三角形中的邊角關(guān)系命題與證明-三角形的三線課件滬科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)

三角形的三線滬科版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)ABC什么是三角形的中線D三角形的中線的定義：如右圖，連接△ABC的頂點(diǎn)A和它所對(duì)的邊BC的中點(diǎn)D，所得的線段AD叫做△ABC的邊BC上的中線.三角形的中線的畫法:①如上圖，取線段BC的中點(diǎn)D；②連接AD，線段AD即為BC邊上的中線.中線的性質(zhì)：①三角形一邊上的中線平分該邊②三角形有三條中線，相交于一點(diǎn)，交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部，交點(diǎn)即是三角形的重心；③三角形的一條中線將三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形...三角形的中線的性質(zhì)有哪些什么是三角形的高線ABC三角形的高線的定義:如圖，從△ABC的頂點(diǎn)A向它所對(duì)的邊BC所在的直線畫垂線，垂足為D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的高.ABC怎樣作三角形的高線DD高線的畫法：①如圖，將直角三角板的一條直角邊與邊BC所在的直線重合，并在直線BC上移動(dòng);②當(dāng)直角三角板的另一直角邊經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，過點(diǎn)A沿該直角邊作直線，與直線BC交于點(diǎn)D，則線段AD即為△ABC的邊BC上的高.高線的性質(zhì)：三角形有三條高，它們相交于一點(diǎn)，它們的交點(diǎn)就是垂心.三角形的高線的性質(zhì)有哪些三角形的垂心有以下三種情況：ABCD①銳角三角形的垂心：FE.O垂心在三角形的內(nèi)部.②鈍角三角形的垂心：BACDEF.O垂心在三角形的外部.③直角三角形的垂心：BACD.垂心在直角三角形直角頂點(diǎn)上.什么是三角形的角平分線ABC..D三角形的角平分線的定義：如圖，畫∠A的平分線AD，交∠A所對(duì)的邊BC于點(diǎn)D，所得線段AD叫做△ABC的角平分線.三角形的角平分線的畫法:①如上圖，用量角器量出∠A的度數(shù)，計(jì)算出∠A的一半，標(biāo)記一個(gè)點(diǎn)E；②連接AE，交BC于點(diǎn)D，則線段AD即是三角形ABC中∠A的角平分線.三角形的角平分線的性質(zhì)有哪些角平分線的性質(zhì)：一個(gè)三角形有三條角平分線，這三條角平分線相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)就是三角形的內(nèi)心.E.三角形三條重要的線段的畫法、性質(zhì)【例】在數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們?cè)诰毩?xí)畫AC邊上的高時(shí)，出現(xiàn)下列四種圖形，那么這些高畫法對(duì)嗎？為什么？分析：①．

②．③．④．高要垂直對(duì)應(yīng)的邊AC邊上的高一定要過頂點(diǎn)B高的畫法正確解：①線段AE未經(jīng)過頂點(diǎn)B且與邊AC不垂直.②線段AE未經(jīng)過頂點(diǎn)B且與邊AC不垂直.不正確③線段BE經(jīng)過頂點(diǎn)B且與邊AC垂直.正確不正確④線段AE與邊AC垂直，但是未經(jīng)過頂點(diǎn)B.不正確方法小結(jié)：針對(duì)這類題型，需要熟練掌握高線的定義與作法，明確一邊上的高線是過其所對(duì)的頂點(diǎn)作此邊的垂線段.【例】給出下列說法：①三條線段組成的圖形叫三角形；②三角形的角平分線是射線；③三角形的高所在的直線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)不在三角形內(nèi)就在三角形外；④任何一個(gè)三角形都有三條高、三條中線、三條角平分線；⑤三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，且這點(diǎn)在三角形內(nèi)，正確的說法有

個(gè).分析：解：概念判斷題三線的基本定義注意細(xì)節(jié)?、儆刹辉谕粭l直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫三角形，所以錯(cuò)誤；②三角形的角平分線是線段，不是射線，所以錯(cuò)誤；③三角形的高所在的直線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫三角形的垂心，直角三角形的垂心在直角三角形直角頂點(diǎn)上，所以錯(cuò)誤；④任何一個(gè)三角形都有三條高、三條中線、三條角平分線，所以正確；⑤三角形的角平分線只能在三角形內(nèi)，所以它們的交點(diǎn)在三角形內(nèi)，所以正確.√√方法小結(jié)：這類定義判斷類問題，需要熟練的掌握相關(guān)的定義，注意關(guān)鍵字詞有沒有缺失即可.2

分析：AE是中線

AE是公共邊兩三角形的周長差就

是最后一邊邊長差解：∵AE是△ABC的邊BC上的中線，

方法小結(jié)：這類題型主要利用中線的性質(zhì)，將周長的差轉(zhuǎn)化為所求邊長的差進(jìn)行解題.

