人教A版高中數(shù)學(xué)必修3《三章概率復(fù)習(xí)參考題》課教案8

幾何概型創(chuàng)境設(shè)問：問題1：射箭競賽的箭靶涂有五個彩色得分環(huán)，從外向內(nèi)為白色、黑色、藍(lán)色、紅色，靶心為金色．金色靶心叫“黃心”．奧運(yùn)會的競賽靶面直徑為122cm，靶心直徑為12.2cm，運(yùn)動員在70m外射．假定射箭都能中靶，且射中靶面內(nèi)隨意一點(diǎn)都是等可能的，那么射中黃心的概率有多大？研究一、幾何概型的觀點(diǎn)能用古典概型描繪該事件的概率嗎？為何？（1）試驗(yàn)中的基本領(lǐng)件是什么？射中靶面上每一點(diǎn)都是一個基本領(lǐng)件,這一點(diǎn)能夠是靶面直徑為122cm的大圓內(nèi)的隨意一點(diǎn).2）每個基本領(lǐng)件的發(fā)生是等可能的嗎？3）切合古典概型的特色嗎？問題2:取一根長度為3m的繩索，拉直后在隨意地點(diǎn)剪斷，那么剪得兩段的長都不小于1m的概率有多大？3m能用古典概型描繪該事件的概率嗎？為何？（1）試驗(yàn)中的基本領(lǐng)件是什么？從每一個地點(diǎn)剪斷都是一個基本領(lǐng)件,剪斷地點(diǎn)能夠是長度為3m的繩索上的隨意一點(diǎn).2）每個基本領(lǐng)件的發(fā)生是等可能的嗎？3）切合古典概型的特色嗎？問題3:有一杯1升的水，此中飄蕩有1個微生物，用一個小杯從這杯水中拿出0.1升，求小杯水中含有這個微生物的概率.能用古典概型描繪該事件的概率嗎？為何？（1）試驗(yàn)中的基本領(lǐng)件是什么？微生物出現(xiàn)的每一個地點(diǎn)都是一個基本領(lǐng)件,微生物出現(xiàn)地點(diǎn)能夠是1升水中的隨意一點(diǎn).2）每個基本領(lǐng)件的發(fā)生是等可能的嗎？3）切合古典概型的特色嗎？上邊三個隨機(jī)試驗(yàn)有什么共同特色？一次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果有無窮多個；每個結(jié)果的發(fā)生都擁有等可能性．關(guān)于一個隨機(jī)試驗(yàn),我們將每個基本領(lǐng)件理解為從某個特定的幾何地區(qū)內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)該地區(qū)中每一個點(diǎn)被取到的時機(jī)都同樣;而一個隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰巧取到上述地區(qū)內(nèi)的某個指定地區(qū)中的點(diǎn).這里的地區(qū)能夠是線段,平面圖形,立體圖形等.用這類方法辦理隨

,機(jī)試驗(yàn),稱為幾何概型.二、幾何概型與古典概型的差別古典概型的實(shí)質(zhì)特色：1、樣本空間中樣本點(diǎn)個數(shù)有限，2、每一個樣本點(diǎn)都是等可能發(fā)生的．將古典概型中的有限性推行到無窮性，而保存等可能性，就獲取幾何概型．幾何概型的實(shí)質(zhì)特色：1、有一個可胸懷的幾何圖形S；2、試驗(yàn)E當(dāng)作在S中隨機(jī)地扔擲一點(diǎn)；3、事件A就是所扔擲的點(diǎn)落在S中的可胸懷圖形A中．問題：怎樣求幾何概型的概率？122c11m3112.221P(C)=0.1P(A)=40.010.1P(B)=11122234幾何概型的概率計(jì)算方法一般地,在幾何地區(qū)事件A發(fā)生的概率為

D中隨機(jī)地取一點(diǎn):

