【解析】黑龍江省哈爾濱市通河縣2022-2023學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

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黑龍江省哈爾濱市通河縣2022-2023學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1．下列運(yùn)算不正確的是（）

A．B．

C．D．

2．下列圖標(biāo)是節(jié)水、綠色食品、回收、節(jié)能的標(biāo)志，其中是軸對(duì)稱圖形的是（）

A．B．C．D．

3．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）

A．B．C．D．

4．（2023八上·廣州期中）一個(gè)八邊形的內(nèi)角和度數(shù)為（）

A．360°B．720°C．900°D．1080°

5．（2023八上·鐵西期末）把分式（均為正）中的的值都擴(kuò)大為原來的3倍，則分式的值（）

A．不變B．變?yōu)樵瓉淼?倍

C．變?yōu)樵瓉淼腄．變?yōu)樵瓉淼?/p>

6．（2022七下·灤南期末）下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（）.

A．三角形B．長方形C．正方形D．平行四邊形

7．（2022·呼倫貝爾、興安盟）八年級(jí)學(xué)生去距學(xué)校10km的博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過了20min后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)．已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍，求騎車學(xué)生的速度．若設(shè)騎車學(xué)生的速度為xkm/h，則可列方程為（）

A．B．

C．D．

8．已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別是4，5，則它的周長是（）

A．13B．14C．9或12D．13或14

9．如圖，，BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，AD過點(diǎn)P，且與AB垂直．若，則點(diǎn)P到BC的距離是（）

A．10B．8C．5D．2

10．如圖，在中，，AD平分∠BAC，于E，則下列結(jié)論：①AD平分∠CDE；②；③DE平分∠ADB；④，其中正確的有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

二、填空題（每小題3分，共30分）

11．PM2.5是指大氣中直徑小于或等于0.0000025m的顆粒物，將0.0000025用科學(xué)記數(shù)法表示為.

12．（2023·北京）如果分式有意義，那么x的取值范圍是．

13．（2023八上·五常期末）分解因式：．

14．若與的乘積中不含x的一次項(xiàng)，則m的值為．

15．要使是完全平方式，那么k的值是．

16．三角形三邊長為7、12、a，則a的取值范圍是．

17．關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，則m的取值范圍是．

18．（2023八上·普蘭店期末）如圖，△ABC≌△DEC，其中AB與DE是對(duì)應(yīng)邊，AC與DC是對(duì)應(yīng)邊，若∠A=∠30°，∠CEB=70°，則∠ACD=°.

19．（2023八上·五常期末）如圖，是的平分線，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，的面積是36，則的長是．

20．（2023八上·撫遠(yuǎn)期末）觀察下列圖形，第一個(gè)圖形中有一個(gè)三角形；第二個(gè)圖形中有5個(gè)三角形；第三個(gè)圖形中有9個(gè)三角形；…．則第2023個(gè)圖形中有個(gè)三角形．

三、解答題（21題6分、22題、23題、24題每題各8分；25題、26題、27題每題各10分，共計(jì)60分．）

21．（2023八上·巴彥期末）計(jì)算：

（1）；

（2）

22．（2023八上·撫遠(yuǎn)期末）先化簡，再從0，－2，－1，1中選擇一個(gè)合適的數(shù)代入并求值．

23．在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是1，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．

（1）作出關(guān)于y軸對(duì)稱的；

（2）寫出點(diǎn)、、的坐標(biāo)；

（3）在y軸上畫出點(diǎn)Q，使的周長最?。?/p>

24．（2023八上·北京期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AC的垂直平分線．

（1）求證：△BCD是等腰三角形；

（2）△BCD的周長是a，BC=b，求△ACD的周長（用含a，b的代數(shù)式表示）

25．某中學(xué)組織學(xué)生去福利院慰問，在準(zhǔn)備禮品時(shí)發(fā)現(xiàn)，購買1個(gè)甲禮品比購買1個(gè)乙禮品多花40元，并且花費(fèi)600元購買甲禮品和花費(fèi)360元購買乙禮品的數(shù)量相等．

（1）求甲、乙兩種禮品的單價(jià)各為多少元？

（2）學(xué)校準(zhǔn)備購買甲、乙兩種禮品共30個(gè)送給福利院的老人，要求購買禮品的總費(fèi)用不超過2000元，那么最多可購買多少個(gè)甲禮品？

26．已知：在中，，，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)．

（1）如圖1，直線BF垂直于直線CE于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G，求證：；

（2）如圖2，直線AH垂直于直線CE，垂足為點(diǎn)H，交CD的延長線于點(diǎn)M，找出圖中與BE相等的線段，并證明．

27．如圖，已知中，，點(diǎn)D、E在直線BC上，．

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，過點(diǎn)D向下作，交AB的延長線于點(diǎn)F，若，，求證：；

（3）如圖3，在（2）的條件下，延長FD、EA交于點(diǎn)G，連接BG，若，求四邊形ACBG的面積．

答案解析部分

1．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】同底數(shù)冪的乘法；合并同類項(xiàng)法則及應(yīng)用；積的乘方；冪的乘方

【解析】【解答】解：A、x2×x3=x5，故此選項(xiàng)計(jì)算正確，不符合題意；

B、(x2)3=x6，故此選項(xiàng)計(jì)算正確，不符合題意；

C、x3+x3=2x3，故此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，符合題意；

D、（-2x）3=-8x3，故此選項(xiàng)計(jì)算正確，不符合題意.

