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幾何概型創(chuàng)境設(shè)問(wèn):?jiǎn)栴}1:射箭競(jìng)賽的箭靶涂有五個(gè)彩色得分環(huán),從外向內(nèi)為白色、黑色、藍(lán)色、紅色,靶心為金色.金色靶心叫“黃心”.奧運(yùn)會(huì)的競(jìng)賽靶面直徑為122cm,靶心直徑為12.2cm,運(yùn)動(dòng)員在70m外射.假定射箭都能中靶,且射中靶面內(nèi)隨意一點(diǎn)都是等可能的,那么射中黃心的概率有多大?研究一、幾何概型的觀點(diǎn)能用古典概型描繪該事件的概率嗎?為何?(1)試驗(yàn)中的基本領(lǐng)件是什么?射中靶面上每一點(diǎn)都是一個(gè)基本領(lǐng)件,這一點(diǎn)能夠是靶面直徑為122cm的大圓內(nèi)的隨意一點(diǎn).2)每個(gè)基本領(lǐng)件的發(fā)生是等可能的嗎?3)切合古典概型的特色嗎?問(wèn)題2:取一根長(zhǎng)度為3m的繩索,拉直后在隨意地點(diǎn)剪斷,那么剪得兩段的長(zhǎng)都不小于1m的概率有多大?3m能用古典概型描繪該事件的概率嗎?為何?(1)試驗(yàn)中的基本領(lǐng)件是什么?從每一個(gè)地點(diǎn)剪斷都是一個(gè)基本領(lǐng)件,剪斷地點(diǎn)能夠是長(zhǎng)度為3m的繩索上的隨意一點(diǎn).2)每個(gè)基本領(lǐng)件的發(fā)生是等可能的嗎?3)切合古典概型的特色嗎?問(wèn)題3:有一杯1升的水,此中飄蕩有1個(gè)微生物,用一個(gè)小杯從這杯水中拿出0.1升,求小杯水中含有這個(gè)微生物的概率.能用古典概型描繪該事件的概率嗎?為何?(1)試驗(yàn)中的基本領(lǐng)件是什么?微生物出現(xiàn)的每一個(gè)地點(diǎn)都是一個(gè)基本領(lǐng)件,微生物出現(xiàn)地點(diǎn)能夠是1升水中的隨意一點(diǎn).2)每個(gè)基本領(lǐng)件的發(fā)生是等可能的嗎?3)切合古典概型的特色嗎?上邊三個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有什么共同特色?一次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)窮多個(gè);每個(gè)結(jié)果的發(fā)生都擁有等可能性.關(guān)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),我們將每個(gè)基本領(lǐng)件理解為從某個(gè)特定的幾何地區(qū)內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)該地區(qū)中每一個(gè)點(diǎn)被取到的時(shí)機(jī)都同樣;而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰巧取到上述地區(qū)內(nèi)的某個(gè)指定地區(qū)中的點(diǎn).這里的地區(qū)能夠是線段,平面圖形,立體圖形等.用這類方法辦理隨
,機(jī)試驗(yàn),稱為幾何概型.二、幾何概型與古典概型的差別古典概型的實(shí)質(zhì)特色:1、樣本空間中樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)有限,2、每一個(gè)樣本點(diǎn)都是等可能發(fā)生的.將古典概型中的有限性推行到無(wú)窮性,而保存等可能性,就獲取幾何概型.幾何概型的實(shí)質(zhì)特色:1、有一個(gè)可胸懷的幾何圖形S;2、試驗(yàn)E當(dāng)作在S中隨機(jī)地扔擲一點(diǎn);3、事件A就是所扔擲的點(diǎn)落在S中的可胸懷圖形A中.問(wèn)題:怎樣求幾何概型的概率?122c11m3112.221P(C)=0.1P(A)=40.010.1P(B)=11122234幾何概型的概率計(jì)算方法一般地,在幾何地區(qū)事件A發(fā)生的概率為
D中隨機(jī)地取一點(diǎn):
,記事件“該點(diǎn)落在其內(nèi)部一個(gè)地區(qū)
d內(nèi)”為事件
A,則P(A)=
