2021年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽模擬試題

（完整）No.49全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽模擬試題

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2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬題1

一試

考試時(shí)間上午8：00~9:20,共80分鐘，滿分120分

一、填空題（共8題，每題8分，64分）

1、已知函數(shù)y=2X2+-+C[B<o）的值域?yàn)閇1,3],貝心+c=

X2+1

2、已知owR,并且-2x2>x+a（a>0）,則。的取值范圍是

3、設(shè)在xOy平面上，0<yWx2,04x41所圍成圖形的面積為L則集合

3''

M=｛（x,y）|H-|,r|<l｝,N=｛（x,y）||y|2x2+1｝的交集MPIN所表示的圖形面積為___

4、f（x）=y]x2-2x+J2x2-3x+3的最小值為

一43

5、已知復(fù)數(shù)z=cosa+isina,u-cosP+isinP,且z+星=_+io則tan（a+0）=

55------------

6、過橢圓C:2+上=1上任一點(diǎn)P,作橢圓C的右準(zhǔn)線的垂線PH（H為垂足），延長PH到點(diǎn)Q,

32

使|HQ|=入|PH|（入21）.當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡的離心率的取值范圍為

7、設(shè)團(tuán)表示不超過x的最大整數(shù)，則[logl]+[log2]+[log3]+---+[log500]=

3333----

8、設(shè)p是給定的奇質(zhì)數(shù)正整數(shù)k使得戶二派也是一個(gè)正整數(shù)，則k=

二、解答題（共3題，共56分）

9、（本題16分）在4ABC中，A,B.C所對邊分別為a,仇c,且c=10,%fP為^ABC

cos8a3

的內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到A,B,C的距離的平方和的最大值和最小值

10、（本題20分）數(shù)列標(biāo)｝中，a=8,a=2且滿足a=2aa(〃wN+)(1)求數(shù)列｛a｝的通

n14n+2M+1nn

?-2-

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項(xiàng)公式；(2)設(shè)Z?=________,T=h+h+h(〃EN+),是否存在最大的正整數(shù)〃2,使得對于

n(12-a)?12n

n

任意的〃eN+,均有T＞上成立？若存在，求出〃z的值；若不存在,請說明理由。

n32

11、(本題20分)給定圓P：X2+＞2=2x及拋物線S:產(chǎn)=4x,過圓心P作直線’,此直線與上述

兩曲線的四個(gè)交點(diǎn)，自上而下順次記為A,B,C,D,如果線段AB,BC,CD的長按此順序構(gòu)成一個(gè)

等差數(shù)列,求直線I的方程.

2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬題2

一試

考試時(shí)間上午8：00~9：20,共80分鐘，滿分120分

一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.把答案填在橫線上。

1.方程logx+sinx=2在區(qū)間(0,3上的實(shí)根個(gè)數(shù)為.

與2

2O設(shè)數(shù)列18x(-：)，』]的前〃項(xiàng)和為S，則滿足不等式S-6|＜」_的最小整數(shù)〃是

[3J"n125

3O已知〃(〃GN,〃22)是常數(shù)，且x,x,x是區(qū)間內(nèi)任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)

12〃[_2J

f(x,x,,x)=sinxcosx+sinxcosx++sinxcosx的最大值等于。

12n1223n1

4.圓周上給定10個(gè)點(diǎn)，每兩點(diǎn)連一條弦，如果沒有三條弦交于圓內(nèi)一點(diǎn)，那么,這些弦在圓內(nèi)

一共有個(gè)交點(diǎn)。

?-3-

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5。一只蟲子沿三角形鐵圈爬行，在每個(gè)頂點(diǎn)，它都等機(jī)會(huì)地爬向另外兩個(gè)頂點(diǎn)之一，則它在7

次爬行后恰好回到起始點(diǎn)的概率為.

