培優(yōu)旋轉(zhuǎn)輔導(dǎo)專題訓(xùn)練

一、旋轉(zhuǎn)真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1.如圖①，在等腰4ABC和4ADE中，AB=AC,AD=AE,且NBAC=NDAE如20°.（1）求證：△ABDM△ACE；（2）把4ADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖②的位置，連接CD,點M、P、N分別為DE、DC、BC的中點，連接MN、PN、PM,判斷△PMN的形狀，并說明理由；（3）在（2）中，把△ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=4,AB=6,請分別求出△PMN周長的最小值與最大值.圖①圖②【答案】（1）證明見解析；（2）△PMN是等邊三角形.理由見解析；（3）△PMN周長的最小值為3,最大值為15.【解析】分析：（1）由NBAC=NDAE=120°,可得NBAD=NCAE,再由AB=AC,八口二八￡,利用SAS即可判定△ABDM△ADE；（2）△PMN是等邊三角形，利用三角形的中位線定理可得1PM=-CE,PMIICE,PN=-BD,PNIIBD,同（1）的方法可得BD=CE,即可得PM=PN,所2< 21以^PMN是等腰三角形；再由PMIICE,PNIIBD,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NDPM=NDCE,NPNC=NDBC,因為NDPN=NDCB+NPNC=NDCB+NDBC,所以NMPN=NDPM+NDPN=NDCE+NDCB+NDBC=NBCE+NDBC=NACB+NACE+NDBC=NACB+NABD+NDBC=NACB+NABC,再由NBAC=120°,可得NACB+NABC=60°,即可得NMPN=60°,所以△PMN是等邊三角形；（3）由（2）知，△PMN是等邊三角形，PM=PN=1BD,所以當(dāng)PM最大時，△PMN周長最大，當(dāng)點D在AB上時，BD最小，PM最小，求得此時BD的長，即可得^PMN周長的最小值；當(dāng)點D在BA延長線上時，BD最大，PM的值最大，此時求得△PMN周長的最大值即可.詳解：（1）因為NBAC=NDAE=120°,所以NBAD=NCAE,又AB=AC,AD=AE,所以△ABD^△ADE；（2）△PMN是等邊三角形.理由：???點P,M分別是CD,DE的中點，「.PM=1CE,PMIICE,2.?.點N,M分別是BC,DE的中點，;PN=-BD,PNIIBD,2同（1）的方法可得BD=CE,「.PM=PN,PMN是等腰三角形，「PMICE,「.NDPM=NDCE,「PNIBD,「.NPNC=NDBC,「NDPN=NDCB+NPNC=NDCB+NDBC,「.NMPN=NDPM+NDPN=NDCE+NDCB+NDBC=NBCE+NDBC=NACB+NACE+NDBC=NACB+NABD+NDBC=NACB+NABC,「NBAC=120°,「.NACB+NABC=60°,「.NMPN=60°,PMN是等邊三角形.1（3）由（2）知，△PMN是等邊三角形，PM=PN=-BD,PM最大時，△PMN周長最大，.?.點D在AB上時，BD最小，PM最小，BD=AB-AD=2,△PMN周長的最小值為3；點D在BA延長線上時，BD最大，PM最大，BD=AB+AD=10,△PMN周長的最大值為15.故答案為^PMN周長的最小值為3,最大值為15點睛：本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定，解決第（3）問，要明確點D在AB上時，BD最小，PM最小，△PMN周長的最?。稽cD在BA延長線上時，BD最大，PM最大，△PMN周長的最大值為15.2.如圖1,菱形ABCD,AB=4,ZADC=120，連接對角線AC、BD交于點O,（D如圖2,將AOD沿DB平移，使點D與點O重合，求平移后的A'BO與菱形ABCD重合部分的面積.（2）如圖3,將^A'BO繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)交AB于點E',交BC于點F,①求證：BE'+BF=2；②求出四邊形OE'BF的面積.D D D【答案】(i)』￡)①證明見解析②【解析】【分析】⑴先判斷出4ABD是等邊三角形，進(jìn)而判斷出AEOB是等邊三角形，即可得出結(jié)論;(2)先判斷出合△OBF,再利用等式的性質(zhì)即可得出結(jié)論；⑶借助①的結(jié)論即可得出結(jié)論.