2021年四川省高三數(shù)學（文）診斷性考試卷附答案解析

2021年四川省高三數(shù)學（文）診斷性考試卷

注意事項：

I.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。

如需改動，用橡皮楔干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡

上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，僅將答題卡交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.設Z為整數(shù)集，集合力={x|』K3},則Zfu的元素個數(shù)為

A.2B.3C.4D.5

2.設復數(shù)z=l-i（i為虛數(shù)單位）的共舸復數(shù)為：，則）（1+彳=

A.3+iB.3-ic.l-3iD.l+3i

3.方勝是漢民族的傳統(tǒng)寓意祥紋，由兩個菱形壓角福加而成，-?個

菱形的頂點與另一個菱形的中心對應，象征著“同心”.在如圖

所示的二連方勝中任取一點，則該點恰好落在疊加小菱形內(nèi)的概

率為（不考慮菱形邊界的寬度）

1111

A.-B.-C.-D.-

6789

4.設p,q是兩個命題，則”「p為假命題”是“pvq為真命題”的

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.2020年春季，新冠肺炎疫情在全球范圍內(nèi)相繼爆發(fā)，「op/萬人

因為政治制度、文化背景等因素的不同，各個國家100..............................---

疫情防控的效果具有明顯差異.右圖是西方某國在8。.................

60天內(nèi)感染新冠肺炎的累計病例人數(shù)y（萬人）與:;...............二:二

時間/（天）的散點圖，則下列最適宜作為此模型?

20................；...............

…：?：，：一

的回歸方程的類型是°102030405060〃天

y=a+b4x

A.y=a+bxB-

nY

C.y=a+bexD,v=a+^'

立知物學試題第1頁（共4頁）

2-x，.v<2

6.已知函數(shù)/（，）=

*gg>2'則""3)]=

A.2B.-2c.--D.-

22

7.在正四枝柱（底面為正方形且側(cè)枝垂直于底而）中，BC=2AAt.

M

是BC的中點,則異面直線BD,與“q所成角的大小為

A工D乃K兀

A?彳B.-C.—D.—

2346

8.某投資人打算投資甲、乙兩個項目，根據(jù)市場預測，甲、乙兩個項目的可能最大盈利

率分別為30%和20%,可能最大虧損率分別為50%和20%.該投資人計劃利用不超過

300萬元的資金投資甲、乙這兩個項目，在總投資風險不超過30%的情況下，該投資

人可能獲得的最大盈利為

A.40萬元B.50萬元C.60萬元D.70萬元

9.已知直線/：bx-ay+ab=0（帥>0）經(jīng)過點尸（一1,2）,則2a+b的最小值為

A.6B.7C.8D.9

10.將函數(shù)y=sin2x圖象上的每一個點按向量a=",m）（其中卬和血為常數(shù)，且

|如V、）移動后，所得圖象關(guān)于直線》=言對稱，則9的值可能為

①一；②一；③；④一二

3663

A.①@B.②③C.①④D.?@

11.已知尸（c,0）（其中c>0）是雙曲線;—與=1（a>0,b>Q）的焦點，圓

a"b~

/+/—2cx+〃=0與雙曲線的一條漸近線/交于4、8兩點，己知/的傾斜角為

30°,則tanN/bBn

A.—V2B.—V3C.-272D.-2V3

12.設a=0.2%b=0.2叫c=0.3°-2,d=0.30J.則a，b,c,d的大小關(guān)系是

A.c>a>d>bB.c>d>a>b

C.c>a>b>dD.d>c>b>a

二、填空題：本題共4小題，每小題5分,共20分。

13.己知一組數(shù)據(jù)一3，2a,4,5-a,1,9的平均數(shù)為3（其中aeR），則中位數(shù)

為________

文科數(shù)學試題第2頁（共4頁）

2

14.設a,%,c分別是△/IBC的內(nèi)向/，B,C所對的邊，已知2acosC=2b+小，

則角A的大小為.

15.已知直線經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點E,并交拋物線于4、8兩點，在拋物線的準

線上的一點C滿足。8=28/，則|4/|=.

16.如圖，在樓長為2的正方體力8c中，點A/,

N分別在棱B4和C。上運動，但始終保持A/N的長度為

V5,設尸為MN的中點.則8/的長度為①：

點尸的軌跡所形成圖形的長度為_②.（第一空2分,第二空3分）

三'解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程取演算步驟。第17?21題為必考

題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

（-）必考題：共60分。

17.（12分）

設等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，已知$5=35,且4是q與八的等比中項?

（1）求｛4｝的通項公式；

1113

(2)若qV4,求證：—其中〃EN?.

ES2sli41

18.(12分)

團結(jié)協(xié)作、頑強拼搏的女排精神代代相傳，極大地激發(fā)了中

是否合計

國人的自豪、自尊和自信，為我們在實現(xiàn)中華民族偉大復興的新青年401050

征程上奮勇前進提供了強大的精神力量.最近，某研究性學習小中年302050

組就是否觀看過電影《奪冠（中國女排）》對影迷們隨機進行了合計7030100

一次抽樣調(diào)查，其列聯(lián)表如右表（單位：人）?