故答案為：C.

【分析】由同底數(shù)冪的乘法，底數(shù)不變，指數(shù)相加，可判斷A選項(xiàng)；由冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，可判斷B選項(xiàng)；由整式加法的實(shí)質(zhì)就是合并同類項(xiàng)，所謂同類項(xiàng)就是所含字母相同，而且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)，同類項(xiàng)與字母的順序沒有關(guān)系，與系數(shù)也沒有關(guān)系，合并同類項(xiàng)的時(shí)候，只需要將系數(shù)相加減，字母和字母的指數(shù)不變，但不是同類項(xiàng)的一定就不能合并，可判斷C選項(xiàng)；由積的乘方，等于把積中的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘，可判斷D選項(xiàng).

2．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形

【解析】【解答】解：A、此選項(xiàng)中的圖案不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、此選項(xiàng)中的圖案是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

C、此選項(xiàng)中的圖案不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、此選項(xiàng)中的圖案不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意.

故答案為：B.

【分析】把一個(gè)平面圖形，沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合的平面圖形就是軸對(duì)稱圖形，據(jù)此一一判斷得出答案.

3．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征

【解析】【解答】解：點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，10），且點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，

∴B（-2，-10）.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)可得答案.

4．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角

【解析】【解答】（n﹣2）180＝（8﹣2）×180°＝1080°．

故答案為：D．

【分析】多邊形的內(nèi)角和的公式求解即可。

5．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】分式的基本性質(zhì)

【解析】【解答】解：，

故答案為：C

【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)求解即可。

6．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的穩(wěn)定性

【解析】【解答】解：三角形具有穩(wěn)定性．

故答案為：A．

【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性求解即可。

7．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】列分式方程

【解析】【解答】解：設(shè)騎車學(xué)生的速度為xkm/h，則汽車的速度為2xkm/h，

可列方程為，

故答案為：C．

【分析】設(shè)騎車學(xué)生的速度為xkm/h，則汽車的速度為2xkm/h，根據(jù)題意直接列出方程即可。

8．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：當(dāng)三邊為4，4，5時(shí)，由于4+4＞5，滿足三角形三邊關(guān)系，

∴該等腰三角形周長為：4+4+5=13；

當(dāng)三邊為4，5，5時(shí)，由于4+5＞5，滿足三角形三邊關(guān)系，

∴該等腰三角形周長為：4+5+5=14，

綜上該等腰三角形周長為：13或14.

故答案為：D.

【分析】由于沒有明確告知等腰三角形的腰長，所以分①4是腰長，②5是腰長兩種情況考慮，先分別根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷能否圍成三角形，進(jìn)而根據(jù)三角形周長計(jì)算方法算出答案.

9．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵AD⊥BA，

∴∠BAP=90°，

∵AB∥CD，

∴∠PDC+∠BAP=180°，

∴∠PDC=90°，

如圖，過點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，

∵BP平分∠ABC，PE⊥BC，AP⊥BA，

∴PE=PA，

同理PE=PD，

∴PA=PE=PD=AD=5，

∴點(diǎn)P到BC的距離是5.

故答案為：C.

【分析】首先由平行線的性質(zhì)可得∠PDC=90°，過點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，進(jìn)而由角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得PA=PE=PD=AD=5.

10．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形全等的判定（HL）；角平分線的性質(zhì)；角平分線的定義

【解析】【解答】解：∵DE⊥BA，∠C=90°，AD平分∠BAC，

∴DE=DC，

在Rt△ADC與Rt△ADE中，∵AD=AD，DE=DC，

∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），

∴AE=AC，∠ADE=ADC，即AD平分∠CDE，故①正確；

∵AD平分∠CDE，

如果DE平分∠ADB，則∠ADC=∠ADE=∠BDE，

∵∠ADC+∠ADE+∠BDE=180°，

∴∠ADC=∠ADE=∠BDE=60°，

而題中條件不能證出∠BDE=60°，∴DE平分∠ADB是錯(cuò)誤的，故③錯(cuò)誤；

∵AB=BE+AE，AE=AC，

∴AB=BE+AC，故④正確；

∵DE⊥BA，

∴∠DEB=90°，

∴∠B+∠BDE=90°，

∵∠C=90°，

∴∠B+∠BAC=90°，

∴∠BDE=∠BAC，故②正確.

綜上，正確的有3個(gè).

故答案為：C.

【分析】首先由角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得DE=DC，然后利用HL證Rt△ADC≌Rt△ADE，得AE=AC，∠ADE=ADC，據(jù)此可判斷①與④；由于AD平分∠CDE，如果DE平分∠ADB，則∠ADC=∠ADE=∠BDE=60°，而題中條件不能證出∠BDE=60°，據(jù)此可判斷③；由三角形的內(nèi)角和定理及同角的余角相等可得∠BDE=∠BAC，據(jù)此可判斷②.