【詳解】(1)四邊形為菱形，/ADC=120,...ZADO=60,二.ABD為等邊三角形,...ZDAO=30,ZABO=60,,/AD〃A9,/.ZA'OB=60。,二.EOB為等邊三角形，邊長OB=2,二重合部分的面積：爭4=5(5①在圖3中，取AB中點E,/.ZEOE=ZBOF,又「EO=BO,/.ZOEEz=ZOBF=60°,「.△OEE"△OBF,/.EE=BF,/.BE'+BF=BE'+EE'=BE=2；②由①知，在旋轉(zhuǎn)過程中始終有△OEE"△OBF,,SaoEr=SAOBF，$四邊購二Soeb="【點睛】本題考查了菱⑥的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容、正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.3.正方形ABCD的邊長為1,對角線AC與BD相交于點O,點E是AB邊上的一個動點(點E不與點A、B重合)，CE與BD相交于點F,設(shè)線段BE的長度為x.「 CD C(1)如圖1,當(dāng)AD=2OF時，求出x的值；(2)如圖2,把線段CE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°,使點C落在點P處，連接AP,設(shè)AAPE的面積為S,試求S與x的函數(shù)關(guān)系式并求出S的最大值.【答案】(1)x=”-1；111S=-"(x--)2+-(0<x<1),1當(dāng)x=:時，S的值最大，最大值為二.【解析】試題分析：(1)過O作OMIIAB交CE于點M,如圖1,由平行線等分線段定理得到CM=ME,根據(jù)三角形的中位線定理得到AE=2OM=2OF,得到OM=OF,于是得到BF=BE=x,1-x 1-xaX+ 二 求得OF=OM='■解方程二二，即可得到結(jié)果；(2)過P作PG±AB交AB的延長線于G,如圖2,根據(jù)已知條件得到NECB=NPEG,根據(jù)1全等三角形的性質(zhì)得到EB=PG=x，由三角形的面積公式得到S=：：(1-x)?x,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.試題解析：(1)過O作OMIIAB交CE于點M,如圖1,;OA=OC,「.CM=ME,「.AE=2OM=2OF,「.OM=OF,OMOF??? ,?BF=BE=x,1-x?OF=OM='，;AB=1,

(2)過P作PG±AB交AB的延長線于G,如圖2,丁NCEP=NEBC=90°,「.NECB=NPEG,;PE=EC,NEGP=NCBE=90°,在^EPG與^CEB中，￡CRE~《PGE'-L.PEC【PE-EC「.△EPG「△CEB,「.EB=PG=x,「.AE=1-x,1 1 1 1 1 1」.S=(1-x)*x=--x2+-x=--(x--)2+：,(0<x<1),?一V0,11???當(dāng)x=」時，S的值最大，最大值為：；.考點：四邊形綜合題4.已知由△DAB中，N八口3=90°,扇形DEF中，NEDF=30°,且口八二口3=口￡,將由△ADB的

邊與扇形DEF邊與扇形DEF的半徑DE重合，拼接成圖1所示的圖形，現(xiàn)將扇形DEF繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到扇形DE'F'，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a<180°)(1)如圖2,當(dāng)0°<a<90°,且DF'IIAB時，求a；(2)如圖3,當(dāng)a=120°,求證：AFZ=BEZ.【答案】(1)15°；(2)見解析.【解析】試題分析：(1);NADB=90°,DA=DB,「.乙BAD=45°,丁DF'IIAB,「.NADF'=NBAD=45°,「.a=45°-30°=15°；(2);a=120°,：.NADE'=120°,「.NADF'=120°+30°=150°,NBDE'=360°-90°-「DA二DE120°=150°,「.NADF'=N3口￡',在4ADF^D^BDE'中，ZADF"二/EDE’，河-DYJ△ADF0△BDE',「.AF'=BE'.