（1）根據(jù)列聯(lián)表以及參考公式和數(shù)據(jù)，能否在犯錯誤的概率

不超過2.5%的前提下，認為是否觀看過電影《奪冠（中國女排）》與年齡層次有關(guān)？

（2）i現(xiàn)從樣本的中年人中按分層抽樣方法取出5人，再從這5人中隨機抽取3人，

求其中至少有2人觀看過電影《奪冠（中國女排）》的概率；

ii將頻率視為概率，若從眾多影迷中隨機抽取10人，記其中觀看過電影《奪冠（中

國女排）》的人數(shù)為4，求隨機變量J的數(shù)學期望及方差?

參考公式：K2________-----------------,其中〃=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(6+d)---------------------_

參考數(shù)據(jù)：P（依沖））0.150.100.050.0250.010_

ko2.0722.7063.8415.0246.635

文科數(shù)學試題第3頁（共4頁）

3

P.

19.（12分）

如圖所示，在四棱錐尸_488

中，底面/8C0為正方形,

E為側(cè)棱PC的中點.

（）求證：經(jīng)過工、B、

1￡三點的截面平分側(cè)段PO；

（2）若尸/上底而且p/=/。=2,求四面體/BEP的體積.

20.（12分）

1

已知函數(shù)f（x）=e'——ay_x

（1）設/'（x）是/（x）的導函數(shù)，討論函數(shù)y=/'（X）的單調(diào)性：

（2）當時，求函數(shù)/（x）在［-1,+0。）上的最小值.

21.（12分）j

已知橢圓C：「+與=1（a>b>0）經(jīng)過點力且離心率為

a匕I2

（l）求橢圓C的標準方程：

（2）不與坐標軸垂直的直線/經(jīng)過橢圓C的右焦點尸，且與橢圓。交于M、N兩點，

線段MN的垂直平分線與x軸交于點P,求證：當/的方向變化時，|仞7|與|P/q的比

值為常數(shù).，

（-）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的

第一題計分。

22.［選修4—4：極坐標與參數(shù)方程］（10分）

V,-J3+2cosct

在平面直角坐標系X。中，已知曲線C：［一（其中a為參數(shù)）.以。

y=-l+2sina

為極點、x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系（兩種坐標系的單位長度相同）.

（1）求曲線C的極坐標方程：

（2）設點力的極坐標為（3,-等），點3在曲線C上運動，求AO/B面積的最大值

以及此時點8的極坐標,

23.［選修4一5：不等式選講］（10分）

設函數(shù)/（x）=x|x-a|，其中。為常數(shù)?

（1）當a=l時，求不等式/（x）<2的解集：

（2）若方程/（x）=］有三個不等實根，求a的取值范圍.

文科數(shù)學試題第4頁（共4頁）

4

四川省2018級高中畢業(yè)班診斷性測試

文科數(shù)學參考答案及評分標準

一、選擇題：（每小題5分，共60分）

I.B2.D3.B4.A5.C6.B

7.C8.D9.C10.A11.C12.A

二、填空題：（每小建5分，共20分）

5”16.①手；②?.

13.3.5；15.4：

三、鍛答題：（共70分）

17,解：（1）設等差數(shù)列｛〃｝的公差為匕由Ss=35得5G+1O*35.（1分）

因為G是G與G3的等比中項，所以（。:十3小Jaqai-lZJ）.（2分）

化簡得a：=7.2d,且2a：d=3d2.（3分）

解方程組，得小=7衣0,或ai=3,d=2.（5分）

故佃〃｝的通項公式為a,=7或a”=2〃+l（其中〃W、,）.（7分）

（2）因為。：＜4,則a”=2〃7,于是S”=〃5+2）.（8分）

（9分）

（10分）

（H分）

[+J_；=2.，其中〃、.

￡?（12分）

212）4

………坐篇等Y，（2分）

因為咽＜5＜5.。24,所以不能在犯錯誤的股率不超過2.5%的苣提二,認為是否觀看過電

21

影《奪冠（中國女排）》與年齡層次有關(guān).（4分）

（2）依題意.從樣本的中年人（5U人）中按分層抽樣的方法取出的5人中，觀看過電影《奪

冠（中國女排）》的有5x把=3人，沒有觀看過的有2人.（6分）

50

從這5人（記為.4,8,C和d,e）中速機抽取3人，包含｛ABC^BdABeACd^4Ce^de,

文札數(shù)學答■案（第1頁，共5頁）

5

8cd4Ce,8de,Cde）這10個基本事件.（7分）

記其中有i人觀看過電影，奪冠（中國女排）》為事件/Ui=2,3）,則

山中包含個基本6事件（/8da8eKCH"Ce,8Cd,8Ce）,其概率為

?（4）=白=0.6;（8分）

小中包含1個基本事件（48C）,其概率為尸（4）=*=0.1.（10分）

因為小和也互斥，（11分）

所以抽取的這3人中至少有2人觀看過電影《奪冠（中國女排）》的概率為

氏4+4）=P（y42）-P（.-lj）=0.6-*-0.1=0.7.（12分）

19、證明:設截面與佬棱PD交于點八連結(jié)EF.4F.