,記事件“該點(diǎn)落在其內(nèi)部一個地區(qū)

d內(nèi)”為事件

A,則P(A)=

d的測度D的測度注意：D的測度不可以為0,此中“測度”的意義依D確立.當(dāng)D分別為線段,平面圖形,立體圖形時,相應(yīng)的“測度”分別為長度,面積,體積等.互動解疑：例1：某人午覺悟來,發(fā)現(xiàn)表停了,他翻開收音機(jī),想聽電臺報(bào)時,求他等候的時間不多于10分鐘的概率.解：設(shè)

A={等候的時間不多于

10分鐘}.我們所關(guān)懷的事件

A恰巧是翻開收音機(jī)的時刻位于[50,60]時間段內(nèi)

,所以由幾何概型的求概率的公式得

:P(A)60501,606答：“等候的時間不超出10分鐘”的概率為1．6例2：一海豚在水池中自由游弋，水池長30m，寬20m的長方形，求現(xiàn)在海豚嘴尖離岸小于2m的概率．30m20m2m解：設(shè)事件A“海豚嘴尖離岸邊小于2m”（見暗影部分）d的測度302026160.31P（A）＝D的測度3020答:海豚嘴尖離岸小于2m的概率約為0.31.例3：取一個邊長為2a的正方形及其內(nèi)切圓(如圖),隨機(jī)地向正方形內(nèi)丟一粒豆子,求豆子落入圓內(nèi)的概率.解:記“豆子落入圓內(nèi)”為事件A,則圓面積a2P(A)=正方形面積4a24答:豆子落入圓內(nèi)的概率為4撒豆試驗(yàn)：向正方形內(nèi)撒n顆豆子，此中有m顆落在圓內(nèi)，當(dāng)n很大時，頻次靠近于概率．P(A)mm4m.n4nn練一練:練習(xí)1.在數(shù)軸上，設(shè)點(diǎn)x∈[-3,3]中按平均散布出現(xiàn)，記a∈(-1,2]為事件A，則P（A）=（）A、1B、0C、1/2D、1/3-3-1023練習(xí)2.在1L高產(chǎn)小麥種子中混入一粒帶麥銹病的種子,從中隨機(jī)拿出10mL,含有麥銹病種子的概率是多少?解:拿出10mL種子,此中“含有病種子”這一事件高為A,則拿出種子的體積101P(A)=1000100所有種子的體積答:含有麥銹病種子的概率為0.01練習(xí)3：在正方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，求∠APB＞90°的概率．P(A)的測度1(a)2DCd228.D的測度a2APB＝90°？d的測度0P(B)D的測度a20.概率為0的事件可能發(fā)生！

P穩(wěn)固練習(xí)：AB1、某公共汽車站每隔5分鐘有一輛公共汽車經(jīng)過，乘客抵達(dá)汽車站的任一時刻都是等可能的,求乘客等車不超出3分鐘的概率.2、如圖,假定你在每個圖形上隨機(jī)撒一粒黃豆,分別計(jì)算它落到暗影部分的概率.3、某商場為了吸引顧客，建立了一個能夠自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，并規(guī)定：顧客每購置100元的商品，就能獲取一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的時機(jī).假如轉(zhuǎn)盤停止時，指針正好瞄準(zhǔn)紅、黃或綠的地區(qū)，顧客就能夠獲取100元、50元、20元的購物券（轉(zhuǎn)盤平分紅20份）.甲顧客購物120元，他獲取購物券的概率是多少？綠黃黃綠綠綠紅他獲取100元、50元、20元的購物券的概率分別是多少？互動解疑：例1．在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AM小于AC的概率．解：在AB上截取AC’＝AC，故AM＜AC的概率等于AM＜AC’的概率．記事件A為“AM小于AC”，ACACAC2P(A)AB2AC2AB答：AM＜AC的概率等于22例2.拋階磚游戲.“拋階磚”是外國游玩場的典型游戲之一.參加者只須將手上的“金幣”（設(shè)“金幣”的直徑為r）拋向離身旁若干距離的階磚平面上，拋出的“金幣”若恰巧落在任何一個階磚（邊長為a的正方形）的范圍內(nèi)（不與階磚相連的線重疊），即可獲獎,問：參加者獲獎的概率有多大？.a解：設(shè)階磚每邊長度為a,“金幣”直徑為r.