分析：已知一邊和一邊上的高求出面積同一個(gè)三角形面積相同利用等面積法求出AB邊上的高解：設(shè)△ABC邊AB上的高為h，

所以△ABC邊AB上的高是9.6.

方法小結(jié)：這類題目只要用等面積法去處理即可，同一個(gè)三角形面積相等，那么將另一個(gè)底邊長代入面積計(jì)算公式即可求出另一邊上的高.三角形的中線與三角形的面積

分析：點(diǎn)D，E是中點(diǎn)AD，BE，CE是中線它們把對(duì)應(yīng)三角形的面積2等分解：∵點(diǎn)D，E分別為邊BC，AD的中點(diǎn)，∴AD，BE，CE分別是△

ABC、

△

ABD和△

ACD的中線，∴AD、BE和CE分別平分△

ABC、

△

ABD和△

ACD的面積，

方法總結(jié)：這類題型我們要先確定中點(diǎn)位置，找到中線和中線所在的三角形，根據(jù)中線和三角形的面積關(guān)系來計(jì)算各個(gè)小三角形的面積，再看要求的三角形是由哪幾個(gè)小三角形構(gòu)成的，求和即可.計(jì)算各個(gè)小三角形面積，再去求△BCE的面積三角形的中線與三角形的面積

分析：點(diǎn)D，E，F(xiàn)

是中點(diǎn)AD，BE，CE和BF是中線各個(gè)三角形的面積2等分，從而計(jì)算出各個(gè)小三角形面積求和即得到△BCE的面積陰影部分面積即為△BCE的面積的一半解：∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊BC，AD和CE的中點(diǎn)，∴AD，BE，CE，BF分別是△ABC、

△

ABD、△ACD和△BCE的中線，∴AD、BE，CE，BF分別平分△ABC、△ABD、△ACD和△BCE的面積，

方法總結(jié)：遇到這類問題，先明確中點(diǎn)所在的位置，以及構(gòu)成的中線位于哪個(gè)三角形中，再根據(jù)三角形的中線和三角形面積的關(guān)系計(jì)算出各個(gè)三角形的面積，最后找到所求圖形的面積與已知面積之間的關(guān)系即可求解.

分析：點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為邊AD，BE，CE的中點(diǎn)中線平分三

角形面積面積未知，不妨設(shè)兩個(gè)面積表示出各個(gè)部分面積，求比值解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為邊AD，BE，CE的中點(diǎn)，∴DF，BE，CE，DG分別是△BDE、△ABD、△ACD和△CDE的中線，∴DF，BE，CE，DG分別平分△BDE、△ABD、△ACD和△CDE的面積，設(shè)△ABD的面積為x，△ACD的面積為y，那么△ABC的面積為(x+y)，

面積

方法總結(jié)：求面積的比值問題，若題目中沒有給出具體的數(shù)據(jù)，我們可以直接設(shè)出關(guān)鍵三角形的面積，利用三角形中線的性質(zhì)，表示出其它三角形的面積，最終得出所求面積比.1:4三角形的三線三心定義：三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的連線段叫做三角形的中線.三角形的中線將一個(gè)三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形.中線角平分線高線定義：三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊相交，連接這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)的線段叫三角形的角平分線.定義：從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊(或?qū)吽诘闹本€)作垂線，那么這個(gè)頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角形的高線.重心：三角形三條中線的交點(diǎn).內(nèi)心：三角形三條角平分線的交點(diǎn).垂心：三角形三條高線的交點(diǎn).銳角三角形的垂心在它的內(nèi)部，鈍角三角形的垂心在它的外部，直角三角形的垂心在它的直角頂點(diǎn)上.