11．【答案】2.5×10﹣6

【知識(shí)點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—記絕對(duì)值小于1的數(shù)

【解析】【解答】解：0.0000025=2.5×10﹣6，

故答案為：2.5×10﹣6．

【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．

12．【答案】x≠1

【知識(shí)點(diǎn)】分式有意義的條件

【解析】【解答】解：由題意，得

x﹣1≠0，

解得x≠1，

故答案為：x≠1．

【分析】根據(jù)分母不為零分式有意義，可得答案．本題考查了分式有意義的條件，利用分母不為零得出不等式是解題關(guān)鍵．

13．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】因式分解﹣綜合運(yùn)用提公因式與公式法

【解析】【解答】解：．

故答案為：．

【分析】先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可。

14．【答案】3

【知識(shí)點(diǎn)】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式

【解析】【解答】解：∵(x+m)(x-3)=x2-3x+mx-3m=x2+(m-3)x-3m，

而(x+m)與(x-3)的乘積中不含x的一次項(xiàng)，

∴m-3=0，

∴m=3.

故答案為：3.

【分析】首先根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則算出(x+m)與(x-3)的及，進(jìn)而根據(jù)(x+m)與(x-3)的乘積中不含x的一次項(xiàng)可得關(guān)于x的一次項(xiàng)的系數(shù)為0，即m-3=0，求解可得m的值.

15．【答案】±4

【知識(shí)點(diǎn)】完全平方式

【解析】【解答】解：∵x2+kx+4=x2+kx+22是一個(gè)完全平方式，

∴kx=±2x×2，

解得k=±4.

故答案為：±4.

【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方數(shù)，而這里首尾兩項(xiàng)是x與2的平方，那么中間項(xiàng)應(yīng)該為加上或減去x與2乘積的2倍，據(jù)此可求出k的值.

16．【答案】5＜a＜19

【知識(shí)點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系

【解析】【解答】解：∵三角形三邊長為7、12、a，

∴12-7＜a＜12+7，即5＜a＜19.

故答案為：5＜a＜19.

【分析】根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，可列出關(guān)于字母a的不等式組，求解可得答案.

17．【答案】m＞-1且m≠1

【知識(shí)點(diǎn)】分式方程的解及檢驗(yàn)

【解析】【解答】解：，

去分母，得m-1=2(x-1)，

去括號(hào)，得m-1=2x-2，

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得2x=m+1，

系數(shù)化為1，得x=，

∵關(guān)于x的方程的解為正數(shù)，

∴，

解得m＞-1且m≠1.

故答案為：m＞-1且m≠1.

【分析】將m作為字母系數(shù)根據(jù)解分式方程的步驟求解，用含m的式子表示出x，進(jìn)而根據(jù)原方程的解為正數(shù)，可得關(guān)于字母m的不等式組，解該不等式組即可得出m的取值范圍.

18．【答案】40

【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】∵△ABC≌△DEC，其中AB與DE是對(duì)應(yīng)邊，AC與DC是對(duì)應(yīng)邊，

∴∠ACB=∠DCE，CE與BC是對(duì)應(yīng)邊，即CE=BC，

∴∠B=∠CEB=70°，

∴∠ECB=180°-2×70°=40°，

∵∠ACD+∠ACE=∠ECB+∠ACE，

∴∠ACD=∠ECB=40°.

故答案為：40

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得CE=BC，∠ACB=∠DCE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠B的度數(shù)，進(jìn)而可得∠ECB的度數(shù)，根據(jù)等量代換可證明∠ACD=∠ECB，即可得答案.

19．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；角平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵是的平分線，，，

∴DE=DF，

S△ABC=S△ABD+S△BCD=，

解得．

故答案為．

【分析】先求出DE=DF，再利用三角形的面積公式計(jì)算求解即可。

20．【答案】8081

【知識(shí)點(diǎn)】探索圖形規(guī)律

【解析】【解答】解：第1個(gè)圖形中一共有1個(gè)三角形，

第2個(gè)圖形中一共有1+4=5個(gè)三角形，

第3個(gè)圖形中一共有1+4+4=9個(gè)三角形，

…

第n個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)是1+4（n-1）=4n-3，

當(dāng)n=2023時(shí)，4n-3=8081．

故答案為：8081．

【分析】根據(jù)圖形數(shù)出前三個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)，可得規(guī)律：第n個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)是（4n-3），繼而求解.

21．【答案】（1）解：

（2）解：

【知識(shí)點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；積的乘方；冪的乘方

【解析】【分析】（1）利用積的乘方、冪的乘方和負(fù)指數(shù)冪的性質(zhì)求解即可；

（2）先利用完全平方公式和單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的計(jì)算方法展開，再計(jì)算即可。

22．【答案】解：原式=．

取x=0，原式=．

【知識(shí)點(diǎn)】分式的化簡求值

【解析】【分析】將括號(hào)內(nèi)通分并利用同分母分式減法法則計(jì)算，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，進(jìn)行約分即可化簡，最后從0，－2，－1，1中選擇一個(gè)使分式有意義的值代入計(jì)算即可.

