數(shù)學(xué)模型-定解問題

§1．3

數(shù)學(xué)模型——定解問題一、三類典型方程

的建立

定解問題——建立微分方程及定解條件

1、波動(dòng)方程弦的微小橫振動(dòng)方程：設(shè)一拉緊的，均勻的，柔軟的弦，在外力F(x,t)作用下，弦作微小的橫振動(dòng)，試建立弦振動(dòng)方程。橫振動(dòng)：指弦上各點(diǎn)在同一平面內(nèi)沿垂直于弦的平衡位置的運(yùn)動(dòng)。取弦的平衡位置為x軸，u(x,t)表示弦上的點(diǎn)x，在時(shí)刻t的位移，u(x,t)描述了所研究的弦振動(dòng)現(xiàn)象。假設(shè)弦柔軟，有彈性，不可伸長，重力與張力相比可忽略，作微小振動(dòng)，取微元ABFuoxxBAT由微分中值定理，得

令，有，得

稱為弦的強(qiáng)迫振動(dòng)方程。其中

若弦不受外力作用，即，（1.3.1）化為

稱為弦的自由振動(dòng)方程（又稱一維波動(dòng)方程）。

類似地可推導(dǎo)（建立）二維、三維波動(dòng)方程。二維（水波、鼓面振動(dòng)）三維波動(dòng)方程（電磁波）

2、熱傳導(dǎo)方程

熱傳導(dǎo)：當(dāng)物體內(nèi)各點(diǎn)的溫度分布不均勻時(shí)，熱量就要從溫度較高的點(diǎn)處向溫度較低的點(diǎn)處流動(dòng)，這種現(xiàn)象就是熱傳導(dǎo)。為的熱源，試建立熱傳導(dǎo)方程。設(shè)溫度分布不均勻的熱物體,體內(nèi)有密度設(shè)為點(diǎn)在時(shí)刻t的溫度（推導(dǎo)略）稱為非齊次熱傳導(dǎo)方程。

(1.3.3)若熱物體內(nèi)無熱源，方程（1.3.3）化為

稱為齊次熱傳導(dǎo)方程。

3、拉普拉斯方程和泊松方程

若溫度不再隨時(shí)間而變，即，則

稱為三維泊松方程。(1.3.4)稱為三維拉普拉斯方程。引入拉普拉斯算子，它表示微分運(yùn)算法則

將它作用于上，將得到，因此拉普拉斯方程可表示為

二、定解條件

1、初始條件波動(dòng)方程中含有關(guān)于時(shí)間t的二階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)需要給出兩個(gè)初始條件。熱傳吩導(dǎo)方預(yù)程中披含有啄對(duì)時(shí)鼓間t的一介階偏生導(dǎo)數(shù)唇項(xiàng)，臂需要怨一個(gè)巧初始全條件瓜，即窄應(yīng)給寶出初螺始時(shí)跟刻t=爺0時(shí)溫輔度的篩分布前。拉普孕拉斯海方程技和泊厲松方懶程是喇描述恒穩(wěn)定蚊場的券，不斯含時(shí)煮間t，因但而不毀需初通始條疑件。注：醉初始肚條件圍的個(gè)傳數(shù)與鄭方程秧中未意知函晚數(shù)關(guān)耐于承時(shí)默間偏艱導(dǎo)數(shù)準(zhǔn)的階端數(shù)應(yīng)亞相等冰。2、亭邊界惑條件為邊界，n為邊界的外法矢。

三類辣邊界電條件掌，可斗以統(tǒng)廉