ASa若“金幣”成功地落在階磚上，其圓心必位于右圖的綠色地區(qū)A內(nèi).問題化為:向平面地區(qū)S（面積為a2）隨機(jī)投點(diǎn)（“金幣”中心），求該點(diǎn)落在地區(qū)A內(nèi)的概率.A的面積(ar)2于是成功拋中階磚的概率：p0<r<aS的面積a2因而可知，當(dāng)r靠近a,p靠近于0;而當(dāng)r靠近0，p靠近于1.若r>a,你還愿意玩這個游戲嗎？例3.(見面問題）甲、乙二人商定在12點(diǎn)到17點(diǎn)之間在某地見面，先到者等一個小時后即離開設(shè)二人在這段時間內(nèi)的各時刻抵達(dá)是等可能的，且二人互不影響．求二人能見面的概率.解：以X,Y分別表示甲乙二人抵達(dá)的時刻，于是即點(diǎn)M落在圖中的暗影部分．所有的點(diǎn)組成一個正方形，即有無量多個結(jié)果．因?yàn)槊咳嗽谌我粫r刻抵達(dá)都是等可能的，所以落在正方形內(nèi)各點(diǎn)是等可能的．二人見面的條件是：|XY|1,暗影部分的面積252142P(A)29正方形的面積2525.答：兩人見面的概率等于925【變式題】假定你家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在清晨6:30—7:30之間把報(bào)紙送到你家，你父親走開家去工作的時間在清晨7:00—8:00之間。問你父親在走開家前能獲取報(bào)紙(稱為事件A)的概率是多少?解：6:30—7:30之間報(bào)紙送到你家7:00—8:00之間父親走開家問你父親在走開家前能獲取報(bào)紙(稱為事件A)的概率是多少?解:以橫坐標(biāo)X表示報(bào)紙送到時間,以縱坐標(biāo)表示父親離家時間成立平面直角坐標(biāo)系,假定隨機(jī)試驗(yàn)落在方形地區(qū)內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的,所以切合幾何概型的條件.依據(jù)題意,只需點(diǎn)落到暗影部分,就表示父親在走開家前能獲取報(bào)紙,即事件A發(fā)生,所以602302P(A)287.5%.602例4.在一個圓上任取三點(diǎn)A、B、C,求能組成銳角三角形的概率.解：在一個圓上任取三點(diǎn)A、B、C，組成的三角形內(nèi)角分別為∠A、∠B、∠C.，，則0x,設(shè)∠A＝x∠B＝y(tǒng)0yx.它們組成本試驗(yàn)的樣本空間S.組成銳角三角形的(x,y)應(yīng)知足的條件是：0x,20x,0y,20yx.xy2由幾何概率計(jì)算得所求概率為練一練

141.在線段AD上隨意取兩個點(diǎn)B、C，在B、C處折斷此線段而得三折線，求此三折線能組成三角形的概率.在一張方格紙上隨機(jī)投一個直徑1的硬幣，問方格多小才能使硬幣與線訂交的概率大于0.99？3.Bertrand問題：已知半徑為1的圓的內(nèi)接等邊三角形邊長是3，在圓內(nèi)隨機(jī)取一條弦，求弦長超出3的概率.4.一個服務(wù)窗口每次只好招待一名顧客，兩名顧客將在8小時內(nèi)隨機(jī)抵達(dá).顧客甲需要1小時服務(wù)時間，顧客乙需要2小時.計(jì)算有人需要等候的概率.收獲展現(xiàn)：1.幾何概型的特色：⑴、有一個可胸懷的幾何圖形S；⑵、試驗(yàn)E當(dāng)作在S中隨機(jī)地扔擲一點(diǎn)；⑶、事