d的測(cè)度D的測(cè)度注意:D的測(cè)度不可以為0,此中“測(cè)度”的意義依D確立.當(dāng)D分別為線段,平面圖形,立體圖形時(shí),相應(yīng)的“測(cè)度”分別為長(zhǎng)度,面積,體積等.互動(dòng)解疑:例1:某人午覺(jué)悟來(lái),發(fā)現(xiàn)表停了,他翻開(kāi)收音機(jī),想聽(tīng)電臺(tái)報(bào)時(shí),求他等候的時(shí)間不多于10分鐘的概率.解:設(shè)
A={等候的時(shí)間不多于
10分鐘}.我們所關(guān)懷的事件
A恰巧是翻開(kāi)收音機(jī)的時(shí)刻位于[50,60]時(shí)間段內(nèi)
,所以由幾何概型的求概率的公式得
:P(A)60501,606答:“等候的時(shí)間不超出10分鐘”的概率為1.6例2:一海豚在水池中自由游弋,水池長(zhǎng)30m,寬20m的長(zhǎng)方形,求現(xiàn)在海豚嘴尖離岸小于2m的概率.30m20m2m解:設(shè)事件A“海豚嘴尖離岸邊小于2m”(見(jiàn)暗影部分)d的測(cè)度302026160.31P(A)=D的測(cè)度3020答:海豚嘴尖離岸小于2m的概率約為0.31.例3:取一個(gè)邊長(zhǎng)為2a的正方形及其內(nèi)切圓(如圖),隨機(jī)地向正方形內(nèi)丟一粒豆子,求豆子落入圓內(nèi)的概率.解:記“豆子落入圓內(nèi)”為事件A,則圓面積a2P(A)=正方形面積4a24答:豆子落入圓內(nèi)的概率為4撒豆試驗(yàn):向正方形內(nèi)撒n顆豆子,此中有m顆落在圓內(nèi),當(dāng)n很大時(shí),頻次靠近于概率.P(A)mm4m.n4nn練一練:練習(xí)1.在數(shù)軸上,設(shè)點(diǎn)x∈[-3,3]中按平均散布出現(xiàn),記a∈(-1,2]為事件A,則P(A)=()A、1B、0C、1/2D、1/3-3-1023練習(xí)2.在1L高產(chǎn)小麥種子中混入一粒帶麥銹病的種子,從中隨機(jī)拿出10mL,含有麥銹病種子的概率是多少?解:拿出10mL種子,此中“含有病種子”這一事件高為A,則拿出種子的體積101P(A)=1000100所有種子的體積答:含有麥銹病種子的概率為0.01練習(xí)3:在正方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,求∠APB>90°的概率.P(A)的測(cè)度1(a)2DCd228.D的測(cè)度a2APB=90°?d的測(cè)度0P(B)D的測(cè)度a20.概率為0的事件可能發(fā)生!
P穩(wěn)固練習(xí):AB1、某公共汽車站每隔5分鐘有一輛公共汽車經(jīng)過(guò),乘客抵達(dá)汽車站的任一時(shí)刻都是等可能的,求乘客等車不超出3分鐘的概率.2、如圖,假定你在每個(gè)圖形上隨機(jī)撒一粒黃豆,分別計(jì)算它落到暗影部分的概率.3、某商場(chǎng)為了吸引顧客,建立了一個(gè)能夠自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán),并規(guī)定:顧客每購(gòu)置100元的商品,就能獲取一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)的時(shí)機(jī).假如轉(zhuǎn)盤(pán)停止時(shí),指針正好瞄準(zhǔn)紅、黃或綠的地區(qū),顧客就能夠獲取100元、50元、20元的購(gòu)物券(轉(zhuǎn)盤(pán)平分紅20份).甲顧客購(gòu)物120元,他獲取購(gòu)物券的概率是多少?綠黃黃綠綠綠紅他獲取100元、50元、20元的購(gòu)物券的概率分別是多少?互動(dòng)解疑:例1.在等腰直角三角形ABC中,在斜邊AB上任取一點(diǎn)M,求AM小于AC的概率.解:在AB上截取AC’=AC,故AM<AC的概率等于AM<AC’的概率.記事件A為“AM小于AC”,ACACAC2P(A)AB2AC2AB答:AM<AC的概率等于22例2.拋階磚游戲.“拋階磚”是外國(guó)游玩場(chǎng)的典型游戲之一.參加者只須將手上的“金幣”(設(shè)“金幣”的直徑為r)拋向離身旁若干距離的階磚平面上,拋出的“金幣”若恰巧落在任何一個(gè)階磚(邊長(zhǎng)為a的正方形)的范圍內(nèi)(不與階磚相連的線重疊),即可獲獎(jiǎng),問(wèn):參加者獲獎(jiǎng)的概率有多大?.a解:設(shè)階磚每邊長(zhǎng)度為a,“金幣”直徑為r.