23．【答案】（1）解：如圖，△A1B1C1就是所求的三角形；

（2）解：A1（3，6），B1（1，2），C1（5，4）；

（3）解：如圖，連接BA1交y軸于點(diǎn)Q，該點(diǎn)就是所求的使△QAB周長最短的點(diǎn)；

∵點(diǎn)A與A1關(guān)于y軸對(duì)稱，

∴AQ=A1Q，

∴AQ+BQ=A1Q+BQ=BA1，

由兩點(diǎn)之間線段最短可得AQ+BQ的最小值等于BA1，

而△QAB的周長等于QA+QB+AB，而AB是一個(gè)定值，

∴只要QA+QB最短時(shí)，△QAB的周長就最小，所以點(diǎn)Q就是所求的點(diǎn).

【知識(shí)點(diǎn)】作圖﹣軸對(duì)稱；軸對(duì)稱的應(yīng)用-最短距離問題

【解析】【分析】（1）利用方格紙的特點(diǎn)及軸對(duì)稱的性質(zhì)，分別作出點(diǎn)A、B、C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A1、B1、C1，再順次連接即可；

（2）根據(jù)點(diǎn)A1、B1、C1的位置讀出其坐標(biāo)即可；

（3）連接BA1交y軸于點(diǎn)Q，該點(diǎn)就是所求的使△QAB周長最短的點(diǎn)；由軸對(duì)稱的性質(zhì)得AQ=A1Q，AQ+BQ=A1Q+BQ=BA1，由兩點(diǎn)之間線段最短可得AQ+BQ的最小值等于BA1，而△QAB的周長等于QA+QB+AB，而AB是一個(gè)定值，所以只要QA+QB最短時(shí)，△QAB的周長就最小，據(jù)此可得答案.

24．【答案】（1）證明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB==72°，∵DE是AC的垂直平分線，

∴AD=DC，

∴∠ACD=∠A=36°，

∵∠CDB是△ADC的外角，

∴∠CDB=∠ACD+∠A=72°，

∴∠B=∠CDB，

∴CB=CD，

∴△BCD是等腰三角形

（2）解：∵AD=CD=CB=b，△BCD的周長是a，∴AB=a﹣b，∵AB=AC，

∴AC=a﹣b，

∴△ACD的周長=AC+AD+CD=a﹣b+b+b=a+b

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠B=∠ACB=72°，根據(jù)中垂線的性質(zhì)得出AD=DC，根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠ACD=∠A=36°，根據(jù)三角形的外角和定理得出∠CDB=∠ACD+∠A=72°，從而得出∠B=∠CDB，即△BCD是等腰三角形；

（2）根據(jù)AD=CD=CB=b，△BCD的周長是a，得出AB=AC=a﹣b，從而得出△ACD的周長=AC+AD+CD=a﹣b+b+b=a+b。

25．【答案】（1）解：設(shè)購買一個(gè)乙禮品需要x元，根據(jù)題意得：

=，

解得：x=60，

經(jīng)檢驗(yàn)x=60是原方程的根，

∴x+40=100．

答：甲禮品100元，乙禮品60元；

（2）解：設(shè)總費(fèi)用不超過2000元，可購買m個(gè)甲禮品，則購買乙禮品（30﹣m）個(gè)，

根據(jù)題意得：100m+60（30﹣m）≤2000，

解得：m≤5．

答：最多可購買5個(gè)甲禮品．

【知識(shí)點(diǎn)】分式方程的實(shí)際應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用

【解析】【分析】（1）設(shè)購買一個(gè)乙禮品需要x元，根據(jù)“花費(fèi)600元購買甲禮品和花費(fèi)360元購買乙禮品的數(shù)量相等”列分式方程求解即可；

（2）設(shè)總費(fèi)用不超過2000元，可購買m個(gè)甲禮品，則購買乙禮品（30﹣m）個(gè)，根據(jù)題意列不等式求解即可．

26．【答案】（1）證明：△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，

∴∠BCD=∠A=45°，

∵BF⊥CE，

∴∠BFC=90°，

∴∠FCB+∠CBF=90°，

∵∠FCB+∠ACE=∠C=90°，

∴∠FCA=∠FBC，

在△AEC與△CGB中，

∵∠GCB=∠A=45°，CB=CA，∠FCA=∠CBG，

∴△AEC≌△CGB（ASA），

∴AE=CG；

（2）解：BE=CM，理由如下：

∵CH⊥HM，CD⊥AB，

∴∠M+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，

∴∠M=∠BEC，

在△BCE與△CAM中，

∵∠M=∠BEC，∠ACM=∠CBE=45°，BC=AC，

∴△BCE≌△CAM（AAS），

∴BE=CM.

【知識(shí)點(diǎn)】等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得∠BCD=∠A=45°，由同角的余角相等得∠FCA=∠FBC，從而用ASA判斷出△AEC≌△CGB，得AE=CG；

（2）BE=CM，理由如下：由三角形的內(nèi)角和定理及同角的余角相等得∠M=∠BEC，從而用AAS判斷出△BCE≌△CAM，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得BE=CM.

