拓展一道課本習題的變式思維

精品文檔-下載后可編輯拓展一道課本習題的變式思維數(shù)學教學中，通過一個基本問題的變式，探索問題的發(fā)展變化，使其在理解數(shù)學本質(zhì)的同時，拓展了數(shù)學思維.下面就蘇科版普通高中課程標準實驗教科書（選修2-3）P10第16題進行變式.

題目：用4種不同顏色給如圖1所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同顏色，共有多少種不同涂法？

解：第一步：涂①有4種涂法；

第二步：涂②有3種涂法；

第三步：涂③：當①與③顏色相同，④有2

種涂法；

當①與③顏色不相同，③有2種涂法，④有1種涂法.

所以共有4×3×1×2+4×3×2×1=48種涂法.

變式1：如圖2所示，一個地區(qū)分為五個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有多少種？

解：第一步：先涂1區(qū)，有4種涂法；

第二步：涂3，5區(qū)：當3，5同色時，2，4各有2種涂

法，此時有3×2×2=12種涂法，當3，5不同色

時2，4各有1種涂法，此時有3×2×1×1=6種涂法.

所以共有4×（12+6）=72種方法.

變式2：用4種不同顏色對圖3中的5個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域不同色，共有幾種涂色方法？

解：先給4號區(qū)域著色，有4種選擇，再給5號區(qū)域著色，有3種選

擇，再給1號、3號區(qū)域著色，分兩種情況討論：

（1）1號、3號區(qū)域著色相同，有3種選擇，最后給2號區(qū)域著色，

有2種選擇；

（2）1號、3號區(qū)域著色不同，有3×2=6種選擇，最后給2號區(qū)域

著色，僅有1種選擇.

所以共有4×3×（3×2+3×2）=144種方法.

變式3：用四種不同顏色給圖4中的A、B、C、D、E、F六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色，則不同的涂色方法有多少種？

解：按所用顏色分類.

第一類：用三種顏色涂必然兩兩同色，即AC，BD，EF或AF，BD，CE同色，有

2A34=48種；

第二類：用完四種顏色涂，則A，D，E肯定不同色，有A34=24種涂法，再從

B，F(xiàn)，C中選一位置涂第四色有3種，若所選是B，則F，C共有3種涂法，所以

A34?C13

?3=216種.

所以共有48+216=264種涂法.

變式4：如圖5，用五種顏色為A、B、C、D、E、F、G7個區(qū)域染色，要求相鄰區(qū)域異色.不同的染色方法共有多少種？

解：第一類：當A、B、D、F用到4種顏色時，區(qū)域C、E、G都有2種顏色可選，此時染色方法共有5×4×3×2×23=960種.

第二類：當A、B、D、F用到3種顏色時，不妨設區(qū)域B、D同色，這時區(qū)域

C、E、G分別有3，2，2種顏色可選，再考慮D、F同色，F(xiàn)、B同色的類似情形，此時染色方法共有

5×4×3×3×22×3=2160種.

第三類：當A、B、D、F用到2種顏色時，區(qū)域B、D、F必然同色，區(qū)域C、E、G都有3種顏色可選，此時染色方法共有

5×4×33=540種.

所以共有960+2160+540=3660種染色方法.

變式5：如圖6，將圓分成n個區(qū)域，用3種不同顏色給每一個區(qū)域染色，要求相鄰區(qū)域顏色互異，把不同的染色方法種數(shù)記為

an.求：

（1）a1，a2，a3，a4；

（2）an與an+1（n≥2）的關(guān)系式；

（3）an.

解：（1）a1=3，a2=6，a3=6，a4=18；

（2）依次對扇形區(qū)域

1，2，3，…，n，n+1染色，不同的染色方法種數(shù)為3×2n，其中扇形區(qū)域1與

n+1不同色的有

an+1種，扇形區(qū)域1與

n+1同色的有an種，所以

an+1+an=3×2n（n≥2）.

（3）因為an+1+an=3×2n（n≥2），

所以an+1+an（-1）n+1

=3×2n（-1）n+1

（n≥2），

所以

an+1（-1）n+1-

an（-1）n=

3×2n（-1）n+1

（n≥2），…

，a3（-1）3-

a2（-1）2

=3×22（-1）3，

.相加得

an+1（-1）n+1

-a2（-1）2=

-3×22（1-（-2）n-1）

1-（-2）（n≥2），

所以an+！

=2n+1+（-1）n+1?2（n≥2），

經(jīng)檢驗得

變式6：如圖7，將一個圓環(huán)分成n（n∈N+，n≥3）個區(qū)域，用

m（m≥3）種顏色給這n個區(qū)域染色，要求相鄰區(qū)域不使用同一種顏色，但同一顏色可重復使用，則不同的染色方案有多少種？

解：設an表示n個區(qū)域染色的方案數(shù)，

則an=m（m-1）n-1-an-1（n≥2），且

a3=m（m-1）（m-2）.

所以an-（m-1）n=-（an-1-（m-1）n-1）（n≥3），

所以an-（m-1）n=（-1）n-3（a3-（m-1）3）（n≥3），

所以an=（m-1）n+（-1）n（m-1）（n≥3）.

以上是筆者