因為底面』8co為矩形，所以.48〃CD（2分）

又ABU平而PCD,且C0U平面PCD,

所以平面PCD.（3分）

又ABU平面旦且平方.48EC平面PCD=EFy

所以AB//EF.（4分）

又因為.48〃8,所以8〃"\（5分）

因為￡為尸。的中點，所以尸為的中點，即截面48￡平分測棱PD（6分）

（2）；P.4_L平面,W8CO,BCABCD

BC±PA,又BCLAB

工3C_L平面尸（7分）

取PB中點H.連EH

???E是PC中點

:.EH"BC.即EH=I且EH工平面P.4B（9分）

又RrAPzlB的面積S=；P4Y8=2（10分）

匹面體MBEP的體積

P=（12分）

文花數(shù)學答案’第2頁,共5頁）

6

20.解：

（1）由己知f'（x）=e'-奴一1

設g（x）=/'（x）

/.g'（x）=ex-a（I分）

①當aWO時，8'（戈）=/-4>0在/?上恒成立

.?.g（x）=/（x）在（-ac,+x）上遞增（2分）

②當a>0時，令g'（x）>0得x>lna

g，（x）<^MxVlna

g（x）=/'（x）在（-8,Ina）上遞減，在（Ina、+oc）上遞增（4分）

綜上所述：當aVOfft，y=f'（x）是（-x,+x）上的增函數(shù)

當a>0時，y=/'（X）在（-ocjna）是減函數(shù),在（Ina,-3）上是增函數(shù)（5分）

（2）由（1）知，①當a?0時，/'（X）=e*-ax-1在（-1,TC）上遞港

又尸（0）=0

：.-\<x<0^,f\x）<Oix>Of^,f（x）>0

則/（x）在（-1,0）上遞減，在（0,+8）上遞有

"-（0）=1（7分）

②當0Va?"?■時，Ina<-1

e

由⑴知八x）在（-1,+8）上遞增,又/'（0）=0

則/（X）在（-1,0）上遞減，在（0,+8）上遞冷

???./,（x）min=/（0）=l（9分）

女花數(shù)學答案（第3頁，共5頁）

7

③當■LvaVl-L時,由(1)知

ee

f'(x)在上遞減，在(Ina.-oc)上遞港

且f'(O)=0,/r(-l)=-+a-l<0

e

-i<x<offt,r(x)vo：*>0時，r(x)>o

二f(x)在(-1,0)上遞減,在(0,+8)在遞增

則/(XU=/(0)=1（11分）

綜上所述：函數(shù)在［-1,+oc）上的最小值為1.（12分）

21、解：（I）設橢圓的半焦距為c,由離心率e=L得。=兀（1分）

2

由點在橢圓上，得［+_4=］.（2分）

V2）a24ft-

由夕卷-聲?不得,—+=解得c=l.（3分）

4c24c2

故橢圓C的標準方程為二+2i=l.（4分）

43

（2）設直線的方程為x=0T（B））,代入3/7尸=12并整理得

（3產(chǎn)+4）產(chǎn)6及9=0（AX））.（6分）

設.”(xij：)、JV(X2J'2),4!1>j+比=———,y11=———(7分)

2

由弦長公式，得1+r)I+y2)-4]

36P3612(r+1)

(9分)

卜3_(3/2+4)23/-+4_3r+4

設線段A/.\的中點坐標為（xojo）,則兒=21==Y-一一.（10分）

3/+4

則A/N的垂直平分線方程為y+T—=^|-r-一士-

'3產(chǎn)+4I3產(chǎn)+4

令1=0.得點P的橫坐標為/=」一.(11分)

3c+4

于是|"|=""=船卜

故當I的方向改變時,M.V與4一的比值為常數(shù)4.(12分)

文在數(shù)學答案:第1頁,共5頁）

8

22、觸：（1）在「="rc中，消去參數(shù)a,得（x-6/+（y+l>=4.（2分）

y=-l+2sincr

跟*2+y2=2（7Ir-）4（3分）

由Jt=0Cos8j="Sin仇得『2=2『|Qcos8-sine）,（4分）

所以曲線C的極坐標方程為Q=4COS'0+.\'；SWR）.（5分）

（2）由已知,AO.48的面積為

SA=1|OJ|?|O5|sinZ.405=Ix3x4cos0+^；xsin；￡>+yj|（7分）

=6cos:0+—\.