27．【答案】（1）證明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵∠ABC+∠ABD=180°，∠ACB+∠ACE=180°，

∴∠ABD=∠ACE，

在△ABD與△ACE中，

∵AB=AC，∠ABD=∠ACE，BD=CE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠D=∠E；

（2）證明：如圖2，過點(diǎn)A作AH⊥DE于點(diǎn)H，

∵∠DAE+∠E+∠ADE=180°，∠DAE=4∠E，∠E=∠ADE，

∴∠E=30°，

∵AH⊥DE，

∴∠AHD=∠AHE=90°，

∴AE=2AH，

∵DF⊥DE，

∴∠FDB=∠AHD=90°，

在△AHB與△FDB中，

∵∠FDB=∠AHD=90°，∠ABH=∠FBD，AB=FB，

∴△AHB≌△FDB（AAS），

∴AH=DF，

∴AE=2DF；

（3）解：如圖3，作AH⊥DC于點(diǎn)H，BN⊥GE于點(diǎn)N，

∵∠E=∠ADE=30°，∠GDE=90°，

∴∠DGA=∠GDA=60°，

∴AG=AD=AE，

∵S△ABG=AG×BN，S△ABE=AE×BN，

∴S△ABG=S△ABE，

∵△FDB≌△AHB，

∴BD=BH，

∵AB=AC，AD=AE，AH⊥DE，

∵BH=HC，HD=HE，

∴BD=BH=HC=CE，

∴S△ABD=S△ABH=S△ACE=S△ACH=，

∴S△ABG=S△ABE=，

∴S四邊形ACBG=S△BGE-S△ACE=.

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；等腰三角形的判定與性質(zhì)；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）

【解析】【分析】（1），由等邊對(duì)等角得∠ABC=∠ACB，由鄰補(bǔ)角定義及等角的補(bǔ)角相等得∠ABD=∠ACE，進(jìn)而用SAS證△ABD≌△ACE，由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得∠D=∠E；

（2）過點(diǎn)A作AH⊥DE于點(diǎn)H，由三角形的內(nèi)角和定理、已知及（1）的結(jié)論可得∠E=30°，由由垂直得∠AHD=∠AHE=90°，由含30°角直角三角形的性質(zhì)得AE=2AH，從而用AAS判斷出△AHB≌△FDB，得AH=DF，從而利用等量代換即可得出結(jié)論；

（3）作AH⊥DC于點(diǎn)H，BN⊥GE于點(diǎn)N，由等角的余角相等可得∠DGA=∠GDA=60°，由等角對(duì)等邊得AG=AD=AE，由等底同高三角形面積相等得S△ABG=S△ABE，由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得BD=BH，由等腰三角形的三線合一推出BD=BH=HC=CE，再根據(jù)等底同高三角形面積相等得S△ABD=S△ABH=S△ACE=S△ACH=，進(jìn)而根據(jù)S四邊形ACBG=S△BGE-S△ACE即可算出答案.

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黑龍江省哈爾濱市通河縣2022-2023學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1．下列運(yùn)算不正確的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】同底數(shù)冪的乘法；合并同類項(xiàng)法則及應(yīng)用；積的乘方；冪的乘方

【解析】【解答】解：A、x2×x3=x5，故此選項(xiàng)計(jì)算正確，不符合題意；

B、(x2)3=x6，故此選項(xiàng)計(jì)算正確，不符合題意；

C、x3+x3=2x3，故此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，符合題意；

D、（-2x）3=-8x3，故此選項(xiàng)計(jì)算正確，不符合題意.

故答案為：C.

【分析】由同底數(shù)冪的乘法，底數(shù)不變，指數(shù)相加，可判斷A選項(xiàng)；由冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，可判斷B選項(xiàng)；由整式加法的實(shí)質(zhì)就是合并同類項(xiàng)，所謂同類項(xiàng)就是所含字母相同，而且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)，同類項(xiàng)與字母的順序沒有關(guān)系，與系數(shù)也沒有關(guān)系，合并同類項(xiàng)的時(shí)候，只需要將系數(shù)相加減，字母和字母的指數(shù)不變，但不是同類項(xiàng)的一定就不能合并，可判斷C選項(xiàng)；由積的乘方，等于把積中的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘，可判斷D選項(xiàng).

2．下列圖標(biāo)是節(jié)水、綠色食品、回收、節(jié)能的標(biāo)志，其中是軸對(duì)稱圖形的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形

【解析】【解答】解：A、此選項(xiàng)中的圖案不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、此選項(xiàng)中的圖案是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

C、此選項(xiàng)中的圖案不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、此選項(xiàng)中的圖案不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意.

故答案為：B.

【分析】把一個(gè)平面圖形，沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合的平面圖形就是軸對(duì)稱圖形，據(jù)此一一判斷得出答案.

3．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征

【解析】【解答】解：點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，10），且點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，

∴B（-2，-10）.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)可得答案.

4．（2023八上·廣州期中）一個(gè)八邊形的內(nèi)角和度數(shù)為（）

A．360°B．720°C．900°D．1080°

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角

【解析】【解答】（n﹣2）180＝（8﹣2）×180°＝1080°．

故答案為：D．

【分析】多邊形的內(nèi)角和的公式求解即可。

5．（2023八上·鐵西期末）把分式（均為正）中的的值都擴(kuò)大為原來的3倍，則分式的值（）

A．不變B．變?yōu)樵瓉淼?倍

C．變?yōu)樵瓉淼腄．變?yōu)樵瓉淼?/p>

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】分式的基本性質(zhì)

【解析】【解答】解：，

故答案為：C

【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)求解即可。

6．（2022七下·灤南期末）下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（）.

