xiàn)y=y(x)的方程.六、(本題滿(mǎn)分7分)論證:當(dāng)x>0時(shí),(x2一1)lnx>(x一1)2.七、(本題滿(mǎn)分6分)0為清除井底的淤泥,用纜繩將抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(見(jiàn)圖).已知井深30m,抓斗自重400N,纜繩每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度為3m/s，在提升過(guò)程0中,污泥以20N/s的速率從抓斗縫隙中漏掉?現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升至井口，問(wèn)克服重力需作多少焦耳的功？(說(shuō)明：①I(mǎi)Nxlm=lJm,N,s,J分別表示米，牛，秒，焦?②抓斗的高度及位于井口上方的纜繩長(zhǎng)度忽略不計(jì)?)

八、(本題滿(mǎn)分7分)p處的切平面,設(shè)S為橢球面號(hào)+號(hào)+z2=1的上半部分'點(diǎn)P(x,y,z)eS,“為Sp處的切平面,dS.p(x,y,z)p(x,ydS.p(x,y,z)S九、(本題滿(mǎn)分7分)4tannxdx:n0⑴求為1(a+a)的值.nnn+2n=1⑵試證:對(duì)任意的常數(shù)九〉0級(jí)數(shù)為篤收斂.n=1十、(本題滿(mǎn)分8分)a-1c設(shè)矩陣A=5b3,其行列式|A|=-］，又A的伴隨矩陣A*有一1—c0—a個(gè)特征值九，屬于九的一個(gè)特征向量為a=(-1,-1,1)T,求abc和九的值.00a,b,c0十一、(本題滿(mǎn)分6分)設(shè)A為m階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣且正定，B為mxn實(shí)矩陣，BT為B的轉(zhuǎn)置矩陣,試證BTab為正定矩陣的充分必要條件是B的秩r(B)=n.十二、(本題滿(mǎn)分8分)設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量(x,Y)聯(lián)合分布率及關(guān)于x和關(guān)于y的邊緣分布率中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值X]1兀21P(Y=y)=p1?j11十三、（本題滿(mǎn)分6分）6x,x，…,x是取自總體12n設(shè)x的概率密度為念）=Jo3,x，…,x是取自總體12n|o其它的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本⑴求0的矩估計(jì)量6.⑵求6的方差亦）.2000年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.把答案填在題中橫線(xiàn)上)⑴JiJ2x—X2dx=.0(2)曲面x2+2y2+3z2=21在點(diǎn)(1,—2,—2)的法線(xiàn)方程為⑶微分方程xy〃+3y,=0的通解為.「121_xi23a+2x=321a—2x01——*31——1無(wú)解，則a=(4)已知方程組設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的事件A和B都不發(fā)生的概率為1,A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，則p(A)二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))⑴設(shè)f(x)、g(x)是恒大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且f'(x)g(X)—f(x)g'(x)<0則當(dāng)a<x<b時(shí)，有(A)f(x)g(b)>f(b)g(x)(B)f(x)g(a)>f(a)g(x)(C)f(C)f(x)g(x)>f(b)g(b)(D)f(x)g(x)>f(a)g(a)⑵設(shè)S:x2+y2+z2=a2(z>0),S為S在第一卦限中的部分，則有