6.設(shè)。是平面上一個(gè)定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

OP-X=OA+X,其中入e[0,+8),則點(diǎn)尸的軌跡為。

m\AB\

7o對給定的整數(shù)m,符號(p(〃z)表示{1,2,3.}中使加+中(加)能被3整除的唯一值，那么

(p(22oio-T)+(p(22oio-2f+(p(22oio-3)=_□?

8.分別以直角三角形的兩條直角邊q,8和斜邊c為軸將直角三角形旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的體

積依次為V,V,V,則V2+V2與(2V”的大小關(guān)系是.

abcahc

二、解答題：本大題共3小題，共56分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.1.

(本小題滿分16分)是否存在實(shí)數(shù)”，使直線y=ox+1和雙曲線3豕-尸=1相交于兩點(diǎn)A、B,

且以AB為直徑的圓恰好過坐標(biāo)系的原點(diǎn)？

2.(本小題滿分20分)求證：不存在這樣的函數(shù){1,2,3},滿足對任意的整數(shù)x,y,若

\x-y|e{2,3,5},則/(6工/⑴。

3.(本小題滿分20分)設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1,求證：9a/?c<ab+be+ca<—(1+9a/?c)

4

—

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2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬題3

一試

考試時(shí)間上午8：00?9：20,共80分鐘，滿分120分

一、填空題(共8題，每題8分，64分)

1、若實(shí)數(shù)x、y滿足條件X2-片=1,則1+2的取值范圍是。

X2X

2、已知a,b,c為非負(fù)數(shù)，則f(a,hc)=：+」+］的最小值為

ab+cc

3、設(shè)AB是橢圓盤匕=1(a>b>0)的長軸，若把AB100等分，過每個(gè)分點(diǎn)作AB的垂線，

32匕2

交橢圓的上半部分于PJPJ…'P/M為橢圓的左焦點(diǎn)，則F7+I尸尸|+「?\+-+\FP|+|FB|

的值是______________

4、從一個(gè)有88條棱的凸多面體P,切去以其每個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的各一個(gè)棱錐，得到一個(gè)新的凸

多面體Q,這些被切去的棱錐的底面所在的平面在P上或內(nèi)部互不相交，則凸多面體Q的棱數(shù)

是-

5、設(shè)函數(shù)f(x)：RTR,且滿足，Vx,yef?,

Mx)My)=f(2xy+3)+3f(x+y)-3f(x)+6x,貝UMx)=.

6、一個(gè)球與正四面體的六條棱都相切,若正四面體的棱長為a,則這個(gè)球的體積為

?-5-

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1

+2+2

a

2

2

+a2010

、設(shè)a,a,…,320Kl均為正實(shí)數(shù)，且1a

71

122+a+2

?-6-

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的最為

小值

?-7-

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?-8-

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8、若log(x+2y)+1og(x-2y)=1,貝l]|xI—|y|的最小值是

44

?-9-

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二、解答題（共3題，共56分）

?-10-

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?-1］一?

9、（本題16分）設(shè)$={1,2,…，n},A為至少含有兩項(xiàng)的、公并非為正的等差數(shù)列，其項(xiàng)部

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?-12-

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?-13-

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10、(本題20分)已知尸為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0),過點(diǎn)F作斜率為％的

1

直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，延長AM、BM交拋物線于C、D兩點(diǎn),設(shè)直線⑺的斜率為4.(I)

2

求工的值；(II)求直線AB與直線CD夾角e的取值范圍.

k

2

11、(本題20分)已知函數(shù)/(x)=21n工-心。(I)若方程/(幻+m=0在內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)

e

根，求實(shí)數(shù)〃？的取值范圍.(II)如果函數(shù)g(x)=/(x)-以的圖象與X軸交于兩點(diǎn)A(x,0),B(x,0),

12

且0<x<x.求證：g\px+qx)<0(其中正常數(shù)p、q滿足p+g=。

1212

2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬題4

一試

考試時(shí)間上午8：00~9：20,共80分鐘，滿分120分

一、填空題(共8題，每題8分,64分)

1、用區(qū)間表示函數(shù)/(x)=ln匕-1)的定義域?yàn)椋?/p>

x+3

2、在aABC中。若sinA+cosA=-J,則cos2A=;

3--------------

■14.