A．三角形B．長方形C．正方形D．平行四邊形

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的穩(wěn)定性

【解析】【解答】解：三角形具有穩(wěn)定性．

故答案為：A．

【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性求解即可。

7．（2022·呼倫貝爾、興安盟）八年級(jí)學(xué)生去距學(xué)校10km的博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過了20min后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)．已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍，求騎車學(xué)生的速度．若設(shè)騎車學(xué)生的速度為xkm/h，則可列方程為（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】列分式方程

【解析】【解答】解：設(shè)騎車學(xué)生的速度為xkm/h，則汽車的速度為2xkm/h，

可列方程為，

故答案為：C．

【分析】設(shè)騎車學(xué)生的速度為xkm/h，則汽車的速度為2xkm/h，根據(jù)題意直接列出方程即可。

8．已知一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別是4，5，則它的周長是（）

A．13B．14C．9或12D．13或14

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：當(dāng)三邊為4，4，5時(shí)，由于4+4＞5，滿足三角形三邊關(guān)系，

∴該等腰三角形周長為：4+4+5=13；

當(dāng)三邊為4，5，5時(shí)，由于4+5＞5，滿足三角形三邊關(guān)系，

∴該等腰三角形周長為：4+5+5=14，

綜上該等腰三角形周長為：13或14.

故答案為：D.

【分析】由于沒有明確告知等腰三角形的腰長，所以分①4是腰長，②5是腰長兩種情況考慮，先分別根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷能否圍成三角形，進(jìn)而根據(jù)三角形周長計(jì)算方法算出答案.

9．如圖，，BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，AD過點(diǎn)P，且與AB垂直．若，則點(diǎn)P到BC的距離是（）

A．10B．8C．5D．2

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵AD⊥BA，

∴∠BAP=90°，

∵AB∥CD，

∴∠PDC+∠BAP=180°，

∴∠PDC=90°，

如圖，過點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，

∵BP平分∠ABC，PE⊥BC，AP⊥BA，

∴PE=PA，

同理PE=PD，

∴PA=PE=PD=AD=5，

∴點(diǎn)P到BC的距離是5.

故答案為：C.

【分析】首先由平行線的性質(zhì)可得∠PDC=90°，過點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，進(jìn)而由角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得PA=PE=PD=AD=5.

10．如圖，在中，，AD平分∠BAC，于E，則下列結(jié)論：①AD平分∠CDE；②；③DE平分∠ADB；④，其中正確的有（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形全等的判定（HL）；角平分線的性質(zhì)；角平分線的定義

【解析】【解答】解：∵DE⊥BA，∠C=90°，AD平分∠BAC，

∴DE=DC，

在Rt△ADC與Rt△ADE中，∵AD=AD，DE=DC，

∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），

∴AE=AC，∠ADE=ADC，即AD平分∠CDE，故①正確；

∵AD平分∠CDE，

如果DE平分∠ADB，則∠ADC=∠ADE=∠BDE，

∵∠ADC+∠ADE+∠BDE=180°，

∴∠ADC=∠ADE=∠BDE=60°，

而題中條件不能證出∠BDE=60°，∴DE平分∠ADB是錯(cuò)誤的，故③錯(cuò)誤；

∵AB=BE+AE，AE=AC，

∴AB=BE+AC，故④正確；

∵DE⊥BA，

∴∠DEB=90°，

∴∠B+∠BDE=90°，

∵∠C=90°，

∴∠B+∠BAC=90°，

∴∠BDE=∠BAC，故②正確.

綜上，正確的有3個(gè).

故答案為：C.

【分析】首先由角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得DE=DC，然后利用HL證Rt△ADC≌Rt△ADE，得AE=AC，∠ADE=ADC，據(jù)此可判斷①與④；由于AD平分∠CDE，如果DE平分∠ADB，則∠ADC=∠ADE=∠BDE=60°，而題中條件不能證出∠BDE=60°，據(jù)此可判斷③；由三角形的內(nèi)角和定理及同角的余角相等可得∠BDE=∠BAC，據(jù)此可判斷②.

二、填空題（每小題3分，共30分）

11．PM2.5是指大氣中直徑小于或等于0.0000025m的顆粒物，將0.0000025用科學(xué)記數(shù)法表示為.

【答案】2.5×10﹣6

【知識(shí)點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—記絕對(duì)值小于1的數(shù)

【解析】【解答】解：0.0000025=2.5×10﹣6，

故答案為：2.5×10﹣6．

【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．

12．（2023·北京）如果分式有意義，那么x的取值范圍是．

【答案】x≠1

【知識(shí)點(diǎn)】分式有意義的條件

【解析】【解答】解：由題意，得

x﹣1≠0，

解得x≠1，

故答案為：x≠1．

【分析】根據(jù)分母不為零分式有意義，可得答案．本題考查了分式有意義的條件，利用分母不為零得出不等式是解題關(guān)鍵．

13．（2023八上·五常期末）分解因式：．

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】因式分解﹣綜合運(yùn)用提公因式與公式法

【解析】【解答】解：．

故答案為：．

【分析】先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可。

14．若與的乘積中不含x的一次項(xiàng)，則m的值為．

【答案】3

【知識(shí)點(diǎn)】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式

【解析】【解答】解：∵(x+m)(x-3)=x2-3x+mx-3m=x2+(m-3)x-3m，

而(x+m)與(x-3)的乘積中不含x的一次項(xiàng)，

∴m-3=0，

∴m=3.