ASa若“金幣”成功地落在階磚上,其圓心必位于右圖的綠色地區(qū)A內(nèi).問(wèn)題化為:向平面地區(qū)S(面積為a2)隨機(jī)投點(diǎn)(“金幣”中心),求該點(diǎn)落在地區(qū)A內(nèi)的概率.A的面積(ar)2于是成功拋中階磚的概率:p0<r<aS的面積a2因而可知,當(dāng)r靠近a,p靠近于0;而當(dāng)r靠近0,p靠近于1.若r>a,你還愿意玩這個(gè)游戲嗎?例3.(見(jiàn)面問(wèn)題)甲、乙二人商定在12點(diǎn)到17點(diǎn)之間在某地見(jiàn)面,先到者等一個(gè)小時(shí)后即離開(kāi)設(shè)二人在這段時(shí)間內(nèi)的各時(shí)刻抵達(dá)是等可能的,且二人互不影響.求二人能見(jiàn)面的概率.解:以X,Y分別表示甲乙二人抵達(dá)的時(shí)刻,于是即點(diǎn)M落在圖中的暗影部分.所有的點(diǎn)組成一個(gè)正方形,即有無(wú)量多個(gè)結(jié)果.因?yàn)槊咳嗽谌我粫r(shí)刻抵達(dá)都是等可能的,所以落在正方形內(nèi)各點(diǎn)是等可能的.二人見(jiàn)面的條件是:|XY|1,暗影部分的面積252142P(A)29正方形的面積2525.答:兩人見(jiàn)面的概率等于925【變式題】假定你家訂了一份報(bào)紙,送報(bào)人可能在清晨6:30—7:30之間把報(bào)紙送到你家,你父親走開(kāi)家去工作的時(shí)間在清晨7:00—8:00之間。問(wèn)你父親在走開(kāi)家前能獲取報(bào)紙(稱為事件A)的概率是多少?解:6:30—7:30之間報(bào)紙送到你家7:00—8:00之間父親走開(kāi)家問(wèn)你父親在走開(kāi)家前能獲取報(bào)紙(稱為事件A)的概率是多少?解:以橫坐標(biāo)X表示報(bào)紙送到時(shí)間,以縱坐標(biāo)表示父親離家時(shí)間成立平面直角坐標(biāo)系,假定隨機(jī)試驗(yàn)落在方形地區(qū)內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的,所以切合幾何概型的條件.依據(jù)題意,只需點(diǎn)落到暗影部分,就表示父親在走開(kāi)家前能獲取報(bào)紙,即事件A發(fā)生,所以602302P(A)287.5%.602例4.在一個(gè)圓上任取三點(diǎn)A、B、C,求能組成銳角三角形的概率.解:在一個(gè)圓上任取三點(diǎn)A、B、C,組成的三角形內(nèi)角分別為∠A、∠B、∠C.,,則0x,設(shè)∠A=x∠B=y(tǒng)0yx.它們組成本試驗(yàn)的樣本空間S.組成銳角三角形的(x,y)應(yīng)知足的條件是:0x,20x,0y,20yx.xy2由幾何概率計(jì)算得所求概率為練一練
141.在線段AD上隨意取兩個(gè)點(diǎn)B、C,在B、C處折斷此線段而得三折線,求此三折線能組成三角形的概率.在一張方格紙上隨機(jī)投一個(gè)直徑1的硬幣,問(wèn)方格多小才能使硬幣與線訂交的概率大于0.99?3.Bertrand問(wèn)題:已知半徑為1的圓的內(nèi)接等邊三角形邊長(zhǎng)是3,在圓內(nèi)隨機(jī)取一條弦,求弦長(zhǎng)超出3的概率.4.一個(gè)服務(wù)窗口每次只好招待一名顧客,兩名顧客將在8小時(shí)內(nèi)隨機(jī)抵達(dá).顧客甲需要1小時(shí)服務(wù)時(shí)間,顧客乙需要2小時(shí).計(jì)算有人需要等候的概率.收獲展現(xiàn):1.幾何概型的特色:⑴、有一個(gè)可胸懷的幾何圖形S;⑵、試驗(yàn)E當(dāng)作在S中隨機(jī)地扔擲一點(diǎn);⑶、事
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