第二節(jié)構造函數求極值最值解函數不等式問題

第二節(jié)構造函數法求極值、最值及求解函數不等式考點梳理1、多元歸一構造法：（1）對于形如的問題，令，確定關于t的函數關系式，構造函數并利用導數求解；（2）對于形如的函數，令，構造函數求解.2、“同構法”構造新函數：對于等式左右兩邊結構特征相同的問題可利用“同構法”構造新函數求解（主要是“指數”“對數”同構型函數問題），其常見形式有：（1）積型：的三種構造形式：①型，構建函數；②型，構建函數；③型，構建函數.（2）商型：的三種構造形式為：①型，構建函數；②型，構建函數；③型，構建函數.（3）已知和的關系式，適當構造新函數求解函數不等式或比較大小問題，常見類型有：=1\*GB3①型，構造函數=2\*GB3②型，構造函數=3\*GB3③型，構造函數=4\*GB3④型，構造函數=5\*GB3⑤型，構造函數=6\*GB3⑥型，構造函數=7\*GB3⑦型，構造函數=8\*GB3⑧型，構造函數.重難點題型突破一、多元歸一構造法例1、（2023·廣東湛江·統(tǒng)考二模）對于兩個函數，與，若這兩個函數值相等時對應的自變量分別為，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，則，，由，得，則，（），設函數，（），則，在上為增函數，且，所以當時，，單調遞減,當時，,單調遞增.故．故選:B.二、“同構法”構造新函數例2、（2022·四川遂寧市·高三模擬）若，則的最大值為（）A． B． C． D．【分析】首先對進行變形，即，由于左右“指”“對”同構，可構造函數，知在上單調遞增，原不等式轉化為，根據單調性的性質可得，再進行參變分離，求出函數最值，即可得解.【詳解】原不等式化為，即，令，知在上單調遞增，原不等式轉化為，所以，即，設，則，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，故當時取得最小值，所以的最大值為.故選：C.點睛：對于等式左右兩邊結構特征相同的問題可利用“同構法”構造新函數求解：（1）化為是“指”“對”同構型函數的常用變形技巧，注意掌握；（2）構造函數、參變分離，轉化為恒成立問題求解.三、已知和的關系式，適當構造新函數問題求解函數不等式或比較大小問題例3、（2023·山東淄博二模）已知定義在R上的函數的導函數為，若，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，設,則，因為，所以，即，所以，所以，，所以，解得.故選:B例4、（2023·山東菏澤二模）已知函數是定義在上的可導函數，其導函數記為，若對于任意實數，有，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，則，因為，所以，即為減函數，又，故，則不等式等價，即，解得，故不等式的解集為．故答案為:.例5、（2023·山東青島二模）設定義在R上的函數滿足任意，都有，且時，，則，，的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依題意，任意，都有，所以是周期為的周期函數.所以.構造函數，所以在區(qū)間上單調遞增，所以，即，也即.故選：A例6、（2023·山西·校聯考模擬預測）定義域為的函數的導數為，若，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，由得：且，在上單調遞減，令，則，且；當時，，，在上單調遞增，對于A，，即，，A錯誤；對于B，，即，，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，，即，，D正確.故選：D.例7、（多選題）（2023·甘肅金昌第一高級中學模擬）已知定義在R上的函數滿足，則下列式子成立的是（

）A． B．C．是R上的增函數 D．，則【答案】AD【解析】由，得，即，所以函數為R上的增函數，故，所以，故A正確，B不正確；函數為增函數時，不一定為增函數，如，顯然是增函數，但是減函數，所以C不正確；因為函數為增函數，所以時，有，故有成立，所以D正確.故選：AD.例8、（多選題）（2023·重慶市育才中學?？寄M預測）已知函數對于任