故答案為：3.

【分析】首先根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則算出(x+m)與(x-3)的及，進(jìn)而根據(jù)(x+m)與(x-3)的乘積中不含x的一次項(xiàng)可得關(guān)于x的一次項(xiàng)的系數(shù)為0，即m-3=0，求解可得m的值.

15．要使是完全平方式，那么k的值是．

【答案】±4

【知識(shí)點(diǎn)】完全平方式

【解析】【解答】解：∵x2+kx+4=x2+kx+22是一個(gè)完全平方式，

∴kx=±2x×2，

解得k=±4.

故答案為：±4.

【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方數(shù)，而這里首尾兩項(xiàng)是x與2的平方，那么中間項(xiàng)應(yīng)該為加上或減去x與2乘積的2倍，據(jù)此可求出k的值.

16．三角形三邊長為7、12、a，則a的取值范圍是．

【答案】5＜a＜19

【知識(shí)點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系

【解析】【解答】解：∵三角形三邊長為7、12、a，

∴12-7＜a＜12+7，即5＜a＜19.

故答案為：5＜a＜19.

【分析】根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，可列出關(guān)于字母a的不等式組，求解可得答案.

17．關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，則m的取值范圍是．

【答案】m＞-1且m≠1

【知識(shí)點(diǎn)】分式方程的解及檢驗(yàn)

【解析】【解答】解：，

去分母，得m-1=2(x-1)，

去括號(hào)，得m-1=2x-2，

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得2x=m+1，

系數(shù)化為1，得x=，

∵關(guān)于x的方程的解為正數(shù)，

∴，

解得m＞-1且m≠1.

故答案為：m＞-1且m≠1.

【分析】將m作為字母系數(shù)根據(jù)解分式方程的步驟求解，用含m的式子表示出x，進(jìn)而根據(jù)原方程的解為正數(shù)，可得關(guān)于字母m的不等式組，解該不等式組即可得出m的取值范圍.

18．（2023八上·普蘭店期末）如圖，△ABC≌△DEC，其中AB與DE是對(duì)應(yīng)邊，AC與DC是對(duì)應(yīng)邊，若∠A=∠30°，∠CEB=70°，則∠ACD=°.

【答案】40

【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】∵△ABC≌△DEC，其中AB與DE是對(duì)應(yīng)邊，AC與DC是對(duì)應(yīng)邊，

∴∠ACB=∠DCE，CE與BC是對(duì)應(yīng)邊，即CE=BC，

∴∠B=∠CEB=70°，

∴∠ECB=180°-2×70°=40°，

∵∠ACD+∠ACE=∠ECB+∠ACE，

∴∠ACD=∠ECB=40°.

故答案為：40

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得CE=BC，∠ACB=∠DCE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠B的度數(shù)，進(jìn)而可得∠ECB的度數(shù)，根據(jù)等量代換可證明∠ACD=∠ECB，即可得答案.

19．（2023八上·五常期末）如圖，是的平分線，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，的面積是36，則的長是．

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；角平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵是的平分線，，，

∴DE=DF，

S△ABC=S△ABD+S△BCD=，

解得．

故答案為．

【分析】先求出DE=DF，再利用三角形的面積公式計(jì)算求解即可。

20．（2023八上·撫遠(yuǎn)期末）觀察下列圖形，第一個(gè)圖形中有一個(gè)三角形；第二個(gè)圖形中有5個(gè)三角形；第三個(gè)圖形中有9個(gè)三角形；…．則第2023個(gè)圖形中有個(gè)三角形．

【答案】8081

【知識(shí)點(diǎn)】探索圖形規(guī)律

【解析】【解答】解：第1個(gè)圖形中一共有1個(gè)三角形，

第2個(gè)圖形中一共有1+4=5個(gè)三角形，

第3個(gè)圖形中一共有1+4+4=9個(gè)三角形，

…

第n個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)是1+4（n-1）=4n-3，

當(dāng)n=2023時(shí)，4n-3=8081．

故答案為：8081．

【分析】根據(jù)圖形數(shù)出前三個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)，可得規(guī)律：第n個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)是（4n-3），繼而求解.

三、解答題（21題6分、22題、23題、24題每題各8分；25題、26題、27題每題各10分，共計(jì)60分．）

21．（2023八上·巴彥期末）計(jì)算：

（1）；

（2）

【答案】（1）解：

（2）解：

【知識(shí)點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；積的乘方；冪的乘方

【解析】【分析】（1）利用積的乘方、冪的乘方和負(fù)指數(shù)冪的性質(zhì)求解即可；

（2）先利用完全平方公式和單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的計(jì)算方法展開，再計(jì)算即可。

22．（2023八上·撫遠(yuǎn)期末）先化簡，再從0，－2，－1，1中選擇一個(gè)合適的數(shù)代入并求值．

【答案】解：原式=．

取x=0，原式=．

【知識(shí)點(diǎn)】分式的化簡求值

【解析】【分析】將括號(hào)內(nèi)通分并利用同分母分式減法法則計(jì)算，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，進(jìn)行約分即可化簡，最后從0，－2，－1，1中選擇一個(gè)使分式有意義的值代入計(jì)算即可.