考點：①旋轉(zhuǎn)性質(zhì)；②全等三角形的判定和性質(zhì).5.如圖1,在4ABC中，CA=CB,NACB=90°,D是4ABC內(nèi)部一點，NADC=135°,將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE,連接DE.(1)①依題意補全圖形；②請判斷NADC和NCDE之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出答案.(2)在(1)的條件下，連接BE,過點C作CMLDE,請判斷線段CM,AE和BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.(3)如圖2,在正方形ABCD中，八3=」，如果PD=1,NBPD=90°,請直接寫出點A到BP的距離.圖1【答案】(1)①作圖見解析；②NADC+NCDE=180°；(2)AE=BE+2CM,理由解析;(3)二.【解析】試題分析：(1)①作CELCD,并且線段CE是將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，再連接DE即可；②根據(jù)NADC和NCDE是鄰補角，所以NADC+NCDE=180°.(2)由(1)的條件可得A、D、E三點在同一條直線上，再通過證明△ACDM△BCE,易得AE=BE+2CM.(3)運用勾股定理，可得出點A到BP的距離.試題解析：解：(1)①依題意補全圖形(如圖)；②NADC+NCDE=180°.(2)線段CM,AE和BE之間的數(shù)量關(guān)系是AE=BE+2CM,理由如下：;線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE,「.CD=CE,NDCE=90°.「.NCDE=NCED=45°.又「NADC=135°,「.NADC+NCDE=180°,???A、D、E三點在同一條直線上.「.AE=AD+DE.又「NACB=90°,「.NACB-NDCB=NDCE—NDCB,即NACD=NBCE.又「AC=BC,CD=CE,「.△ACD^△BCE.「.AD=BE.;CD=CE,NDCE=90°,CM±DE.「.DE=2CM.「.AE=BE+2CM.6.(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖1AACB和^DCE均為等腰直角三角形/ACB=90°,B,C,D在一條直線上.填空:線段AD,BE之間的關(guān)系為 .⑵拓展探究如圖?,△ACB和^DCE均為等腰直角三角形/ACB=NDCE=90°,請判斷AD,BE的關(guān)系，并說明理由.⑶解決問題如圖3,線段PA=3,點B是線段PA外一點,PB=5,連接AB,#AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AC,隨著點B的位置的變化，直接寫出PC的范圍.【答案】(1)AD=BE,AD±BE.(2)AD=BE,AD±BE.(3)5-3$2<PC<5+3x2.【解析】【分析】(1)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)證4ACD^△BCE(SAS),得AD=BE,NEBC=NCAD,延長BE交AD于點F,由垂直定義得AD±BE.(2)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)證^ACDM△BCE(SAS),AD=BE,NCAD=NCBE,由垂直定義得NOHB=90°,AD±BE；(3)作AE^AP,使得AE=PA,則易證△APEM△ACP,PC=BE,當(dāng)P、E、B共線時，BE最小，最小值=「3#￡；當(dāng)P、E、B共線時，BE最大，最大值=「3+「￡,故5-3$2<BE<5+3%’2.【詳解】(1)結(jié)論：AD=BE,AD±BE.理由：如圖1中，DCB圖]:△ACB與^DCE均為等腰直角三角形，「.AC=BC,CE=CD,NACB=NACD=90°,在RSACD和RSBCE中[AC=BC/ACD=/BCE、CD=CE「.△ACD^△BCE(SAS),「.AD=BE,NEBC=NCAD延長BE交AD于點F,;BC±AD,「.NEBC+NCEB=90°,「乙CEB=AEF,「.NEAD+ZAEF=90°,「.NAFE=90°,即AD±BE.「.AD=BE,AD±BE.故答案為AD=BE,AD±BE.