1S⑷⑷JJxdS=4JJxdS⑻JJydS=4JJxdS⑷⑷JJxdS=4JJxdS⑻JJydS=4JJxdS(D)fjxyzdS-4JJxyzdSS(D)fjxyzdS-4JJxyzdSSS1SS1設(shè)級(jí)數(shù)藝u收斂，則必收斂的級(jí)數(shù)為nn=1⑷」-1)n佯(B)為U2TOC\o"1-5"\h\znnn=1n=1(C)￡(u一u)(D)(u+u)2n-12nnn+1n=1n=11m卩,…,卩線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充分必要條件為1m⑷向量組a，…,a可由向量組卩,…,0線(xiàn)性表示11m卩,…,卩線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充分必要條件為1m⑷向量組a，…,a可由向量組卩,…,0線(xiàn)性表示1m1m⑻向量組0,…,0可由向量組a，…,a線(xiàn)性表示1m1m（C）向量組a，…,a與向量組0,…,01m1（D）矩陣A=（a，…,a）與矩陣B=（0，…,0）等價(jià)1m'（5）設(shè)二維隨機(jī)變量等價(jià)1m(x,Y)服從二維正態(tài)分布，則隨機(jī)變量g=X+Y與n=X-Y不相關(guān)的充分必要條件為(A)E(X)=E(Y)(B)E(X2)-[E(X)]2=E(Y2)-[E(Y)]2(C)E(X2)=E(Y2)(D)E(X2)+[E(X)]2=E(Y2)+[E(Y)]2三、（本題滿(mǎn)分6分）求1訕（山+呼）.x乞1+eX國(guó)四、（本題滿(mǎn)分5分）設(shè)z=f（xy二）+g（為，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有二階連續(xù)'yy'g導(dǎo)數(shù)，求竺.dxdy五、（本題滿(mǎn)分6分）計(jì)算曲線(xiàn)積分I=&xdy-沁，其中L是以點(diǎn)（1,0）為中心,R為半徑的L4X2+y2，5(R(R>1),取逆時(shí)針?lè)较?六、（本題滿(mǎn)分7分）設(shè)對(duì)于半空間x>0內(nèi)任意的光滑有向封閉曲面S,都有近）xf（x）dydz-xyf（x）dzdx-e2xzdxdy=0,其中函數(shù)f（x）在（0,+8）內(nèi)具有連續(xù)S的一階導(dǎo)數(shù)，且limf（x）=1,求f（x）?xT0+七、（本題滿(mǎn)分6分）求冪級(jí)數(shù)三1xn的收斂區(qū)間，并討論該區(qū)間端點(diǎn)處的收斂3n+（-2）nnn=1性?八、（本題滿(mǎn)分7分）設(shè)有一半徑為R的球體,P是此球的表面上的一個(gè)定點(diǎn)，球體上R0任一點(diǎn)的密度與該點(diǎn)到P距離的平方成正比（比例常數(shù)k>0）,求球體的重心位置?