23．在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是1，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．

（1）作出關(guān)于y軸對(duì)稱的；

（2）寫出點(diǎn)、、的坐標(biāo)；

（3）在y軸上畫出點(diǎn)Q，使的周長最?。?/p>

【答案】（1）解：如圖，△A1B1C1就是所求的三角形；

（2）解：A1（3，6），B1（1，2），C1（5，4）；

（3）解：如圖，連接BA1交y軸于點(diǎn)Q，該點(diǎn)就是所求的使△QAB周長最短的點(diǎn)；

∵點(diǎn)A與A1關(guān)于y軸對(duì)稱，

∴AQ=A1Q，

∴AQ+BQ=A1Q+BQ=BA1，

由兩點(diǎn)之間線段最短可得AQ+BQ的最小值等于BA1，

而△QAB的周長等于QA+QB+AB，而AB是一個(gè)定值，

∴只要QA+QB最短時(shí)，△QAB的周長就最小，所以點(diǎn)Q就是所求的點(diǎn).

【知識(shí)點(diǎn)】作圖﹣軸對(duì)稱；軸對(duì)稱的應(yīng)用-最短距離問題

【解析】【分析】（1）利用方格紙的特點(diǎn)及軸對(duì)稱的性質(zhì)，分別作出點(diǎn)A、B、C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A1、B1、C1，再順次連接即可；

（2）根據(jù)點(diǎn)A1、B1、C1的位置讀出其坐標(biāo)即可；

（3）連接BA1交y軸于點(diǎn)Q，該點(diǎn)就是所求的使△QAB周長最短的點(diǎn)；由軸對(duì)稱的性質(zhì)得AQ=A1Q，AQ+BQ=A1Q+BQ=BA1，由兩點(diǎn)之間線段最短可得AQ+BQ的最小值等于BA1，而△QAB的周長等于QA+QB+AB，而AB是一個(gè)定值，所以只要QA+QB最短時(shí)，△QAB的周長就最小，據(jù)此可得答案.

24．（2023八上·北京期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AC的垂直平分線．

（1）求證：△BCD是等腰三角形；

（2）△BCD的周長是a，BC=b，求△ACD的周長（用含a，b的代數(shù)式表示）

【答案】（1）證明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB==72°，∵DE是AC的垂直平分線，

∴AD=DC，

∴∠ACD=∠A=36°，

∵∠CDB是△ADC的外角，

∴∠CDB=∠ACD+∠A=72°，

∴∠B=∠CDB，

∴CB=CD，

∴△BCD是等腰三角形

（2）解：∵AD=CD=CB=b，△BCD的周長是a，∴AB=a﹣b，∵AB=AC，

∴AC=a﹣b，

∴△ACD的周長=AC+AD+CD=a﹣b+b+b=a+b

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠B=∠ACB=72°，根據(jù)中垂線的性質(zhì)得出AD=DC，根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠ACD=∠A=36°，根據(jù)三角形的外角和定理得出∠CDB=∠ACD+∠A=72°，從而得出∠B=∠CDB，即△BCD是等腰三角形；

（2）根據(jù)AD=CD=CB=b，△BCD的周長是a，得出AB=AC=a﹣b，從而得出△ACD的周長=AC+AD+CD=a﹣b+b+b=a+b。

25．某中學(xué)組織學(xué)生去福利院慰問，在準(zhǔn)備禮品時(shí)發(fā)現(xiàn)，購買1個(gè)甲禮品比購買1個(gè)乙禮品多花40元，并且花費(fèi)600元購買甲禮品和花費(fèi)360元購買乙禮品的數(shù)量相等．

（1）求甲、乙兩種禮品的單價(jià)各為多少元？

（2）學(xué)校準(zhǔn)備購買甲、乙兩種禮品共30個(gè)送給福利院的老人，要求購買禮品的總費(fèi)用不超過2000元，那么最多可購買多少個(gè)甲禮品？

【答案】（1）解：設(shè)購買一個(gè)乙禮品需要x元，根據(jù)題意得：

=，

解得：x=60，

經(jīng)檢驗(yàn)x=60是原方程的根，

∴x+40=100．

答：甲禮品100元，乙禮品60元；

（2）解：設(shè)總費(fèi)用不超過2000元，可購買m個(gè)甲禮品，則購買乙禮品（30﹣m）個(gè)，

根據(jù)題意得：100m+60（30﹣m）≤2000，

解得：m≤5．

答：最多可購買5個(gè)甲禮品．

【知識(shí)點(diǎn)】分式方程的實(shí)際應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用

【解析】【分析】（1）設(shè)購買一個(gè)乙禮品需要x元，根據(jù)“花費(fèi)600元購買甲禮品和花費(fèi)360元購買乙禮品的數(shù)量相等”列分式方程求解即可；

（2）設(shè)總費(fèi)用不超過2000元，可購買m個(gè)甲禮品，則購買乙禮品（30﹣m）個(gè)，根據(jù)題意列不等式求解即可．

26．已知：在中，，，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)．

（1）如圖1，直線BF垂直于直線CE于點(diǎn)F，交