函數(shù)基本性質(zhì)題型及解題技巧

函數(shù)基本性質(zhì)題型及解題技巧一、函數(shù)解析式的求法：1.配湊法：將關(guān)系式配湊成括號內(nèi)的形式。例如，已知$f(x+)=\frac{x^2}{2}$，求解析式$f(x)$。解：因為$f(x+)=\frac{x^2}{2}=(x+)^2-2$，所以$f(x)=x^2-2$，$x\in(-\infty,-2]\cup[2,\infty)$。2.換元法：令括號內(nèi)的部分等于$t$，然后解出$x$，帶入得到關(guān)于$t$的解析式，最后再換回$x$。例如，已知$f(x+1)=x+2x$，求$f(x)$的解析式。解：令$t=x+1$，則$x=(t-1)^2$，$(t\geq1)$，因此$f(t)=(t-1)^2+2(t-1)=t^2-1$。所以$f(x)=x^2-1$，$(x\geq1)$。3.待定系數(shù)法：根據(jù)已知函數(shù)類型，設(shè)相應的函數(shù)解析式，然后根據(jù)已知條件算出相應系數(shù)。例如，已知$f(x)$是二次函數(shù)，且$f(0)=2$，$f(x+1)-f(x)=x-1$，求$f(x)$。解：設(shè)$f(x)=ax^2+bx+c$，由$f(0)=2$得$c=2$，由$f(x+1)-f(x)=x-1$，得恒等式$2ax+a+b=x-1$，解得$a=\frac{1}{2}$，$b=-\frac{1}{2}$。因此，所求函數(shù)的解析式為$f(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x+2$。4.消元法（方程組法）：若函數(shù)方程中同時出現(xiàn)$f(x)$與$f(-x)$，則一般用$x$代之或用$-x$代之，構(gòu)造另一個方程，然后聯(lián)立解方程組得到$f(x)$。例如，已知$3f(x)+2f(-x)=x+3$，求$f(x)$。解：因為$3f(x)+2f(-x)=x+3$，令$x=-x$得$3f(-x)+2f(x)=-x+3$，消去$f(-x)$得$f(x)=\frac{x}{5}+\frac{3}{5}$。二、絕對值圖像的畫法：5.對于函數(shù)$y=ax^2+b|x|+c$，找出$x=0$的點和兩個對稱軸上的點，然后將它們連起來。當$a>0$時，圖像開口向上；當$a<0$時，圖像開口向下，形狀如“屁股”。6.對于函數(shù)$y=|ax^2+bx+c|$，先畫出二次函數(shù)的圖像，然后將$x$軸下方的函數(shù)圖像對折上去。三、對勾函數(shù)性質(zhì)：7.對于對勾函數(shù)$y=x+k$（$k>0$），有以下性質(zhì)：1）單調(diào)增區(qū)間為$(-\infty,-k)$和$(k,\infty)$，單調(diào)減區(qū)間為$(-k,k)$。2）當$x>0$時，有最小值，最小值為$2k$；當$x<0$時，有最大值，最大值為$-2k$。四、分段函數(shù)的單調(diào)性問題：首先保證每一段是單調(diào)函數(shù)，得到兩個不等式。然后通過比較左邊的最大值（最小值）和右邊的最小值（最大值），得到另一個不等式。最后解決不等式組。例如，對于函數(shù)f(x)=ax，其中x>1，已知f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為a≥4-2/a，且a>1。解得4≤a<8。對于抽象函數(shù)的單調(diào)性證明，主要有兩種類型：一是“f(x+y)=f(x)+f(y)”型，二是“f(xy)=f(x)+f(y)”型。對于f(x+y)型的函數(shù)，可以構(gòu)造f(x2)=f[x1+(x2-x1)]，再利用題設(shè)條件將它用f(x1)與f(x2-x1)表示出來。然后利用題設(shè)條件確定f(x2-x1)的范圍，從而確定f(x2)與f(x1)的大小關(guān)系。對于f(xy)型的函數(shù)，則只需構(gòu)造f(x2)=f(x1·x2)即可。例如，已知f(x)的定義域為(0,∞)，且當x>1時f(x)>0。若對于任意兩個正數(shù)x和y都有f(xy)=f(x)+f(y)，則可以判斷f(x)在(0,∞)上單調(diào)遞增。單調(diào)性性質(zhì)：增+增=增；減+減=減；增-減=增；減-增=減；增=增；減=減；1<增<減；1>減>增；增-增=減；-減=增。對于復合函數(shù)的單調(diào)性，可以先列出函數(shù)由哪兩個函數(shù)復合而成，然后求出每一區(qū)間兩個函數(shù)對應的單調(diào)性。最后同增異減寫出對應區(qū)間。例如，對于函數(shù)y=x^2+x-6，可以看作有y=u與u=x^2+x-6解令u=x^2+x-6，y=u的復合函數(shù)。由u=x^2+x-6≥0，得x≤-3或x≥2。因此，u=x^2+x-6在(-∞,-3]上是減函數(shù)，在[2,∞)上是增函數(shù)，而y=u在(0,∞)上是增函數(shù)。1.函數(shù)單調(diào)性的證明方法對于函數(shù)$y=x^2+x-6$，其單調(diào)減區(qū)間為$(-\infty,-3]$，單調(diào)增區(qū)間為$[2,+\infty)$。