九、（本題滿(mǎn)分6分）設(shè)函數(shù)（x）在［0兀］上連續(xù)，且/（x）dx=oj"/（x）cosxdx二0.試證:在（0,“（0,“）內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)?,匚,使/）二/（E12）二0.122十、（本題滿(mǎn)分6分）設(shè)矩陣A的伴隨矩陣A*-設(shè)矩陣A的伴隨矩陣A*-1010010—300100008，且ABA—i=BA—1+3E，其中e為4階單位矩陣,求矩陣B.一、（本題滿(mǎn)分8分）某適應(yīng)性生產(chǎn)線(xiàn)每年1月份進(jìn)行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計(jì),然后將丄熟練工支援其他生產(chǎn)部門(mén)，其缺額由招收新的非熟練工補(bǔ)6齊?新、老非熟練工經(jīng)過(guò)培訓(xùn)及實(shí)踐至年終考核有2成為熟練工?設(shè)5第N年1月份統(tǒng)計(jì)的熟練工與非熟練工所占百分比分別為x和Y,記成向量nn成向量f4\f-1]L1f4\f-1]L1丿,n=L1丿2⑵驗(yàn)證n=1是A的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，并求出(1)求fx)n+1與fx)n的關(guān)系式并寫(xiě)成矩陣形式:fx)n+1二Afx)nLY+1丿+1LY丿nLY丿n+1LY丿n'x、nIY丿n相應(yīng)的特征值.(3)當(dāng)'X(3)當(dāng)'X'1IY1丿(X)n+1IY丿n+1十二、（本題滿(mǎn)分8分）某流水線(xiàn)上每個(gè)產(chǎn)品不合格的概率為p（0<p<]），各產(chǎn)品合格與否相對(duì)獨(dú)立,當(dāng)出現(xiàn)1個(gè)不合格產(chǎn)品時(shí)即停機(jī)檢修.設(shè)開(kāi)機(jī)后第1次停機(jī)時(shí)已生產(chǎn)了的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望E（X）和方差D（X）.十三、（本題滿(mǎn)分6分）設(shè)某種元件的使用壽命X的概率密度為f（x；6）=FeVx>e，其X八]ox<e中e>0為未知參數(shù)?又設(shè)x,x，…,x是X的一組樣本觀測(cè)值,求參數(shù)e12n的最大似然估計(jì)值.JJ?/JJ?/2001年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)㈠試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿(mǎn)分15分.把答案填在題中橫線(xiàn)上)⑴設(shè)y=ex(asinx+bcosx)(a,b為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程的通解，則該方程為.,則div(gradr,則div(gradr)|(1,一2,2)⑶交換二次積分的積分次序：J0dyj1-yf(X,y)dx-12⑷設(shè)A2+A-4E=O，貝卩(A-2E)-1=*⑸D(X)=2，則根據(jù)車(chē)貝曉夫不等式有估計(jì)P{X-E(X)|>2}<二、選擇題(本題共5小題,每小題3分，滿(mǎn)分15分?每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=f(x)的圖形如右圖所示,則y=門(mén)x)的圖形為'7(C)⑵設(shè)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)dz(C)⑵設(shè)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)dzI(0,0)3dx+dy(D)的附近有定乂，且廣(0,0)=3,廣(0,0)=1則xy曲面z=f(x,y)在(0,0,f(0,0))處的法向量為{3,1,1}曲線(xiàn)z=f(x,y)在(0,0,f(0,0))處的切向量為{1,0,3}Ly-0曲線(xiàn)z-f(x,y)在(0,0,f(0,0))處的切向量為{3,0,1}Iy-0則f(x)則f(x)在x=0處可導(dǎo)。⑷limf(1-cosh)存在ht0h2(C)limf(h-sinh)存在ht0h2r1111]r400⑷設(shè)A1111000A—1111,B-000L1111JL000⑶設(shè)f(0)-0(A)合同且相似(B)limf(1-e“)存在ht0h(D)limf(2h)_f(h)存在ht0h0)0，則A與B00丿合同但不相似(C)不合同但相似(C)不合同但相似似(B)0⑸將一枚硬幣重復(fù)擲n次，以X和Y分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則X和Y相關(guān)系數(shù)為(B)0⑷-1

(D)1(C)1(D)12三、(本題滿(mǎn)分6分)求(arc^dx.e2x四、(本題滿(mǎn)分6分)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(1,1)可微，且f(1,1)=1,廣(1,1)=2,廣(1,1)=3，9(x)=f(x,f(x,x))，求羊93(x)|-xydxxm五、(本題滿(mǎn)分8分)設(shè)f(x)\設(shè)f(x)\蘭(T)n的和.1一4n2n=11+x2arctanxx主將f(x)展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù),并求其中L是平面六、(本題滿(mǎn)分7分)其中L是平面計(jì)算I=6(y2一z2)dx+(2z2一x2)dy+(3x2一y2)dz，Lx+y+z=2與柱面|x|+|y|=1的交線(xiàn)，從Z軸正向看去丄為逆時(shí)針?lè)较?七、(本題滿(mǎn)分7分)設(shè)f(x)在(一1,1)內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且f，，(x心0?證明：⑴對(duì)于vxG(一1,0)(0,1)'存在惟一的Q(x)e(0,1)、使f(x)=f(0)+xf，(0(x)x)成立.

(2)lim0(x)=0.5.xtO八、（本題滿(mǎn)分8分）設(shè)有一高度為h（t）（t為時(shí)間）的雪堆在融化過(guò)程，其側(cè)面滿(mǎn)足方程z=z=h(t)-忖（設(shè)長(zhǎng)度單位為厘米,時(shí)間單位為小時(shí)），已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比（系數(shù)為0.9）,問(wèn)高度為130厘米的雪堆全部融化需多少時(shí)間?九、（本題滿(mǎn)分6分）設(shè)a,a,a為線(xiàn)性方程