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3、在數(shù)列｛a｝中，a=2,a-2a=2e(〃eN],則使a>10成立的最小正整數(shù)〃的值

n1n+1nn

是

4、已知/(x)是R上的奇函數(shù),對任意xwR,均有/(x+2)=/(x),且xe(0,1)時(shí)，/(x)=x2,則

2--------------------

5、如圖，在四棱錐P-A8CD中，底面A8CO為正方形，△PAB為等

邊三角形，。為AB邊的中點(diǎn)，且P。_L平面ABCD,則二面角P-AC-D

的余弦值為；

~-15-

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6、若正整數(shù)〃?使得對任意一組滿足44=1的正數(shù)4,4,4M都有

?-16-

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?-17-

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aaa

?-18-

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?-19-

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?-20-

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?-21-?

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?-22-

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123aaaa

1234

7、函數(shù)f(x)=sin2*+cos2&x,(ZwN)的最小值為

?-23-

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8、將方程x3-3x[x]-4=0（⑴表示不超過X的最大整數(shù)）的實(shí)數(shù)解從小到大排列成x,x,,x,

?-24-

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則X3+X3++X3=

?-25-

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12

?-26-

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二、解答題（共3題，共56分）

黑豫。翁警贈(zèng)，飆瑞L軸有交點(diǎn)。若對一切—有

XX2+1

?-27-

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?-28-

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?-29-

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?-30-

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（1）若將集合/=缶x83+ax82+t2

12

31-

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X8+Qa

34

?-32-

eT,i=1,2,3,4｝中所有元素按從小到大獺）擷49全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽模擬試題

序排列，求第2008個(gè)數(shù)所對應(yīng)的〃

?-33-

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(i=1,2,3,4)的值;

⑵若將集合N={1+2+3+aeT,i=1,2,3,4}中所有元素按從大到小的順序排列,

?-34-

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求第2008個(gè)數(shù)所對應(yīng)的%%,2思4）的值.

?-35-

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11、(本題20分)已知橢圓上+2=1的左'右焦點(diǎn)分別為F、F,mF的直線交橢圓于A、

95i2i

5兩點(diǎn)，過F的直線交橢圓于C、。兩點(diǎn)且ABLCD,垂足為P.

2

(1)設(shè)p點(diǎn)的坐標(biāo)為(x),求;\的最值；

—Q-+-0.

。。95

(2)求四邊形ACBD的面積的最小值.

2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬題5

一試

考試時(shí)間上午8:00~9：20,共80分鐘，滿分120分

一、填空題(共8題，每題8分，64分)

1、整數(shù)x>y>z,且2、+2〉+2==4.625,則x,y,z分別為0

2、，嗎伏=1,2,3).均為非負(fù)實(shí)數(shù)，貝IjJ(2010-)「八_十+用

+收+叱+正+普+J)：+(X[+x+x);~的最小值為.

3、已知集合A={x\x=a+?x7+?x72+ax73},其中aG{(),1,2,3,4,5,6),i-0,1,2,3且aw0。

0123i3

若正整數(shù)機(jī),〃eA,且"2+〃=2010,〃?>",符合條件的〃？有_個(gè)

4、記F(x,>)=(x-y)2+(1+3)2,(y)0),則F(x,y)的最小值是

3y----------

5、集合的容量是指集合中元素的和.則滿足條件"A={123,4,567},且若aeA時(shí)，必有

8-awA”的所有非空集合A的容量的總和是.(用具體數(shù)字作答)

6、{〃}為a=4的單調(diào)遞增數(shù)列，滿足a2+42+16=8(。+a)+2aa,則a=。

nI〃+ln”+ln”+1nn

?-36-?