(2)結(jié)論:AD=BE,AD±BE.理由：如圖2中，設(shè)AD交BE于H,AD交BC于O.:△ACB與八DCE均為等腰直角三角形，「.AC=BC,CE=CD,ZACB=ZECD=90°,「.ACD=ZBCE,在RtAACD和RtABCE中[ AC=BC/ACD=/BCE,、CD=CE「.△ACD^△BCE(SAS),「.AD=BE,ZCAD=ZCBE,「ZCAO+ZAOC=90°,ZAOC=ZBOH,「.ZBOH+ZOBH=90°,「.ZOHB=90°,「.AD±BE,「.AD=BE,AD±BE.(3)如圖3中，作AE^AP,使得AE=PA,則易證△APE^△ACP,

/.PC=BE,圖3；中，當(dāng)P、E、B共線時，BE最小，最小值=PB-PE=5-3J?,圖3-2中，當(dāng)P、E、B共線時，BE最大，最大值=PB+PE=5+3點,」?5-3J5wBEW5+3加,03-1￥【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找三角形全等的條件，學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考壓軸題.7.在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOBC是矩形，點O（0,0），點A（5,0），點B（0,3）.以點A為中心，順時針旋轉(zhuǎn)矩形AOBC,得到矩形ADEF，點O,b,C的對應(yīng)點分別為圖①用②（工）如圖①，當(dāng)點D落在BC邊上時，求點D的坐標(biāo)；（口）如圖②，當(dāng)點D落在線段BE上時，AD與BC交于點H.①求證4ADBM△AOB；②求點H的坐標(biāo).（?。┯汯為矩形AOBC對角線的交點，S為^KDE的面積，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）.17~【答案】（］）點D的坐標(biāo)為（1,3）.（口）①證明見解析；②點H的坐標(biāo)為（y,3）.30-3<34 30+3V34m） &j& .44【解析】分析：（工）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AD=AO=5，設(shè)CD=x,在直角三角形ACD中運用勾股定理可CD的值，從而可確定D點坐標(biāo)；（口）①根據(jù)直角三角形全等的判定方法進(jìn)行判定即可；②由①知/BAD=/BAO,再根據(jù)矩形的性質(zhì)得ACBA=ZOAB.從而/BAD=ZCBA，故BH=AH,在RtAACH中，運用勾股定理可求得AH的值，進(jìn)而求得答案；30-3v34 30+3<34m） &j& .44詳解：（工）???點A（5,0），點B（0,3）,OA=5,OB=3.?四邊形AOBC是矩形，...AC=OB=3,BC=OA=5,ZOBC=/C=90°.?矩形ADEF是由矩形AOBC旋轉(zhuǎn)得到的，

...AD=AO=5.在RtADC中，有AD2=AC2+DC2,二DC=\,AD2-AC2=<52-32=4.BD=BC-DC=1.二點D的坐標(biāo)為Q3）.（H）①由四邊形ADEF是矩形，得ZADE=90。.又點D在線段BE上，得ZADB=90。.由（工）知，AD=AO,又AB=AB,ZAOB=90。，RtADB空RtAOB.②由ADB0AOB，得ZBAD=ZBAO.又在矩形AOBC中，OA//BC,ZCBA=ZOAB..?.ZBAD=ZCBA..BH=AH設(shè)BH=t,則AH=t,HC=BC-BH=5-1.,17在RtAHC中，有AH2=AC2+HC,17.12=32+（5-1）2.解得t=—...BH^5,△,.一/17,△,.一/17\???點H的坐標(biāo)為—,3.1530-3^34 _30+3^34（m） 1s&點睛：本大題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理以及旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)等知識，靈活運用勾股定理求解是解決本題的關(guān)鍵.8.如圖1,0為直線AB上一點，0C為射線，NAOC=40°,將一個三角板的直角頂點放在點。處，一邊點。處，一邊。。在射線?？谏希硪贿?E與0C都在直線AB的上方.0備用圖（1）將三角板繞點。順時