下面介紹一種作差法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：1.取值。在定義域內(nèi)取$x_1<x_2$。2.做差。$y_2-y_1=(x_2^2+x_2-6)-(x_1^2+x_1-6)=x_2^2-x_1^2+x_2-x_1$。3.變形。將$y_2-y_1$變形為每一個括號能判斷出正負的形式，可采用提公因式、通分、合并同類項等方法。4.得出結(jié)論。如果$y_2-y_1$的符號和$x_2-x_1$的符號一致，則函數(shù)單調(diào)增；否則函數(shù)單調(diào)減。2.函數(shù)奇偶性的判斷方法在判斷函數(shù)奇偶性之前，需要保證定義域關(guān)于原點對稱。對于一個函數(shù)，如果已知其奇偶性，則其定義域一定關(guān)于原點對稱，對應區(qū)間兩個端點值相加為零。對于奇函數(shù)，只要在$x=0$處有意義，也就是定義域里包含$0$，則$f(-x)=-f(x)$。對于$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$這種類型的函數(shù)，如果$f(x)$是偶函數(shù)，則奇次項系數(shù)為零；如果$f(x)$是奇函數(shù)，則偶次項系數(shù)為零。3.復合函數(shù)的奇偶性奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇×偶=奇，奇×奇=偶，偶×偶=偶。對于復合函數(shù)的奇偶性，如果其中一個分函數(shù)為偶函數(shù)，則整體為偶函數(shù)。例如，對于函數(shù)$f(x)=\frac{x+a}{x^2+bx+1}$，已知在$[-1,1]$上是奇函數(shù)，則可得到$a=0$，分母為偶函數(shù)，因此$b=0$，最終得到$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$。4.求分段函數(shù)的解析式對于已知分段函數(shù)的奇偶性，給出一半的解析式，求另一半或整體的解析式，可以采用以下方法：如果已知大于的解析式，則設(shè)$x<0$，代入大于的解析式中求出$f(-x)$，然后根據(jù)奇偶性求出$f(x)$，最后寫出整體的解析式。如果已知小于的解析式，則設(shè)$x>0$，代入小于的解析式中求出$f(x)$，然后根據(jù)奇偶性求出$f(-x)$，最后寫出整體的解析式。例如，已知$f(x)$是定義在$\mathbb{R}$上的奇函數(shù)，當$x>0$時，$f(x)=x^2+3x-1$，則可得到$f(-x)=(-x)^2+3(-x)-1=-x^2-3x-1$，因此$f(x)=-f(-x)=x^2+3x-1$。19.對于題目中給出的H(x)和g(x)為奇函數(shù)的情況，我們可以使用構(gòu)造奇函數(shù)的方法來解決問題。假設(shè)f(x)為一個函數(shù)，我們可以令F(x)=H(x)-c，其中c為任意常數(shù)，使得F(x)為奇函數(shù)。然后我們可以使用F(x)來構(gòu)造af(x)+bg(x)+c的奇函數(shù)形式來解決問題。例如，對于已知f(x)=x^5+ax^3-bx-8且f(-2)=10，求f(2)的問題，我們可以令g(x)=f(x)+8，易證g(x)為奇函數(shù)。因此，我們可以使用g(x)來構(gòu)造f(x)的奇函數(shù)形式，即af(x)+bg(x)+c，其中b=1，a=0，c=-8。然后我們可以使用g(2)=-g(-2)來求解f(2)。20.在周期性方面，若一個函數(shù)f(x)滿足f(x+T)=f(x)的條件，則稱T為f(x)的周期。若f(x)的周期為2T，則有f(x+T)=f(x-T)，f(x+T)=-f(x)，f(x+T)=f(-x)且f(x)為奇函數(shù)，f(x+T)=1/f(x)，f(x+T)=-1/f(x)。例如，對于一個定義在R上的奇函數(shù)f(x)，已知f(x-4)=-f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則可以得到f(-25)<f(80)<f(11)<f(26)，因此選項D為正確答案。21.若一個函數(shù)f(a-x)=f(a+x)，則稱f(x)關(guān)于x=a對稱。這意味著函數(shù)在x=a處的左右兩側(cè)具有相同的函數(shù)值。例如，如果f(x)=x^2，則f(a-x)=f(a+x)=a^2-x^2，因此f(x)關(guān)于x=a對稱。22.若一個函數(shù)f(a+x)=f(b-x)，則稱f(x)關(guān)于x=(a+b)/2對稱。這意味著函數(shù)在x=(a+b)/2處的左右兩側(cè)具有相同的函數(shù)值。例如，如果f(x)=sin(x)，則f(a+x)=f(b-x)=sin(a+x)=sin(b-x)，因此f(x)關(guān)于x=(a+b)/2對稱。23.若一個函數(shù)f(x+a)是偶函數(shù)，則稱f(x)關(guān)于x=a對稱。這意味著函數(shù)在