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7、設(shè)2改了為方程*3—/^—卜=0的根（k+k^l）,貝IJ匕￡+匕2+上￡=________。

12121-a1-b1-c

8、如圖，記從“田字型”網(wǎng)格（由4個(gè)邊長為1的正方形構(gòu)成）的9個(gè)交點(diǎn)中任取

3個(gè)構(gòu)成三角形的面積記為&（當(dāng)所取3點(diǎn)共線時(shí)，&=0）,則芻的數(shù)學(xué)期望芻二

二、解答題（共3題，共56分）

9、（本題16分）求函數(shù)y=Sinx|+pos2]（xe個(gè)的最大值和最小值.

10、（本題20分）設(shè)x,y,z為正實(shí)數(shù),求函數(shù)fG,y,z）="2x）6y+4x）Qy+3z）6z+D的最小

xyz

值。

11、（本題20分）m（n24）個(gè)正數(shù)排成n行n列

aaaa.a

ii1213141n

aaaa.a

212223242n

aaaa.a

313233343n

aaaa.a

414243444n

■■?---■■■?■

aaaa.a

n1n2n3n4nn

其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有公比相等，已知a=1,

24

13

a=_,a=_，求a+a+a+…+a.（1990年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

"c112233nn

?-37-

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2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬題6

一試

考試時(shí)間上午8：00~9：20,共80分鐘，滿分120分

一、填空題(共8題，每題8分，64分)

1、y=g-"+J1的最大值為a,最小值為b,則ab等于。

2、已知實(shí)數(shù)仇c滿足Z?<2<c,且函數(shù)y=%2-4|x|+4,當(dāng)Wc時(shí)有最大值4c,最小值

貝I］方+c=o

3、已知集合5={》［1<*<10,天€%+},對它的任一非空子集人，可以將A中的每一個(gè)元素k都乘

以(-中再求和(例如,A={2,3,8},則可求得和為(T)2X2+(-1)3X3+(—1)8X8=7)，對S

的所有非空子集，這『和的總和為-{

4、已知兩個(gè)集合A=(匕田卜=根，y=-3m+2,meN+,(x,y)|x=n,y=a(n2-/i+l),n€N+,

若AflBWe,則整數(shù)a的值為.

5、函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+8),并且對任意正實(shí)數(shù)x,都有HX)+XH2°12)=3X,則

X

/(2)=o

6、a,/?,c是正整數(shù)，且成等比數(shù)列，b-a是一個(gè)完全平方數(shù)，loga+log6+logc=6,則

666

a+b+c=o

7'已知/(%)=X2+6ax-a,y=f(x)的圖像與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)(x,0),(%,0)且

12

-__*__----J__r=8。一3,貝IJ。的值為

(l+x)(l+x)(l-6a-x)(1-6c/-x)

1212

8、設(shè)n為正整數(shù)，記1X2X-Xn為n!(例如1!=1,2!=1X2,5!=1X2X3X4X5),若

?-38-

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存在正整數(shù)Q,4,4,4,4滿足j=―+曳+-+竺+/_,這里1=2,3,4,5,6,則

2345636-2T3T4!5!6!，

。2+。2+。2+。2+。2等于。

23456

二、解答題（共3題，共56分）

9、（本題16分）已知點(diǎn)的序列A（x,0）,〃eN，,其中x=Q,x=1，A是線段AA的中點(diǎn)，A是

3

nn122124

線段AA的中點(diǎn)，，A是線段AA（〃23）的中點(diǎn)，（1）寫出x與x,x之間的關(guān)系式

23nn-2n-1n?i-1n-2

（z?>3）;（2）設(shè)。=x-x,求｛〃｝的通項(xiàng)公式.

nn+1nn

10、（本題20分）已知，函數(shù)/（尤）=x|x-2a|,試求/（x）在區(qū)間［0已上的最大值g（a）。

11'（本題20分）已知雙曲線。：三-晨_=15>0力>0）的離心率為2,過點(diǎn)>0）斜率為

Q2

1的直線/交雙曲線C于A8兩點(diǎn)，且AP=3PB,OA05=3（1）求雙曲線方程；（2）設(shè)Q為雙曲

線C右支上動(dòng)點(diǎn)，尸為雙曲線。的右焦點(diǎn)，在x軸負(fù)半軸上是否存在定點(diǎn)使得

A

NQKW=2NQM/?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由。

2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬題7

一試

考試時(shí)間上午8：00~9：20,共80分鐘，滿分120分

?-39-

(完整)No.49全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽模擬試題

一、填空題(共8題，每題8分，64分)

1、滿足方程Jx—2009—2jx—赤6+Jx—2009+2萬前布=2所有實(shí)數(shù)解為。

2、xeR,函數(shù)/'(x)=2sin：+3cos：的最小正周期為.

23--------

3、設(shè)P是圓型+產(chǎn)=36上一動(dòng)點(diǎn),A點(diǎn)坐標(biāo)為(20,0)。當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PA的中點(diǎn)M的

犧方形___________

4、設(shè)銳角三角形ABC的邊BC上有一點(diǎn)D,使得AD把AABC分成兩個(gè)等腰三角形，試求4ABC

的最小內(nèi)角的取值范圍為-

5、設(shè)z是虛數(shù)，w=z+L且-1＜卬＜2,則z的實(shí)部取值范圍為。

Z

6、設(shè)f(x)=Z(2_x+1)_x4(1一力。如果對任何xe[0,1],都有/(M20,則k的最小值為

7、若不等式門＜門￥-5對7WaW1恒成立，則x的取值范圍是

記bd----------

8、已知數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)a=2%k=1,2,…,n,則所有的aa(IWiWjWn)的和為

kkij-----------------------------

二、解答題(共3題，共56分)

IX2

9、(本題16分)已知橢圓一+”=1(G＞1),RdABC以A(0,1)為直角頂點(diǎn)，邊AB、BC與橢

Q2

圓交于兩點(diǎn)B、Co若4ABC面積的最大值為29/7,求〃的值.

8

10、(本題20分)已知數(shù)列｛a｝是首項(xiàng)為2,公比為L的等比數(shù)列，且前n項(xiàng)和為S.(1)用S

n2n

表示S；(2)是否存在自然數(shù)C和k,使得%J二＞2成立.

n+1S-c

?-40-

(完整)No.49全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽模擬試題

11、(本題20分)已知定義在R+上的函數(shù)f(X)滿足⑴對于任意a、b￡R+,有f(ab)=f(a)

+f(b)；(ii)當(dāng)x>1時(shí),f(x)<0；(iii)f(3)=7.現(xiàn)有兩個(gè)集合A、B,其中集合A={(p,

q)|f(P2+1)-f(5q)-2>0,p、q￡R+},集合B={(p,q)|f(1)+1=0,p、q￡R+}.試問是否

q2

存在P、q,使A8/0,說明理由.

2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬題8

一試

考試時(shí)間上午8：00?9:20,共80分鐘，滿分120分

一、填空題(共8題，每題8分，64分)

1、函數(shù)/(x)=2x-y]4x-x2的值域是.

2、設(shè)z是復(fù)數(shù)，則|z-1|+|z-i|+|z+1|的最小值等于o

3、把能表示成兩個(gè)正整數(shù)平方差的這種正整數(shù)，從小到大排成一列：a,a,a,,a,例

123n

如：。=22-12=3,a=32—2.2—5,a=42—32=7,a=32—12=8,.那么ci=.

12342007—

4、在AABC中，tanB=xi3>sinC=2,AC=3、沼，則煦面積為____.

3

5、圓錐曲線Jx2+y2+6x-2y+10_|x—y+3|=0的離心率是

6、若=ax102+ax10+a}，其中。e{l,2,3,4,5,6,7},j=01,2,并且

1210i

機(jī)+〃=636,則實(shí)數(shù)對(加,n)表示平面上不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

7、已知/(x)=k+"+k+2|++^+2007|+|x-1|+|x-2|++|x-2007|(-1<x<1),且

（完整）No.49全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽模擬試題

/（a2-3a+2）=/（a-1）,則a的取值范圍是

8、從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取三點(diǎn)，構(gòu)成直角三角形的概率是

二、解答題（共3題，共56分）

9、（本題16分）當(dāng)實(shí)數(shù)。為何值時(shí)，關(guān)于x的方程ax=lnx無解、一解、兩解？

10、（本題20分）已知二次函數(shù)/（x）=%2+法+￡■（》〉（））在區(qū)間［-1,1］上的最小值為最大值為

3.(1)求/G)的表達(dá)式；(2)若a=/(/?)-/(n-1),其中n>2,且〃eN*。求證:

—+—土一+.

42422(22<22

11、（本題20分）已知"的三邊長度各不相等，D,E,R分別是NA,NB,NC的平分線

與邊BC,CA,A8的垂直平分線的交點(diǎn).求證：A48C的面積小于的面積.

2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬題9

一試

考試時(shí)間上午8:00~9：20,共80分鐘，滿分120分

一、填空題（共8題，每題8分，64分）

?-42-

(完整)No.49全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽模擬試題

K/(x)是周期為5的奇函數(shù)，/⑴=8,則/(2010)—〃2009)=。

2、設(shè)函數(shù)/(》)=上，若1』表示不大于X的最大整數(shù)，則函數(shù)(/(X)+「f(T)+］的值域

3、apwO,x為多項(xiàng)式a%3-am+px+0=0的根，則

(x+x+x)(++)=

123%%%

4、如圖是一個(gè)數(shù)表，第一行依次寫著從小到大的正整數(shù)，然35791113.

后把每行的相鄰兩個(gè)數(shù)的和寫在這兩數(shù)的正中間的下方得到812162024…

下一行，數(shù)表從左到右'從上到下無限。則2000在表中出現(xiàn)20283644…

486480

次。

5、已知二次函數(shù)f(x)=x2一2皿+1,若對于［0,1］上的任意三個(gè)實(shí)數(shù)a,6,c，函數(shù)值/Q)jG)"(c)都

能構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊長，則滿足條件的m的值可以是o

6、若(x+y)5-+y=0,則y=。

7、如圖從第一格跳到第8格，規(guī)定每次只能跳一格或者2格，則不I1l2l3l4l5l6l7l8l

同的跳格方法總數(shù)為。

?-43-

（完整）No.49全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽模擬試題

8、等比數(shù)列｛〃｝中，Q=1,Q=4,函數(shù)/⑴）（工-。）（x如。），則函數(shù)在（o,o）處的

1201012

（完整）No.49全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽模擬試題

切線方程為

?-45-

（完整）No.49全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽模擬試題

二、解答題（共3題，共56分）

?-46-

9、（本題16分）如圖，已知。為趣七峋命性國羸黑■施竟賽模｝蛛翅邊，且滿足COAB=BOCA。

（1）推導(dǎo)出三邊〃,瓦c之間的關(guān)系式；（2）求匕門/+匕門4的值

10、（本題？0）,分）設(shè)直線/?=七+〃，（其中3t卻為攀Q與橢圓腔+尸=1交于不同兩點(diǎn)A,B,

與雙曲線

1612

=1交于不同兩點(diǎn)C,D,問是否存在直線/,使得向量AC+BD=0,若存在，指

.47.

（完整）No.49全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽模擬試題

412

?-48-

(完整)No.49全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽模擬試題

出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由.

11、(本題20分)已知函數(shù)八。=",對于定義?)=/「,(切，偶函數(shù)式》)

的定義域?yàn)閧必。},當(dāng)x>o時(shí)，8(x)=k20GV(1)求g(x)；⑵若存在實(shí)數(shù)使得該

函數(shù)在［”>］上的最大值為根。，最小值為〃仍，求非零實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍。

2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬題10

一試

考試時(shí)間上午8:00~9：20,共80分鐘，滿分120分

一、填空題(共8題，每題8分，64分)

1'使關(guān)于X的不等式77^3+<6^>k有解的實(shí)數(shù)k的最大值是

2、已知M={(x,y)|X2+2y2=3},N={(x,y)\y=nvc-^-b}o若對所有mGR,均有MNw0,則b

的取值范圍是n

3、設(shè)函數(shù)f滿足/(0)=1,且對任意x,yeR,都有

/(xy+1)=/(x)/(y)—.Ay)—x+2,則/(x)=。

4、若復(fù)數(shù)z,z滿足|z|=2,|z|=3,3z—2z,貝ljz?z二

121212212

5、已知整數(shù)苞y,zj滿足x<y<z</,且2\+2y+2二+2/=1314,貝I］尤+y+z+/=.

6、甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分,負(fù)者得0分,比賽進(jìn)行到有一人比對方多2

分或打滿6局時(shí)停止.設(shè)甲在每局中獲勝的概率為V,乙在每局中獲勝的概率為L且各局勝

33

負(fù)相互獨(dú)立,則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)自的期望戊為

（完整）No.49全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽模擬試題

7、記集合T={0,1,2,3,4,5,6},M={^+^+^_+a€力=1,2,3,4},將M

7727374f

中的元素按從大到小的順序排列，則第2005個(gè)數(shù)是

8、將邊長為2的正△ABC沿高AD折成直二面角B-AD-C,則三棱錐B-ADC的外接球的表

面積是____________

二、解答題（共3題，共56分）

9、（本題16分）已知函數(shù)/（6=；X2+lnx.

（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間［1,e］上的最大、最小值；

（2）求證：在區(qū)間（1,+00）上，函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）=2X3圖象的下方；

3

（3）設(shè)g（X）=f/（X）,求證：［g（X）］n-g（Xn）之2n-2。

10.（本題20分）如圖,拋物線y2=2%及點(diǎn)P（l,l）,過點(diǎn)P的不重合的直線

Z、2與此拋物線分別交于點(diǎn)A,證明：A,B,C,。四點(diǎn)共

12-

圓的充要條件是直線Z與1的傾斜角互補(bǔ).

12

11、（本題20分）數(shù)列{a}滿足：a=1,a=70n+145牛-364M

n0n+12

逢月：（1）對任意neN,a為正整數(shù)；（2）對任意neN,aa-1為完全平方數(shù).

mnn+1

?-50-

（完整）No.49全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽模擬試題

2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬題11

一試

考試時(shí)間上午8：00~9：20,共80分鐘，滿分120分

一、填空題（共8題，每題8分，64分）

1.方程9工+|1-3，|=5的實(shí)數(shù)解為.

2.函數(shù)y=bir）H+|cosx|（xwR）的單調(diào)減區(qū)間是.

3.函數(shù)/（x）=（x-2）（x+1＞在區(qū)間［0,2］上的最大值是,最小值是.

4.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓心在原點(diǎn)。、半徑為R的圓與△A3C的邊有公共點(diǎn)，其中

A=（4,0）、8=（6,8）、C=（2,4）,則R的取值范圍為.

5.設(shè)函數(shù)/G）的定義域?yàn)镽,若/G+1）與/6-1）都是關(guān)于x的奇函數(shù)，則函數(shù)y=/G）在區(qū)

間上至少有個(gè)零點(diǎn)。.

6.圓環(huán)形手鐲上等距地鑲嵌著4顆小珍珠，每顆珍珠鍍金、銀兩色中的一種.其中